群论试题及答案

群论试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.以下哪个集合对于普通加法运算构成群？A.正整数集B.整数集C.自然数集D.无理数集2.群\(G\)中，元素\(a\)的阶为\(n\)，则\(a^m=e\)（\(e\)为单位元）的充要条件是（）A.\(m=n\)B.\(m\geqn\)C.\(n\midm\)D.\(m\midn\)3.设\(G\)是群，\(H\)是\(G\)的子群，\(a\inG\)，则\(aH=H\)当且仅当（）A.\(a=e\)B.\(a\inH\)C.\(a\notinH\)D.\(H=G\)4.群\(G\)的阶为\(12\)，则\(G\)的子群的阶不可能是（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(4\)D.\(5\)5.一个有限群\(G\)的所有子群的阶数是（）的因数。A.\(G\)的元素个数B.\(G\)的生成元个数C.\(G\)的共轭类个数D.以上都不对6.设\(G\)是群，\(a,b\inG\)，则\((ab)^{-1}\)等于（）A.\(a^{-1}b^{-1}\)B.\(b^{-1}a^{-1}\)C.\(ab\)D.\(ba\)7.若群\(G\)中每个元素的阶都有限，则\(G\)是（）A.有限群B.无限群C.不一定是有限群D.交换群8.群\(G\)的中心\(Z(G)\)是（）A.\(G\)的子群B.\(G\)的正规子群C.交换群D.以上都是9.设\(G\)是群，\(H\)是\(G\)的正规子群，以下说法正确的是（）A.对任意\(a\inG\)，\(aH=Ha\)B.\(G/H\)一定是交换群C.\(H\)一定是循环群D.以上都不对10.群\(G\)中元素\(a\)的阶为\(6\)，则\(a^2\)的阶为（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(6\)D.\(12\)答案：1.B2.C3.B4.D5.A6.B7.C8.D9.A10.B二、多项选择题（每题2分，共20分）1.以下关于群的定义正确的是（）A.封闭性B.结合律C.存在单位元D.每个元素都有逆元2.群\(G\)的子群\(H\)具有以下性质（）A.\(H\)对\(G\)的运算封闭B.\(H\)有单位元C.\(H\)中元素的逆元在\(H\)中D.\(H\)的阶一定小于\(G\)的阶3.下列哪些集合和运算构成群（）A.非零有理数集对于普通乘法B.整数集对于普通减法C.实数集对于普通加法D.平面上所有正交矩阵对于矩阵乘法4.设\(G\)是群，\(a\inG\)，\(a\)的阶为\(n\)，则（）A.\(a^n=e\)B.\(a^k\)（\(k<n\)）的阶为\(\frac{n}{(n,k)}\)C.\(a\)生成的循环子群的阶为\(n\)D.\(a\)与\(a^{-1}\)的阶相同5.群\(G\)的正规子群\(N\)满足（）A.对任意\(g\inG\)，\(gN=Ng\)B.\(G/N\)是群C.\(N\)是\(G\)的特征子群D.若\(H\)是\(G\)的子群，\(N\capH\)是\(H\)的正规子群6.关于有限群的拉格朗日定理，下列说法正确的是（）A.群\(G\)的阶等于其子群\(H\)的阶乘以\(H\)在\(G\)中的左陪集个数B.子群的阶是群阶的因数C.若群\(G\)的阶为\(n\)，\(H\)是\(G\)的子群且阶为\(m\)，则\(n=mk\)（\(k\)为\(H\)在\(G\)中的左陪集个数）D.群\(G\)中任意两个左陪集要么相等要么不相交7.设\(G\)是群，\(a,b\inG\)，则以下说法正确的是（）A.\((a^{-1})^{-1}=a\)B.\((ab)^n=a^nb^n\)（当\(G\)是交换群时）C.\(a\)与\(a^m\)（\(m\inZ\)）可交换D.\(a\)的阶与\(a^m\)（\(m\inZ\)，\((m,n)=1\)，\(n\)为\(a\)的阶）的阶相同8.群\(G\)的共轭类具有以下性质（）A.群\(G\)可分解为若干个互不相交的共轭类的并B.单位元的共轭类只含单位元自身C.共轭类的元素个数整除群的阶D.若\(a\)与\(b\)共轭，则\(a\)与\(b\)的阶相同9.下列哪些群是交换群（）A.整数加群B.\(n\)阶循环群C.对称群\(S_3\)D.克莱因四元群10.设\(G\)是群，\(H\)和\(K\)是\(G\)的子群，则（）A.\(H\capK\)是\(G\)的子群B.\(HK\)是\(G\)的子群当且仅当\(HK=KH\)C.\(H\cupK\)是\(G\)的子群D.\(G/(H\capK)\)与\((G/H)\times(G/K)\)同构（在一定条件下）答案：1.ABCD2.ABC3.ACD4.ABCD5.ABD6.ABCD7.ABCD8.ABCD9.ABD10.AB三、判断题（每题2分，共20分）1.群中单位元是唯一的。（）2.若群\(G\)中元素\(a\)的阶为无限，则\(a\)生成的循环群是无限群。（）3.群\(G\)的子群\(H\)的左陪集个数和右陪集个数一定相等。（）4.所有有限群都是交换群。（）5.若\(G\)是群，\(a,b\inG\)，且\(ab=ba\)，则\(\langlea\rangle\langleb\rangle\)是\(G\)的子群。（）6.群\(G\)的正规子群\(N\)一定是\(G\)的特征子群。（）7.一个群\(G\)的阶为\(p\)（\(p\)为素数），则\(G\)一定是循环群。（）8.群\(G\)中两个共轭元素的阶一定相同。（）9.若\(H\)是群\(G\)的子群，\(a\inG\)，则\(aH\)和\(Ha\)作为集合一定相等。（）10.群\(G\)的中心\(Z(G)\)是\(G\)的极大交换子群。（）答案：1.√2.√3.√4.×5.√6.×7.√8.√9.×10.×四、简答题（每题5分，共20分）1.简述群的定义答案：集合\(G\)和二元运算满足封闭性、结合律，存在单位元，每个元素都有逆元，则\((G,\cdot)\)构成群。2.什么是群的子群？答案：群\(G\)的非空子集\(H\)，若对\(G\)的运算也构成群，即满足封闭性、有单位元、元素有逆元，那么\(H\)是\(G\)的子群。3.简述拉格朗日定理答案：有限群\(G\)的阶等于其子群\(H\)的阶乘以\(H\)在\(G\)中的左（右）陪集个数，即\(|G|=|H|[G:H]\)，子群的阶是群阶的因数。4.说明正规子群的定义及重要性答案：群\(G\)的子群\(N\)，若对任意\(g\inG\)有\(gN=Ng\)，则\(N\)是\(G\)的正规子群。它重要在于可用于构造商群，商群的性质与正规子群密切相关，是群论研究的重要工具。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论循环群的性质及在群论中的地位答案：循环群由一个元素生成，结构简单。性质包括元素可表示为生成元的幂次，子群也是循环群等。在群论中是基础，很多群的研究可借助循环群展开，有助于理解群的结构和分类。2.探讨群同态与同构的概念及意义答案：群同态是保持群运算的映射，同构是双射的同态。同态可简化群的研究，通过像来了解原群性质；同构则表明两个群结构本质相同，在群的分类等方面有重要意义，确定同构类是群论重要任务