2025年高考数学复习新题之相等关系与不等关系

2025年高考数学复习新题速递之相等关系与不等关系（2025年4月）

选择题（共8小题）

1.（2025•潮阳区校级模拟）设集合P={x|log”<2},Q={x|/-2x-3<0},那么尸CQ=（）

A.[x\-l<x<3}B.{x|0<x<3}C.{x\-3<x<l}D.{x|0<x<l}

2.（2025•临汾二模）若3&W5,-2W6W1,则2a-b的范围是（）

A.[8,9]B.[4,8]C.[5,8]D.[5,12]

3.（2025•昌黎县校级模拟）若集合{尤|-1<尤<1},N={x|^2<0},则MCN等于（）

A.[x\-l<x<2]B.{x|0Wx<l}C.{x|0<x<l}D.{x\-l<x<0}

4.（2025•金凤区校级一模）己知尤>1,则y=x+3取得最小值时尤的值为（）

Jx—1

A.3B.2C.4D.5

5.（2025•跳北区校级一模）若。>1,贝U4a+吉的最小值为（）

d—L

A.4B.6C.8D.无最小值

6.（2025•玉溪二模）已知x>0,x2-2xy+z2=0,x>0,x2-2xy+z2=0,/〈yz,则（）

A.y>z>xB.x>y>zC.y>x>zD.z>x>y

7.（2025春•西安校级月考）已知集合A={X|/-X-2V0},B={X|3X-1>0）,则AU8=（）

A.（-8,o）B.（0,2）C.（-1,+8）D.（-1,2）

8.（2025•开封二模）设a,Z?€R,则〃〈人的一个充分不必要条件是（）

11

A.->-B.。2+户>2仍c.eba>lD.In（b-a）>0

ab

二.多选题（共4小题）

（多选）9.（2025•山西模拟）设c<d,则（）

A.a-c>b-dB.ad>bc

C.ad+bc>ac+bdD.«2+J2>Z?2+c2

（多选）10.（2025•重庆校级模拟）已知x,y均为正数，且x+4y=孙，则下列选项正确的有（）

A.孙216B.4x+yN25

11

C.——+——>1D.%+y210

x-4y-1

（多选）11.（2024秋•海南校级期末）下列说法错误的是（）

A.函数/（x+1）的定义域为［-2,2）,则函数/（无）的定义域为［-1,3）

B.函数y=；；；0>-1)的最小值为3

2

C./(%)="和g(x)=冗表示同一个函数

D.y=cos(岑-％)是奇函数且最小正周期是IT

(多选)12.(2024秋•驻马店期末)已知曲线>=〃一1+1(〃>0且过定点。且Q的坐标满足方

程小+〃y-l=0(m>0,n>0),贝!j()

1

A.mn的最大值为&

B.渥+4后的最小值为一

4

1Tn

C.一+一的最小值为1+2应

mn

1425

D.--+—7的取小值为T

2mn+16

三.填空题(共4小题)

_12

13.(2025•临潼区二模)若点A(2,1)在直线Z：mx+ny=\上，且mn>0,则一+一的最小值为.

mn

x—2

14.(2025•浦东新区模拟)已知xCR,不等式一<0的解为.

x

15.(2025春•海淀区校级月考)能说明“若a+b>2,则lga+lgb>Q”是假命题的一组正实数a,b的值

是.

16.(2025•吴忠模拟)不等式log2(-x)<x+l的解集为.

四.解答题(共4小题)

17.(2024秋•南宁期末)(1)比较3/-X+1与2/+x-1的大小;

(2)已知尤>3,求y=x+的最小值，并求取到最小值时x的值.

4

18.(2025•岭帽区校级开学)已知集合/={制口<一1},B={x\(%-a)[(a+1))]W0,xGR).

(1)当〃=0时，求AG&

(2)若xEA成立的一个充分不必要的条件是求实数机的取值范围.

19.(2024秋•保定期末)已知集合4={x|岩W0},B={x|2x-1»4}.

(1)求ACB和CR(AUB)；

(2)若集合C={x|a-l<xW3-a},且ACC=C,求实数。的取值范围.

20.(2024秋•朝阳校级期末)已知x>2,y>0,xy=y+4.

(1)求x+y的最小值和(x-1)2+/的最小值；

(2)求工+工;的最小值.

q-y

2025年高考数学复习新题速递之相等关系与不等关系（2025年4月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案BDBACACD

二.多选题（共4小题）

题号9101112

答案ACABCCDACD

一.选择题（共8小题）

1.（2025•潮阳区校级模拟）设集合P={x|logzx<2},Q={x|/-2x-3<0},那么尸CQ=（）

A.{x\-l<x<3}B.{.r|0<x<3}C.{x|-3<x<l}D.{x|0<x<l}

【考点】指、对数不等式的解法；求集合的交集.

【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解.

【答案】B

【分析】解不等式化简集合A,B,再利用交集的定义求解.

【解答】解：。={4?-2x-3<0}={x|-1<尤<3},尸={x|log”<2}={x|0<尤<4},

所以PnQ={x[0<x<3}.

故选：B.

【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题.

2.（2025•临汾二模）若3WaW5,-2W6W1,则2a-6的范围是（）

A.[8,9]B.[4,8]C.[5,8]D.[5,12]

【考点】等式与不等式的性质.

【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】D

【分析】根据不等式的性质即可求解.

【解答】解：由题意可知，6W2aW10,-1W-6W2,

故由不等式可加性可知，5W2a-bW12.

故选：D.

【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题.

3.（2025•昌黎县校级模拟）若集合{尤[-N=[x\^-<0},则MCN等于（

A.{x\-l<x<2}B.{x|0Wx<l}C.{x|O<x<l}D.[x\-l<x<0}

【考点】分式不等式；求集合的交集.

【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解.

【答案】B

【分析】求得集合N,利用交集的意义可得MAN.

【解答】解：因为M={x|-yv={%|^2<0}={x|0<%<2},

所以MnN={x|OWx<l}.

故选：B.

【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

4.（2025•金凤区校级一模）已知尤>1,贝心=叶占取得最小值时x的值为（）

A.3B.2C.4D.5

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】由已知结合基本不等式的应用条件即可求解.

【解答】解：因为x>l,

I4~

则,尸计口4=X-1+口4+后2J（久-1）•口+1，

当且仅当工-1=与，即尤=3时取等号.

故选：A.

【点评】本题主要考查了基本不等式应用条件的检验，属于基础题.

5.（2025•跳北区校级一模）若。>1,则4a+：的最小值为（）

d—1

A.4B.6C.8D.无最小值

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】C

【分析】由可得所以4a+，=4(a-1)+工+4,再利用基本不等式求解.

【解答】解：•.%>：!,

•••4°+白=4(«-1)+白+峪2』4(a—l),白+4=8,

当且仅当4(a-1)=义，即。=擀时，等号成立，

Cl—iZ

即4a+J1的最小值为8.

CL—L

故选：C.

【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题.

6.(2025•玉溪二模)已知%>0,x2-2xy+z2=0,x>0,x2-2xy+z2=0,x2<yz,则()

A.y>z>xB.x>y>zC.y>x>zD.z>x>y

【考点】等式与不等式的性质.

【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】A

【分析】易得/+Z222XZ,再结合已知可得丁>2,由x2-2xy+z2=0,x2-2xy+y2=y2-z2,即可比较

x,y,利用作差法即可比较x,z,即可得解.

【解答】解：由/-2xy+z2=0,得12+22=2孙，

VX2+Z2^2XZ,当且仅当x=z时取等号，

.•.2xy》2xz,且x>0,

.二yNz,

当y=z时，y=x=z,止匕时f=yz,与一〈片矛盾，.*.y>z,

由-2盯+3=0,得x2-2xy+y2=y2-z2,

；・(y+z)(y-z)=(x-y)2^0,当且仅当％=y=z时取等号，

由Ay>z知，等号取不到，

(y+z)(y-z)=(x-y)2>0,

由y>z,可得y+z>0,

t1

：yz>x>Of所以y>z>0,

y2>yz,

Vx>0,/_2孙+/=0,j?<yz,.*.y2>x2,.\y>x,

由f-2xy+z2=0,得z1=2xy-x1,

贝ijx2-2=2?-2xy—2x(尤-y),

"."x>0,y>x,

2

-z=(x+z)(x-z)=2x(x-y)<0,

又x>0,z>0,'.x-z<0,.'.x<z,

综上所述，y>z>x.

故选：A.

【点评】本题考查了不等式次+序》2团,不等式的性质，是难题.

7.(2025春•西安校级月考)已知集合4={小2-尤-2<0},B={x\3x-1>0},则AUB=()

A.(一，o)B.(0,2)C.(-1,+8)D.(-1,2)

【考点】指、对数不等式的解法；求集合的并集.

【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解.

【答案】C

【分析】由一元二次不等式解出集合4由指数函数的运算解出集合3,再求并集.

【解答]解：B=[x\y-1>0}={X|X>0},A={x\x2-X-2<0]=[x\-]<x<2},

所以AUB=(-1,+8).

故选：C.

【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题.

8.(2025•开封二模)设a,b&R,则的一个充分不必要条件是()

11

A.一>—B.)+序>2abC.eba>lD.In(Z?-a)>0

ab

【考点】等式与不等式的性质；充分不必要条件的判断.

【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；不等式；运算求解.

【答案】D

【分析】利用充分性和必要性的定义逐项判断即可.

11

【解答】解：对于A,当〃=1,匕=-1时，满足一〉工，但是不符合。<儿故充分性不成立，故A错

ab

误；

对于5,2+B>2ab,即(a-b)2>0,即所以〃2+户>2曲是的必要不充分条件，故B错

误；

对于C,a一。>1=9，即人>〃，故於一〃>1是〃〈匕的充要条件，故C错误；

对于(Z?-〃)>0,即故/九>0是的一个充分不必要条件，故

D正确.

故选：D.

【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题.

二.多选题(共4小题)

(多选)9.(2025•山西模拟)设〃>Z?,c<d,贝U()

A.a-c>b-dB.ad>bc

C.ad+bc>ac+bdD.«2+J2>/?2+c2

【考点】不等式的综合；等式与不等式的性质.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】AC

【分析】根据题意，由作差法分析A、C,举出反例可得5、D错误,综合可得答案.

【解答】解：根据题意，由于。>。，c<d,则〃-。>0,d-c>0,

依次分析选项：

对于A,(Q-c)-(Z?-d)=(〃-Z?)+(J-c)>0,则有4-c>Z?-d,A正确；

对于5,当〃=0,b=-1,d=-1,c=-2时，ad<bc,3错误；

对于C,(ad+bc)-(ac+bd)=aCd-c)-b(d-c)=(a-b)Cd-c)>0,

贝！Jad+bc>ac+bd,C正确；

对于。，当〃=1,b=-2,d=l,c=-2时，a2^-d2<b1+c2,。错误.

故选：AC.

【点评】本题考查不等式性质的应用，涉及作差法的应用，属于基础题.

(多选)10.(2025•重庆校级模拟)已知x,y均为正数，且1+4丁=孙，则下列选项正确的有()

A.xy^l6B.4x+y225

11

C.——+——>1D.x+y^lO

x-4y-1

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】ABC

【分析】利用基本不等式逐项判断可得答案.

【解答】解：对于A,因为x,y均为正数，且x+4y=孙，

可得孙.4y,解得孙N16,

当且仅当x=4y即x=8,y=2时等号成立，故A正确;

对于B,由l+4、=盯可得y=>0,得x>4,即y=+1，

44I4~

所以4j;+y=4xH—3^+1=4(1-4)H—+17^24(x-4),+17=8+17=25,

人寸-A.1,\1人看

当且仅当4(*—4)=占，即x=5时等号成立，故8正确；

对于C,由1+4>=孙得孙-x-4y+4=4,即(x-4)(y-1)=4,

可得1(%一4)(y-1)=1,

由于％>4,所以x-4>0,y-1>0,

11111、

所以---+----=(----+----),~(x-4)(y-1)

%—4y—1%—4y—14

=1(2+芸+号)>1(2+2JM.)=1,

v—1x—4

当且仅当J;即％=6,y=3等号成立，故。正确；

x-4y-1

44I4~

对于£)，x+y=%+^^+l=(x-4)+^^+5N2](%-4)・^3^+5=9,

当且仅当X—4=工即彳=6等号成立，故。错误.

故选：ABC.

【点评】本题考查基本不等式的性质的应用及基本不等式形式的化简，属于基础题.

（多选）H.（2024秋•海南校级期末）下列说法错误的是（）

A.函数/（x+1）的定义域为［-2,2）,则函数/（无）的定义域为［-1,3）

B.函数y=（x>—1）的最小值为3

r2一

C.f（x）=三和g（X）=》表示同一个函数

D.y=cos（苧-久）是奇函数且最小正周期是TT

【考点】运用基本不等式求最值；判断两个函数是否为同一函数；抽象函数的定义域.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】CD

【分析】根据抽象函数定义域计算判定A,换元应用基本不等式判断8,根据函数定义域判定同一函数

判断C,应用诱导公式计算化简得出奇函数及周期判断D

【解答】解：4由/（元+1）的定义域为［-2,2）,得x+11-1,3）,则/（无）的定义域为［-1,3）,

故A正确；

B、因为x>-l,则y=号普+3=(计1)2出+D+1=x+]+2+][2m+]).2+]=3,

1

当且仅当％+1==Y，即％=0时，等号成立，故5正确；

%+1

C、f(x)的定义域为{x|xW0},g(x)的定义域为R,不是同一个函数，故C错误；

£)、y=cos(咨-%)=-s讥%是奇函数，根据公式求得其最小正周期T=2n,O错误.

故选：CD.

【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，函数最值的求解，同一函数的判断，属于基础题.

(多选)12.(2024秋•驻马店期末)已知曲线丁=〃-1+1(a>0且〃W1)过定点。，且。的坐标满足方

程mx+〃y-l=0(m>0,n>0),贝！J()

1

A.mn的最大值为一

1

B.W+4〃2的最小值为一

4

1m,

C.一+一的最小值为1+2/

mn

1425

D.—+—7的最小值为二

2mn+16

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；不等式；运算求解.

【答案】ACD

【分析】A选项，先由指数函数特征求出Q(1,2),故m+2〃=1,由基本不等式求出积的最大值；B

选项，m=l-2n>0,解得0<nV±,变形得到*+4/=8(九一扔+^,求出最小值；。选项，变形

1m11

得到一+—=一+--2,由基本不等式“1”的妙用求出最小值；。选项，变形得到m+2(〃+1)=3,

mnmn

由基本不等式“1”的妙用求出最小值；

【解答】解：由题意可得，Q(1,2),则加+2〃=1,m>0,n>0,

A选项，由基本不等式得nt+2九22、2mn,即1之272mn,解得nm4多

O

当且仅当m=2〃，即租二^，71=4时，等号成立，A正确；

,,1

3选项，m+2n=l,故m=1-2〃>0,解得OVriV^,

11

则租？+4n2=(1—2n)2+4n2=8n2—4n+1=8(n—^)2+,,

故当寸，，后+4〃2取得最小值，最小值为aB错误；

lmll-2n11

C选项,——|_————|_---------———|_—__2,

mnmnmn

,11112nm2nmr~

所以一+—=(一+—)(m+2n)=1+—+—+2>3+2—=3+2V2

mnmnmnmn

当且仅喏=三即皿=夜-1，三=空时’等号成立，

1772

故一+一的最小值为1+2a,C正确;

mn

1411411n+14m

D选项，---+----=-(----+----)[m+2(n+1)1=一(-+----+----+8)

2mn+13k2mn+rL、7J3v2mn+1'

福+2n±l.±n+8)=在

mn+1十)6'

71+14771Qi

当且仅七T=高？即时百‘八=百时，等号成立，0正确・

故选：ACD.

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

三.填空题（共4小题）

12

13.（2025•临潼区二模）若点A（2,1）在直线/：mx+ny=l±,且优〃>0,则一+一的最小值为8

■mn

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】8.

【分析】由已知可得2根+〃=1,相>0,n>0,然后利用基本不等式即可求解.

【解答】解：若点A（2,1）在直线/：mx+ny=\±,且mw>0,

则2〃z+〃=l,m>0,n>0,

—+—~（―+—）（2/M+H）—4+—+—>4+2I—■——8,当且仅当"=2〃z,即加=）,时取

mnmn血九y/mn42

等号.

故答案为：8.

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

X—2

14.（2025•浦东新区模拟）已知XCR,不等式——V0的解为（0,2）.

x

【考点】分式不等式.

【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】（0,2）.

【分析】根据已知条件，结合分式不等式的解法，即可求解.

【解答】解：不等式——V0的解为（0,2）.

X

故答案为：（0,2）.

【点评】本题主要考查分式不等式的解法，属于基础题.

15.（2025春•海淀区校级月考）能说明“若。+6>2,贝iJ/ga+/gb>0”是假命题的一组正实数a,6的值是

1

a=10,b=TUU（答案不唯—'）•

【考点】运用基本不等式比较大小.

【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】。=10,/片焉（答案不唯一）.

【分析】根据已知条件，举出反例，即可求解.

1

【解答】解：令a=10,6=高，满足“+Q2,但如+妙=1-2<0,满足题意.

故答案为：a=10,6=焉（答案不唯一）.

【点评】本题主要考查不等式的性质，是基础题.

16.（2025•吴忠模拟）不等式log2（-x）<x+l的解集为（-1,0）.

【考点】指、对数不等式的解法.

【专题】作图题；转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】由题意画出图形，由图形求得不等式10g2（-X）<X+1的解集.

【解答】解：由-尤>0,得尤<0,

作出函数y=log2（-无）与函数y=x+l的图象如图：

由图可知，不等式log2（-x）<x+l的解集为（-1,0）.

故答案为：（-1,0）.

【点评】本题考查对数不等式的解法，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.

四.解答题（共4小题）

17.(2024秋•南宁期末)(1)比较3/-x+1与2/+x-1的大小;

(2)已知x>3,求丫=久+苴^的最小值，并求取到最小值时x的值.

【考点】运用基本不等式求最值；不等式比较大小.

【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】(1)3x^-x+1>2x^+x-1；

(2)7,尤=5.

【分析】(1)由已知利用比较法即可比较大小；

(2)由已知结合基本不等式即可求解.

【解答】解：(1)3/_x+1-2/-x+1—J?-2x+2—(x-1)~+l>0,

所以3/-x+l>2/+x-1；

44I4―

(2)龙>3,y—x—=x~3d—+322/(x-3),―+3=7,

当且仅当X-3=3,即尤=5时取等号，此时函数的最小值为7.

【点评】本题主要考查了比较法的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于基础题.

18.(2025•幅幅区校级开学)已知集合2=3旨4W-1},B=[x\(.x-a)[(a+D)]<0,xGR).

(1)当a=0时，求AC3；

(2)若xCA成立的一个充分不必要的条件是求实数机的取值范围.

【考点】分式不等式；解一元二次不等式；充分不必要条件的应用.

【专题】整体思想；综合法；集合；简易逻辑；运算求解.

【答案】(1)AnB={x[0Wx<l}.

(2)[-3,0).

【分析】(1)求出集合A,B,然后结合集合的交集运算即可求解；

(2)结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解.

【解答】解：(1)由集合anpiEjW-DNxi-sWxvi}；

B={x|x2-(2a+l)x+aCa+1)WO},

当a=0时，8={x|0WxWl},AnB=[x\O^x<l].

(2)若xGA成立的一个充分不必要条件是xEB,等价于但AAB,即BQA,

可知Iin，得-3Wa<0,

故a的范围为[-3,0).

【点评】本题主要考查了集合的基本运算及集合包含关系的应用，属于基础题.

19.(2024秋•保定期末)已知集合4={用塞W0},B={x|2x-：1>4}.

(1)求AC8和CR(AUB)；

(2)若集合C={x[a-l<xW3-a},且ACC=C,求实数a的取值范围.

【考点】分式不等式；集合的包含关系的应用；集合的交并补混合运算.

【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解.

【答案】(1)ACB={x[3Wx<6},CR(AUB)={X\X<-2}.

(2){a\a^-1).

【分析】(1)先求出集合A,B,然后结合集合的基本运算即可分别求解；

(2)ACC=C可得CUA,然后结合集合的包含关系即可求解.

【解答】解：4={%|当W0}={x|-2Wx<6},8={x|2x-i24}={Rx23},

(1)AC8={x[3Wx<6},AU8={x|x2-2},CR(AUB)={X\X<-2}.

(2)若集合C={尤|a-1<XW3-a},且APlC=C,贝UCCA,

当C=0时，a-1^3-fl,即a》2,符合题意；

(a<2

当CW0时，{a-l2—2,解得-lWa<2,

故实数。的取值范围为{a|a»-1).

【点评】本题主要考查了集合的基本运算及集合包含关系的应用，属于基础题.

20.(2024秋•朝阳校级期末)已知尤>2,y>0,xy=y+4.

(1)求x+y的最小值和(x-1)?+/的最小值；

(2)求x+工;的最小值.

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】(1)x+y的最小值为5,(X-1)2+y2的最小值为8；

(2)5.

【分析】(1)依题意可得％=1+去利用消元法及基本不等式计算可得；

(2)结合(1)可得比+工=1+当地+绊m，再利用基本不等式计算可得•

q-yy仆-y

【解答】解：(1)因为x>2,y>0,xy=y+4,

4

所以％=1+1>2,解得0<y<4,

所以久+y=1+^+y>1+2J..y=5,当且仅当;=y,即y=2,尤=3时取等号，

所以x+y的最小值为5；

又(％-1)2+y?=患+y22=8,当且仅当£=/,即y=2,x=3时取等号,

所以(尤-1)?+y2的最小值为8.

(2)因为久=1+5x>2且0<y<4,

所以久+4=1+过+六=i+z±0二比+"二以

4—yy4—yy4—y

=1+1+乜+齐+123+2g『=5,

y4—yqy4—y

当且仅当匕=—,即y=2,x=3时取等号，

y4-y

所以x+工的最小值为5.

住一y

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

考点卡片

1.集合的包含关系的应用

【知识点的认识】

如果集合A中的任意一个元素都是集合8的元素，那么集合A叫做集合8的子集；AQB,读作“A包含于

8"（或包含于A"）.

【解题方法点拨】

1.按照子集包含元素个数从少到多排列.

2.注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素.

3.可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系.

4.有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法.

【命题方向】

设相为实数，集合A={尤|-3WxW2},B={x\m^x^2m-1）,满足则m的取值范围是.

解:「集合A={x|-3WxW2},B={x\m^x^2m-1},S.BQA,

,当机>2〃z-1时，即m<\时，8=0,符合题意；

当后1时，可得仁解得iw/nj.

综上所述，m<|,即优的取值范围是（一"，

故答案为：（一8,1].

2.求集合的并集

【知识点的认识】

由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与8的并集，记作AUB.

符号语言：AkJB={^xGA^xEB].

AU2实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是2中的元素.

运算性质：

@AUB=BUA.②AU0=A.③ALM=A.@AUB2A,AUB2B.

【解题方法点拨】

定义并集：集合A和集合2的并集是所有属于A或属于B的元素组成的集合，记为AU8.元素合并：将

A和8的所有元素合并，去重，得到并集.

【命题方向】

已知集合2={刀6N|一狂x<|},2={尤6Z]/<3},则AU2=()

解：依题意，4={%6N|一狂％v|}={0,1,2},B={xeZ|-V3<X<V3]={-1,0,1},

所以AUB={-1,0,1,2).

3.求集合的交集

【知识点的认识】

由所有属于集合A且属于集合2的元素组成的集合叫做A与2的交集，记作ACR

符号语言：APB={X|XGA,且底8}.

AA8实际理解为：x是A且是8中的相同的所有元素.

当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集.

运算性质：

®AC\B=BC\A.@AA0=0.③ACA=A.®AC\BQA,AQBQB.

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混

用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图.

【命题方向】

掌握交集的表示法，会求两个集合的交集.

已知集合4={衽2以+120},8={x|/-尤-6<0},则Ang=()

解:因为A={xCZ|x+l》0}={xeZ|尤N-1},8={小2-尤-6<0}={x|-2<尤<3),

所以ACB={-1,0,1,2).

故选：D.

4.集合的交并补混合运算

【知识点的认识】

集合交换律AdB=Br\A,AUB=BUA.

集合结合律(Ans)nc=An(fine),(AUB)UC=AU(BUO.

集合分配律An(sue)=(Ans)u(ACC),AU(BAO=(AUB)n(AUC).

集合的摩根律Cu(ACS)=CuAUCuB,Cu(AUB)=CuAnCuB.

集合吸收律AU(AAB)=A,AA(AUB)=A.

集合求补律AUCuA=U,AHCuA=0.

【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答.

【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属

于基础题.

设全集U=R,A={x|0Wx<8},B={x|l<x<5},求：

(I)Cu(AAB)；

(II)(CuA)U(CuB)；

(III)An(CuB).

解：(I)•••全集U=R,A={尤|0Wx<8},B={x\l<x<5],

.*.AAB={x|l<x<5},

:全集U=R,ACu(APB)={x|xWl或无25}；

(II)(CuA)U(CuB)=Cu(APB)={x|xWl或无25}；

(III)•.,全集U=R,B^[x\l<x<5],

•••CuB={RxWl或x25},

VA={x|0^x<8},

.,.An(CuB)={尤|0W尤或5&x<8}.

5.充分不必要条件的判断

【知识点的认识】

充分不必要条件是指如果条件尸成立，则条件。必然成立，但条件。成立时，条件尸不一定成立.用符

号表示为尸今。,但Q寸.这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件.

【解题方法点拨】

要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证尸n。，然后找反例验证。成立但尸不成立.举反例

是关键步骤，找到一个。成立但尸不成立的例子即可证明P不是。的必要条件.例如，可以通过几何图

形性质验证某些充分不必要条件.

【命题方向】

充分不必要条件的命题方向包括几何图形的特殊性质、函数的特定性质等.

已知命题p：x2-4A+3<0,那么命题。成立的一个充分不必要条件是（）

A.xWl

B.l<x<2

C.x23

D.2<x<3

解：由7-4x+3<0,解得1<无<3,

则l<x<2和2<x<3都是1cx<3的充分不必要条件.

故选：BD.

6.充分不必要条件的应用

【知识点的认识】

充分不必要条件是指如果条件尸成立，则条件0必然成立，但条件。成立时，条件尸不一定成立.用符

号表示为尸今。但Q4P.这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不

可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生

答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

若pnq为真命题且q0P为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，

多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.

集合A={x|/+（cz+2）x+2a<0},2={尤|/+2x-3<0},若“底4”是“底3”的充分不必要条件，则实数

a的取值范围是（）

A.-1W.W3}

B.-1MV2或2V〃W3}

C.{〃|2V〃W3}

D.{〃|a22}

解：因为4={可/+(o+2)x+2a<0}—{x\(x+2)(尤+q)<0},B={4x2+2x-3<0}={x|-3<尤<1},

若"xeA"是“x&B”的充分不必要条件，则A呈8且AW0,

当-a<-2时，A={x\-a<x<-2],B={x\-3<x<l},贝！J-a2-3,解得2<aW3,

当-a>-2时，A—{x\-2<x<-a],B={尤|-3<尤<1},贝解得-lWa<2,

所以-lWa<2或2<aW3.

故选：B.

7.等式与不等式的性质

【知识点的认识】

1.不等式的基本性质

(1)对于任意两个实数a,b,有且只有以下三种情况之一成立：

①a>b=a-Z?>0；

②a<b0a-Z?<0；

③a=b=a-b—0.

(2)不等式的基本性质

①对称性：a>bob〈a；

②传递性：a>b,b>c=>a>c；

③可加性：a>b=>a+c>b+c.

④同向可加性：a>b,c>d^a+c>b+d；

⑤可积性：a>b,c>0=>ac>bc；a>b,c<0=>ac<bc；

⑥同向整数可乘性：a>b>0,c>d>0=>ac>bd；

⑦平方法则：a>b>0^an>bn(«£N,且〃>1)；

⑧开方法则：a>b>G=>'\[a>\[b(nGN,且w>l).

8.不等式比较大小

【知识点的认识】

不等式大小比较的常用方法

(1)作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；

(2)作商(常用于分数指数累的代数式)；

(3)分析法；

(4)平方法；

(5)分子(或分母)有理化；

(6)利用函数的单调性；

(7)寻找中间量或放缩法；

(8)图象法.其中比较法(作差、作商)是最基本的方法.

【命题方向】

方法一：作差法

典例1：若a<0,b<0,贝(Ip="+彳与q=a+6的大小关系为()

A.p〈qB.pWqC.p>qD.p2q

初b2a2b2—a2,a2—b2(2、/1、(b2—a2>)(b—a)(Z)—a)2(a+Z))

解：p-q=—-r--a-b=(b-a)•(——工)=------任=^-r

丫乜ab--a-+―Tb—=abab

Vtz<0,Z?<0,a+b<0,abX),

若a=b,则p-q=0,此时p=q,

若aWb,则p-qVO,此时pVq,

综上pWq,

故选：B

方法二：利用函数的单调性

716162

典例2：三个数值尸，(|)-5,6尸的大小顺序是()

A.(各4灌B.(f)-ic.D.

解：由指数函数的单调性可知,

由幕函数的单调性可知，。)飞>/厂口

故4)Vvq)Tvq)T，

故选:B.

9.基本不等式及其应用

【知识点的认识】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或

等于它们的算术平均数.公式为：—>4ab(g0,后0),变形为(―)2^a+b^2y^b.常

常用于求最值和值域.

实例解析

例1:下列结论中，错用基本不等式做依据的是.

2ab%2+24R

A：cifb均为负数，则+22.B：/--22.C：SITIXH—：—之4.D：Q6R+,(3—cC)(1---)40.

b2aVx2+1sinxaJ

解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、2、D均满足条件.

对于C选项中sinxW±2,

不满足“相等”的条件，

再者situ•可以取到负值.

故选：C.

A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；8