2025年高考数学复习新题之排列与组合

2025年高考数学复习新题速递之排列与组合（2025年4月）

选择题（共8小题）

1.（2025春•深圳校级月考）用0,1,…，9十个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数为（）

A.652B.648C.504D.562

2.（2025春•金水区校级月考）高一某班一天上午有4节课，下午有3节课，现要安排该班一天中语文、

数学、英语、物理、化学、生物、地理7节课的课程表，要求生物课排在上午第四节，化学课排在下午，

数学与物理不相邻，则不同的排法种数共有（）种.

A.144B.256C.264D.288

3.（2025•重庆校级模拟）某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分

队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则

不同的分配方案有（）

A.72种B.36种C.24种D.18种

4.（2025•潮阳区校级模拟）“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚

书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称.为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五

经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（）

A.A^AlB.

C.以洛虺D.以用

5.（2025春•深圳校级月考）若&3=量，贝U谶8=（）

A.380B.190C.188D.240

6.（2025•湖北模拟）甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方

法有（）

A.720种B.1440种C.2880种D.4320种

7.（2025春•莱州市校级月考）已知C度2=。翼-4,则x的值是（)

1

A.2B.6C.一D.2或6

2

8.（2024秋•重庆校级期末）某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会

的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任

主持人，则不同的安排方法有（）种.

A.18B.24C.27D.64

多选题（共4小题）

（多选）9.（2025春•金水区校级月考）数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文

数是对称美的一种体现，它是按照从左到右与从右到左两种顺序读法都一样的正整数，如22,121,3443,

94249等.下列说法正确的是（）

A.末尾为1的五位回文数有100个

B.十位大于个位的六位回文数有360个

C.2n（MGN*）位回文数有10”个

D.2n+l（wEN*）位回文数有9X10〃个

（多选）10.（2025春•荔湾区校级月考）将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的

盒子中（）

A.有240种放法

B.每盒至多一球，有24种放法

C.恰有一个空盒，有144种放法

D.把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有12种放法

（多选）11.（2025春•南京月考）五一假期即将来临，小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南

京的著名景点“夫子庙”、“中山陵”、“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的

有（）

A.所有可能的方法有125种

B.若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有81种

C.若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种

D.若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有114种

（多选）12.（2025春•莱州市校级月考）下列问题是组合问题的是（）

A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？

B.平面上有2020个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？

C.集合｛m,ai,。3,…，a”｝的含有四个元素的子集有多少个？

D.从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？

三.填空题（共4小题）

13.（2025•海南模拟）将标号为1〜10的10个小球装入两个不同的盒子，使得每个盒子都有球，有

种不同的装法；当两个盒子的球数相等时，从两个盒子中不放回地各取一球，记下两球球号之积，重复

上述操作，直至取完，则所有积之和的最小值为.

14.（2025春•历城区校级月考）已知直线方程Ax+2y=0,若从0、1、2、3、5、7这六个数中每次取两个

不同的数分别作为A、8的值，贝I4v+By=0可表示条不同的直线.

15.(2025春•上海校级月考)甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名(没

有并列名次).甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，

你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为.

16.(2025春•集美区校级月考)若C七=C^+iQeN*),则x=.

四.解答题(共4小题)

17.(2025春•金水区校级月考)某次学校文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节

目，2个小品节目，需要制作节目单：(1)若3个舞蹈节目相邻，且不排开头和结尾，则有多少种不同

的排法？

(2)若2个唱歌节目相邻，3个舞蹈节目也相邻，且两个小品节目不相邻，则有多少种不同的排法？

(3)由于同学们参与积极，需要在确定好的节目单上新增两个节目：一个诗歌朗诵和一个快板节目，

但是不能改变原来节目的相对顺序，共有多少种不同的排法？

18.(2025春•鼓楼区校级月考)求解下列问题：

(2)求证：X™=nA^~^(n>m>2)；

(3)解关于尤的不等式：维V6缁V.

19.(2025春•广州校级月考)某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种

商品中选取3种.

(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？

(2)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？

(3)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？

20.(2025春•历城区校级月考)有0,1,2,3四个数字，

(I)可以组成多少个四位数？

(II)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？

(III)若将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，则第10个四位数是多少？

2025年高考数学复习新题速递之排列与组合（2025年4月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案BCBDBBDA

二.多选题（共4小题）

题号9101112

答案ABDBCDBCDABC

一.选择题（共8小题）

1.（2025春•深圳校级月考）用0,1,…，9十个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数为（）

A.652B.648C.504D.562

【考点】简单排列问题.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】B

【分析】应用乘法原理计算求解.

【解答】解：先取百位数有9种情况，再取十位数有9种情况，

最后个位数字有8种情况.

所以可以组成无重复数字的三位数的个数为9X9X8=648.

故选：B.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

2.（2025春•金水区校级月考）高一某班一天上午有4节课，下午有3节课，现要安排该班一天中语文、

数学、英语、物理、化学、生物、地理7节课的课程表，要求生物课排在上午第四节，化学课排在下午,

数学与物理不相邻，则不同的排法种数共有（）种.

A.144B.256C.264D.288

【考点】部分元素不相邻的排列问题.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】C

【分析】根据要求，生物固定在上午第四节，化学固定在下午，数学和物理不相邻，则可分成数学和物

理都排在上午或下午、数学和物理一个在上午一个在下午，四种情况，结合排列和组合分类求解即可.

【解答】解：若数学和物理都排在下午，则有“鹿=12种；

若数学和物理都排在上午，则有盘彩“=36种；

若数学排在上午，物理排在下午，则有以心蜀=108种；

若数学排在下午，物理排在上午，则有戏题胆=108种.

综上，不同的排法共有36+12+108+108=264种.

故选：C.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

3.（2025•重庆校级模拟）某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分

队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则

不同的分配方案有（）

A.72种B.36种C.24种D.18种

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】B

【分析】先分配语文老师，再把数学体育老师按1，2和2,1分配，或2,1和1,2分配即可求解；

【解答】解：学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，

平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，

两名语文老师由小种分配方程；

数学老师按1,2分，则体育老师按2,1分，

或数学老师按2,1分，则体育老师按1,2分，共有废量+或盘=18,

所以不同的分配方案有2X18=36.

故选：B.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

4.（2025•潮阳区校级模拟）“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚

书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称.为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五

经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（）

A.A^AlB.玛用

C.4心&D.4房

【考点】部分元素不相邻的排列问题.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】D

【分析】采用插空法排列，先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次讲座，再将《大

学》《论语》《周易》这3次讲座插空，根据分步乘法计数原理，可得答案.

【解答】解：先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次经典名著的讲座，

共有犬种排法；

再从7个空位中选3个，排《大学》《论语》《周易》这3次讲座，有用种排法，

故总共有服第种排法.

故选：D.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属中档题.

5.（2025春•深圳校级月考）若禺3=或，贝|禺8=（）

A.380B.190C.188D.240

【考点】组合及组合数公式.

【专题】转化思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】B

【分析】利用组合数的性质求出n,再求出答案.

【解答】解：由题意，"=20,

贝=c荒=废0=2鼠;9=190.

故选：B.

【点评】本题考查组合数的计算，属于基础题.

6.（2025•湖北模拟）甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方

法有（）

A.720种B.1440种C.2880种D.4320种

【考点】部分元素不相邻的排列问题.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】B

【分析】依题意环排问题转换为线排问题，再根据插空法求解.

【解答】解：环排问题线排策略，增加一个凳子，

九个凳子排一排，甲放一号和九号，中间剩余七个位置可选，再将其他五人放入中间有星=120种，

因为甲、乙、丙两两不相邻，

所以乙、丙只能放中间四空中共有题=12种，

由分步计数原理可得不同的排列方法有120X12=1440种.

故选：B.

【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于中档题.

7.（2025春•莱州市校级月考）已知C发2=。咨-4,则x的值是（）

1

A.2B.6C.-D.2或6

2

【考点】组合及组合数公式.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】D

【分析】根据题意，由组合数公式的性质可得x-2=2x-4或（尤-2）+（2尤-4）=12,解可得答案.

【解答】解：根据题意，若C右2=c般T,则x-2=2尤-4或（x-2）+（2%-4）=12,

解可得尤=2或x=6,

故选：D.

【点评】本题考查组合数公式的计算，注意组合数公式的形式，属于基础题.

8.（2024秋•重庆校级期末）某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会

的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，己知甲同学不能担任

主持人，则不同的安排方法有（）种.

A.18B.24C.27D.64

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】A

【分析】应用分类分步计数原理及排列组合数求不同的安排方法数.

【解答】解：从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和

秩序员，

每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，

若甲被选出，从其它3位同学选2位有方=3种，

将甲安排为记分员或秩序员有废=2种，另2人作全排有掰=2种，

所以共有3X2X2=12种；

若甲不被选出，只需将选出的3人作全排列有“=6种，

综上,共有12+6=18种.

故选：A.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2025春•金水区校级月考）数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文

数是对称美的一种体现，它是按照从左到右与从右到左两种顺序读法都一样的正整数，如22,121,3443,

94249等.下列说法正确的是（）

A.末尾为1的五位回文数有100个

B.十位大于个位的六位回文数有360个

C.2n（/iGN*）位回文数有10”个

D.2«+1（w£N*）位回文数有9X10〃个

【考点】部分位置的元素有限制的排列问题.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】ABD

【分析】根据回文数的定义，结合排列组合即可求解A8；再用分步计数原理分析2w5CN*）和2n+l

（"CN*）位回文数的数目，即可判断CD

【解答】解：已知回文数是对称美的一种体现，它是按照从左到右与从右到左两种顺序读法都一样的正

整数，

对于4末尾为1的五位回文数，则首位也是1,此时第二位和倒数第二位数字有10种选法，第三位

有10种选法，故总的个数为10义10=100个，A正确；

对于，十位大于个位，有窃种方法，此时第一位和第二位的数字被确定，第三四位的数字相同，故有

10种选择，因此符合条件的六位回文数番x10=360,有360个，8正确；

对于C,对于2n位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，

第九和第〃+1位也有10种,则共有9X10X10X.......X10=9X第"1种选法,故C错；

对于D,对于2n+l位回文数，首位和个位数字有9种选法,第二位和倒数第二位数字有10种选法,……，

第n+\个数字，即最中间的数字有10种选法，

则共有9X10X10X......X10=9X10"种选法,即2/1（w6N*）位回文数有9X10〃个，所以。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

（多选）10.（2025春•荔湾区校级月考）将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的

盒子中（）

A.有240种放法

B.每盒至多一球，有24种放法

C.恰有一个空盒，有144种放法

D.把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有12种放法

【考点】部分位置的元素有限制的排列问题.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】BCD

【分析】对于A，根据分步乘法原理分析求解，对于2,由题意可知每盒恰好一个球，相当于对4个球

进行全排列，对于C,先选出一个空盒，然后将4个球分成3份放入剩下的3个盒子即可，对于方

先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个.

【解答】解：对于A,每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，

共有4X4X4X4=44=256种放法，所以A错误；

对于8,由题意可知每盒恰好一个球，所以共有用=24（种）放法，所以8正确；

对于C,先选出一个空盒，然后将4个球分成3份放入剩下的3个盒子，所以共有4盘a=144（种）

放法，所以C正确；

对于D先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放

一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，

故共有盘废=12（种）放法，所以。正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

（多选）11.（2025春•南京月考）五一假期即将来临，小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南

京的著名景点“夫子庙”、“中山陵”、“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的

有（）

A.所有可能的方法有125种

B.若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有81种

C.若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种

D.若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有114种

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】BCD

【分析】对于AB：根据分步乘法计数原理分析判断；

对于C：利用间接法，讨论这5人去的景点个数，结合组合数运算求解；

对于D利用间接法，讨论这个景点去的人数，结合排列数、组合数运算求解.

【解答】解：小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南京的著名景点“夫子庙”、“中山陵”、

“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，

对于选项A：因为每个人均有3个景点可以选择，

所以所有可能的方法有35=243种，故A错误；

对于选项3：若小张同学必须去“夫子庙”，即小张的选择已经确定，不需要考虑，

所以不同的安排方法有34=81种，故B正确；

对于选项C：若5个人都去一个景点，不同的安排方法有废=3种；

若5个人都去其中2个景点（每个景点必须有同学去），不同的安排方法有废（25-6）=90种；

所以若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有243-（3+90）=150种，故C正确；

对于选项。若每个景点必须有同学去，且小张和小李去同一个景点，则有：

若这个景点仅有2人去，不同的安排方法有方•“=18种；

若这个景点有3人去，不同的安排方法有废•是=18种；

所以若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有150-18-18=114

种，故。正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

（多选）12.（2025春•莱州市校级月考）下列问题是组合问题的是（）

A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？

B.平面上有2020个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？

C.集合｛（21,。2,。3,…，的含有四个元素的子集有多少个？

D.从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？

【考点】组合及组合数公式.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】ABC

【分析】根据排列组合相关定义可解.

【解答】解：对于A,10个朋友聚会，每两人握手一次，与顺序无关，则为组合问题；

对于8,平面上有2020个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点，与顺序无关，则为组合

问题；

对于C,集合｛小，及，。3,…，Z｝的含有四个元素的子集，与顺序无关，则为组合问题；

对于D,从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，与顺序有

关，则为排列问题.

故选：ABC.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于基础题.

三.填空题（共4小题）

13.（2025•海南模拟）将标号为1〜10的10个小球装入两个不同的盒子，使得每个盒子都有球，有1022

种不同的装法；当两个盒子的球数相等时，从两个盒子中不放回地各取一球，记下两球球号之积，重复

上述操作，直至取完，则所有积之和的最小值为no.

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；运算求解.

【答案】1022；110.

【分析】对于第一空：有分步计数原理计算10个小球放入两个盒子的放法，排除其中有空盒的情况，

即可得答案；

对于第二空：设第一个盒子里5个球的标号为。1、。2、。3、。4、05,第二个盒子里5个球的标号为61、

bl＞63、匕4、加，且41＜。2＜＜。4＜45,bl＜匕2＜63＜方4＜加，结合排序不等式分析可得

0165+4264+4363+0462+4561最小，进而分析可得答案.

【解答】解：根据题意，标号为1〜10的10个小球装入两个不同的盒子，

每个球有2种放法，则有21°=1024放法，

其中有1个空盒的放法有2种，

若使得每个盒子都有球，有1024-2=1022种不同的装法；

当两个盒子的球数相等时，则每个盒子里都是5个球，

设第一个盒子里5个球的标号为。1、。2、。3、04、as,第二个盒子里5个球的标号为加、历、匕3、64、

加，

且61＜62＜63＜人4＜加，

由排序不等式，反序和最小，即。165+。264+4363+。462+。561最小,

故当两个盒子的小球标号分别为1、3、5、7、9和2、4、6、8、10时，

所有积之和最小，其最小值为1X10+3X8+5X6+7X4+9X2=110.

故答案为:1022；110.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及不等式的性质，属于基础题.

14.（2025春•历城区校级月考）已知直线方程Av+By=0,若从0、1、2、3、5、7这六个数中每次取两个

不同的数分别作为A、B的值，则Ax+2y=0可表示22条不同的直线.

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】22.

【分析】根据分类加法计数原理，分情况计算可得答案.

【解答】解：当A=0时，可表示1条直线；当2=0时，可表示1条直线；

当A8W0时，A有5种选法，8有4种选法，可表示5义4=20条不同的直线.

由分类加法计数原理，知共可表示1+1+20=22条不同的直线.

故答案为：22.

【点评】本题考查分类加法计数原理，属于中档题.

15.（2025春•上海校级月考）甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没

有并列名次）.甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，

你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为8.

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】8.

【分析】由题意可得丙不是第1名，甲、乙相邻，先排丙，再排甲乙和丁即可.

【解答】解：当丙是第2名时，甲、乙只能是第3,4名，丁为第1名，此时共有2种情况，

当丙是第4名时，甲、乙有可能是第1,2名或2,3名，

当丙为第3名时，甲、乙是第1,2名时，丁为第4名，此时共有2种情况，

若甲、乙是第1,2名时，丁为第3名，此时共有2种情况，

若甲、乙是第2,3名时，丁为第1名，此时共有2种情况，

综上所述：4人的名次排列情况种数为2+2+2+2=8种情况.

故答案为：8.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

16.(2025春•集美区校级月考)若C备=C修+】QeN*),贝Ux=5.

【考点】组合及组合数公式.

【专题】方程思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】5.

【分析】根据组合数的性质来求解无的值.

【解答】解：由题意可得，尤=2无+1或x+(2x+l)=16.

当x=2尤+1时，解得x=-1,舍去；

当x+(2x+l)=16时，解得尤=5,贝=C也成立，也满足无CN*的条件.

故答案为：5.

【点评】本题考查组合数的性质，属于基础题.

四.解答题(共4小题)

17.(2025春•金水区校级月考)某次学校文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节

目，2个小品节目，需要制作节目单：(1)若3个舞蹈节目相邻，且不排开头和结尾，则有多少种不同

的排法？

(2)若2个唱歌节目相邻，3个舞蹈节目也相邻，且两个小品节目不相邻，则有多少种不同的排法？

(3)由于同学们参与积极，需要在确定好的节目单上新增两个节目：一个诗歌朗诵和一个快板节目，

但是不能改变原来节目的相对顺序，共有多少种不同的排法？

【考点】部分元素不相邻的排列问题.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】⑴432；

(2)144；

(3)72.

【分析】(1)利用捆绑法和特殊元素优先法即可求解；

(2)利用捆绑法和插空法即可求解；

(3)利用插空法和分类加法计数原理即可求解.

【解答】解：学校文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，

(1)将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有蜀=6种排法.

再将剩下4个节目全排列,有用=24种排法.

最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中，

有3种排法，故共有3“4=432种排法；

(2)将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有2质段=24种排法.

再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有掰种排法.

则共有2“抬掰=144种排法.

(3)将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中.

若两个节目不放入同一个空，有掰=56种排法，

若两个节目放入同一个空，有8町=16种排法，

故共有16+56=72种排法.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

18.(2025春•鼓楼区校级月考)求解下列问题：

(2)求证：A1^=nA^~^(n>m>2)；

(3)解关于x的不等式：维V6线V.

【考点】排列及排列数公式.

【专题】转化思想；转化法；排列组合；运算求解.

【答案】(1)1；

(2)证明见解析；

(3){8}.

【分析】(1)(2)(3)应用排列数公式化简求值、证明恒等关系及解不等式;

2A5+7艰2X8X7X6X5X4+7X8X7X6X58+7

【解答】解:1；

源-延8X7X6X5X4X3X2X1-9X8X7X6X5-24-9-

(2)证明：知=遥可=n.笄蒜=点.@拿常_1力!=n*】，(介22).

(3)线V6缁-2,

解得2WxW8,

由隽V6猫V,

8!8!6

得------<6X-------，即1V~3~~

(8-x)!(10-x)!7(717。s一无)(79s一%)

整理得/-19x+84<0,解得7<xW8,

又xeN*,得x=8,

所以维V64/2的解集为{8}.

【点评】本题主要考查排列数公式，属于基础题.

19.(2025春•广州校级月考)某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种

商品中选取3种.

(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？

(2)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？

(3)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】(1)561种；

(2)2100种；

(3)2555.

【分析】(1)问题等价于34种商品选择2种，即可求解；

(2)由20种真选1,15种假选2,再由乘法原理即可求解；

(3)分2假1真，或3假结合加法原理即可求解.

【解答】解：某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3

种，

(1)从余下的34种商品中，选取2种有第4=561(种)取法，

某一种假货必须在内的不同取法有561种.

(2)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有GoC/s=2100(种)取法.

恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.

(3)恰好2种假货有废0叱5种选法，恰好3种假货有田5种选法，

因此，选取方式共有废oCK+底5=2100+455=2555(种).

,至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

20.(2025春•历城区校级月考)有0,1,2,3四个数字，

(I)可以组成多少个四位数？

(II)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？

(III)若将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，则第10个四位数是多少？

【考点】部分位置的元素有限制的排列问题.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】(I)192；

(II)10；

(III)2130.

【分析】(I)结合分步乘法计数原理求解；

(II)结合分类加法计数原理及分步乘法计数求解；

(III)结合分类加法计数原理求解.

【解答】解：(I)由0,1,2,3四个数字，

可以组成废盘盘盘=192个四位数；

(II)由0,1,2,3四个数字，

可以组成蜀+废鹿=10个无重复数字的四位偶数；

(III)若将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，

则千位上数字为1时，有“=6个无重复数字的四位数，

当千位上数字为2时，将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，前4个数分别为2013,

2031,2103,2130,

则第10个四位数是2130.

【点评】本题考查了分类加法计数原理，重点考查了分步乘法计数原理，属基础题.

考点卡片

1.排列及排列数公式

【知识点的认识】

1.定义

(1)排列：一般地，从“个不同的元素中任取相(mWn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从“

个不同元素中取出m个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素)

(2)排列数：从“个不同的元素中取出相(根W-)个元素的所有排列的个数，叫做从“个不同元素中取

出小个元素的排列数，用符号表示.

2.相关定义：

(1)全排列：一般地，〃个不同元素全部取出的一个排列，叫做〃个不同元素的一个全排列.

(2)〃的阶乘：正整数由1到九的连乘积，叫做〃的阶乘，用m表示.(规定0!=1)

3.排列数公式

(1)排列计算公式：XJp=n(n—l)(n—2)­••(n-m+1)=机，〃eN+,且加Ww.

(2)全排列公式：=??,(?!-1)•(«-2)........3*2*l=n!.

2.简单排列问题

【知识点的认识】

-简单排列问题通常涉及无任何限制条件的排列情况.〃个不同元素的全排列总数为力北=n!.

-该类问题通常是排列问题的基础，强调对基本排列公式的理解与应用.

【解题方法点拨】

-直接应用排列公式进行计算.对于全排列问题，计算阶乘即可得到排列数.

-在计算过程中，注意排列数中的阶乘表示法，并理解排列的意义.

-对于涉及排列的实际问题，可以通过具体化问题，将其转化为排列数计算.

【命题方向】

-基本排列问题的命题常见于简单元素排列的计算，如全排列数的求解、特定位置的排列数计算.

-可能涉及对排列数公式的直接应用，以及对排列问题的基础性理解与操作.

3.部分位置的元素有限制的排列问题

【知识点的认识】

-部分位置的元素排列受限是指在排列问题中，某些元素只能出现在