2025年高考数学复习难题之空间向量及其运算

2025年高考数学复习难题速递之空间向量及其运算（2025年4月）

选择题（共8小题）

TT*—>

1.（2025•齐齐哈尔二模）在三棱柱ABC-4B1C1中，设4B=a,AC=b,A4i=c,N为8C的中点,

则=（）

7rT1-t-»17717t

A.a+b+cB.一a+b+cC.—a+-b—cD.—a+-6+c

22222

2.（2025春•盐城月考）已知两平面的法向量分别为薪=（0,-1,0）,n=（0,1,1）,则两平面的夹角

为（）

A.45°B.135°C.45°或135°D.90°

—>―>—>_.―>—>

3.（2025春・盐城月考）在三棱柱42。-421。中,£1为棱4。上点并且4£'=2EQ.设B4=a,BB1=b,

TT则尾=（

BC=c

2TT1-ITT2T-2T1--t

A.-a+Z）+-cB.-a+b+-cC.D.-a+h+c

33333

TT

4.（2024秋嗨州区校级期末）在四棱锥尸-ABC。中，底面A8CD是正方形，E为PO中点，若PA=a,

―»->—>_>—>

PB=b,PC=c,则BE=（）

IT3T1-1TLit

A.-a+-Z）+-cB.-a--b--c

222222

IT3T1-IT3T17

C.-a--b-\--cD.-a+~b--c

222222

5.（2024秋•邢台期末）在空间四边形OABC中，。力-B4+BC等于（）

—>—»—>—»

A.OAB.ABC.OCD.AC

6.（2025•江苏模拟）在空间中，过点A作平面T的垂线，记垂足5=/（A）.设两个不同平面a,d对

—>—>

任意一点尸，环=严（#（尸）），N=#（严（尸）），恒有|PM|=|PN|成立，则（）

A.a〃0B.a,p的夹角为45°

C.a,p的夹角为60°D.a±p

7.（2024秋•颍州区校级期末）如图所示，若尸为平行四边形ABC。所在平面外一点，以为PC上的点，

PH]AG

且—=一，点6在4〃上，且—=m.若G,B,P,。四点共面，则加为（）

HC2AH

p

—>—>

8.（2024秋•拱墅区校级期末）棱长为1的正四面体ABC。中，点E是的中点，贝•CE=（)

多选题（共4小题）

（多选）9.（2025春•成都校级月考）关于空间向量，以下说法正确的是（）

A.若对空间中任意一点。，有。P=^Q4+“B+《OC,则尸、A、B、C四点共面

Z34,

TTTT

B.已知两个向量a=（1,m,3）,b=（5,-Ln）,且a||b,则加〃=-3

C.若a1b,且a=y)z[)，b=(犯，丫2，z4贝|xi12+yiy2+ziz2=0

->——T11

D.a=(0,1,1),6=(0,0,-1),贝i|a在b上的投影向量为(0,―二,一力

—>—>—>—>

（多选）10.（2025・江苏模拟）己知正方体428-421。。1的棱长为1,点P满足4P=+zA4i,

其中无，y,z£[0,1],则（）

A.当尤=y,yWO,zWO时，313〃平面ACP

B.当x=y=z,zWO时，异面直线AP与BC所成的角为45°

C.当x+y=l,z=0时，DiPLAiCi

D.当x+y+z=1时，线段AP的长度最小值为手

（多选）11.（2024秋•龙岗区校级期末）关于空间向量，以下说法正确的是（）

—>-1—>-1—>-1->

A.若对空间中任意一点。，有。2=劣。2+宾8+"。。，则P,A,B,C四点共面

Z341

—>r—>

B.已知两个向量Q=(1,m,3),b=(5,-1,n),且Q||b,则mn=-3

C.若alb,贝!Jxix2+yiy2+ziz2—0

->—T-11

D.已知a=（0,1,1）,b=（0,0,-1）,贝Ua在6上的投影向量为（0,—分—分

（多选）12.（2024秋•安徽期末）下面四个结论中正确的是（）

A.点尸（1,-1,2）关于xOy平面对称的点的坐标是（1,-1,-2）

B.若a-6V0,则向量a,b的夹角是钝角

C.若对空间中任一点。，有。M="。2+白。8+（。。，则M,A,B,C四点共面

4N4

D.若区，b,d是空间的一个基底，则丘+力，a+b+c,?｝也是空间的一个基底

三.填空题（共4小题）

13.（2025春•上海校级月考）如图，已知正四面体AM2A344,点A5,41,Ai,As,A9,4o分别是所在棱

_______________—>T

中点，点P满足瓦历=无而a+y而行+z而不且x+y+z=l,iH|X4<2|=\A4P\min,则当iWi,JW10且

—>—>

iWj时，数量积4Q•4为的不同取值的个数是个.

14.（2025•朝阳区一模）在棱长为1的正方体ABC。-AiBiCiDi中，点尸是底面AIBCLDI内的动点，给

出下列四个结论：

①|占+而|的最小值为2；

@\PA\+应|的最小值为遥；

③|易|+|尾|的最大值为1+V3；

@\PA\2+应产的最小值为3.

其中所有正确结论的序号是

15.（2024秋•上海校级期末）已知棱长为1的正方体ABC。-ALBI任选2个顶点作为起点和终点所

T—T->

成的向量m,与向量CCi的数量积共有种结果.

->,

16.(2024秋•辽宁期末)已知e「e2是空间单位向量，-e2=若空间向量b满足b-e=2,b-e2=■

TTTTTT

yo=_______

且对于任思X,yeR,|b-(xet+ye2)|>|b-(%061+y0e2)l=1(^0-yoG^)>5

—>

网=-

四.解答题(共4小题)

17.(2025春•上海校级月考)在平行六面体ABC。-AIBICLDI中，AB=AD=AAi=\,ZBAD=90°,Z

—TT—TT

BAAi=XDAAi=60°.记向量48=a,向量AD=b,向量AAi=c.

(1)取BiCi的中点M,用向量b,1来表示向量疝M；

—>

(2)求|2M|.

18.(2025春•盐城月考)已知空间中三点A(2,0,-2),8(1,-I,3),C(3,0,1),=AB,b=AC.

->TT

(1)若向量。+协与b互相垂直，求左的值；

(2)若©=3,且c||BC,求向量c.

TTTT

19.(2024秋•景洪市校级期末)已知向量a=(2,-1,m),6=(1,4,1),且a1b

->T

(1)求|a+2bl的值;

->Tt-

(2)求向量a+2b与a-b夹角的余弦值.

20.(2024秋•临高县校级期末)已知正四面体ABC。的棱长为1,E,E分别为棱8C,CD的中点，点G

为线段的中点.

(1)用48,AC,AD表示EG；

—>—>

(2)求EGJB的值.

2025年高考数学复习难题速递之空间向量及其运算（2025年4月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案CABCCDCA

二.多选题（共4小题）

题号9101112

答案BCACDBCAC

一.选择题（共8小题）

T->

1.（2025•齐齐哈尔二模）在三棱柱A1B1C1中，设4B=a,AC=b,AA±=c,N为BC的中点,

—>

则&N=()

T-T1T-T17IT->17-)

A.a+b+cB.-a+b+cC.—a-V—b—cD.—a+—b+c

22222

【考点】空间向量及其线性运算.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】c

【分析】由空间向量的线性运算法则即可求解.

TTTTTT

【解答】解：三棱柱A8C-4B1C1中，设4B=a,AC=b,AA±=c,N为BC的中点,

连接AN,如图,

因为N为BC的中点，

一一一1-1--

所以i4]N=A^A+AN=-AA^+工(^AB+AC)=2(2+]/7—c.

故选：c.

【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

2.(2025春•盐城月考)已知两平面的法向量分别为蔡=(0,-1,0),£=(0,1,1),则两平面的夹角

为()

A.45°B.135°C.45°或135°D.90°

【考点】空间向量的夹角与距离求解公式.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】A

【分析】通过向量夹角公式求出两平面法向量的夹角，再根据两平面夹角与法向量夹角的关系求出两平

面的夹角.

【解答】解：由已知条件得：m.n=0x0+lx(-1)+0x1=-1,\m\=VO2+l2+02=1,\n\=

702+(-l)2+l2=V2.

所以IcosVnl同=1需品=1言—=¥・

所以两平面的夹角为45°.

故选：A.

【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档

题.

—>—>-»_»—>—>

3.(2025春•盐城月考)在三棱柱ABC-481。中,E为棱4G上点并且&E=2EQ.设B4=a,BB1=b,

T->,T

BC=c,贝IJBE=()

2TTITITT2TT1-2-1Ttt

A.—a+b+—cB.-a+b+—cC.0+可人+耳。D.—a+b+c

33333

【考点】空间向量及其线性运算.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】B

【分析】根据向量加法的三角形法则,将BE转化为B8i+/E,再结合已知条件将8国用a、b、c表示

出来，进而得出BE的表达式;

———>—»—>—»T)T—>

解：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BE=BBr+BrE=BBr++ArE=BBr+BrAr+=BBr+

T2T--1-2-]TT2T

B^A-^+五+BiG)—BB]+弓BA+弓BC=彳。+5+^c.

故选：B.

【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

T->

4.(2024秋嗨州区校级期末)在四棱锥尸-ABC。中，底面ABC。是正方形，E为尸。中点，若PA=a,

—>-»―>_»—>

PB=b,PC=c,则BE=()

IT3TI-1TLi-

A.—a+-b+-cB.—a——b——c

222222

IT3TI-1-3TIT

C.-a--b+~cD.-a+-b--c

222222

【考点】空间向量的数乘及线性运算.

【专题】计算题；创新题型；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解.

【答案】C

【分析】根据底面ABCD是正方形,E为PD中点，向量加法的平行四边形法则得到BE=1(BP+BD),

而BD=BA+BC={PA-PB)+(PC-PB),即可求得BE的结果.

T—TTTT

【解答】解：由于四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是正方形,E为PD中点，若PA=a,PB=b,PC=c,

所以

BE=^乙(B乙P+BD乙)=一杆B+其B乙A+BC乙)=一乙杆B+今B乙A+.BC乙=一杆B+其PA-PB)+

1TT

。-TZ

5乙(PC-PB)=-乙5PB+乙5PA+乙TjPC=乙5乙b+乙jc.

故选：C.

【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和

易错题.

5.(2024秋•邢台期末)在空间四边形。4BC中，£1-或1+品等于()

—»—>—>—>

A.OAB.ABC.OCD.AC

【考点】空间向量及其线性运算.

【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】C

【分析】根据向量加减法的运算法则即可求解.

【解答】解：OA-BA+BCOA-OA+OB+0C-OB=0C.

故选：C.

【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

6.（2025•江苏模拟）在空间中，过点A作平面工的垂线，记垂足（A）.设两个不同平面a,0,对

任意一点尸，加=严（尸）），N=f（严（P））,恒有।薪1=1无।成立，则（）

A.a〃0B.a,0的夹角为45°

C.a,p的夹角为60°D.a±p

【考点】空间向量的数量积运算.

【专题】整体思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；新定义类.

【答案】D

【分析】根据题中符号的意思，画出示意图，可判断平面a,0的位置关系.

【解答】解：根据题意，作出示意图，如图所示，

设#（尸）=F,则产（尸）=M,

设严（P）=E,则#（E）=N,

—>—>

因为|PM|=|PN|恒成立，所以M,N两点重合,

所以四边形PENF为矩形，

且/矶牛为平面a,0所成二面角的平面角.

所以a，仇

故选：D.

【点评】本题考查空间线面关系的判定，属中档题.

7.（2024秋•颍州区校级期末）如图所示，若P为平行四边形A8CD所在平面外一点，以为PC上的点,

PH14G

且—=-,点G在上，且—=m.若G,B,P,。四点共面，则加为（）

HC2AH

【考点】空间向量的共线与共面；空间向量基本定理及空间向量的基底.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】C

—>—>—>—>—>—>—>

【分析】以｛4B,AD,4P｝为基底，表示向量4G=久48+”W+z4P,由x+y+z=1可求优的值.

【解答】解：因为AG=mAH=m（4P+杯C）=m[^AP+^AB+AD）]=^AP+^AB+^AD.

,e一一一〜一2mmm

由G,B,P,。四点共面，所以---+—+—=1,

333

整理得：m=1.

故选：C.

【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，共面向量的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于

中档题.

—>―»

8.（2024秋•拱墅区校级期末）棱长为1的正四面体中，点E是A。的中点，贝帕4•CE=（）

【考点】空间向量的数量积运算.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】A

—>—>—>—>—>—>

【分析】根据向量线性运算法则和数量积的性质可得B4-CE=BA-CA+BA-AE,结合数量积定义可

得结论.

【解答】解：长为1的正四面体ABC。中，点E是的中点，

TTT

因为CE=CA+AE,

—>—>—»—>—>—»—>—»—>

所以B4•CE=B4•（G4+AE）=BA-CA+BA-AE,

~-'TT[27T1

所以B4.CE=1xlxcosj+lx^xcos^=i

故选：A.

【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于基

础题.

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2025春•成都校级月考）关于空间向量，以下说法正确的是（）

A.若对空间中任意一点。，有。P=^02+冢8+“C,则尸、A、B、C四点共面

Z34,

..——TT

B.已知两个向量a=（1,m,3）,b=（5,—1,n）,且aIIb,则加:=-3

C.若alb,且a=（%>y〉Zi）,h=（x2^丫2，z2）,贝Uxi%2+yiy2+ziz2=0

->—7T11

D.a=（0,1,1）,6=（0,0,-1）,贝Ua在b上的投影向量为（0,-少一力

【考点】空间向量的数量积运算；空间向量的投影向量与投影；空间向量的共线与共面.

【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】BC

【分析】利用空间中四点共面的推论可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利

用空间向量垂直的坐标表示可判断C选项；利用投影向量的定义可判断。选项.

【解答】解：对于A,若尸、A、B、C四点共面，

—>—>—>

则存在入、neR,使得4P=AAB+ptAC,

—>—>—>—>—>—>

即。P-。4=A（OB-OA）+林（OC-OA）,

TT—>—>

所以OP=（1-4一〃）。4+/LOB+〃。。，且（1-入-|1）+入+n=l,

因为对空间中任意一点O,有。P=^OA+^OB+^OC,

ZD4,

Ill

但二十—+-H1,故尸、A、B、C四点不共面，故A错误；

234

TT

对于b已知两个向量a=(1,m,3),b=(5,—Ln),

由aII力，可得一=—=一，解得勿1=一1，n=15

5-1n5

故松=-3,故5正确；

->T

又寸于C，a—(%i,•*^i)9b=(%2，3^2f^2)9

->7T-

若a1b,则a•b=xrx2+yry2+zrz2=0,故C正确；

对于。，若展=(0,1,1),b=(0,0,-1),

则信在力上的投影向量为：

T7777―T

e=\a\cos(a,b)-^-=|a|•=-b=(0,0,1),故。错误.

网\a\\b\\b\山

故选：BC.

【点评】本题考空间向量基本定理、空间向量共线定理及空间向量数量积的运算，属中档题.

—>—>—>—>

(多选)10.(2025・江苏模拟)已知正方体4?”)-481。。1的棱长为1,点P满足4P=+z44「

其中无，y,z£[0,1],则()

A.当x=»yWO,zWO时，BbB〃平面ACP

B.当x=y=z,z#0时，异面直线AP与8c所成的角为45°

C.当x+y=l,z=0时，DiPLAiCi

V3

D.当x+y+z=l时，线段AP的长度最小值为w

【考点】空间向量的数量积运算；异面直线及其所成的角；直线与平面平行.

【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】ACD

【分析】建立空间直角坐标系，得到点的坐标，A选项由空间向量证明线面平行；B选项由空间向量的

夹角公式求得线线角；C选项由空间向量的数量积为。证明线线垂直；。选项由基本不等式求得屈的

模长的最小值.

【解答】解：在正方体ABCO-481C1O1中，以A为坐标原点，

AB,AD,A41所在直线分别为x,y,z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示,

则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),

Ai(0,0,1),Bi(1,0,1),Ci(1,1,1),Di(0,1,1),

因为4P=久48+/4D+z44i，所以P(x,y,z),

—>T

A选项：AP=(x,x,z),CP=(x-1,x-1,z),BD=(-1,1,0),

AP-BD^-x+x=0,即薪是平面ACP的一个法向量，

CP•BD=—x+1+%—1=0

—»—>—>

又BBi=(0,0,1),贝！|BB「BD=0,所以881〃平面ACP,故A正确;

B选项：设x=y=z=aW0,贝［J4P=(a,a,a),BC=(0,1,0),

设异面直线AP与BC所成的角为a,

—>—>_

则cosa=毛尸拶==率显然aW45°,故5错误；

\AP\-\BC\八a3

。选项：设％=。，则尸(a,1-a,0),

—>—>

即DiP=(a,-a,-1),46=(1,1,0),

—>—>

则。止,416=。一。=0,所以。iP_LACi,故C正确；

D选项：\AP\=Jx2+y2+z2,

因为x+y+z=1,则x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=1,

则1=(x+y+z)2=x2'+y2+z2'+2xy-^2xz+2yz

Cx2+y2+z2+x2+,y2+x2+z2+y2+z2=3(x2+)；2+z2),

即/+V+z2.,当且仅当x=y=z时取等号，

所以1Gl=J%2+y2+z22J|=^,故D正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查立体几何中的线线关系和线面关系，考查利用空间向量求解几何问题，属中档题.

(多选)H.(2024秋•龙岗区校级期末)关于空间向量，以下说法正确的是()

A.若对空间中任意一点。，有。。=微。4+白。8+［。(7,则尸，A,B,C四点共面

ZD4,

->—TT

B.已知两个向量a=(1,m,3),b=(5,-1,九)，且。||力，贝!J祖〃=-3

C.右Q1b,则xix2+yi〉2+ziz2=0

D.已知a=(0,1,1),b=(0,0,-1),贝Ua在6上的投影向量为(0,*，一分

【考点】空间向量的投影向量与投影；空间向量的共线与共面.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】BC

【分析】直接利用向量共面的充要条件，向量的共线，向量垂直的充要条件.向量的投影向量求出结果.

【解答】解：对于A：若对空间中任意一点。，有。P=*OA+京。B+京。。，由于］+&+］#L故尸、

A、B、C四点不共面，故A错误；

对于B：由于向量a=(1,m,3),b=(5,-1,n),且a||b,故一二—二—，故mn=-3,故8

5-1n

正确；

TTTT

对于C：由于a=yr,Zi),b=(冷，丫2，Z2),且alb,故xi%2+yiy2+ziz2=0,故C正确；

对于。：已知孟=(0,1,1),b=(0,0,-1),贝片在「上的投影向量为向•芈^.乌=缺)=(-

⑷网|b||b|2

1)x(0,0,-1)=(0,0,1),故。错误.

故选：BC.

【点评】本题考查的知识点：向量共面的充要条件，向量的共线，向量垂直的充要条件.向量的投影向

量，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

(多选)12.(2024秋•安徽期末)下面四个结论中正确的是()

A.点P(l,-1,2)关于xOy平面对称的点的坐标是(1,-1,-2)

B.若［rV0,则向量以，力的夹角是钝角

C.若对空间中任一点O,有0M=(。力+宾8+(。。，则跖A,B,C四点共面

4N4

D.若｛Zb,d是空间的一个基底，则0+1,a+b+c,?｝也是空间的一个基底

【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量基本定理及空间向量的基底；关于空间直角坐标系

原点坐标轴坐标平面对称点的坐标；空间向量的共线与共面.

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维.

【答案】AC

TT111

【分析】易求得对称点可判断A；当*b反向时可判断&由-+-+-=1,可得四点共面判断C；

424

设a+b=pQ+b+c)+qc,可得心十口二。，进而可得a+b,a+b+c,c共面，判断D

【解答】解：对于A,点尸(1,-1,2)关于xOy平面对称的点的坐标是(1,-1,-2),故A正确；

TTTTT—

对于5,当a,b反向时，a-b=|a|•\b\cos7i<0,此时向量的夹角为n,不是钝角，故5错误；

对于C,由于对空间中任一点。，有。

41Z41

111

而一+-+-=1,故A,B,C四点共面，

424

,若对空间中任一点。，有。M+守。B+50C,

则M,A,B,C四点共面，故C正确；

I、rTTT—TT

对于D,设a+b=p(a+b+c)+qc,

即】+1=pN+p「+(p+q)”,故

解得£_故1+b,a+b+c,”共面，

不能构成空间的一个基底，故。错误.

故选：AC.

【点评】本题考查对称点、四点共面、空间向量基底等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

三.填空题(共4小题)

13.(2025春•上海校级月考)如图，已知正四面体AM2A3/U,点A5,A6,Ai,As,由，Aio分别是所在棱

_______________—»—»

中点，点P满足瓦B=X而忆+y不不+z不不且x+y+z=l,记I4QI=恒4「1讥，则当iWi,JW10且

—>—>

i壬/时，数量积4Q-4今的不同取值的个数是二_个.

44

A\

【考点】空间向量的数量积运算.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】5.

—»

（分析］由已知可得点P在平面AiA2A3上,且4。，平面A1A2A3,再利用数量积的几何意义可求出4Q-

々X•的不同取值的个数.

【解答】解：知正四面体AiA2A3A4,点A5,A6,A7,A8,Ag,Aio分别是所在棱中点，点尸满足无A=

xA4Ar+yA4A2+z/4/3且x+y+z=1,

因为点尸满足感尸=xA4At+yA4A2+2/4/3且X+y+z=1,

所以点尸在平面4A2A3上，

—>—>

因为I4QI=144Plm讥，

所以0为平面4A2A3的中心，止匕时A4。，平面A1A2A3,

由数量积的几何意义可知44在44（2的投影有5种情况：0,±||x4Qb+\A4Q\,

所以数量积-々X-的不同取值的个数是5.

故答案为：5.

【点评】本题考查的知识点：向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

14.（2025•朝阳区一模）在棱长为1的正方体A8CQ-A181cl小中，点P是底面内的动点，给

出下列四个结论：

①|易+无|的最小值为2；

@\PA\+|而|的最小值为遥；

—>—>

③|P*+|PC|的最大值为1+V3；

④|易『+|而『的最小值为3.

其中所有正确结论的序号是①②④.

【考点】空间向量的数乘及线性运算.

【专题】转化思想；数形结合法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】①②④.

【分析】设点A、B、C、。关于平面AIBCLDI的对称点分别为A2,比，Ci,Di,设底面ABCD,A1B1C1D1

—>—>—>—>

的中心分别为点。，(91,作出图形，推导出|PA|2+|PC|2=2|PC/+12}+1求出|P0|的最小值，可判断

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①④；由对称性得出|PC|=|PC2l，进而可判断②；取点P和点加重合，可判断③.

【解答】解：设点A,B,C,。关于平面AIBICLDI的对称点分别为42,历.C2,。2,

设底面ABC。，ALBICLDI的中心分别为点。，01,如图所示：

对于①，易知。为AC的中点，贝i]P。=)P4+PC),可得24+PC=2P。，所以|P4+PC|=2|P0|,

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当点尸与点01重合时，。01，底面A8CD此时仍。|取最小值1,即IP4+PCI的最小值为2,①正确；

—>—>T—>—>—>—>—>T—>

对于④，|P4|2+|PC|2=\P0+0A\2+\P0+0C\2=\P0+0A\2+\P0-0A\2

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=2(|P0/+|0*2)=2俨。/+2]。*2=2\PO\2+2X=2|P0『+1,

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当点尸与点01重合时，001，底面A5C。，此时|「。|取最小值1,则|/M|2+|PC|2的最小值为2XJ+1

=3,④正确；

—>—>—>—>—>—>—>I—>—>

对于②，由对称性可知，|PC|=|PC2|,则|PA|+|PC|=|P4|+|PC21214c2I=J|4C|2+|CC2『=

V2T4=V6,

—>—>

当且仅当点P为线段AC2与平面ALBICLDI的交点时，|P*+|PC|取最小值痛，②正确；

—>—>—>—>—>—>

对于③，当点尸与点81重合时，\PA\+|PC|=\PA\+|PC2|=\ABr\+|C2Bt|=2A/2>1+V3,

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所以|P4|+|PC|的最大值不是1+旧，③错误.

故答案为：①②④.

【点评】本题考查了空间向量的线性运算与数量积运算应用问题，是中档题.

15.(2024秋•上海校级期末)已知棱长为1的正方体ABC。-A181C1O1,任选2个顶点作为起点和终点所

TTT—

成的向量机，与向量CC1的数量积CG•?«共有3种结果.

【考点】空间向量的数量积运算.

【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】3.

【分析】讨论当蓝的起点和终点分别为正方体上相邻的两个顶点、正方体侧面上对角的两个顶点、正方

体底面上对角的两个顶点、正方体体对角线的两端点时，Ei•薪的取值，即可得解.

【解答】解：①当蓝的起点与终点为正方体上相邻的两个顶点时，

TTT_,

\m\=1,CCi与租平行或垂直，

TTT->->T

若CG||nt,且CCi与m同向，即zn=A4i，

TTTT

则CC1•TH=CC]•AAr=1x1x1=1；

TTT->——

若CC]IITH,且CC1与771反向，即772=41/,

TTTT

则CCi,m=CC]•A±A=1x1x(—1)=-1；

TTTT

右CC、1m,即TH=CB,

TT-

则CC1•m=毋•CB=1x1x0=0；

②当蔡的起点与终点为正方体侧面上对角的两个顶点时，

—>T—>

\m\=V2,CG与ni的夹角为45°或135°,

TT—T

若CG与小的夹角为45°,即?n=CBi，

T—>~>T!'*5

则CC1•根=CQ•CB1=1x夜x与=1；

T->->T

若CG与m的夹角为135°,即m=

则CCi•m=CCi•Bi。=1x/x（一竿）=-1；

③当蓝的起点与终点为正方体底面上对角的两个顶点时，

—»T—>—>T

\m\=V2,CCi与zn的垂直，即m=AC,

T—>TT

则"1•TH=%•ZC=1X迎X0=0；

④当薪的起点与终点为正方体体对角线的两端点时，

\m\=V3,cos（CC],=亭或cos〈CC〉m〉=一亭，

若cos（CC…m）=BPm=CAr,

TTTT气

则"1•TH=%Gi=1X遍X号=1;

若cos〈CG，m〉=一孚，BPm=ArC,

则CG=CCt-XiC=1xV3x（—号）=-1；

->T——

综上：m与向量CG的数量积CC「zn共有3种结果，分别为-1,0,1.

故答案为：3.

【点评】本题考查空间向量数量积的运算，属中档题.