2025年高考数学压轴题：导数性质压轴小题（原卷版+解析）

压轴题06导数性质压轴小题

颌盘重点•抓核心

总论

一、导数与函数的不等式求解问题是高考的热点题型.常见题型：

(1)判断、证明或讨论函数性质求解不等式；

(2)已知不等式恒成立或者有解求参数范围；

(3)构造函数，利用导数研究函数性质求参数范围.

二、比大小常见思维：

1.指数函数比大小易错点：

(1).利用指数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待.

(2).指数函数在第一象限图像，具有“底大图高”的性质

(3).指数函数图像性质：一点一线。恒过定点(0,1),x轴是它的水平渐近线

(4).进行指数塞的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单

调性进行判断.对于不同底而同指数的指数累的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确.

2.有关指数累和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其

对应值的范围.

比较指对幕形式的数的大小关系，常用方法：

(1)利用指数函数的单调性：y=优，当”>1时，函数递增；当0<。<1时，函数递减；

(2)利用对数函数的单调性：y=10g〃％,当。>1时，函数递增；当0<°<1时，函数递减；

(3)借助于中间值，例如：0或1等.

压轴题型一：解不等式：构造幕的积、商型

/满分技法

幕函数积形式构造：

1.对于月'(x)4/(x)>0(<0),构造g(x)=x・f(x),

2.对于矿(x)+Xf(x)>0(<0),构造g(x)=xk»f(x)

幕函数商形式构造：

f(X)

1.对于>0(<0)，构造g(x)=----,

X

f(X)

2.对于x・r(x)-V(x)>0(<0),构造g(x)=——

X

1.(2023•全国•高三专题练习)已知定义在R上的函数“X)满足〃2+x)=〃2-x),且当x>2时，有

才(力+/(力>2尸⑺，苟(1)=1,则不等式—的解集是()

兀一2

A.(2,3)B.(一叫1)

C.(l,2)u(2,3)D.y,l)D

2.(吉黑两省八校联合体2023-2024学年高三数学)定义在(0,+?)上的函数/⑺的导函数/”)满足

则下列不等式中，一定成立的是

A./(9)-1</(4)</(1)+1B./(1)+1</(4)</(9)-1

C./(5)+2</(4)</(1)-1D./(1)-1</(4)</(5)+2

4.(安徽省皖中地区2019届高三入学摸底考试数学)已知可导函数/⑺的定义域为(-叫0),其导函数/'(X)

满足犷。)一2/(力>0,则不等式〃2017+X)-(X+2017)2〃-1)<0的解集为

A.(^>,-2018)B.(-2018,-2017)C.(-2018,0)D.(-2017,0)

5.(2022甘肃武威•高三武威第六中学阶段练习)已知定义在(0,+8)上的函数/(x)的导函数一(x满足

Y11

矿(x)+〃x)=?且/(e)=(,其中e为自然对数的底数,则不等式仆)+e>x+：的解集是

A.(0,e)B.(0,-)C.(-,e)D.(e,+oo)

ee

压轴题型二：解不等式：构造指数的积、商型

M满分技法

指数型构造，主要以e的指数型为核心

e、函数积形式构造：

1.X\|*^fr(x)+f(x)>0(<0),构造g(x)=ex*f(x),

2.对H'(x)+V(无)>0(<0),构造g(x^e^.f(x)

1.(黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年第三次检测考试数学)设函数八x)的导函数为尸(无)，穴0)=1,

且3/(%)=/*)—3,则4/U)>尸(x)的解集是

A.(今^,+<»)B.(3^,+°o)C.(¥，+co)D.(^-,+00)

2.(广东省阳春市第一中学高三第九次月考数学)已知函数/(x)(xeR)的导函数为了'(X),若

2f(x)+f'(x)>2,且"0)=8,则不等式/(x)-71,>1的解集为

A.(一叫0)B.(O,+8)C.(-«-1)U(0,-H»)D.(1,+«))

3.(重庆市巴蜀中学2020届高三上学期月考(三)数学)已知是定义在R上的奇函数，记的导

函数为尸(无)，当*0时，满足/⑺―/(x)>0,若存在xeR,使不等式/■[/(元2-2尤+2)]4/(渥+，成

立，则实数”的最小值为()

A.1—B.1H—C.1+eD.°

ee

4.(湖南省长沙市湖南师大附中2019-2020学年第二次大练习数学)已知函数/(X)在R上可导，其导函数

为广(x),若函数“X)满足：(x-l)[/,W-/(x)]<0,f(2-x)=f(x)e*2-2\则下列判断一定正确的是

A.”1)〈牙(。)B.^(1)</(2)C.e3/*(0)>/(3)D.e5/(-!)</(4)

5.(广西钦州市2018-2019学年教学质量监测数学)已知定义在R上的函数/(X)的导函数为1(x),若

2〃力一广(尤)>0,且/■⑴=e,则不等式粤<1的解集为()

e

A.(-oo,l)B.C.。，+8)D.(e,+8)

压轴题型三：解不等式：构造复杂型指数

/满分技法

指数复杂型构造，体现在两方面：

1.底数不是e的形式，注意取导后函数的特征：会有Ina这个形式

2.复杂型还体现在指数与赛函数等函数结合形式的构造

1.(黑龙江省大庆实验中学数学)函数/⑴的导函数为/'(x),对任意的xeR,都有广。)>1112"。)成立，

则

A.4/(3)>/(5)B.4/(3)</(5)

C.4〃3)=f(5)D.4/(3)与”5)大小关系不确定

2.(2023春・湖南邵阳•高二统考期末)已知函数是R上的奇函数，对任意的尤eR均有成

ln3

立.若/(T)=T，则不等式/(x)<3i的解集为()

A.{xlx>l]B.{x\x<l]C.{xlx>-l]D.{x\x<-l}

3.(2019届非凡联盟高三毕业班调研考试文数试题)已知定义在R上的函数Ax)的导函数为了'(X)、/(x+1)

的图象关于点(-1,0)对称，且对于任意的实数3均有/(尤)>；?成立，若了(-2)=2,则不等式/(X)>-2、T

的解集为()

A.(-2,+oo)B.(2,+oo)C.(-8,-2)D.(-oo,2)

3.(2022•浙江•模拟预测)己知是定义在R上的可导函数，且对于VxeR,苗(x)+2(尤+l)〃x)>0,

则()

A.e4/(l)>/(-I)B.e2/(D>/(-I)

C.4e4/(2)>/(I)D.4e2"2)>〃l)

4.(江西省上饶中学2019-2020第二次月考数学试题)已知函数f(x)是定义在(0,+8)上的可导函数，/⑴=2,

且/(无)+1/(无)<1，则不等式/(x)-e3-3x>1的解集为

A.(0,1)B.(L+8)C.(1,2)D.(2,+co)

5.(2023春.陕西汉中•高二校联考期末)已知可导函数“X)的导函数为了'(》)，若对任意的xeR,都有

r(x)-/(x)<l,且"0)=2022,则不等式(a)+l>2023e工的解集为()

A.(-oo,0)B.(0,+oo)C.(-oo,l-e)D.

压轴题型四：解不等式：构造三角函数的积、商型

/满分技法

三角函数形式构造：

1.X^^sinx./X^+cosx>/^)>0(<0),构造g(x)=f(x)«sinx,

f(X)

2.对于511廿/'(1)-85乂・/(工)>0(<0)，构造g(X)=———

Jsinx

3.对于正切型，可以通分(或者去分母)构造正弦或者余弦积商型

三角函数形式构造：

1.对于cosx・7'(%)-sinx・/(%)>0(<0),构造g(x)=f(x)«cosx,

f(X)

2.对于8$乂・1(%)+511^・/(%)>0(<0)，构造g(x)=-----

Jcosx

3.对于正切型，可以通分(或者去分母)构造正弦或者余弦积商型

1.(2020.天津.高三南开中学校考周测)已知函数“X)是定义在上的奇函数.当xe0,口时,

“x)+/'(x)tanx>0,则不等式cosx./[x+|^+sinx.〃-x)>0的解集为()

2.(2023•全国•高二专题练习)已知关于变量x的非常值函数在很]上

ra)sin2x+/(x)cos2x</(x)成立，且外力>0；在(。,%)上的图像关于片会对称，则下列不等式一

定成立的是()

3.(2021.重庆.统考模拟预测)若函数〃尤)的导函数为尸(x),对任意工.-巴0)"'("5加</(力8陈恒成

立，贝||()

4.(2020・全国•高三专题练习)已知偶函数/⑴的定义域为卜多卦其导函数为八无)，当0<x4时,有

f'{x}cosx+/(x)sinx<0成立,则关于x的不等式“尤)<•cosX的解集为)

B.

D.

5..(2023春•四川成都•高二期末)记函数/⑺的导函数为,'(X),若/⑴为奇函数，且当xe(-go)时恒有

/(无)</'(x)tanx成立，贝！|()

压轴题型五：解不等式：复杂混合型构造

/满分技法

混合型构造，属于构造函数求导解不等式的超难题型。为了寻找原函数的构造配凑方向，可以从以下几

方面入手：

1.常见函数与f(x)的和差积商型，如幕指对以及对勾等等

2.复合型甚至多重复合型函数与f(x)的和差积商型

3.求导结果的逆向思考，如见到常数b,则有可能是bx形式。

1.(2023•全国•高三专题练习)若函数/(x)满足：(x-l)r(x)-〃x)=x+：-2,〃e)=e—l,其中尸(x)为

的导函数，则函数y=〃x)在区间(，&的取值范围为()

A.[0,e]B.[0,1]C.[。,返]D.0,1-j

2.(安徽省固镇县第一中学2023月数学)定义在R上的函数/(无)的导函数为尸(无)，且

/(x)=/JDe"+孚/r,若存在实数x使不等式/(x)W疗—的-3对于ae[0,4恒成立，则实数m的

取值范围为()

A.(-oo,-2]u[2,+oo)B.卜8,1-1+，+oo)

C.—小]D[2,+OO)D.^-oo,-2]u[l+石,+00)

3.(2020届四川省资阳高三三诊数学试题)己知/(X)是定义在R上的偶函数，其导函数为((》).当x>0

时，f\x)<2x,则不等式〃2x)>/⑴+4f-l的解集是.

4.(百校联盟2020届普通高中教育教学质量监测6月数学)已知函数〃x)=cosx-士，-⑴为的

导函数，则下列结论正确的个数是()

①当xe(T,0)时，/(x)<0；②函数/'(X)在，,曰上只有一个零点；

③函数/'(X)在“3上存在极小值点；④sinx=ln(x+l)在(。弓上无实根.

A.1B.2C.3D.4

5.(2023・四川广安•四川省广安友谊中学校考模拟预测)函数g(x)与其导函数为g'(x),满足

1x+，[g'(x)<[l-4)g(x),其中x>0；若机=tand,〃=sine+cose,其中0<夕<：,则下列不等式

一定成立的有()个

①g(l)-gW)<。②g(l)-("2T)g(利)>。③(sin2e+2)g⑴-2咫(〃)>。

④(“4—1)g(m)—2ng(71)<0

A.1B.2C.3D.4

压轴题型六：恒成立求参：最值型

M满分技法

一般地,已知函数y=/(x),xe[a,可,y=g^x),x&\c,d]

不等关系

⑴若％e[a,司,一小,司，总有〃％)<g(巧)成立,故/(x)1mx<g(x)1n4

(2)若V%e[a,b],Bx2&[c,d],有了㈤<g(苍)成立,故/⑺1mx<g(x)1M

(3)若叫e[a,句,Vx2c[c,d],有〃菁)<g^)成立，故/(XL1Vg⑺.;

(4)若叫e[a,句,RX2G[C,J],有/(西)<g(xj)成立,故“力皿<g(x)1mx.

1.(24-25高三上咛夏银川・期末)已知函数/(x)=(x+a-l)eX-ox-a2+a,当丫>1时，〃x)>0恒成立,

则。的取值范围是()

A.（-00,e]B.[l,e]C.[e,+oo）D.[0,e]

2.（2024.江西.模拟预测）已知不等式九sinx+cos光之一々对任意％可恒成立，则实数〃的最小值为（）

71

A.--B.1C.0D.-1

2

3.（24-25高二上•山西阳泉・期末）已知函数八%卜/口,。），若切'（x"△^恒成立，则实数。的最小

值为（）

A.-B.In2C.1D.e

4.（24-25高三上•陕西咸阳•阶段练习）设函数〃x）=]+8,g（x）=sinx,/7（x）=Q,若对于任意的

x«0,+8）,ga）W/z（x）W/（x）都成立，则。的取值范围为（）

压轴题型七：恒成立求参：同构型

/满分技法

同构法针：

对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行

求解.

1.已知不等式x+alnx+52x"对XG（L”）恒成立，则实数。的最小值为（）

A.—yfcB.C.—eD.—2e

2

2020年1月中学生标准学术能力诊断性测试诊断性测试文科数学试卷

2.（24-25高三上•黑龙江哈尔滨•期末）已知对于Vx>0都有e"+a2x+——,则〃的最小值为（）

x

A.1B.-eC.-D.e

e

2.（2024高二上.全国.专题练习）已知关于x的不等式匕土位>1底在（。，+"）上恒成立，则实数2的取

X+1

值范围为（）

A.I-,+co|B.（e,+oo）

C.[o，：JD.（O,e）

4.（24-25高三上•四川宜宾•阶段练习）函数/1（x）=eX-xln尤-;（a-Df+Q-inq）尤在定义域内是增函数,

则实数。的最大值为（）

A.—B.eC.—D.2e

e2e

5.（24-25高三上・甘肃白银•期末）若存在xQO,y）,使得e'-lvW竺成立，则实数。的最小值为（）

A.—B.1C.2D.e

e

压轴题型八：多参：两次最值型

/满分技法

多参型：1.两个（较多）或者两个以上（较少）参数；

2.参数看作常数，求最值一恒成立；

3.求完最值，转化为构造所求的参数式子，转化为“存在”型

简单理解：2与3的最值是相反的

1A

1.（2024・四川成都•模拟预测）已知函数7'（x）=e*-M--x0*12-345bx（a,6eR）没有极值点，则一、的最大值为

2（。+1）Q+1

（）

A.显B.-C.eD.—

222

2.（2021・四川成都•模拟预测）设上,beR,若关于x的不等式ln（x-l）+x4辰+6在（L+8）上恒成立，则衿

K-1

的最小值是（）

A.—e2B.-------C.—rD.—e—1

e+1e2

3.（22-23高二下•云南昆明・期末）已知关于1的不等式S+l）%Nlnx+〃恒成立，则加后的最小值为（）

4.（19-20高二下•四川南充•期中）已知函数/（x）=e-gx2+V,若时，恒有尸（无）上3/+g+6,则

必+Z?的最大值为

A.&B.亚C.-D.e

22

5.(2023・江苏•模拟预测)已知〃X)=W+H,g(x)=lnx,对于Vxw(0,+oo),/(x)2g(x)恒成立，则m+2”

的最小值为（）

A.-In2B.-1C.-In4D.12

压轴题型九：多参：换元型

M满分技法

导数换元型：比值型换元构造新函数

不等式中，可以借助对数均值不等式解决，完整的对数均值不等式为：而<XL）

Inxl-lnx22

可用两边同除巧，

令二=上整体换元的思想来构造函数，证明不等式成立求解参数

x2

1.已知函数"X）=e"-双有两个零点再、%，石<%，则下面说法不亚馥的是（）

A.x{+x2>2B.x{x2<1

C.a<eD.有极小值点%，且％+%<2x（）

2.对任：分4数X,都存在两个不同的正数y,

使％2（lny-lnx）-ay2=0成立，则实数"的取值范围为

（1

A.B.C.—,+00D.

2e

3.已知函数/（》）=疣"，g（x）=x3lnx,若a>0,b>0,且/'（a）=g（6）,则3a—b的最大值为

法

|2x

4.（20,0.江苏镇江.三模）设正实数无，则〃耳=n戈的值域为

压轴题型十：比大小：构造函数型

1.（2023春•重庆渝北•高二重庆市渝北中学校校考阶段练习）设a=l+sin0.1,b=ePA,c=g,则下列大小

关系正确的是（）.

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

2•设。=y^++，6=e°a-Lc=lnL02,则a,6,c的大小关系为（）

ZXIU1U

A.c<a<bB.b<c<a

C.a<b<cD.b<a<c

广东省河源市河源中学2023届高三上学期10月教学质量检测数学试题

3.（2022上•四川巴中・高三南江中学校考阶段练习）已知〃=3,b=e近,c=]n4,则〃，b,c的大小关系是

（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

4.（2022下•四川凉山•高二统考期末）已知a=e0°i,b=1.01,c=l-ln—,则（）.

A.c>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c

5.（2022上•吉林・高三双辽市第一中学校联考期末）若e"+2〃+26+lnf+）

b2

A.a>2bB.a<2b

C.a>b1D.a<b2

压轴题型十一：比大小：三角函数型

/满分技法

三角函数与三角函数值比较大小：

1.借助于三角函数的周期性，对称性，诱导公式等，转化为一个单调区间内比大小

7T

2.借助一些三角函数不等式进行放缩转化：如当尤©(0,5)时，sinx<x

3.构造含有三角函数式的函数，求导后借助单调性比大小。

ITTT]

1.(2022上•辽宁丹东•高三统考期中)=—sinl+—tanl,b=Tt,c=21n;i+—,贝1J()

227i

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.b<c<a

2.(2022.江西•校联考模拟预测)函数"x)=e'-eT-2sinx渚4“=20,^=log510,c=\ogab,则有()

A./(a)>/(£?)>/(c)B./(cz)>/(c)>/(^)

C.f(b)>f(a)>f[c)D./(&)>/(c)>/(a)

7TTT

3.(2017下•浙江湖州•高二统考期末)若,且asina—/sin/>0,贝！|必有()

A.a1<伊B.a1>伊C.a<pD.a>/3

4.(2021下•四川内江・高二威远中学校校考阶段练习)若asina-加inbV〃-〃2,贝汁()

A.|a|V|0|B.a<b

C.|。|>依D.a>b

5.(2022上•浙江嘉兴•高二统考期末)设“=e©-ln21=e"-ln3,c=岳-2(其中e。2.71828是自然对数

e

的底数)，则()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

压轴题型十二：比大小：泰勒展开型

/满分技法

泰勒屐叶式

XX*12X"a

6=11+%+—+・・・+——+匕”+i

2!n\5+1)!

r2r3*vw+1

ln(l+x)=x------1----------1-(—l)n------Fo(£+i);

23n+1

截取片段：ex>x+\{x^R）

ln（l+x）<x（x>—1）,当且仅当％=0时，等号成立；

进而：In%K%—1（%>0）当且仅当x=l时，等号成立

Y3尤57

1.(21-22高三上•山东日照・期末)十八世纪，数学家泰勒发现了公式sinx=x-土+土-土

3!5!7!

2n-lo2o436o2n-2

+---+(-l)"-1—其中〃eN*,xeR,^:7，=1-—+--—+•••+(-1)"-1-----…，下列选项中

(2M-1)!2!4!6!(2〃-2)!

与T的值最接近的是()

A.—cos8°B.-sin8°C.—cosl8°D.-sin18°

2.（20-21高三上•湖南衡阳•期中）1715年英国数学家布鲁克・泰勒（BrookTavlo玲在他的著作中陈述了泰勒

公式，如果满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值构建一个多项式来近似表达这个

函数.泰勒公式将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，使得它成为分析和研究许多数学问题的

有力工具，例如：靖=£二=5+[+!+!+-+二+—,其中xeR,〃eN*.试用上述公式估计小的近

M〃！0!1!2!3!n\匕

似值为（精确到0.001）（）

A.1.647B.1.648C.1.649D.1.650

3.（19-20高三上・山东青岛•期中）英国数学家泰勒发现了如下公式:

cosx=l-—+-----------------------------------+.•..则下列数值更接近cos0.4的是

1x2Ix2x3x4Ix2x3x4x5x6

A.0.91B.0.92C.0.93D.0.94

尤3Y5Y7

4.（22-23高三上•湖南衡阳•期中）十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式sin%=x-二+土-土+…+

3!5!7!

fl

(-广------；—F(其中xeR,HeN*,m=lx2x3x…xa,0!=1),现用上述公式求

(2/7-1)!

,111/八1

1-2!+4!-6!+'+（2/L2）!+…的值，下列选项中与该值最接近的是（）

A.sin57°B.sin36°

C.sin33°D.sin30°

压轴题型十三：范围最值：韦达定理型

1.（24-25高三上•山西大同•开学考试）已知再，无2是函数/（幻=362-2x+lnx的两个极值点，若不等式

7%>/(%)+/(%2)+西W恒成立，则实数小的取值范围是()

A.(-3,+oo)B.[-2,+oo)C.(2,+00)D.[e,+oo)

2.(20-21高二下•四川成都•期中)若函数/(乃=/一3尤2+6办存在两个极值点毛，%,(占<%)，则/(外)

的取值范围是()

A.(-oo,0]B.(-co,l)C.(1,+℃)D.[0,+<»)

3.(21-22高三上•内蒙古赤峰•阶段练习)若函数/(幻=元3-3依2+12x(。>0)存在两个极值点看，x2,贝|

/&)+〃&)的取值范围是()

A.(-<»,16]B.(-co,16)C.(16,+oo)D.[16,+oo)

4.(19-20高二下•安徽六安•期末)已知函数/(x)=x-』+“lnx,且/(x)有两个极值点再，其中占e(l,2],

X

则/(芯)-/(%2)的最小值为()

A.3-51n2B.3-41n2C.5-31n2D.5-51n2

5.(19-20高三上•河南平顶山•阶段练习)若函数/(无)=；/-62+4底°>0)存在两个极值点看和马，则

/(%)+〃％)取值范围为

1616—16、16

A.(-co,—]B.(-co,—)C.(—,+co)D.[—f+8)

压轴题06导数性质压轴小题

电盘重点•抓核心

总论

一、导数与函数的不等式求解问题是高考的热点题型.常见题型：

(1)判断、证明或讨论函数性质求解不等式；

(2)已知不等式恒成立或者有解求参数范围；

(3)构造函数，利用导数研究函数性质求参数范围.

二、比大小常见思维：

1.指数函数比大小易错点：

(1).利用指数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待.

(2).指数函数在第一象限图像，具有“底大图高”的性质

(3).指数函数图像性质：一点一线。恒过定点(0,1),x轴是它的水平渐近线

(4).进行指数幕的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单

调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幕的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确.

2.有关指数幕和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其

对应值的范围.

比较指对塞形式的数的大小关系，常用方法：

(1)利用指数函数的单调性：y=优，当“>1时，函数递增；当0<〃<1时，函数递减；

(2)利用对数函数的单调性：y=log〃x,当时，函数递增；当0<”1时，函数递减；

(3)借助于中间值，例如：0或1等.

压轴题型一：解不等式：构造幕的积、商型

/满分技法

事函数积形式构造：

1.对于对''(x)+f(x)>0(<0),构造g(x)=x・f(x),

2,对于犷(x)+V(x)>0(<0),构造g(x)=xk.f(x)

幕函数商形式构造：

f(x)

1.对于x•广(%)■/(%)>0(<0)，构造g(x)=--,

X

2.对于x•尸(%)对(x)>0(<0),构造g(x)=f

X

1.(2023•全国•高三专题练习)已知定义在R上的函数/(尤)满足〃2+X)=〃2-X),且当x>2时，有

才(力+/(力>2/⑺，苟⑴=1,则不等式的解集是()

A.(2,3)B.(-8,1)

C.(l,2)u(2,3)D.(-®,1)U(3,HK»)

【答案】A

【分析】根据题目特征构造函数g(x)=(x-2)/(x),先根据的对称性得到g(x)的图象关于(2,0)对称且

g(3)=l,根据廉元)的单调性解不等式得到解集，再根据

【详解】根据题意，设g(x)=(x-2)/(x),则g⑴=-八1)=-1,则有g(2+尤)=?(2+x),g(2-x)=-xf(2-x),

即有g(2+x)=-g(2-x),故函数g(x)的图象关于(2,0)对称，则有g(3)=-g⑴=1,

当%>2时，g(%)=(x-2)/(x),g\x)=(x-2)/r(x)+/(x),又由当元〉2时，xf'(x)+/(x)>2f1(x),即当x>2

时，g'(x)>0,即函数g(尤)在区间(2,+s)为增函数，由<工可得(x-2)/(劝<1,即g(x)<l=g(3),

x—2

/.2<x<3,

••,函数g(x)的图象关于(2,0)对称，，函数g(x)在区间(-8,2)为增函数，且g(x)<。在(-8,2)上恒成立，由

/(》)<一^可得(尤-2)/(无)>1,即g(x)>l,此时x不存在.

综上：不等式解集为(2,3).

故选：A

2.(吉黑两省八校联合体2023-2024学年高三数学)定义在(。,+?)上的函数/⑺的导函数;满足

则下列不等式中，一定成立的是

A./(9)-l</(4)</(l)+lB./(1)+1</(4)</(9)-1

C./(5)+2</(4)</(1)-1D./(1)-1</(4)</(5)+2

【答案】A

【详解】_

设g(x)=/(x)-«,贝以0)=广⑴-—二=侦坐二1<0,故函数g(x)在(0,y)上递减，所以

2yjx2yJx

g(l)>g(4)>g(9),所以〃1)_珞>〃4)一a>/(9)-囱,即f(9)-1<>(4)</(1)+1,故选择A.

3.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(X)的定义域为(L+8),其导函数为广⑺，

(x+2)[2〃x)+矿⑺卜虫%)对xe(l,y)恒成立，且八5)=《，则不等式(尤+37〃x+3)>2x+10的解

集为()

A.(1,2)B.(—8,2)C.(-2,3)D.(-2,2)

【答案】D

【解析】根据已知条件构造一个函数G(x)=gg,再利用G(x)的单调性求解不等式即可.

【详解】由(x+2)[2〃x)+矿(切<虫耳，可得2犷•(可+必广(可<三理，

即(尤令g(x)=d/(x),则0<lf”_g，(x)=g⑺-8'3@+2).

\''Jv-I-9v-U9v-U/

令G(x)=g4，G[x)鳖]=g'(无)：+；；[g(x)<0,所以G(x)在(1,+x)上是单调递减函数.

(X+3)2〃X+3)>2.即G(x+3)=g(：3)>2,

不等式(％+3)2/(x+3)>2x+10,等价于

x+5

G⑸=半1=T=2,

所求不等式即G(x+3)>G(5),由于G(x)在(1,+s)上是单调递减函数，

所以尤+3<5,角军得尤<2,且％+3>1,即x>—2,

故不等式(x+3『/(尤+3)>2x+10的解集为(-2,2).故选：D

4.(安徽省皖中地区2019届高三入学摸底考试数学)已知可导函数/■(%)的定义域为(-8,0),其导函数/

满足矿(x)-2/(力>0,则不等式/(2017+口-(*+2017)2/(-1)<0的解集为

A.(-oo,-2018)B.(-2018,-2017)C.(-2018,0)D.(-2017,0)

【答案】B

【分析】

构造函数85)=举，将不等式转化为g(2017+x)<g(-l),再根据g(x)定义域以及单调性化简求解.

1

■、系总刀、Azx/(%)八，/、xf\x)-2xf(x)xf\x)-2f(x)八

【详解1令g(%)=2-V,%v0「.g'(x)=J,4—=J<0

因为“2017+%)-a+2017)2/(-l)v0,所以(2017+%)2g(2017+%)-(2017+%)2g(—l)<0,

/、/、f2017+x<0f2017+x<0

因为gX在(-8,0)单调递减，所以n-2018<x<-2017,选B.

1g(2017+x)<g(-l)[2017+%>-1

5.(2022甘肃武威・高三武威第六中学阶段练习)已知定义在(0,+8)上的函数大幻的导函数满足

对■‘a)+/(x)=妈且/(e)=』，其中e为自然对数的底数，则不等式/(x)+e>x+』的解集是

xee

A.(0,e)B.(0,-)C.(-,e)D.(e,+oo)

ee

【答案】A

【详解】令g(x)=#(x),贝ij有/(力=步(》)+/(力=(,g(x)=；(lnxy+C(C为常数)，

1

/.xf(x)=—(inx)9+C

〃x)=；(In尤)2+C,又•・•〃e)=L,得C=(

2xxe2

"(x)=；(ln+；，，再令人(x)=-X，则"(尤)=-(尤)-1=0nx：l)一1<0，故函数

/z(x)=/(X)-X在(0,+8)上递减，

不等式〃x)+e>x+,等价于y(x)-x>/(e)-e,所以0<x<e，故选A

压轴题型二：解不等式：构造指数的积、商型

M满分技法

指数型构造，主要以e的指数型为核心

e'函数积形式构造：

1.对于八%)4/(尤)>0(<0),构造g(x)=ex*f(x),

2.对>0(<0)，构造g(x)=ekx«f(x)

1.(黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年第三次检测考试数学)设函数/(X)的导函数为/(%),10)=1,

且3/(%)=/(x)—3,贝IJ4/(%)>f\x)的解集是

A.(—,+8)B.(『，+8)c.(¥，+oo)D.(。，+8)

【答案】B

【分析】

构造函数g(x)=g之，计算g(0)=/粤11=2,g，(x)故g(x)为常函数，

eee

〃x)=2e3-1,代入不等式得到答案.

【详解】构造函数g(x)=^"0)=1，故g(0)=//工=2.

ee

/'(x)^-3(/(x)+l)^f°):3X)3=0,故g(x)为常函数.

g'(x)

故g(x)=^^=2,〃x)=2e3，l,f\x)=6^,

e

4/(x)>/'U),即8e3,4>6e3，，解得了>亍.故选：B.

2.(广