2025年高考数学压轴题：导数压轴大题不等式证明（原卷版+解析）

压轴题07导数大题

无限和裂项型不等式证明

同构型不等式证明

累积型数列不等式证明

三角函数型不等式证明一

凸凹翻转型不等式证明

零点型不等式证明

部盘重点•抓核心

总论

一、导数证明不等式，核心思维有两个方向：

构造对应的函数不等式，用导数证明不等式成立。。

利用函数不等式来放缩。涉及到求和或者求积型不等式，放缩有以下两个思维

(1)、先放缩再求和证明；

(2)、先求和再放缩证明。

所以证明的一般思维和基本步骤

(1)作差或变形；

(2)构造新的函数8(*)；

(3)利用导数研究屋"的单调性或最值；

(4)根据单调性及最值，得到所证不等式；

特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值

问题.

二、不等式证明的“借式子”思维：

首先作为第二问不等式证明中，关键需要利用(D中的结论，得出符合证明的不等式，或者符合证明

方向的不等式放缩条件式子，这需要结合(1)中的结论，巧妙赋值，适当凑配。

其次，还需要联想要证的不等式的大小关系，构造函数合适的函数关系式，得出放缩关系是。

三、利用数导数证明数列不等式方法

常根据已知的函数不等式或者构造函数不等式进行证明，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的

自变量，通过求和达到证明的目的.

特别是对于“无线和与无线积”型，可以适当的联想数列递推公式的裂项法，或者通过适当的取对数,

把积转化为和的形式来证明。

压轴题型一：无限和裂项型数列不等式证明

%/满分技法

证明不等式/⑴+/(2)++/(")<g(〃)，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通

过变形将右边也转化为求和式，即

g(，)=[g(〃)-g(〃-l)]+[g(〃-l)-g("2)]+[g(n-2)-g(n-3)]+.+[g(2)-g(1)]+[g(1)-g(0)]

这样一来，设勿=g(〃)_g("T)(〃eN*),

则只需证/⑴+〃2)+++b2++bn,而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小

关系，即如果能够证出了(")<2恒成立，则原不等式也就成立.

1.如果函数F(X)的导数9(x)=/(x),可记为尸⑺=J〃x)dx.若〃尤)..o,则，/。)及=/何-尸⑷表

示曲线y=〃x),直线x==6以及X轴围成的“曲边梯形”的面积.

⑴求曲线孙=1在xe[l,2]上与x轴围成的封闭图形的面积；

⑵当f>l时，求证：21nf<1(ld■—；

(3)求证:1+；+++卜皿〃+1)+印[g)

2.已知函数/(%)=ln(x-l)—or+2,〃£R.

⑴讨论了(%)的单调性；

(2)证明：2+q+1>[inI：*】(加之2且〃£N*)

352〃-123

e*一2

⑶若对任意%>0,者B有/(x+i)2i-=恒成立，求实数。的取值范围.

3.已知函数〃x)=ln(l+x)-x,g⑴=1j；+a(aeR),

⑴求函数的单调区间及最值；

(2)若对任意x>0,有〃司+8(%)>1成立，求。的取值范围;

(3)求证：|+|+|++^j<ln(«+l)(«eN*).

压轴题型二：累积型数列不等式证明

\/满分技法

累加列项相消证明法

证明不等式/⑴・〃2)..为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可

以通过变形将右边也转化为求和式，如转化为累积相消型

(卜g(").g(〃T)』⑴

g㈠g(n-l)g(n-2)g(l)8{)

这样一来，设a=HGN

g("l)

则只需证/⑴./（2）../（«）</?]+Z?2++6“，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系,

即如果能够证出/（〃）<女恒成立，则原不等式也就成立.

证明不等式/⑴"（2）.为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项常数，但可

以通过取对数，把左边的积转化为对数和型，如转化为累加或者累积相消型

In（/■⑴.〃2）.IntnIn（/⑴）+ln（/（2））+ln（/（3））-.+ln（/（2））<lnt

1.已知函数/（彳）=!尤3+。尤2-3/x,a&R

⑴讨论〃元）的单调性；

⑵当a=l时，以4（0,〃0））为切点，作直线4交“X）的图像于异于4的点再以A为切点，

作直线6交〃尤）的图像于异于A的点4（%，〃々）），…，依此类推，以4（尤“,〃%））为切点，作直线/用交

“X）的图像于异于4的点4+1（%+”〃七+|））,其中〃eN+.求上｝的通项公式.

⑶在⑵的条件下，证明：『土『言『告d[1+k^]<e

2.已知函数/（x）=（x+2）ln（x+2）,^（x）=x2+（3-a）x+2（l-a）（aeR）.

⑴求函数的最值；

（2）若不等式/⑺Wg⑺在（-2,+。）上恒成立，求。的取值范围；

（3）证明不等式：f1+^Y1+^rY1+^yf1+^<e3（weN*）-

3.已知正项数列｛%｝的前〃项和为S“，首项4=1.

⑴若a：=4S,-2a“-1,求数列｛叫的通项公式；

⑵若函数/（x）=2e'+x,正项数列｛%｝满足：。向=/（%,）（“wN*）.

K

⑴证明：Sn>3-n-l.

（ii）证明：++++

5a25a35a45an

压轴题型三：三角函数型不等式证明

\/满分技法

对于含有三角函数型不等式证明：

1.证明思路和普通不等式一样。

2.充分利用正余弦的有界性

3.三角函数与函数的重要放缩公式：xNsinx（xNO）.

1.已知函数/（%）=比一兀+1一1.

⑴求〃%）的极值;

(2)已知〃cN*,证明：sin----Fsin-----1----1-sin—<In2.

n+1n+22n

2.已知函数f(x)=(x—Q)lnx+(a-l)x(a£R).

⑴若函数/(%)在(O,+e)上单调递增，求实数。的值;

(2)求证：ln2〉sin」—+sin」—++sin」—.

100101198

3.已知函数/(%)=lnx+3—>0.

x

⑴若了(%)的图象不在X轴的下方，求。的取值集合；

111/*

(2)证明：sin-----Fsin-----F+sin------<ln2024(neN

n+\n+22024〃v

压轴题型四：凸凹翻转证明不等式

/满分技法

凸凹反转首先是证明不等式的一种技巧，欲证明/(x)>0,若可将不等式左端/(x)拆成g(x)>/z(x),

且gmm(X)〉丸max。)的话，就可证明原不等式成立.通常情况，我们一般选取g(X)为上凸型函数，//(X)

为下凹型函数来完成证明.

1.已知函数/(无)=告赭(无)=//一》一?.

⑴求函数y=g。)在彳=0处的切线方程；

(2)证明：/(x)<4；

e

(3)证明：/(%)<§«.

k

2.己知函数/(x)=ln(l+x)-x+5尤,(kN。).

⑴当人=2时，求曲线y=〃x)在点。"⑴)处的切线方程；

⑵求的单调区间；

⑶当次=(时，求证：尤时，/成立参考数据(ln2=0.693).

3.已知函数/0)=(炉+M+〃心”，m,neR.

⑴当W=4〃时，求了(%)的最小值；

⑵当机=-2时，讨论了。)的单调性；

(3)当m=〃=0时，证明：Vx>0,/(x)>Inx+1.

压轴题型五：零点不等式证明

%//满分技法

三不零点型不等式证明常见思维，关键是问题的转化.证明不等式问题第一步转化是消元，把三个根用

一个变量机表示，第二步构造新函数g(m),证明g(附的最小值g(%)>0,第三步由导数求得极小值点人

的范围，并对g(m0)变形，第四步换元/=〃(%)，最终转化为关于/的多项式不等式，问题易于解决.

121nx

1.已知函数/(%)=lnx—Q(x——),g(%)=----x-m.

%%+]

⑴若函数/(x)在其定义域上单调递减，求实数a的最小值.

(2)若函数g(x)存在两个零点七，%,设为〈入2

(i)求实数机的取值范围；

(ii)证明：2<xi+x2<l-m.

2.已知函数/(%)=(%T)ln%,g(x)=a(x+I),

(1)^/(x)>m2-2m-3,求实数机的取值范围；

(2)设函数尸(%)=/(%)-g(X),且X],%2是尸⑺的两个零点.

(i)求a的取值范围；

(ii)证明：玉%2>3—(%+9).

3.已知函数/(%)=—―(a€R).

x+1

⑴讨论了(%)的极值点个数；

(2)证明：VweN*,ln(n+l)>Y--；

w21+1

2

⑶若关于尤的方程+有两个不同实根4，匕，求。的取值范围，并证明：^2>e.

X+1

压轴题型六：同构型不等式

满分技法

常见同构技巧：

指对变形同构

1.*=1111=6近(“无中生有”公式，原理公式)

2.xeA=elnx-eA=elnx+x

Xplnx

々人口-Inx-x

3--7=-r=e

ee

4.x+lnx=lne*+lnx=ln(xeO

e%

5.x-lnx=Inex-Inx=In一

x

常见指对同构函数式子：

1、xe”(同构函数基础)

9111X_-l

y-1lnx1

乙.---一一XInx=-elnx-

X

3*=1_1

-1-1tax

Inx-xInx-e'.Inx

4.xInx•Inx

5.-=xe~x=：一(-x)e-x

e

6.—=------——-

x-(-x)e”

1.已知函数/(x)=e「冰2在R上没有极值.

⑴求实数。的取值范围；

⑵若/(e"-如”八一:+皿阿叨对彳^他+⑹恒成立，求实数机的取值范围.

2.已知函数/(%)=底侬(<2>0).

(1)求/(X)在区间［-M］上的最大值与最小值;

⑵当时，求证：/(x)>lnx+x+l.

3.己知函数/(x)=lnx-a［x-：),a>Q.

⑴讨论了(尤)极值点的个数；

⑵若“X)恰有三个零点九&晨。<与)和两个极值点修々(百<%)•

(i)证明：/(%)+/(々)=。；

(ii)若根〈几，且%lnm=Hln〃，证明：--------->n(lnn+l).

单2t3

压轴题型七：双变量比值代换型

1.已知函数/(x)=2x+办2+%lnx,a£R.

⑴当。=0时，求曲线y=〃x)在x=e处的切线方程；

⑵若“X)有两个零点再,尤2，且3>3玉，证明：王尤2>当.

e

2.已知函数/(%)=xln%-依+〃，acR.

⑴若a=2,求曲线y=/(%)在点(11⑴)处的切线方程；

⑵若对任意%>0,不等式/(幻20恒成立，求〃的值；

(3)若实数机，〃满足机>〃>0,证明：ln〃+l<"In-"n><)>+1

m—n

12Inx

3.已矢口函数/(%)=lnx—a(x——),g(x)=-----x-m.

Xx+1

⑴若函数/(X)在其定义域上单调递减，求实数a的最小值.

(2)若函数g(x)存在两个零点不々，设玉

(i)求实数机的取值范围；

(ii)证明：l<x1+x2<l-m.

压轴题型八：双变量不等式和差换元型

1.已知函数有3个极值点%,%2,无3,其中e是自然对数的底数.

(1)求实数。的取值范围；

⑵求证：x1+x2+x3>—2,

2.已知函数〃x)=xeT.

⑴求函数的单调区间；

(2)己知函数g(x)的图象与的图象关于直线尤=1对称，证明：当x>l时,/(x)>g(x)；

(3)如果芯片々，且/(石)=/(%),证明：4+%>2.

3.己知函数/(x)=(x+左户，其中％cR.

⑴当左=-1时，讨论关于x的方程=a(aGR)的实根个数；

⑵当%>-1时，证明：对于任意的实数看,%(不工々)，都有三⑴〉五产.

压轴题型九：双变量不等式韦达定理型

\/满分技法

利用韦达定理证明不等式

L题干条件大多数是与函数额极值xl,x2有关。

2.利用韦达定理代换：可以消去参数

1.已知函数/(尤)=4x-gx2-aln龙(a>0)

(1)当a=3时，讨论函数/(x)的单调性.

⑵若f(x)有两个极值点X,,X2(Xj<尤2)

①求〃的取值范围

②证明：/(占)+/食2)<1。-111。

2.已知函数〃x)=-；x2+arTnx(aeR).

⑴求函数的单调区间；

(2)若函数/(X)有两个极值点占，%(占<三)，求证：4/(.x1)-2/(%2)<l+31n2.

3.已知函数"x)=aln(l+x)+x2-2x.

⑴讨论的极值点个数；

⑵当a=2时，记8⑴=/⑴一%2,证明：当。为锐角时，g(sin6>)+g(cos6>)>-l；

(3)若函数/⑺有两个极值点4、%，且玉<%,证明：/(^)+/(^2)>0.

压轴题07导数压轴大题不等式证明

零点型不等式证明

颌盘重点•抓核心

总论

一、导数证明不等式，核心思维有两个方向：

构造对应的函数不等式，用导数证明不等式成立。。

利用函数不等式来放缩。涉及到求和或者求积型不等式，放缩有以下两个思维

(1)、先放缩再求和证明；

(2)、先求和再放缩证明。

所以证明的一般思维和基本步骤

(1)作差或变形；

(2)构造新的函数g(x)；

(3)利用导数研究g(x)的单调性或最值；

(4)根据单调性及最值，得到所证不等式；

特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值

问题.

二、不等式证明的“借式子”思维：

首先作为第二问不等式证明中，关键需要利用(D中的结论，得出符合证明的不等式，或者符合证明

方向的不等式放缩条件式子，这需要结合(D中的结论，巧妙赋值，适当凑配。

其次，还需要联想要证的不等式的大小关系，构造函数合适的函数关系式，得出放缩关系是。

四、利用数导数证明数列不等式方法

常根据已知的函数不等式或者构造函数不等式进行证明，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的

自变量，通过求和达到证明的目的.

特别是对于“无线和与无线积”型，可以适当的联想数列递推公式的裂项法，或者通过适当的取对数,

把积转化为和的形式来证明。

压轴题型一：无限和裂项型数列不等式证明

满分技法

证明不等式/⑴+/(2)++/(«)<g(n),该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通

过变形将右边也转化为求和式，即

g(〃)=[g(w)-g("T)]+[g(wT)-g("2)]+[g("-2)-g("-3)]++(2)-g(1)]+[g(1)-g(0)]

这样一来，设d=g(")-g(，T)"wN*),

则只需证/⑴+/(2)+-+f(n)<R+瓦++bn,而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小

关系，即如果能够证出/(〃)<久恒成立，则原不等式也就成立.

1.如果函数户(%)的导数尸(无)=/(力，可记为/(%)="3比若〃x)..0,则//。曲=/3)-尸(p)表

*a

示曲线y=〃x),直线x=〃,x=6以及无轴围成的“曲边梯形''的面积.

⑴求曲线刈=1在xe[l,2]上与x轴围成的封闭图形的面积；

⑵当t>l时，求证：2Inf<

⑶求证：4>in(w+i)+i(^i)("eN*)-

【答案】(l)ln2

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)由基本函数的导数公式和题中新定义的含义计算即可.

(2)先由新定义的运算得到21n/<再构造函数=利用导数分析单调

性，证明结论.

(3)先证明1皿<：,5〃+11।n+1n\,、、一，u

时，再利用结论,得山工7〒-q,m累加法可得答案.

【详解】(1)由-=1,得y=J由题意可得所求面积S=J：：ch.令G'(x)=J则G(x)=lnx+c(c是常数)

所以S=G(2)-G(l)=ln2+c—(nl+c)=ln2,

即曲线孙=1在无目1,2]上与x轴围成的封闭图形的面积为M2.

(2)令H'(x)=l+*,可得=+根(加是常数)，所以氏1+：卜="⑺一=

只需证如f>>1),令/⑺=3>1

要证2如r

当时，:(/)=；一：[1+"]=葛¥<°，所以/⑺在。，内)上单调递减，所以当”1时,

/(f)=lnr-|fr-^-j</(l)=0,所以ln/<g“一：

即21nf<「TN

(3)由(2)得，当t>l时，因为曲>1所以始上乂<

2(t)nn

.所以ln2-lnl<；x[l+q

即ln(〃+l)-ln〃

111

In4-ln3<-x1,ln(n+l)-lnn<—.累加可得

2+42n+1

；111

ln(n+l)-lnl<1+LL3++—+—+

2233nnn+1

即ln(〃+l)<l+；+；+11="+Ln

H-----1-

n2n+1232(n+l)'

111Iicn

所以1+—+—++->ln(n+l)+--------〃£N*

切以23nv72(n+l)

【点睛】关键点点睛：构造函数/⑺=；卜>1,求导证明B，进而得到

In—<M--^-1利用累加法得出答案.

nnn+1J

2.已知函数/(%)=1口(％—1)一依+2,々£1<.

⑴讨论了(%)的单调性；

(2)证明：2+：+且〃eN*)

352n-l23

⑶若对任意尤>0,都有/(x+1)21-”仁恒成立，求实数。的取值范围.

X

【答案】⑴答案见解析⑵证明见解析⑶(F』

【分析】(1)首先求函数的导数，讨论。的取值范围，求函数的单调区间；

(2)首先a=l时，函数为〃x)=ln(x—l)—x+2,根据(1)的结论，得x>2时，0<ln(x—l)<x—2,再

赋值》="匚+1>2(附22且〃€?4*),代入不等式，利用累加法，即可证明；

2〃一1

(3)由所证明的不等式，构造函数g(x)=・+lnx-办+1,尤>0,再讨论。得到取值，通过放缩法得到

x-2x-2

g(x)=-----+lnx-ax+l>-----+lnx-x+l=ex~2~,nx-(x-2-lnx)-l,构造函数，利用导数，即可证明.

【详解】⑴〃4的定义域为(1,田),所以尸(x)=工-。，当4W0时，f(x)>0,/(力在(1,小)上单

调递增，当。>0时，令/'(x)=o,得x=l+1,

当1〈尤<1+工时，r(x)>0,“X)在区间(1』+」上单调递增，

aVaJ

当X>1+：时，((x)<0,“X)在11+J上单调递减，

综上可得，当aWO时，/(对在。,+<»)上单调递增，

当a>0时，/(x)在+上单调递增，在区间[1+：,+e)上单调递减；

(2)当〃=1时,f(x)=ln(x—1)—x+2,由(1)可知,在(1,2]上单调递增，在(2,+oo)上单调递减,

^/(x)</(2)=0,即ln(x—l)—x+2<0在(1,+8)上恒成立，所以当x>2时，0<ln(x—1)<九—2,

人2n+lc/口、T*、rnrii2〃+12及+12

令兀=-----i-l>2(n>2^neN),贝|ln-------<----------1=--------,

2n-l2〃-1212n-l

即』>'(ln5-ln3),->-(ln7-ln5),>-[in(2»+1)-In(2n-1)],

32522Az12

所以累加得g+g+…+^^>:(ln5—ln3)+g(ln7-ln5)+...+；[ln(2"+l)—ln(2"-l)]=gln^1^,

cL*r_L1111,2^+1

故当〃之2且〃EN时，-+-+->-ln——.

352n-l23

x—2x—2

(3)由题对任意0,者R有In%—以一a+221—〃-------恒成立，即----blnx-ax+l20在(0,+。)上恒成立，

xx

x-2

令g(%)=-----ilnx-ax+1,x>0,即g(%)之。在(0,+8)上恒成立,①当时,由于x>0,—1,

x

x—2.x—2

贝U有g(x)=------Flnx-ar+l>------blnx-x+1=6%-2-111¥一(尤一2-lnx)-l,

1r_i

令力(无)=x-2-lnx(x>0),所以=l——=-----,令〃'(x)=0,得左=1,

xx

所以当xe(O,l),无)<0,7z(x)在(0,1)上单调递减,

当xe(l,+co),〃(x)>0,/z(x)在(1,+co)上单调递增，

所以当xe(O,y)时，/i(x)>/?(1)=-1,

令f=x-2-lnx,贝！Jre[-l,+oo),令p(r)=e，T-l,所以plr)=e'-l,

令p'⑺=0,得仁0,所以当时，p'«)<0,0⑺在[T，0)单调递减，

当/W(0,+oo)时，p'⑺>0,P⑺在(0,+℃)单调递增，

所以当fe[-l,+oo)时，p(t)>p(o)^o,

即g(x)=^—+lnx-ar+l>p(/)20在xe(0,+co)上恒成立，符合题意，

②当a>l时，由于力⑺在(L+oo)上单调递增且/i(2)=—ln2<0,耳4)=2-21112>0,

故存在唯一%e(2,4),使得万(不)=。，即%一2-111元0=0,即/-2=111%，即6%-2=%，

e%-2

止匕时g(x())=^—+ln%-叫+1=(1-々)/<0这与g(x)N0在(0,+<»)上恒成立不符，

玉)

综上，实数。得到取值范围是(F[]

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是赋值X=M4+1>2(〃、2且九eN*),转化为数列问题，证明不

等式，第三问的关键是讨论不同的。的取值，从而讨论不同的函数是否满足条件.

3.己知函数/(x)=ln(l+x)—x,g(x)，：：；a(aeR),

⑴求函数〃x)的单调区间及最值；

⑵若对任意x>0,有〃x)+g(x)>l成立，求。的取值范围；

(3)求证：g+|+g++。1]<ln(w+l)(〃eN*).

【答案】(l)f(x)的单调递增区间为(T,。)，单调递减区间为(。,+"),最大值为0,无最小值.

⑵[2,+8)(3)证明见解析

【分析】(1)求出导函数，根据导函数正负得出单调区间及最值；

(2)分a<2和两种情况讨论，即可得到。的取值范围；

(3)应用(2)中结论，令x=；(左eN*),得出In优+l)-ln左>应用累加法结合对数运算得证.

【详解】(1)“X)的定义域为(T+s),〃x)=91T=一缶，

当一l<x<0时，/,(x)>0,当x>0时，/z(x)<0,

所以/(X)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0,+8),

由单调性知/(尤)的最大值为/(o)=0,无最小值.

(2)由(1)的结论可知，O==

BP0>-ln(l+x)+-^-,即ln(l+x)2肩，

由f(x)+g(%)=ln(l+x)-x+?+2'+"=ln(l+x)H——,

x+2x+2

故已知条件转化为：对任意尤>0,In(l+X)+品>1成立,

若a<2,贝单£>/_1，止匕时对丫_/£[>o，

C-1A-C-JL/U

Wln(l+x)+-^-<lne^+-=l--+-=l,不满足条件；

'7x+2222

若则对任意x>0,

七…Gxax2x(x+2)+2(x+l)%2+4x+2

都有皿1+无)+1217T+77r(尤+1)(尤+2)\+3x+2'

因为x：+4x+2>x：+3x+2=],即满足in0+x)+三>i,

x+3x+2x+3x+2%+2

所以〃的取值范围是[2,+co).

(3)由(2)知，当4=2时，对尤>0有ln(l+无)+」一=ln(l+x)+二一>1,

x+1x+2

故有ln(l+x)>l--=令尤=；(ZeN*),则有ln[l+首>占，

%+，%+，K,Ik)![2

1

整理得：—^<ln(^+l)-lnfc,所以

2左+]

g+"+；++21]<(in2-In1)+(in3-In2)++(in(〃+1)-In〃)=In(〃+1),

即g+g+3++*<ln(〃+D(〃eN*)【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点为应用已经证得结论令

x=：(左eN*),得出U7vlMk+l)-In%,应用累加法结合对数运算得证.

K乙K十1

压轴题型二：累积型数列不等式证明

/满分技法

累加列项相消证明法

证明不等式/⑴4(2%••〃")<g5)为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可

以通过变形将右边也转化为求和式，如转化为累积相消型

(\g⑻g("T)g2

8g⑴

"g("T)’g(〃一2)g⑴

一g("l)'7

则只需证了⑴4(2)・%++2，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系,

即如果能够证出/(»)<年恒成立，则原不等式也就成立.

证明不等式/⑴"(2)・・/(〃)<t为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项常数，但可

以通过取对数，把左边的积转化为对数和型，如转化为累加或者累积相消型

ln(/(l)./(2)../(«))<lnt^In(/(I))+ln(/(2))+ln(f(3))...+ln(/(2))<lnt

1.已知函数=g尤+awR

⑴讨论的单调性；

⑵当a=i时，以4(0,〃。))为切点，作直线4交“X)的图像于异于4的点4(百，〃玉))，再以A为切点，

作直线交“X)的图像于异于A的点&(%，/伉))，…，依此类推，以4(%,〃%))为切点，作直线加交

“X)的图像于异于4的点其中〃eN+.求优｝的通项公式.

⑶在(2)的条件下，证明：1+

【答案】⑴答案见解析⑵X„=(-2)"-1(3)证明见解析

【分析】(1)利用导数分成a<0,a=0,。>0三种情况讨论函数/(x)的单调性；

(2)根据所给的规则求出切点为+的切线方程，再进一步求得x“+i，结合等比数列的定

义得出结果；

(3)当x>0时，先证明ln(l+x)<x成立，得出In1+]H1=F，

得出结果.

【详解】(1)/'(%)=尤2+2依一3a2=(无+3a)(x-。)

①若a<0,当xe(T»,a)D(-3a,+8)时，/,(x)>0；当xe(a,-3a)时，/,(x)<0,

故/(x)在上单调递增，在(。,-3可上单调递减，在(-3a,+e)上单调递增，

②若a=0,则/3=/20,则在R上单调递增，

③若a>0,当xe(-00,-3a)“a,+8)时,/,(x)>0；当xe(-3a,a)时,/,(x)<0,

故/(x)在上单调递增，在(-3a,a)上单调递减，在(a,+e)上单调递增，

综上所述：

①当a<0时，/(%)在(-°0,a)上单调递增，在(a,-3a)上单调递减，在(-3a,+a?)上单调递增；

②当a=0时，则/⑴在R上单调递增；

③当a>0时，/(%)在(-g,-3a)上单调递增，在(-3a,a)上单调递减，在(a,+少)上单调递增.

(2)当a=l时，/(x)=gd+Y-3x,r(x)=f+2x—3,切点41当1^+%一3%],切线斜率：尺+2%一3,

故切线方程为：>=(无：+2匕-3)(X-%)+；尤：+龙；-3元“，

32

联立/(x)=+x?_3x得：(x；+2xn—3^x—xnj+—x^+x~—3xn=—x+x—3x,

化简得：丁+3/_(3片+6天卜+2片+3七=0,因式分解得：(x-xJa+Zx.+S”。.

故x用=-2毛-3上式亦满足由人作切线而得到的4的横坐标玉，故西=-3,

x„+1+l=-2(x„+l),贝U优+1｝是以一2为首项，以一2为公比的等比数歹山故无“+1=(—2)",故当=(一2)"—1.

(3)构造g(x)=ln(l+x)-x,(x>0)g，(元)=1一-1=--^<0,故g(x)在(0,+8)上单调递减,故

LIJi1I

、

g(x)<g(0)=O故当x>0时，ln(l+x)<x,故In<fT+^=F^d=F

…「111」111

贝5]In1+■：----r<—1j-,In1+■：----r<—2z-,

I21|x2+l|J2

将上式累加，得

+±=l-±,

2"2"

<e.

2.已知函数/(x)=(x+2)ln(x+2),g^x)-x2+(3-«)x+2(l-<7)(«eR).

⑴求函数〃x)的最值;

⑵若不等式〃x)Wg(x)在(-2,+向上恒成立，求。的取值范围;

1_

(3)证明不等式:,3〃£N'

4

【答案】(1)最小值为-工，无最大值；(2)(-oo,0](3)证明见解析.

e

【分析】(1)对/'(X)求导，借助((无)的正负判断了(X)的单调性，进而求出了(X)的最值；

(2)不等式/。)48。),工€(-2,+8)上恒成立，等价转化为ln(x+2)<x+l-a,然后分离参数得

a<%+l-ln(x+2),设/z(x)=x+l—ln(%+2),xw(―2,+oo),求九(%)5即可.

(3)由⑵知x+121n(x+2)在(T+co)上恒成立，令芯=±-1,则有ln(l+1)〈上，然后借助不等式同

444

向可加性及等比数列前〃项和公式求证.

【详解】(1)由题意可知，r(x)=ln(x+2)+l,a>-2)

由T(x)>0可得X>,-2,则函数/(X)在d-2,+8)上单调递增；

ee

由f'{x)<0可得-2<X<工-2,则函数/(X)在(-2」-2)单调递减；

ee

所以当时尤=工-2,函数f(x)有最小值，最小值为-工，无最大值.

ee

(2)由不等式/(%)«g(x),x£(-2,+oo)上恒成立，得(％+2)ln(%+2)<x2+(3-a)x+2(1-〃)=(%+2)(x+l-a),

因为X£(—2,+OO),所以ln(x+2)«x+l—a,所以aVx+1—ln(%+2)在冗E(-2,+OO)上恒成立，

Y+1Y+1

设7i(x)=x+l—ln(x+2),x£(—2,+oo),贝ij”(x)=----，由“(％)=----->0得无>一1,

x+2x+2

由"(x)=UY+<]0得—2av—1,所以函数依九)在(-2,-1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增，

所以1nm=6(-1)=。，所以实数。的取值范围为(-8,0].

(3)由(2)得x+121n(x+2)在(-1,+ao)上恒成立,

令尤=3-1，贝U有山(1+!)<，

444

所以ln(l+J)+ln(l+])++ln(l+\)<；+g++占=：(1一《),

44444434

因为〃£N*,所以:工彳(1一弁)〈彳，

434”3

所以ln(l+J)+ln(l+3)++ln(l+3)<：,所以(1+工)(1+±)(1+^-)<e3.

4443444

3.已知正项数列｛%｝的前〃项和为S“，首项4=1.

⑴若a：=4S,-2a“-1,求数列｛叫的通项公式；

⑵若函数/(x)=2e'+x,正项数列｛%｝满足：。向=/(%,)(“wN*).

K

⑴证明：Sn>3-n-l.

(ii)证明：(1+Jy)(l+Jy)(l+Jy)"(1+Jy)<源(〃22,weN*).

5a25a35a45an

【答案】(1M=2〃-1

⑵(i)证明见解析；(ii)证明见解析.

【分析】(1)根据给定条件，结合5,-5“一=%,”22变形，再利用等差数列求出通项.

(2)(i)利用导数证明不等式e'Nx+1,由此放缩各%22x3"T-l,再利用分组求和法求解即得；(ii)

由⑴推理证得-7)(5"-2)及ln(x+l)?x,再利用裂项相消法求和推理即得.

【详解】⑴正项数列｛。"｝中，q=l,〃eN*,"=4S"-2a“-l,当心2时，心=4%-2%-1,

两式相减得《-<I=4(5„-S“T)一2%+2%,即(4+舶)(4-岫)=2(4+%),

而a”>0,则见-见7=2,因此数列｛4｝是首项为1,公差为2的等差数列，

所以数列｛4｝的通项公式为%=1+25-1)=2〃-1.

(2)(i)令/1(元)=/一次一1,求导得"(x)=e"一1,当xvO时，h'｛x)<0,当x>0时，〃(x)>0,

即函数/(%)在(F,O)上单调递减,在(0,+8)上单调递增，则飘%)之力(0)=0,BPex>x+l,

于是«„+i=/(«„)=2的+an>2(an+l)+an=3an+2,

gp«„+1+l>3(a„+l),即既十3,

当“22时，+l=.^±L>(fl1+1).3-'=2x3-',

a

ax+12+1%+1n-\+1

当〃=1时％+1=2=2X3°,因此为>2x3n-1-1,

012n-1

所以S〃=q+/+/++6Zn>(2x3-l)+(2x3-l)+(2x3-l)+,+(2x3-l)

/、1—

=2(3°+31+32+-+3〃T)一〃=2x^~^—〃二3应一〃一1

(ii)由已知为+1=/(氏)=2e"+q，所以%+i—=2e"">0,得cin+x>an,

当〃21时，>efll=e>2,于是〃用—%=2e/N2e9=2e>5,

当〃22时，为=%+(%一%)+(%—%)++(册—)>1+5(〃—l)=5n—4,

又q=l,所以X/〃cN*,恒有4>5〃—4,当〃之2时，(5〃—4)2〉(5〃—7)(5〃—2),

1

5n-2

【点睛】思路点睛：给出s”与“”的递推关系，求应，常用思路是：一是利用S“+1-S“=a”转化为。”的递推

关系，再求其通项公式；二是转化为£的递推关系，先求出S“与”之间的关系，再求凡.

压轴题型三：三角函数型不等式证明

V，满分技法

对于含有三角函数型不等式证明：

1.证明思路和普通不等式一样。

2.充分利用正余弦的有界性

3.三角函数与函数的重要放缩公式：x>sinx(x>0).

1.已知函数/(%)=加一”+元一々.

⑴求的极值；

(2)已矢口〃cN*,证明：sin----1-sin-----1---1-sin—<In2.

n+1n+22n

【答案】⑴答案见解析⑵证明见解析【分析】(1)求导后，分别在和的情况下得到了(九)单调

性，结合极值定义可得结果；

(2)令.=1,结合(1)中结论，采用赋值方式可得到ln(〃+A)-ln(〃+"l)〉」y/g(x)=x-sinx(x>。)，

利用导数可证得X>sinx(x>0),采用放缩的方式可证得不等式.

【详解】⑴由题意知：〃彳)定义域为R,r(x)=-aeA+l；

①当aVO时，-ae-x>0,：.f'(x)>0,

\在R上单调递增，\/任)无极值；

②当a>0时，令/'[x)=0,解得：x=Ina,

当xe(