2025届高考数学教材拓展冲刺复习：导数（含解析）

2025届高考数学教材拓展专题冲刺：导数

教材挖掘拓展一导数

教材拓展一：三次函数的图象和性质（

1.三次函数的单调性

【锥接教材】（人教A版2019选择性必修第二册F99T13）

1.利用信息技术工具，根据给定的a,b,c,d的值,可以画出函数/㈤nad+bd+cc+d

的图象，当a=—4,b—l,c—5,d=—1时,/（①）的图象如图所示，改变a,b,c,d的值，观

察图象的形状：

（1）你能归纳函数/（为图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估

计它的单调区间吗？

（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间.

【解析】⑴a片0时，f㈤有如下图所示的几种情况,其图象大致为“S”型，当图象存在驼

峰,即存在极值点，则必有一个极大值，一个极小值;当不存在驼峰时，函数在定义域内为单调

增或单调减,如下图所示：

【第1页（共13页）】

题设中的函数/（。）=—12炉+2,+5的图象，/㈤=0有2=]±1产：/⑸在

（—8,1^1）上单调递减，（上科，*答L）上单调递增，（止咨,+oo）上单调递减.

⑵/、当QW0时/'（力）=3a力2+2bx+c,

当Q>0时，〃-3。。00,则/（%）>0,即/3）单调递增；

当a>0时，b2—3ac>0,若广3）=0,则g=~~b7R―3ac，丁=b+J'一皿,

aa

：.nV的时，[（X）>0,f®单调递增；gV力V力2时，f'⑸<。，f（x）单调递减；力>/2

时，/3）>0,/3）单调递增；

当QVO时，〃-3。。<0,则73）<0,即/3）单调递减;

—b—NR—3ac—6+Vb2—3ac

当aV0时，b*—3ac>0,若ff(x)=0,则力i=

a，◎=------a------

:.2V、时,/'（力）<0，f（力）单调递减；gV力V力2时，f'3）>0，/（%）单调递增；/>g

时,/（/）<0,/（力）单调递减;

〃、当a=0时，/（T）=bx2+ex+d,对称轴为x=-导,

当b>0时，于（X）在（—8,—宗）上单调递减，在（—~品,+8）上单调递增；

当bV0时,加）在（-8,-京）上单调递增，在（-抹+8）上单调递减；

171、当a=0、b=0时，f（x）=cc+d：当c>0时，f（x）单调递增；当cV0时，f（x）单调

递减；

7V、当a=0、b=0、c=0时，f（x）=d：J（T）无单调性.

2.三次函数图象的对称性

推广拓展：对于一个三次函数/（劣）=a谟+6/2+cc+d（aW0）来说，点（/o,/（rr0））是函

数/(力)图象的对称中心，其中g满足方程工也长&产(力)为函数一(乃的二阶导数

证明：因为/(力)=ax3+bx2+c力+d(aW。)，所以广(/)=3ax2+2bx+c,所以/"(力)=

6ax+2b.因为/"(g)=0,所以/"(四))=6a/。+2b=0,所以/o=—4-，所以/(/()+/)+f(xQ

OCL

323

—n)=a(x0+x)+b(g+x)+c(g+2)+d+a(g—x)+b(x0—xf+c(g—x)d—2a破

+2b就+2cx+2d+(6ag+2b)x2=2a就+2b就+2cx+2d+(―.6a+2b=2/(/0)，所

00v6a)

以点(g,/(g))是函数/(力)图象的对称中心.

【第2页（共13页）】

【应用1】函数/(，)="一t+2的图象的对称中心是.

【答案】(0,2)

【解析】方法一：由题意得/'(2)=3a:2—1,f"(z)=6/,令/"(%),=_gg,=Q,三次函数图象

的对称性得c=0,又/(0)=2,所以函数f(x)=03一3；+1的图象的对称中心是(0,2).

方法二:令g(c)=炉一加.因为g(⑼是奇函数，图象关于点(0,0)对称，所以函数/(c)=

炉一2+2的图象关于点(0,2)对称.

3.三次函数图象的极值与最值

22

【应用2】设X1,x2是函数/(⑼=砂一2ax+ax的两个极值点,若gV2Vg,则实数a的

取值范围是.

【答案】(2,6)

【解析】由题意得/'(/)=362—4Q)+Q2的两个零点如力2满足gV2Vg,所以/'⑵=

12-8a+a2<0,解得2VQV6.

【应用3】设TTiWO,若力=恒为函数/(%)=?71(力一771)2(劣—口)的极小值点，则()

A.m>nB.m<nC.—<1D.—>1

mm

【答案】。

【解析】/'(6)=m[2(x—m)(x—n)+(x—m)2]=

若m<O，r(x)是开口向下的抛物线，/=/n是极小值点，

必有m<27217n,n>m,BP—<1,

3m

若小>o,r(力)是开口向上的抛物线，力=皿是极小值点，

必有—>.21,nVm,即—VI;故选：C.

3m

4.三次函数的零点

32

【应用4】若函数/(力)=x+bx+ex+d(b,c,dER)恰有两个零点g,如且\x2—xr\=

L则函数/(力)所有可能的极大值为______.

【答案】0,六

【解析】由于/(劣)=《炉+/+力,所以/(a)=--x3-i-tx+t,

由于函数/(劣)恰有两个零点/1，/2,所以/(力)=~|■炉+枪+力有2个不等实数根，

O

所以/(①)=:砂+施+1的图象呈先增,再减,再增的趋势，

O

所以其中一个极值点就是零点，假设力1Vn2，

/(力)■炉+板+力即是极值点又是零点，如下图：

O

【第3页(共13页)】

X

则/（力）=:炉+极+力,此时的极大值刚好为/（/）=■炉+施+力,

oo

设/（劣）=:炉+板+力为极大值点，则/（劣）■炉+板+如即/（/）■炉+板+力，

OOO

显然/（比）=~|~炉+极+力,则/（力）=^-x3+tx-\-t,

OO

整理得/（力）=:炉+切+力,又力2=61+L所以g=62—?；

OO

此时的极大值为/⑸=-^-x3+tx+tf（x）=~1~炉+板+力，

Oo

故答案为：0,y（rr）=-^x3+tx+1.

5.三次函数的图象与性质的综合

【应用4】已知函数/（2）=睨；3+笊2+7，8>0）图象的对称中心为（1,0）,且/（2）的极小值

为/⑵=-2.

（1）求/（,）的解析式；

（2）设TQ）=/（,）+神,若TQ）有三个零点,求实数m的取值范围；

（3）是否存在实数限当a+b<2时,使函数g（⑼=+%在定义域[a,”上的值域

恰为[a,6],若存在，求出k的范围;若不存在，说明理由.

⑴/㈤=炉一3/+2；（2）（-2,2）；⑶存在,[0,鲁）

【解析】（1）/（力）=px3+qx2+7,（p>0）,则/'（力）=3px2+2qx

由题意得/（l）=0,/（2）=-2,f（2）=0,

p+q+『=0优=1

8p+4q+『=—2，解得<q=-3,

!12p+4q=01丁=2

【第4页（共13页）】

故/(2)—x3—3x2+2

(2)由于T{x)—f(x)+m—x3—3x2+2+m,则T'{x)—3x(x—2)

令T，3)>o,解得a;VO或z>2,令7，(工)<0,解得0VOV2,

则当c=0时函数TQ)取极大值为T(o)=2+馆；

当c=2时函数T㈤取极小值为7(2)=-2+m,

由于T(x)有三个零点，则[2，解之得成C(―2,2)；

1―2+MVU

(3)假设存在这样的实数履

显然g(N)=/2—2/+k,对称轴为直线/=1,

当aV川时,g(x)递减,雷*

(g(b)=bz-2b-\-k=a^)

由①—②得a+6=1,满足范围，且分别以6=1—a和a=1—6代入①、②得：

{:二;;即k=—/+/+1在[1,+8)上有两解，可得卜e[1,年)；

当a41Vb时,显然g(%)wn=g⑴=k—l=a,

又&1,所以g(力)max=g(a)=稼—2a+k=b，则b=稼—2Q+k=稼—Q+],

又1Vb42—a,则1</一0+1<2—”,所以06[-1,0),则ke[0,1)；

当l&aVb时，显然不符合a+b42,舍；

综上:存在符合题意要求的七看的范围为[0,亳).

教材挖掘拓展二：导函数与原函数的对称性、周期性

(1)若函数/(⑼是可导函数，且图象关于(m,n)对称，则其导函数广(0的图象关于，=机轴

对称.

(2)若函数/(⑼是可导函数，且图象关于。=小对称，则其导函数/侬)的图象关于(机,。)对

称.

(3)若定义在R上的函数/(,)是可导函数,且周期为T,则其导函数TQ)是周期函数,且周

期也为T

(4)若函数/(,)是可导函数，定义域为。,其导函数广(⑼的图象关于工=小轴对称，则/(①)

图象关于(馆，27n—/°)卜寸称，丁为定义域内任意一点.

偶函数r⑺的原函数/㈤图象关于(馆,/，。)？(―>。))对称，当/(琢+/(—0)=0时,

/(0为奇函数.

(5)若函数/(①)是可导函数，定义域为D,其导函数((2)的图象关于(m.n)对称，当九力0

时，函数/(力)图象不具有对称性;当口=0时，且mgG使得/(g)=/(2?n—珀，此时函数

/(力)图象关于x=m对称.

奇函数(劣)的原函数/(力)关于/=/(*。)”((__迎1对称，当/(g)+/(-g)=。时,/(力)为

偶函数.

(6)定义在R上的函数/(⑼是可导函数,其导函数广(0是周期函数，周期为T,若mgeR,

【第5页(共13页)】

使得/(g+T)=/(g),则函数/(,)是周期函数,周期为T

【应用1】(多选)已知函数/(。)及其导函数/'(2)的定义域均为凡若函数沙=/(3—2⑼为

奇函数，函数V=/Q+2)为偶函数，g(c)=r(c),则()

A.g(O)=3B.g⑷=卷

OO

C.g(o)+g⑵=4D.g⑷—g⑹=1

OO

【答案】BC

【解析】由夕=/(3—2/)为奇函数可得/(3—2/)=—/(3+2/)，即/(3—/)=—/(3+劣)，

—T)=/'(3+力),BP/z(3—a;)—/'(3+/)=0,BPg(3—力)一g(3+/)=0,

所以函数g=g(力)的图像关于直线力=3对称，

由沙=:，一/(，+2)是偶函数可得/'(。+2)为奇函数，

OO

11

/'(力+2)/'(一6+2)=0,

OO

9

即gO+2)+g(-z+2)=—,

o

所以函数g=g㈤的图像关于点(2()对称；

将力=0代入g(力+2)+g(—力+2)=，得g(2)=,

oo

将/=1代入g(3—力)—g(3+/)=0,得g(4)=-|-,_B选项正确；

o

将力=2代入gQ+2)+g(-/+2)=~|~得g⑷+g(0)=1，得g(0)=:,A选项错误；

OOO

3(0)+g(2)c选项正确；

OOO

将c=3代入g(3-a;)-g(3+0=0,得g(0)—。(6)=0,故。(6)=：,g(4)-g(6)=!

oo

一!=0,。选项错误.故选：BC.

O

【应用2】(多选)已知函数/(c)及其导函数/3)的定义域均为R,且满足/(,)=

-7(6—乃，，'㈤=2m4——),r(3)=T,记g(x)=2/(3—0—1,则下列说法中正确

的有().

A.函数r(c)的图象关于(5,1)对称B.函数v=r(2，+4)—1为奇函数

C.函数“(①)的图象关于2=1对称D.数列｛"(n)｝的前2023项之和为—4050

【答案】BD

【解析】/(工)=—f(6—x)^f'(x)=fr(6—x)且广(2)关于a;=3对称

由/'(。)+-(4—2)=2知广⑸关于(2,1)对称，故力错，由这两个对称可得广(立)周期

T=4

又g<x)=—21(3—c),综上及广(3)=—1有

g'(l)=-2f(2)=-2X1=-2。,g，(2)=-2f(l)=-2[2-f(3)]=-6,a

g<3)=-2广(0)=—2广⑷=—2/⑵=—2。，g，(4)=-2广(-1)=—2广(一1+4)=2

故9'⑴+g'(2)+g'(3)+:⑷=-8,/⑹｝的前2024项之和为-8X2詈=-4048,

前2023项之和为—4048-2=-4050,故。对

记/z(c)—fr(2x+4)—1,由T=4得"2)=/,(2a;)—1

【第6页(共13页)】

则V力€R,—h{—x)—1—r(4—2劣)=1—[2—Jz(2x)]—h(x)，故B对

不妨取((劣)=Asin(yrc)+1,由/(3)=1-A=-1得A=2

故g，(/)=-2/z(3—a?)=-2[l+2sinj~(3—/)]=4COS(-|-J;)—2

g，(力)不关于力=1对称，C错

故选：皿

教材挖掘拓展三：泰勒公式:

教材拓展L泰勒公式

【链接教材】（人教A版2019必修第一册PT）英国数学家泰勒发现了如下公式：sine=，

zy»3Qr»5丁2丁4zy»6

——+———H-…，cosc=1——+TI—-…，其中几！=1X2X3X4X5X…x

3!5!7!2!4!6!

九.这些公式被编入计算工具,计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.比

如，用前三项计算cos0.3,就得到cosO.3〜1-陪+粤=0.9553375.试用你的计算工

2!4!

具计算cosO.3,并与上述结果比较.

【解析】依题意，用前5项计算，即cosO.3—察+粤一粤+粤仁1—0.045

2!4!b!o!

+0.0003375—0.0000010125+0.00000000163比0.95533648.

与用前三项计算cos0.3的结果比较可以发现，用前5项计算的结果精确度更高,同时可

知，当取的项数足够多时，可以达到更高的精确度，甚至达到任意精确度的要求.

拓展;若函数/（⑼在含有g的开区间（a,b）内有九十1阶导数，则当函数在此

区间内时，可以展开为一个关于x-x0的多项式和一个余项的和：

f（G=/（2。）+f'（2。）•（2-①。）+/，力•（—Coy+/.（2_0）3+…

+^L…。厂+兄（0

教材拓展2.常见的泰勒展开式

在泰勒公式中，令g=0,即可得到如下泰勒展开式：

X2午3

(l)e*=l+x+__±___I---L

2!3!n!

(2)ln(力+1)=力一答+^—---1-(―1)产+但+...；

/Qqn

炉x5X7,n-l力2九一1

(3)sinx=x—+---1_(一])~\—；

3!5!7:(2n-l)!

24那力2?1—2

(4)COS£C=1—X+X+…+(—1尸—；

2!4!61-(2n-2)!

(5)—^—=1+re+a:2H---\-xnH—.

1—x

【应用1](2021高考数学全国乙卷理⑵)设a=21nl.01,5=lnl.O2,c=Vk04—1,则

()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.cVaVb

【答案】B

【解析】法一(构造函数):令c=0.01,则(0,1),a=21n(l+,),b=ln(l+2c),c=

【第7页（共13页）】

，1+4力一1

令/(,)=b-c==ln(l+2,)—VOT+1,则/(,)=高4

271+4^

2〃l+46-2/-1_2〃1+4力—A/4力2+4力+1(0

(1+2力)(Vl+4x)(1+2/)(V1+4T)

4

令g(/)=Q—c=2In(1+/)一Vl+4a?+1,贝!jg'(力)=-7-

1+rc2Vl+4^

2+42一/—1_2Vzi+4劣—A/力2+2/+1〉2〃/+44一Jl+2—+/

>。9（力）在（0,1）上

(1+x)(Jl+4〃)(1+2T)(Vl+4a?)(1+2T)(〃1+4/)

T=>g(x)<g(0)=0=>Q>c

综上所述,b〈c<a,选B。

法二：令/(力)=ln(1+1(力>1)，则/(力)————?-<0今/(力)在(1,+8)

'2/1+力2

上I，=>/(Vl+0.04)</(1)=0=>fe<c

令gQ)—21II(3+6)—T+1(1VNV3),则g'(力)=——"3")>0=>g(力)在(1,3)

\4/3+/2

上T，=g(〃l+0.04)>g(l)=0=>a>c

综上所述,b<c<a,选B。

法三(泰勒公式)：ln(l+/)=/一看+q----

fyy-11,KI-1),,1(：T)(1-2)

V1+T—1--x-\---------0/H----------------~\—

/1•0'

-力2-I-j»3_|_...

=~2~*X8十16十

/-11mAn/nni0.012,0.013\

a=2O11n(l+0n.01)=2(0.01-------1——-----)

b=lnl.02=(0.02-吗”+智龙-…

C=VE04-1=V1+0?04-1=^-XO.O4-^O.O42+-^O.O43+---

2o16

0.023

0.02-0.01x0.02++…综上所述，bVcVa，选及

2

教材挖掘拓展四：重要不等式:

教材拓展1:1--J-T&ln（x+1）<N

N+1

【链接教材】（人教A版2019选择性必修第二册F89例4设力>0,/（力）=Ina;,g®=1—

工，两个函数的图象如图5.3—8所示.判断/Q）,g（力）的图象与G，G之间的对应关系.

x

【第8页（共13页）】

【解析】因为/（力）=In/，g（劣）=1—工，所以广（力）=工，=士.当力=1时，（㈤

xxx2

=g'（x）=1；当OV.V）时,g'[x）>/'（力）>1；当与>1时，ovg'3）v/'3）v1-

所以，f{x）,g（G在（0,+8）上都是增函数.在区间（0,1）上，g（0的图象比/（/）的图象

要“陡峭”;在区间（1,+8）上，g（0的图象比/㈤的图象要“平缓”.

所以，/3），gQ）的图象依次是图5.3—8中的。2,G.

（人教A版2019选择性必修第二册F94T2）证明不等式：/一1>Inc,力G（0,+8）

【解析】由题设，要证/—1>In/只需证力一1—Inx>0即可，

令/（力）=x—l—lnx（x>0），则/'（劣）=1—工，而/'⑴=1-=0,

x1

，当0V力V1时，7（力）V0,/（力）单调递减；当%>1时，f\x）>0,/（力）单调递增；

故/（力）>/（1）=1—1—Inl=0,即力一1—Ina;>0在a;G（0,+oo）上恒成立，

x-1>Inx,xE（0,+8）得证.

教材拓展2iex>l+x

【链接教材】（人教A版2019选择性必修第二册F99T12）利用函数的单调性,证明下列不

等式,并通过函数图象直观验证：

（l）e*>l+/,力WO；（2）lnx<x<ex,x>0.

【解析】⑴由题意，61>1+力等价于已1—力一1>0,令/（力）=6*—/一1,

Aff（x）=—1,而ff（0）=e°—1=0,

，力V0时，ff（x）<0,f®单调递减；宏>0时,ff（x）>0,f（x）单调递增；

故/（力）>f（0）=0在NW0上恒成立，即e“一力一1>0,

：.ex>1+x,1W0得证.

（2）由题设，In劣<x等价于x—Inx>0,x<ex等价于e,—力>0,

令/（c）=c—inc,则r（*）=i一里，而r⑴=i—==o，

X1

0V/V1时，/'（力）<0,f（c）单调递减；力>1时,/'（力）>0,f（x）单调递增；

故/（力）>/（1）=1在力>0上恒成立，即力一Inx>1>0,In力V/在力>0上恒成立,

令。（力）=e°—1,则g，（x）=6。一L而。{0）=e。­1=0,

.,.力>0时，g，3）>0,g㈤单调递增，故g（力）>g（0）=0在%>0上恒成立，即e*—%>

0,・••力Ve。在c>0上恒成立，

【第9页（共13页）】

x

综上,Inx<Zx<e9xX）上恒成立.

教材拓展3：sinx<xxE（0,兀）

【链接教材】（人教A版2019选择性必修第二册F97练习T1）利用函数的单调性，证明下

列不等式,并通过函数图象直观验证：sina;<x,x6（0,兀），

【解析】丁sin/<x等价于x—sine>0,

可令/（宏）—X—sin/，则/'（力）=1—cosrr,在6E（0,兀）上广（力）>0,

・・・/3）在力e（0,兀）上单调递增，即/（力）>y（o）=o,

:.x-sin力>0在nG（0,7t）上恒成立，则sin力V力，力G（0,兀）得证.

①3。>1+力,当且仅当力=0时取等号.

②In力《力一1,当且仅当力=1时取等号.若已知参数范围，则利用参数的范围进行放

缩,达到消参的目的.也可以利用局部函数的有界性进行放缩,然后再构造函数进行证明.

【应用1】（2022年高考甲卷）已知&=爱力=cos%=4或吟，则（）

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】［方法一］:构造函数因为当力e（0,5）,6Vtamr

故F=4tan-Y>1,故>1,所以c>b；

b4b

【第10页（共13页）】

设/（力）=COST+l,xE（0,+oo）,ff（x）=—sinx+力>0,所以/（力）在（0,+oo）单调

递增，

故/（1■）>/（。）=0,所以cos1----->0,所以b>a,所以。>6>。,故选?1

［方法二］:不等式放缩

因为当xE（0噂）冈11力<力,取力=~|~得：cos-y=1-2sin2-^->1—2法）=誓，故b

'2，o4ovo7o2

>a

4sin-^+cos［=VI7sin（1+s）,其中（pG（0,£）,且si”=,cos0=

当4sin^-+cos^-=V17时，:十卬=与，及0=与一二

444224

止匕时sin4-=cose=上，cos二=sine=L

4+V174+V17

故cos4--—―sin4-<4sin4-，故bVc

4V17A/1744

所以b>Q,所以c>b>a,故选A

［方法三］:泰勒展开

出nONmu3110.252入1i0.252工0.254

攻力=0.25，则Q=封=1----------，b=cos--1-------------F，

.x

24

A•1sm40.25।0.25件笛夕日痂;牛A

c=4sin—=---1-----------1-------，计算得c>b>a,故选A.

4±3!5!

4

［方法四］:【最优解】不等式放缩

因为E=4tan^-，因为当/G（0」）,sin力〈力Vtan力，所以tanj>4",即？>L所

b4'%）44b

以。>6；因为当力G（0噂）,sin/<名,取为=［得cos］=1—2sin2-^-=吗~，

v27o4ovo7o2

故b>a,所以c>b>a.故选：A.

【应用2】某同学向老师请教一题：当力G（1,+8）时，函数g=rr-V-alnT图像恒在直线

g=/+1的上方（不含该直线）,求实数Q的取值范围.老师告诉该同学：“e，>/+1恒成

立，当且仅当力=0时取等号.且方程力-41n力=0在（1,+8）上有解“，根据老师的提示

可得Q的取值范围是.

【答案】（—8,—4）

【解析】因为C>1,所以Inx>0,由x~4ex—alnx>x+1可得aV"。~--=

mx

9一41皿一力—1

Inx

由题意e。>力+1恒成立，当且仅当力=0时取等号；且方程x—41nx=0在（1,+8）上

有解力=g>1,

所以L：—I>（Hn：+1）-1=—4,当且仅当z=&时，等号成立，

inxInx

所以a<—4,因此实数a的取值范围是（—co,—4）.

故答案为：（—8,—4）.

【应用3】已知函数/（2）=Inz—ax+a（aCR）.

（I）求函数/Q）的单调区间；

【第11页（共13页）】

（II）当Q=1时，对任意的0Vm〈外,求证：/（九）—J（m）＜一7一见'.

【解析】（I）/,（^）=~—a=-——（rr＞0）.

xx

当aW0时,广（力）＞0恒成立.

・・.此时/Q）的单调递增区间为