2025年高考数学考前冲刺复习四（原卷版）

平面向量（选填题）

三考情分析

年份题号分值题干考点

(2024,新课标I卷,高考真题)已知向量

a=(0,1),B=(2,x),若B_L(3-4G),则x=()向量垂直的坐标表

2024年新高考I卷35示；平面向量线性

A.-2B.-1

运算的坐标表示

C.1D.2

（2024•新课标n卷•高考真题）已知向量Z花满

足同=1,£+2可=2,且0-2+）,则忖=

数量积的运算律；

（）

2024年新高考n卷35已知数量积求模；

A-IB-f垂直关系的向量表

示

C.且D.1

2

(2023•新课标I卷•高考真题)已知向量

a==(1,-1),若(Q+4)J_(〃+而)，平面向量线性运算

的坐标表示；向量

2023年新高考I卷35则()垂直的坐标表示；

利用向量垂直求参

A.4+〃=1B.4+4=-1

数

C.入R—1D.入N——1

（2023,新课标H卷,高考真题）已知向量万，b

满足忖_H=百，归+同=2@-可，则

2023年新高考II卷135数量积的运算律

1%-------

（2022•新高考全国I卷•高考真题）在V/3C

中，点。在边A8上，BD=2DA.记

2022年新高考I卷35CA=m^D=n,则3=（）用基底表示向量

A.3比一2五B.-2玩+3元

C.3玩+2元D.2m+3H

(2022・新高考全国H卷,高考真题)已知向量

a=(3,4),b=(l,0),c=a+tb,若伍婷=(瓦可，

向量夹角的坐标表

2022年新高考II卷45则”()示；平面向量线性

运算的坐标表示

A.-6B.-5

C.5D.6

近三年新高考数学平面向量选填题考查情况总结

考点：涵盖向量垂直的坐标表示(2024年新课标I卷)、数量积运算及向量垂直(2024年新课标II卷)、

向量线性运算与垂直(2023年新课标I卷)、数量积运算律(2023年新课标II卷)、用基底表示向量(2022

年新课标I卷)、向量夹角与线性运算(2022年新课标H卷)。

题型：多为选择题，分值5分，侧重考查向量的坐标运算、数量积、垂直关系及线性运算，注重对向

量基本概念和运算规则的理解与应用。

三高考预测

2025年新高考平面向量选填题高考预测

题型与分值：预计为选择题或填空题，分值5分。

考查方向：延续对向量垂直、数量积、线性运算的考查，可能强化坐标运算与几何意义的结合，或涉

及向量模长、夹角的综合计算，注重运算能力与逻辑推理，如根据向量垂直或数量积求参数，或利用坐标

运算解决向量关系问题。

;应试必备

1.向量的运算

(1)两点间的向量坐标公式：

力(西,必)，5(x2,y2),蕊=终点坐标一始点坐标=(、2-西,必一必)

(2)向量的加减法

a=&,%),

b=(x2,y2):.a+b=(x1+x2,%+必)，

a-b=(xl-x2,%一%)

(3)向量的数乘运算

a=(x,y)，贝Aa=y]=Ay)

(4)向量的模

a=(x,y),则Q的模a=yjx2+y2

(5)相反向量

已知a=(x,j),则一a=；已知

(6)单位向量

(7)向量的数量积

a-b=a-b,cos。,其中廿Ja与谢夹角，

记作(a,码且6e[0,TT\

a=(x1；=(x2,y2),:.a-b=xrx2+%%

(8)向量的夹角

/0===》述2_+也必

卜用+；：・正+式

(9)投影向量

向量方在B上的投影向量为Z|cos@B>,

(10)向量的平行关系

aIIb=a=世=xxy2-x2yr

(11)向量的垂直关系

a_LZ)oa•6=0=xrx2+yxy2-0

(12)向量模的运算

I真题回眸

典例1

(2024•新课标I卷•高考真题)已知向量》=(0,1),B=(2,X),若5，(5-41),贝！|尤=()

A.-2B.-1C.1D.2

具倒I

(2024・新课标D卷•高考真题)已知向量满足忖=1,标+2可=2,且(3-2a),3,则忖=

A.yB.—C.—D.1

222

典偈|

(2023・新课标I卷•高考真题)已知向量£=(1,1)花若(4+&)，0+而)，则(

A.4+"=lB.2+〃=—1

C.切=1D."=-1

典例4

(2023•新课标n卷•高考真题)已知向量I,3满足忖-.=5忖+4=忸-川，则W卜.

典例5一

(2022・新高考全国I卷•高考真题)在V48C中，点。在边4B上，BD=2DA.记0=诩丽=力，则曰=

()

A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2成+3力

三名校预测

【名校预测•第一题】(福建省福州第一中学2024-2025学年高三数学试题)

已知1=(1,1),3=(2,0),若,+0)乂。+3),贝1］彳=()

4224

A.——B.——C.-D.-

3333

【名校预测•第二题】(浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题)

已知向量3=(1,-2),3=(x,T),1=(-4,x),若工+刃,3-工反向共线，则实数x的值为()

A.-7B.3C.3或-7D.-3或7

【名校预测•第三题】(湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年数学试题)

已知1=(1,2),B=(X,-4),若&与B的夹角是钝角，则实数x的取值范围是.

【名校预测•第四题】(山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题)

若向量方在向量B上的投影向量为B,且则cos@B〉=()

A.yB."C.-D.也

2233

【名校预测•第五题】(重庆市巴蜀中学2024-2025学年高三下学期二诊数学试题)

已知向量力反都是单位向量，且向量工满足向量5-己的夹角为*1，则口的最大值为()

A.2B.V3C.V5D.3

t名师押题

【名师押题•第一题】已知向量方=（2加+1,-1）,很=（见机+1）,若,则加的值为.

【名师押题•第二题】已知单位向量a,］满足,+小2卜山，则向量n在向量B上的投影向量为（）

2-1r3

A.-bB.-bC.-bD.-br

3525

【名师押题•第三题】已知平面向量5=(-2,3),3=(1,2),AB=a-3b，BC=Z5+b，且/，B,C二点共

线，则实数2=（）

2

A.——B.--C.1D.2

334

【名师押题•第四题】在直角梯形A8CD中，AB//CD,CD=2AB,ABrAD,E是CD的中点，若

UULLUUU.UULt

AC=ABD+juAE,贝!M+〃=().

332

A.1B.-C.D.-

423

【名师押题•第五题】在等边VNBC中，N8=l,点回为N5的中点，点N满足的=2而，则不.而=（）

【名师押题•第六题】已知平面向量£=（一1,1）,5=（0,1），若（，+祠•（〃3+q=l（4〃eR,4/w0）,则（）

21।21।121l21

A.彳+—=一1B.彳+—=1c.-+-=-iD.-+—=1

ZJLlZ〃AA

排列组合与二项式定理（选填题）

考情分析

年份题号分值题干考点

（2024•新课标II卷•高考真题）在如图的4x4

的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰

有一个方格被选中，则共有_______种选法，

在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的

4个数之和的最大值是________.

2024年新高考II卷145全排列问题；写出

11213140基本事件

12223342

13223343

15243444

（2023•新课标I卷•高考真题）某学校开设了4

门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需

分类加法计数原

2023年新高考I卷135从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选理；实际问题中的

修课至少选修1门，则不同的选课方案共有—组合计数问题

种（用数字作答）.

（2023•新课标II卷•高考真题）某学校为了解

学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层分步乘法计数原理

随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中及简单应用；实际

部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和问题中的组合计数

2023年新高考II卷35

高中部分别有400名和200名学生，则不同的问题；抽样比、样

抽样结果共有（）.本总量、各层总数、

A.C：QC短种B.C糯C品种总体容量的计算

C.CQC乳种D.C2C机种

（2022・新高考全国I卷•高考真题）

1-：。+»的展开式中一y6的系数为____两个二项式乘积展

2022年新高考I卷135

开式的系数问题

（用数字作答）.

（2022•新高考全国H卷•高考真题）有甲、乙、

元素（位置）有限

丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，

2022年新高考n卷55制的排列问题；相

若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方

邻问题的排列问题

式共有（）

A.12种B.24种

C.36种D.48种

近三年新高考数学排列组合与二项式定理选填题考查情况总结

考点：涵盖排列问题（2024年新课标II卷方格表选方格）、分类加法计数（2023年新课标I卷）、分

层抽样组合计数（2023年新课标II卷）、二项式展开式系数（2022年新课标I卷）、相邻排列问题（2022

年新课标II卷），侧重计数原理与公式应用。

题型：均为选填题，分值5分，注重实际情境中的计数与二项式定理简单计算。

三高考预测

2025年新高考排列组合与二项式定理选填题高考预测

题型与分值：预计为选填题，分值5分。

考查方向：延续排列组合实际应用（如分组、排队），二项式定理求特定项系数，或与概率等简单结

合，强化计数原理（分类、分步）及公式运用，考查分析与计算能力。

t应试必备

L分类计数原理（加法原理）

N=mi+m2-\----\-mn.

2.分步计数原理（乘法原理）

N=明x加,X-加“.

3.排列数公式

〃！

A"'=n[n-1）•­•（«-m+1）=--------.（〃，加eN*,且加<〃）.注：规定0!=1.

-加）！

4.组合数公式

r”4"n（n-l）---（n-m+l）nl..口、

c"==—-----------------=------------（nGN*,m&N,且加<〃）.

4：1x2x•••x加

5.排列金与组合数的关系

A：=ml-C：.

6.单条件排列

以下各条的大前提是从n个元素中取加个元素的排列.

（1）“在位”与“不在位”

①某（特）元必在某位有4”种；

②某（特）元不在某位有4"—4酎（补集思想）=心心1（着眼位置）=4"+£_/；]（着眼

元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

①定位紧贴：k（k<m<〃）个元在固定位的排列有工种.

②浮动紧贴：〃个元素的全排列把k个元排在一起的排法有4：尤:小种.注：此类问题常用捆绑法；

③插空：两组元素分别有k、h个（左W〃+l）,把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近

的所有排列数有种.

（3）两组元素各相同的插空

加个大球"个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

当〃〉加+1时，无解；当〃4〃i+l时，有T=种排法.

4

（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为

7.分配问题

（1）（平均分组有归属问题）将相异的加、〃个物件等分给加个人，各得〃件，其分配方法数共有

N=C：-C,mn-2n

(〃!)"'

（2）（平均分组无归属问题）将相异的相♦〃个物体等分为无记号或无顺序的加堆，其分配方法数共有

「n

加!(〃!)仇

nxn22nrrn

8.二项式定理(a+b)"=C>"+C\a-b+C^a-b+•■•+C'na-b+-■•+C'；tb

二项展开式的通项公式

nrr

Tr+i=C'na-b(r=Q,l,2--；n).

；：真题回眸

典例1

（2024・新课标II卷•高考真题）在如图的4x4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选

中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

典例2

（2023・新课标I卷•高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中

选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

典例3

（2023・新课标D卷•高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作

抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学

生，则不同的抽样结果共有（）.

A.c：3c短种B.c；Mc蓝种

c.C%c北种D.C%c品种

典例4

（2022•新高考全国I卷•高考真题）十］（x+y）8的展开式中//的系数为（用数字作

答）.

典例5

（2022・新高考全国II卷•高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两

端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

三名校预测

【名校预测•第一题】（黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟数学试题）

若在（1+办）5的展开式中，含/项的系数为80,则“=.（用数字作答）

【名校预测•第二题】（山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题）

二项式（无尤-1）的展开式中，常数项为（）

X

A.24B.6C.-6D.-24

【名校预测•第三题】（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟试卷）

2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和

爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、

王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必

须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（）

A.16种B.32种C.48种D.64种

【名校预测•第四题】（辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期4月月考数学试题）

中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、

羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物,

甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼

物都满意的选择方法共有种（用数字作答）

【名校预测•第五题】（河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研数学试卷）

现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机

四项工作可以安排，以下说法正确的是（）

A.每人都安排一项工作的不同方法数为54

B.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为

C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为

D.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、

戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是+C；吊

t名师押题

【名师押题•第一题】将两个1，两个3,一个5排成一行，则不同的排法种数为.（用数字作答）

【名师押题•第二题】若二项式展开式中的常数项为160,则。=

【名师押题•第三题】已知（axT）（x-2）5的展开式中Y项的系数为60,则实数。的值为.

【名师押题•第四题】一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、

或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点尸（4,2）的跳法共有种.（用数字作答）

【名师押题•第五题】甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的A、B、C、。四项服务工

作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加B项工作，乙必须参加。项

工作，则不同的安排方法数有（）

A.36种B.42种C.54种D.72种

【名师押题•第六题】为拓展学生数学视野，鼓励学生多读数学书，学校举办了“数学图书在哪”的抽奖活动.

如图，在一个5x5的方格表中，按如下规则放置了一些图书，小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方

格的图书的总本数，且有数字的小方格上没有图书，其余方格内无限制，且每一个方格只能放1本图书.则

所有可能的图书排列方式总数为（）

0

2

3

4

2

A.160B.192C.224D.256

事件与概率、分布列与统计综合（选填题）

三考情分析

年份题号分值题干考点

（2024•新课标I卷•高考真题）随着“一带一路"国际合

作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了

解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种

植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值

x=2A,样本方差$2=0,01，已知该种植区以往的亩

指定区间的

收入X服从正态分布N（1.8,01）,假设推动出口后的

概率；正态

2024年新高考I卷96

亩收入y服从正态分布则（）（若随机分布的实际

变量Z服从正态分布N（〃,b2）,尸（Z<〃+G，0.8413）应用

A.P（X>2）>0.2

B.P{X>2）<0.5

C.P（Y>2）>0.5

D.P（r>2）<0.8

（2024•新课标I卷•高考真题）甲、乙两人各有四张卡求离散型随

片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有机变量的均

2024年新高考I卷145数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,值；均值的

8,两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自性质；计算

己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字古典概型问

的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然题的概率

后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮

次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2

的概率为_________.

（2024•新课标H卷•高考真题）某农业研究部门在面积

相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻

田的亩产量（单位：kg）并整理如下表

计算几个数

亩产[900»[950»[1000»[1050，[1150，

[1100>1150)的平均数；

1950)1000)1050)1100)1200)

计算几个数

频数61218302410

据的极差、

2024年新高考n卷45根据表中数据，下列结论中正确的是（）

方差、标准

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

差；计算几

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超

个数的中位

过80%

数

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg

之间

计算几个数

（2023•新课标I卷•高考真题）有一组样本数据

的中位数；

x,x,---,x,其中玉是最小值，%是最大值，则（）

x26计算几个数

A.工2用,尤4，％5的平均数等于玉户2,…的平均数的平均数；

2023年新高考I卷95

B.乙,9,七户5的中位数等于再,程…的中位数计算几个数

C.%，%3，%%的标准差不小于国,9…％的标准差据的极差、

方差、标准

D.工2，七广4，%的极差不大于再广2,…的极差

差

（2023•新课标II卷•高考真题）在信道内传输0,1信利用互斥事

号，信号的传输相互独立.发送。时，收到1的概率件的概率公

为。（0<。<1）,收到0的概率为1-a；发送1时，收式求概率；

到o的概率为尸（0</<1）,收到1的概率为1-£.考独立事件的

2023年新高考n卷125

虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是乘法公式；

指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复独立重复试

发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单验的概率问

次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到题

的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,

0,1,则译码为1）.

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次

收到1,0,1的概率为（1一£）（1一月）2

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,

1的概率为夕（1一月了

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率

为加-外+（1-尸）3

D.当0<1<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案

译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概

率

（2022・新高考全国I卷•高考真题）从2至8的7个整计算古典概

数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为型问题的概

2022年新高考I卷55（）率；实际问

1112题中的组合

A.—B.-C.-D.一

6323计数问题

（2022・新高考全国II卷•高考真题）已知随机变量X服

指定区间的

2022年新高考n卷135从正态分布NR,/）,且尸（2<X42.5）=0.36,贝ij

概率

尸（X>2.5）=____________.

近三年新高考数学事件与概率、分布列与统计综合选填题考查情况总结

考点：涵盖正态分布实际应用（2024年新课标I卷）、古典概型概率计算（2024年新课标I卷、2022

年新课标I卷）、统计量分析（均值、方差、极差、中位数，如2024年新课标H卷、2023年新课标I卷）、

独立事件概率（2023年新课标H卷），注重实际情境与概念结合。

题型：以选择题为主，分值5-6分，侧重考查概率统计知识在实际问题中的应用及基本计算能力。

三高考预测

2025年新高考事件与概率、分布列与统计综合选填题高考预测

题型与分值：预计为选择题或填空题，分值5-6分。

考查方向：延续正态分布、古典概型、统计量计算的考查，可能结合分布列简单问题，强化实际应用

（如生活场景中的概率计算、统计量分析），注重对概念的理解与运算准确性，如根据统计图表分析数据

特征，或利用概率公式解决实际问题。

t应试必备

YYl

1.等可能性事件的概率尸(Z)=竺.

n

2.互斥事件/,8分别发生的概率的和「(，+3)=尸⑷+尸⑻.

3.〃个互斥事件分别发生的概率的和尸⑷+念+…+分尸尸(由)+尸(42)+…+尸(4力

4.独立事件/,2同时发生的概率P(43)=P(/)•尸(2).

5.〃个独立事件同时发生的概率尸.…Yn)=尸(刈),尸(/2)

6.n次独立重复试验中某事件恰好发生左次的概率匕(左)=C：pQ-P)"T.

7.离散型随机变量的分布列的两个性质

(1)P>0(z=l,2,---)；

(2)4+£+…=1.

8.数学期望£J=芯<+%鸟+…+%片+…

9.数学期望的性质

(1)E(a^+b')-aE(^)+b.

(2)若自〜B(n,p),则=up.

(3)若J服从几何分布,且PC=k)=g(k,p)=qip,则='.

P

10.方差供=巨-唐广01+(%2-小广。2+,一+(乙-唐广2+,一

ii.标准差芯=J51.

12.方差的性质

(1)D(试+b)=a1；

(2)若J〜5(外夕)，则。《二秋(1—夕).

(3)若自服从几何分布，且尸C=k)=g(k,p)=qip,则线=冬.

-P

13.方差与期望的关系

透=段2_但)2

14.正态分布密度函数

(*2

262X€(-00,+00

5看，?,式中的实数口，0(b>0)是参数，分别表示个体的平均数

与标准差.

15.对于N(〃,b2),取值小于x的概率

）P（x）P（x<X）=F（X）-F（X）=①

<x0<x2=<x2-121~—j-①~—

1.条件概率

条件概率的定义条件概率的性质

已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时4发生的条件概率，记为P(A|B).(l)OWP(B⑷W1,

当P(B)>0时，我们有尸(/⑻=聂7.(其中，AHB也可以记成N2)(2)如果8和C是两