2025年高考数学复习新题之集合

2025年高考数学复习新题速递之集合（2025年4月）

选择题（共8小题）

1.（2025•湖南模拟）已知集合A={x|/-2尤-3W0},2={xeN|2-xNO},则Ang=（）

A.{1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{1,2}

2.（2025•小店区校级模拟）设全集U=Z,A={-1,0,1},8={尤eN||x|W2},则图中阴影部分表示的集

合是（）

A.{1}B.{-1,2}C.{0,1}D.{-1,0,2}

3.（2025•昌黎县校级模拟）已知集合M,N均为U的子集，且MUN,则（CuM）A（CuN）等于（）

A.UB.CuMC.CuND.0

4.（2025•海南模拟）已知集合4={尤|x=2七keZ},8={x|-2WxW2},则（）

A.[-1,1]B.[-2,2]C.[0,2}D.{-2,0,2}

5.（2025春•北京校级月考）已知集合/={>|〉=251皿},N=Z,则MCN等于（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-2,2}

C.{0,1,2}D.[-2,2]

6.（2025春•秦皇岛月考）已知集合4={尤|3工<2>,8={尤|/<1},则AC8=（）

A.（-1,0）B.（0,1）C.（-1,1）D.0

7.（2025春•陕西月考）已知集合A={（尤，y）|y=/-2尤-1},B={（x,y）\y=2x-5},则ACB的元

素个数是（）

A.0B.1C.2D.无数

8.（2025春•耒阳市月考）已知集合4={乂2*<9},8={xCN|xW4},则集合AC8中的元素个数是（）

A.2B.3C.4D.5

—.多选题（共4小题）

（多选）9.（2025•永年区校级开学）已知集合4={才2苫-3<3x},8={尤|x22},则有（）

A.-3gAB.0£BC.B^AD.{2}GB

（多选）10.（2025•开封二模）已知集合4=3-3<2x-1<3},CRBQA,则（）

A.-1EBB.2eBC.-1GAUBD.2GAAB

（多选）11.（2025•望城区校级模拟）若平面点集，满足：任意点（尤，y）GM,存在正实数f,都有（tx,

ry)&M,则称该点集为、阶集”，则下列说法正确的是()

A.若M={(x,y)|y=|}是、阶集"，则t=\

B.若知={(x,y)|y=2x}是。阶集"，则f为任意正实数

C.若知={(%,y)|/W4y}是“f阶集"，则0<fWl

D.若M={(久，y)|y之五}是、阶集”，则1

(多选)12.(2024秋•济源期末)下列关系中，正确的是()

3

A.0£NB.{0}6{0,1}C.-eQD.0a{0}

三.填空题(共4小题)

13.(2025・嘉定区二模)已知集合4=凶-1<；1忘3},集合8={兄1忘；1<4},则4仆8=.

14.(2025•江西模拟)已知集合5={1,3,4,5},U={1,2,3,…，19),集合U的子集B={m,及,

43,。4,。5},若对于任意的lWzy/W5,i,jeZ,都有⑷-勾匠A,则符合条件的集合B的个数为.

15.(2025•上海校级模拟)已知集合4=[-1,1],B=(0,3),则AC8=.

16.(2025•衡水模拟)设集合A={a,b},B={2a,2a2},若A=8,则成=.

四.解答题(共4小题)

17.(2025春•湖南月考)对非空整数集合M及在N,定义M㊉-{相+胸CM,f=-左，-k+1,…，k],对

于非空整数集合A,B,定义d(A,B)=%讥伏6NIAUB㊉左，BQA®k).

注：机沅{在㊉左，㊉口是指满足AU8㊉/且3=4㊉/的最小自然数上

(1)设加={3,5,7},请直接写出集合M㊉1；

(2)设4={1,2,3,",80},d(A,B)=1,求出非空整数集合2的元素个数的最小值；

(3)对三个非空整数集合A,B,C,若d(A,B)=3且d(8,C)=1,求d(A,C)的所有可能取

值.

18.(2024秋•郴州期末)已知集合$=国加-1WXW2〃Z+1},T={4?W4}.

(1)若SUT,求实数机的取值范围；

(2)若SCT=0,求实数机的取值范围.

Y-2

19.(2024秋•张家港市校级期末)设集合力={xeM|2<2X<16},B={x|^f<0}.

(1)若M=N,AAB；

(2)若M=R,AUB,AA(CRB).

20.(2025•芙蓉区校级模拟)已知集合U={a[a=2"42"-3,m,neN),实数6满足,-6+1€{1,3,b].

(1)若集合A={m,ai,。3},且(72,。3是集合U中最小的三个元素，求集合A；

(2)在(1)的条件下，若实数6构成的集合为8,且集合C=AUB,若实数0,gC,且关于x的方

程p/+2x+2q=0有实数解，请列出所有满足条件的有序数对(p,q).

2025年高考数学复习新题速递之集合（2025年4月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案CBCDAABC

二.多选题（共4小题）

题号9101112

答案ACBCABCCD

一.选择题（共8小题）

1.（2025•湖南模拟）己知集合4={尤仔-2尤-3W0},2={xeN|2-xNO},则（）

A.{1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{1,2}

【考点】求集合的交集.

【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解.

【答案】C

【分析】由一元二次不等式与一元一次不等式，求得集合，利用交集，可得答案.

【解答】解：因为集合4=凶/-2x-3W0}={尤|-1WXW3},2={无6NWW2}={0,1,2],

所以AnB={0,1,2}.

故选：C.

【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的交集运算，属于基础题.

2.（2025•小店区校级模拟）设全集U=Z,A={-1,0,1},2={尤CN||x|W2},则图中阴影部分表示的集

合是（）

A.{1}B.{-1,2}C.{0,1}D.{-1,0,2}

【考点】Venn图表示交并补混合运算.

【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解.

【答案】B

【分析】先判断表示的集合，再利用交集和并集的定义求解即可.

【解答】解：由题可得：B={xeN|b|W2}={0,L2},

故ACB={0,1},AUB={-1,0,1,2},

而阴影部分表示的集合是{尤IxeAUB且娓An8}={-1,2},故8正确.

故选：B.

【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.

3.（2025•昌黎县校级模拟）已知集合N均为U的子集，且MUN,则（CuM）n（CuN）等于（）

A.UB.CuMC.CuND.0

【考点】集合交并补混合关系的应用.

【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解.

【答案】C

【分析】根据题意作出Venn图，结合图形判断即可.

【解答】解：集合N均为U的子集，且MUN,

故选：C.

【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.

4.（2025•海南模拟）己知集合4={尤|尤=2匕k€Z},B={x|-2WxW2},则ACB=（）

A.[-1,1]B.[-2,2]C.{0,2}D.{-2,0,2}

【考点】交集及其运算.

【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；运算求解.

【答案】D

【分析】分别求得集合A、B,利用交集定义直接求解.

【解答】解：；集合4={尤|尤=2怎keZ],B={x|-2W尤W2},

AHB={-2,0,2}.

故选：D.

【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题.

5.(2025春•北京校级月考)已知集合〃=@匹=25皿1},N=Z,则MAN等于()

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-2,2}

C.{0,1,2}D.[-2,2]

【考点】求集合的交集；正弦函数的定义域和值域.

【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解.

【答案】A

【分析】根据三角函数的值域，结合集合的交集，可得答案.

【解答】解：由汽=乙M={y|y=2siiur}=[-2,2],

由交集的定义可知，MCN={-2,-1,0,1,2).

故选：A.

【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

6.(2025春•秦皇岛月考)已知集合4=国3工＜20，8={尤|/＜1},贝i]AC8=()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(-b1)D.0

【考点】求集合的交集；解一元二次不等式；由指数函数的单调性求解参数.

【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解.

【答案】A

【分析】分别求解集合A与集合2,再根据交集的定义求出AC8.

【解答】解：集合BuHl/ci},解不等式/＜1,得到-1＜尤＜1,即集合8={x|-1＜尤＜1},

集合A=团3”＜2),将不等式3X＜2-Y变形为裴VI，即(|尸＜1=(|)0.

则x＜0,所以集合4={了仇＜0}.

所以AAB={尤|-1＜尤＜0},即ACB=(-1,0).

故选：A.

【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题.

7.(2025春•陕西月考)已知集合A={(无，y)|y=/-2x-l},B={(x,y)\y=2x-5},则ACB的元

素个数是()

A.0B.1C.2D.无数

【考点】求集合的交集.

【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解.

【答案】B

【分析】依题意，AC8转换为两函数图象交点问题，联立方程组求解，从而得到答案.

【解答】解：联立1，解得

所以An8={（2,-1）},

所以An8的元素个数是有1个元素.

故选：B.

【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.

8.（2025春•耒阳市月考）已知集合A={x|2x<9},8={无eN|尤W4},则集合ACB中的元素个数是（

A.2B.3C.4D.5

【考点】求集合的交集；指、对数不等式的解法.

【专题】集合思想；综合法；函数的性质及应用；集合；运算求解.

【答案】C

【分析】根据指数函数与对数函数的性质，结合交集的概念可得结果.

【解答】解：由题意得，A={x|2x<9}={x|x<log29},B={xCN|xW4}={0,1,2,3,4）,

因为Iog28<log29<log?16,即3<log29<4,

所以Ang={0,1,2,3）,

所以集合AC8中的元素个数是4.

故选：C.

【点评】本题主要考查了对数不等式的解法，考查了集合的交集运算，属于基础题.

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2025•永年区校级开学）已知集合4={刃2%-3<3x},B={x|x22},则有（）

A.-3gAB.0£BC.B^AD.{2}eB

【考点】集合的包含关系判断及应用.

【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解.

【答案】AC

【分析】根据集合的子集关系以及元素与集合的关系即可求解.

【解答】解：集合A={x|2x-3<3尤}={无仇>-3},2={尤|无22},

贝IJ-3WA,OgB,B^A,{2}QB,即AC正确，8。错误.

故选：AC.

【点评】本题考查集合间关系的应用，属于基础题.

（多选）10.（2025•开封二模）已知集合4=⑻-3<2x-1<3},QRBQA,贝!］（）

A.-1朋B.2GBC.-1SAUBD.2EAHB

【考点】集合的包含关系的应用.

【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解.

【答案】BC

【分析】根据集合交并补的运算一一分析即可/

【解答］解：A={x|-3<2x-1<3}-{%|-l<x<2},

对于选项A,若7包，贝卜16CR8,则根据CRBUA有-16A,显然矛盾，故选项A错误；

对于选项假设2M,则2《R8,根据CRBUA有26A,显然矛盾，贝U2学，故选项8正确；

对于选项C,由A知，-1EB,贝U-leAUB,故选项C正确；

对于选项。，显然2CA,必有故选项。错误.

故选：BC.

【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了元素与集合的关系，属于基础题.

（多选）11.（2025•望城区校级模拟）若平面点集，满足：任意点（无，y）eM,存在正实数f,都有（Jx,

ty）EM,则称该点集为、阶集”，则下列说法正确的是（）

A.若M={（x,y）|y=|}是、阶集“，则r=l

B.若〃={（x,y）|y=2x}是“/阶集”，则/为任意正实数

C.若M={（x,y）*W4y}是“f阶集"，则0<fWl

D.若M={（久，y）|y是〜阶集"，贝Ur<l

【考点】元素与集合关系的判断；命题的真假判断与应用.

【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解.

【答案】ABC

【分析】根据〜阶集”的定义，逐项进行判定即可.

【解答】解：对于A,若M={3y）|y=|}是、阶集”，贝出=2，所以p=l,

因为f>0,所以f=l,故A正确；

对于8,若〃={（尤，y）|y=2x}是“/阶集"，贝U”=2女，贝卜为任意正实数，故8正确；

对于C,若M={（x,y）|/W4y}是、阶集"，则Gx）2<4/y,由f>0得出

当0<fWl时，比2W/W4y,所以比2W4y,当r>l时，取尤=1,y=0.25,满足了W4y,

但是扇=7>l=4y,所以为使4y成立时，笈2/4»正实数f的取值范围是1,故C是正确;

对于D,若M={（%,y）|y>«}是at阶集"，则ty>s/tx,

当t=/，y=4,x=3时，="=亨=等■>S，故tyN/反不成立，故。错误•

故选：ABC.

【点评】本题是新定义题型，通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新

的问题情景，是中档题.

（多选）12.（2024秋•济源期末）下列关系中，正确的是（）

3

A.OCNB.{0}£{0,1}C.-EQD.0a{0}

【考点】判断两个集合的包含关系；判断元素与集合的属于关系.

【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解.

【答案】CD

【分析】由元素与集合间的关系可判断AC,由集合间的包含关系可判断3D

【解答】解：对于A,由元素与集合之间的关系可得06N,故A错误；

对于8,由集合间的包含关系可得{0}a{0,1},故2错误；

3

对于C,由元素与集合之间的关系可得5eQ,故c正确；

对于。，因为空集是任何集合的子集，所以0U{0},故。正确.

故选：CD.

【点评】本题主要考查了元素与集合间的关系，考查了集合间的包含关系，属于基础题.

三.填空题（共4小题）

13.（2025•嘉定区二模）已知集合4={尤|-l<xW3},集合8={尤|lWx<4},则AC8={x|lWxW3}.

【考点】求集合的交集.

【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解.

【答案】{尤IKW3}.

【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解.

【解答】解：集合A={尤[-1<XW3},集合2={尤|1W尤<4},

则ACB={x[l<xW3}.

故答案为：{x|lWxW3}.

【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

14.（2025•江西模拟）已知集合4={1,3,4,5},U={\,2,3,19},集合2的子集8={ai,ai,

。3,a4,as）,若对于任意的lWi<jW5,i,jEZ,都有|0-@|CA,贝!J符合条件的集合B的个数为30.

【考点】子集的个数.

【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；运算求解.

【答案】30.

【分析】根据题意，设bk=ak+「ak,即可得到8中元素由m=2和有序数组（加，历，左，左）决定，

然后分类讨论即可得到bl,62,加，64中有2个2,分别计算其对应的情况数，然后相加，即可得到结

果.

【解答】解：不妨设。1<及<。3<“4<415,再设以=四+1-或，k—1,2,3,4,

则2中元素由和有序数组（bi,历，历，64）决定.

61+62+63+64=05-aiW19-1=18,6建{1,3,4,5）,且（加,bi,63,64）中任意相邻几个之和也不

属于{1,3,4,5},

否则会出现aj-aiEA,

若加，bi,b3,64中没有2或只有1个2,则一定有加+历+63+匕4>18,不符合题意.

若61,bi,bi,ZM中有3个2或4个2,不满足（儿，历，加，N）中任意相邻几个之和也不属于{1,3,

4,5},

所以加,bi,bi,64中有2个2.

考虑(bi,bi,63,64)的排列情况和ax的取值情况:

若61,历，b3,64由2,2,6,6组成，则8的个数为3X3=9；

若加，bi,fa,64由2,2,6,7组成,则B的个数为6X2=12；

若61,历，b3,64由2,2,6,8组成，则8的个数为6X1=6；

若加，历，b3,64由2,2,7,7组成，则8的个数为3X1=3.

故符合条件的集合B的个数为9+12+6+3=30.

【点评】本题考查集合新定义，对于集合新定义，首先要了解集合的特性，包括抽象特性和计算特性,

抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析，计算特性是将复杂的关系通过找规律利用已学相关

知识求解，是中档题.

15.（2025•上海校级模拟）已知集合4=[-1,1],B=（0,3）,则AAB=（0,1].

【考点】求集合的交集.

【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解.

【答案】（0,1].

【分析】利用交集的定义可得出集合AC8.

【解答】解：由集合A=[-l,1],B=(0,3),

得ACB=[-1,1]A(0,3)=(0,1].

故答案为：(0,1].

【点评】本题考查交集及其运算，是基础题.

16.(2025•衡水模拟)设集合A={a,b},B={2a,2a2},若A=B,则ab=5.

【考点】集合的相等.

【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解.

【答案】

【分析】根据给定条件，利用集合元素的特性及集合相等求出a,b.

【解答]解：B={2a,2a2}中，2a^2a2,则aWO且

而4={0,b],A=B,?=2a2,解得＞=],)

5=2a乙

所以ab=.

故答案为：j.

【点评】本题主要考查了集合相等条件的应用，属于基础题.

四.解答题(共4小题)

17.(2025春•湖南月考)对非空整数集合M及依N,定义M㊉2{〃计胸CM,f=-左，-k+1,…，k],对

于非空整数集合A,B,定义d(A,B)=min{k&i\AQB@k,BQA®k].

注：机/{左㊉左，8UA㊉口是指满足AC8㊉4且8UA㊉上的最小自然数左.

(1)设加={3,5,7},请直接写出集合加㊉1；

(2)设4={1,2,3,80},d(A,B)=1,求出非空整数集合B的元素个数的最小值；

(3)对三个非空整数集合A,B,C,若d(A,B)=3且d(B,C)=1,求d(A,C)的所有可能取

值.

【考点】元素与集合的属于关系的应用.

【专题】综合题；集合思想；综合法；集合；数学建模；新定义类.

【答案】⑴{2,3,4,5,6,7,8)；

(2)27；

(3)2或3或4.

【分析】(1)设/={3,5,7),结合题设定义直接写出集合Ml；

(2)设B有因个元素,由B={2,5,8,77,80},则㊉0=8,证得加=27,再假设|B|

=jW26得到矛盾，则有出|=/醒27,即可得；

(3)先证(M㊉左)©/CM©(4+1),如d(A,B)=p,d(B,C)=q,d(A,C)=r,结合结论得

d(A,C)=rWd(A,B)+d(B,C)=p+q,进而有d(A,C)e{2,3,4},注意验证.

【解答】解：(1)若〃={3,5,7},则由集合新定义可知〃㊉1={2,3,4}U{4,5,6}U{6,7,8)

={2,3,4,5,6,7,8).

(2)设8有网个元素，下证出|小加=27.

一方面.2={2,5,8,■,77,80},则㊉0=2,所以d(A,B)#0,即d(A,B)

而8UA㊉1={0,1,2,3,4,81},AU2㊉1={1,2,3,4,81},这表明了d(A,B)=1满

足题意，

此时网=点，+1=27,故讥=27；

根据题目：对非空整数集合M及在N,定义M㊉2{m+加€跖尸-左,-k+1,■;k},

对于非空整数集合A,B,定义d(A,B)=机沅伏CNIAU8㊉A,BQA®k].

另一方面：若因=jW26,不妨设B={61,bi,勿}且加＜历＜?”＜何，

由题意可知AUB㊉1={61T,bi,Z?i+1}U{bi-1,bi,&2+1}U-U{bj-1,bj,bj+1],

而8㊉1最多含有3/W78个元素，当且仅当{"-1,bk,4+1}(AWkWj)两两不同且因=/=26时，等

号成立，

但这与A有80个元素矛盾，

所以|B|=/227.

综上所述：非空整数集合B的元素个数的最小值是27.

(3)一方面：先来证明(M㊉左)©/£M©(k+l),

M®k={m+t\mEM,t=-k,-k+\,k]={nEZ\3mEM,\n-,

因此只要M1UM2,就有Ml㊉AU/2㊉七

而VxC㊉％)©/,3p&M®k,|x-p|W/,

所以三/neM*|p-m\^k.

所以|x-加|=|尤-p+p--p|+|p-:川W/+Z,即WxCM㊉(％+/),从而(M㊉％)㊉/UM㊉(k+D.

另一方面，如果d(A,B)—p,d(B,C)—q,d(A,C)—r,

那么AU8㊉p,BQC®q,B®pQ(C®^)㊉仄C㊉(p+q),

从而AUC㊉(p+q),同理CUA㊉(p+q),

因此由定义可得d(A,C)=rWd(A,B)+d(B,C)=p+g,即d满足距离的三角不等式；

所以d(A,C)Wd(A,B)+d(B,C)=3+1=4,d(A,C)(A,B)-d(B,C)=3-1=2,

即d(A,C)e{2,3,4},

取4={0},B={3},C={2},可知d(A,C)=2可能成立，

取4={0},B={3},C={2,3},可知d(A,C)=3可能成立，

取4={0},B={3},C={4},可知d(A,C)=4可能成立.

综上所述，d(A,C)所有可能取值为2或3或4.

【点评】本题考查元素与集合的属于关系的应用，属于中等题，

18.(2024秋•郴州期末)已知集合5={力加-1WXW2："+1},T={x*W4}.

(1)若SUT,求实数相的取值范围；

(2)若SCT=0,求实数机的取值范围.

【考点】集合的包含关系的应用；集合交集关系的应用.

【专题】分类讨论；定义法；集合；运算求解.

1

【答案】(1){加机V-2或—1<m<2)；

(2){m\m>3或znV—]}.

【分析】(1)分5=0和SW0两种情况，得到不等式，求出实数机的取值范围;

(2)分S=0和SW0,得到不等式，求出答案.

【解答】解：(1)集合S={x|zn-lWxW2m+l},T={4?W4}={x|-2WxW2},

SET,

当S=0时，m-l>2m+l,解得加V-2,

m—1<2m+1

当SW0时，m-1>-2,解得一1<zn<

2m4-1<2

m的取值范围为{利mV-2或—1<m<2};

(2)SGT=0,

当S=0时，m-l>2m+l,解得znV-2,

m—1<2m+1rm—1<2m+1

当SW0时,2m+l<-2或izn-l〉2

2

解得-24mV-；或相＞3,

m的取值范围为{加相>3或mV—升

【点评】本题考查集合间关系的应用，属于中档题.

19.(2024秋•张家港市校级期末)设集合4={xEM\2<2X<16},B={x|三|〈0}.

(1)若M=N,AC1B；

(2)若M=R,AUB,AH(CRB).

【考点】集合的交并补混合运算.

【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解.

【答案】(1)ACB={3,4}；

(2)AUB={x|l«5},AA(CRB)={X|KW2}.

【分析】(1)解不等式求得集合A,B,由此求得AA8.

(2)根据并集、补集、交集的知识求得正确答案.

【解答】解：(1)2^2X^16=24,所以1WXW4,所以A={尤6M1WXW4}.

x—2

——<0<=>(%-2)(%-5)<0,解得2VxV5,所以5={%[2<x<5}.

x—5

若M=N,则4={1,2,3,4},所以ACB={3,4}.

(2)CRB={X|XW2或x25},

若M=R,则4={x|lWxW4},

所以AC(CRB)={X|1WXW2},AU8={X[1WX<5}.

【点评】本题主要考查集合的混合运算，属于基础题.

20.(2025•芙蓉区校级模拟)已知集合。={加?=2〃+2"-3,租,n£N},实数6满足廿-6+le{l,3,b].

(1)若集合A={m,。2,。3},且m,及，。3是集合U中最小的三个元素，求集合A；

(2)在(1)的条件下，若实数6构成的集合为8,且集合C=AU8,若实数0,“EC,且关于x的方

程p/+2x+2q=0有实数解，请列出所有满足条件的有序数对(p,q).

【考点】求集合的并集.

【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解.

【答案】(1)A={-1,0,1}.

(2)(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(1,-1),(2,-1),(-1,0),(1,0),(2,0),(-1,

1),(-1,2).

【分析】(1)根据单调性得到最小的三个元素，得到答案；

(2)先求出B={0,-1,2},得到C={-1,0,1,2),分p=0和0力0,结合根的判别式得到满足

的条件，求出所有满足条件的有序数对.

【解答】解：(1)a=2m+2n-3,m,尤N随着优，”的增大而增大，

又根，“6N,故集合U中最小的三个元素依次为：

2°+2°-3=-1,2'+2°-3=0,21+21-3=1,

.*.A={-1,0,1}.

(2)b2-b+lE[l,3,b},

当6+1=1时，b=o或6=i,

当6=1时，与元素互异性矛盾，舍去，6=0满足要求；

当户-6+1=3时，》=-1或匕=2,两者均满足条件；

当户-6+1=6时，b=l(舍去)，

综上，B={0,-1,2),

C=AUB={-1,0,l}U(0,-1,2}={-1,0,1,2],

p,qeC,关于尤的方程为pf+2x+2q=0有实数解，

当p=0时，2x+2q=0,解得x=-q,满足要求，

:.q=-1,0,1,2均可，

满足条件的有序数对有(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),

_1

当pWO,需满足△=4-8pq20,即pqW2，

若q=-l,则p=l,2,满足条件的有序数对有(1,-1),(2,-1),

若4=0,则p=-l,1,2,满足条件的有序数对有(7,0),(1,0),(2,0),

若4=1,贝Up=-1,满足条件的有序数对有(-1,1),

若4=2,贝满足条件的有序数对有(-1,2),

综上，满足条件的有序数对有：

(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(1,-1),(2,-1),(-1,0),(1,0),(2,0),(-1,1),

(-1,2).

【点评】本题考查函数的单调性、元素的互异性、有序数对等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

考点卡片

1.元素与集合关系的判断

【知识点的认识】

1、元素与集合的关系：

一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集.元素一般用小写字母a,

b,c表示，集合一般用大写字母A,B,C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：aeA

或a^A.

2、集合中元素的特征：

(1)确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的.即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属

于这集合是确定的.要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的

总体是否能构成集合.

(2)互异性：集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的.这个

特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.

(3)无序性：集合于其中元素的排列顺序无关.这个特性通常被用来判断两个集合的关系.

【命题方向】

题型一：验证元素是否是集合的元素

典例1：已知集合己=｛杂=租2-“2,"丘Z]”求证：

(1)36A；

(2)偶数4k-2(垢Z)不属于A.

分析：(1)根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；

(2)用反证法，假设属于A,再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要

证的结论.

解答:解：(1)V3=22-I2,3GA；

(2)设4人-2eA,则存在相，nGZ,使4左-2=〃户-层=(m+n)(机-〃)成立，

1、当”2,〃同奇或同偶时，m-n,均为偶数，

/.(.tn-ri')(m+n)为4的倍数，与4%-2不是4的倍数矛盾.

2、当w—奇，一偶时，m-n,77?+”均为奇数，

(m-n)(.m+n)为奇数，与4左-2是偶数矛盾.

综上4k-2《上

点评：本题考查元素与集合关系的判断.分类讨论的思想.

题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数.

典例2：已知集合4={“+2,2/+.},若36A,求实数a的值.

分析：通过3是集合A的元素，直接利用。+2与2/+.=3,求出a的值，验证集合A中元素不重复即可.

解答：解：因为3S4,所以。+2=3或2/+。=3…（2分）

当a+2=3时，a=l,…（5分）

此时A={3,3},不合条件舍去，…（7分）

当2a2+a=3时，a=l（舍去）或a=-^,…（10分）

21

由a=—2，得2={］，3},成“…（12分）

故a=—楙…（14分）

点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力.

【解题方法点拨】

集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.

2.判断元素与集合的属于关系

【知识点的认识】

元素与集合的关系：

一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集.元素一般用小写字母a,b,

c表示，集合一般用大写字母A,B,C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：或

aiA.

【解题方法点拨】

明确集合定义：了解集合的定义及其包含的元素范围.验证条件：检查元素是否满足集合的定义条件.符

号表示：用e表示元素属于某集合，用《表示元素不属于某集合.

【命题方向】

验证元素是否是集合的元素

已知集合4={Xh=相2-层，mez,WGZ}.求证：

(1)3GA；

(2)偶数4*-2(kEZ)不属于A.

分析：(1)根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；

(2)用反证法，假设属于A,再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要

证的结论.

解答：解:(1)V3=22-I2,3GA；

(2)设4左-2eA,则存在/“，”CZ,使4k-2=〃户-后=(相+〃)3n-n)成立，

1、当相，w同奇或同偶时，相均为偶数，

；.(相-”)(/〃+〃)为4的倍数，与44-2不是4的倍数矛盾.

2、当加，“一奇，一偶时，m-n,〃z+w均为奇数，

Cm-n)(m+n)为奇数，与4左-2是偶数矛盾.

综上4余-254.

点评：本题考查元素与集合关系的判断.分类讨论的思想.

3.元素与集合的属于关系的应用

【知识点的认识】

元素与集合的关系：

一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集.元素一般用小写字母a,b,

c表示，集合一般用大写字母A,B,C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：或

【解题方法点拨】

集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.

【命题方向】

知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数.

已知集合4={。+2,2/+々},若36A,求实数a的值.

分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2/+0=3,求出。的值，验证集合A中元素不重复即可.

解答：解：因为364所以。+2=3或2/+。=3…(2分)

当a+2=3时，a—1,…(5分)

此时A={3,3},不合条件舍去，…（7分）

当2a2+（J=3时，a—1（舍去）或a=-楙，…（10分）

21

由a=-2，得力={々，3},成“…（12分）

故a=—|•…（14分）

点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力.

4.集合的相等

【知识点的认识】

（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合艮

（2）对集合A和集合8,如果集合A的任何一个元素都是集合3的元素，同时集合2的任何一个元素都

是集合A的元素，那么集合A等于集合8,记作A=8.就是如果AU8,同时那么就说这两个集合

相等，记作A=B.

（3）对于两个有限数集A=8,则这两个有限数集A、8中的元素全部相同，由此可推出如下性质：

①两个集合的元素个数相等；

②两个集合的元素之和相等；

③两个集合的元素之积相等.由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已.上述概念是判

断或证明两个集合相等的依据.

【解题方法点拨】

集合A与集合B相等，是指A的每一个元素都在B中，而且8中的每一个元素都在A中.解题时往

往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性.

【命题方向】

通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能

与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问.

5.集合的包含关系判断及应用

【知识点的认识】

概念：

1.如果集合A中的任意一个元素都是集合3的元素，那么集合A叫做集合B的子集；ACB；如果集合A

是集合8的子集，并且8中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合8的真子集，即Au&

2.如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合8的每一个元素也都是集合A的元素，那

么我们就说集合A等于集合2,即A=B.

【解题方法点拨】

1.按照子集包含元素个数从少到多排列.

2.注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素.

3.可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系.

4.有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法.

【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义

域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题.

6.判断两个集合的包含关系

【知识点的认识】

如果集合A中的任意一个元素都是集合8的元素，那么集合A叫做集合2的子集；Acs；如果集合A是

集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于4那么集合A叫做集合B的真子集，即Au&

【解题方法点拨】

1.按照子集包含元素个数从少到多排列.

2.注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素.

3.可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系.

4.有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法.

【命题方向】

通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系.

已知集合4={1,2,3,4},8={1,2,3},贝!]()

A.A>B

B.BEA

C.AQB

D.BQA

解：由题意可得，BQA.

故选：D.

7.集合的包含关系的应用

【知识点的认识】

如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；AQB,读作“A包含于

2"（或包含于A"）.

【解题方法点拨】

1.按照子集包含元素个数从少到多排列.

2.注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素.

3.可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系.

4.有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法.

【命题方向】

设机为实数，集合A={x|-3WxW2},B^{x\m^x^2m-1},满足BUA,则根的取值范围是.

解：：集合A={x|-3WxW2},1},且照A,

当机＞2加-1时，即机＜1时，8=0,符合题意；

当“后1时，可得仁3W：解得lwznj.

综上所述，m＜l，即机的取值范围是（一8,

故答案为：（一8,|].

8.子集的个数

【知识点的认识】

1、子集真子集定义：如果集合A&B,但存在元素抚8,且元素x不属于集合A,我们称集合A是集合8

的真子集.

也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，

而A中没有，且A是8的子集，则称A是8的真子集，

注：①空集是所有集合的子集；

②所有集合都是其本身的子集；

③空集是任何非空集合的真子集

2、一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有“个(〃不等于0)元素的集合而言，它

的子集就有2"个；真子集就有2〃-1.但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集.

【解题方法点拨】

公式计算：若一个集合有"个元素，则它的子集个数为2M.理解幕集：幕集是一个集合的所有子集组成

的集合.

【命题方向】

已知集合4={刃-1WX+1W6},当尤6Z时，求A的非空真子集的个数.

解：当时，A={x|-2WxW5}={-2,-1,0,1,2,3,4,5},共8个元素，

AA的非空真子集的个数为28-2=254个；

9.求集合的并集

【知识点的认识】

由所有属于集合A或属于集合8的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作AU8.

符号语言：AU8={RxeA或止8}.

AUB实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是8中的元素；③x是A且是8中的元素.

运算性质：

@AUB=BUA.②AU0=A.③AUM=A.@AUB2A,AUB2B.

【解题方法点拨】

定义并集：集合A和集合B的并集是所有属于A或属于B的元素组成的集合，记