2013高考数学试题及答案

2013高考数学试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,4\}\)，则\(A\capB=(\)\)A.\(\{1\}\)B.\(\{2\}\)C.\(\{3\}\)D.\(\{4\}\)2.函数\(y=\log_2x\)的定义域是（）A.\((0,+\infty)\)B.\([0,+\infty)\)C.\((-\infty,0)\)D.\((-\infty,0]\)3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-1,1)\)，则\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(\)\)A.\((0,3)\)B.\((2,1)\)C.\((1,3)\)D.\((0,1)\)4.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，则公差\(d=(\)\)A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)5.函数\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)6.已知\(x\gt0\)，则\(x+\frac{1}{x}\)的最小值是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)7.直线\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(-2\)B.\(-1\)C.\(1\)D.\(2\)8.圆\(x^2+y^2=4\)的圆心坐标是（）A.\((0,0)\)B.\((1,1)\)C.\((2,0)\)D.\((0,2)\)9.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，则\(\cos\alpha=(\)\)A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)10.从\(3\)名男生和\(2\)名女生中选\(2\)人参加活动，恰好选到\(1\)男\(1\)女的概率是（）A.\(\frac{3}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{1}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，是偶函数的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^3\)2.以下哪些是椭圆的标准方程形式（）A.\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）B.\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）C.\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)D.\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)3.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，则下列正确的有（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant4\)C.\(a^2+b^2\geqslant\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant\sqrt{2}\)4.下列命题正确的是（）A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.平行于同一个平面的两条直线平行C.垂直于同一个平面的两条直线平行D.若一条直线垂直一个平面，另一条直线平行该平面，则这两条直线垂直5.以下哪些是等比数列（）A.\(2,4,8,16,\cdots\)B.\(1,1,1,1,\cdots\)C.\(1,-1,1,-1,\cdots\)D.\(2,0,0,0,\cdots\)6.函数\(y=\tanx\)的性质有（）A.周期是\(\pi\)B.定义域是\(x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)C.是奇函数D.在\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)上单调递增7.关于直线\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同时为\(0\)），说法正确的是（）A.斜率\(k=-\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）B.在\(y\)轴上截距为\(-\frac{C}{B}\)（\(B\neq0\)）C.若\(A=0\)，直线平行于\(x\)轴D.若\(B=0\)，直线平行于\(y\)轴8.已知复数\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），则（）A.\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)B.\(z\)的共轭复数\(\overline{z}=a-bi\)C.\(z\cdot\overline{z}=a^2+b^2\)D.当\(a=0\)时，\(z\)是纯虚数9.下列函数在其定义域上单调递增的有（）A.\(y=2^x\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=x^3\)D.\(y=-x\)10.从\(1,2,3,4,5\)中任取\(3\)个不同的数组成三位数，这样的三位数（）A.有\(A_{5}^3=60\)个B.偶数有\(A_{2}^1A_{4}^2=24\)个C.能被\(3\)整除的有\(24\)个D.比\(300\)大的有\(A_{3}^1A_{4}^2=36\)个三、判断题（每题2分，共10题）1.空集是任何集合的子集。（）2.函数\(y=x^0\)的定义域是\(x\neq0\)。（）3.若\(a\gtb\)，则\(a^2\gtb^2\)。（）4.直线\(y=kx+b\)与\(y\)轴交点坐标为\((0,b)\)。（）5.正弦函数\(y=\sinx\)是奇函数。（）6.等差数列的前\(n\)项和公式为\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)。（）7.抛物线\(y^2=2px\)（\(p\gt0\)）的焦点坐标是\((\frac{p}{2},0)\)。（）8.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，则\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)。（）9.函数\(y=\cos2x\)的最小正周期是\(\pi\)。（）10.古典概型中每个基本事件发生的概率都相等。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数\(y=x^2-2x+3\)的对称轴和顶点坐标。答案：对于二次函数\(y=ax^2+bx+c\)，对称轴为\(x=-\frac{b}{2a}\)。此函数\(a=1\)，\(b=-2\)，对称轴\(x=1\)。把\(x=1\)代入得\(y=2\)，顶点坐标\((1,2)\)。2.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。答案：因为\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\frac{4}{5}\)，\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{3}{4}\)。3.求过点\((1,2)\)且斜率为\(3\)的直线方程。答案：由直线的点斜式方程\(y-y_1=k(x-x_1)\)（\(k\)为斜率，\((x_1,y_1)\)为直线上一点），可得\(y-2=3(x-1)\)，整理得\(3x-y-1=0\)。4.求等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，前\(10\)项的和\(S_{10}\)。答案：等差数列前\(n\)项和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，将\(n=10\)，\(a_1=1\)，\(d=2\)代入得\(S_{10}=10\times1+\frac{10\times9}{2}\times2=100\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上的单调性。答案：设\(0\ltx_1\ltx_2\)，则\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\)。因为\(0\ltx_1\ltx_2\)，所以\(x_2-x_1\gt0\)，\(x_1x_2\gt0\)，即\(f(x_1)-f(x_2)\gt0\)，\(f(x_1)\gtf(x_2)\)，所以\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上单调递减。2.探讨直线与圆的位置关系有哪些判断方法。答案：一是几何法，比较圆心到直线的距离\(d\)与圆半径\(r\)的大小，\(d\gtr\)时相离，\(d=r\)时相切，\(d\ltr\)时相交；二是代数法，联立直线与圆的方程得方程组，通过判断方程组解的个数，有两组解相交，一组解相切，无解相离。3.分析在解决概率问题时，如何区分古典概型和几何概型。答案：古典概型特点是试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个基本事件出现的可能性