高三数学文科试题及答案

高三数学文科试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\capB=(\)\)A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.函数\(y=\log_2(x-1)\)的定义域是（）A.\((1,+\infty)\)B.\([1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((0,1)\)3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-1,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(m=(\)\)A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.-\(\frac{1}{2}\)4.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，则\(a_5=(\)\)A.9B.8C.7D.65.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，则\(\cos\alpha=(\)\)A.\(\frac{4}{5}\)B.-\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.-\(\frac{3}{4}\)6.抛物线\(y^2=8x\)的焦点坐标是（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((0,2)\)D.\((0,-2)\)7.函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)8.已知\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，则\(z=2x+y\)的最大值为（）A.5B.4C.3D.29.直线\(x+\sqrt{3}y-1=0\)的倾斜角为（）A.\(30^{\circ}\)B.\(60^{\circ}\)C.\(120^{\circ}\)D.\(150^{\circ}\)10.若函数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)有极值点\(x_1\)，\(x_2\)，且\(f(x_1)=x_1\)，则关于\(x\)的方程\(3(f(x))^2+2af(x)+b=0\)的不同实根个数是（）A.3B.4C.5D.6二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，是偶函数的有（）A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=e^x+e^{-x}\)2.已知直线\(l_1:ax+y+1=0\)，\(l_2:x+ay+1=0\)，若\(l_1\parallell_2\)，则\(a\)的值可能为（）A.1B.-1C.0D.23.以下哪些是等比数列的性质（）A.\(a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}(n\geq2)\)B.\(S_n\)，\(S_{2n}-S_n\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)成等比数列C.\(a_m=a_nq^{m-n}\)D.\(a_n=a_1q^{n-1}\)4.对于函数\(y=\sinx\)，以下说法正确的是（）A.最大值为1B.最小正周期为\(2\pi\)C.图象关于原点对称D.在\([\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\)上单调递减5.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，则（）A.\(ab\leq\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq4\)C.\(a^2+b^2\geq\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2}\)6.椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的性质有（）A.长轴长为\(2a\)B.短轴长为\(2b\)C.离心率\(e\in(0,1)\)D.焦点坐标为\((\pmc,0)\)，其中\(c^2=a^2-b^2\)7.下列命题中，真命题有（）A.\(\existsx\inR\)，\(x^2+1\lt0\)B.\(\forallx\inR\)，\(x^2\geq0\)C.\(\existsx\inR\)，\(\sinx=2\)D.\(\forallx\inR\)，\(e^x\gt0\)8.已知函数\(f(x)=x^2-2x\)，则（）A.\(f(x)\)的对称轴为\(x=1\)B.\(f(x)\)在\((-\infty,1)\)上单调递减C.\(f(x)\)的最小值为-1D.\(f(x)\)的图象与\(x\)轴有两个交点9.一个正方体的棱长为\(a\)，则（）A.正方体的表面积为\(6a^2\)B.正方体的体积为\(a^3\)C.正方体的体对角线长为\(\sqrt{3}a\)D.正方体的面对角线长为\(\sqrt{2}a\)10.若函数\(y=f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)对称，则有（）A.\(f(a+x)+f(a-x)=2b\)B.\(f(x)=2b-f(2a-x)\)C.\(f(x+2a)=-f(-x)\)D.\(f(x)\)是周期函数三、判断题（每题2分，共10题）1.空集是任何集合的子集。（）2.函数\(y=x^3\)是奇函数。（）3.若\(a\gtb\)，则\(a^2\gtb^2\)。（）4.直线\(y=kx+b\)在\(y\)轴上的截距为\(b\)。（）5.数列\(1,1,1,\cdots\)是等比数列。（）6.抛物线\(y^2=4x\)的准线方程是\(x=-1\)。（）7.若\(\sin\alpha=\cos\alpha\)，则\(\alpha=\frac{\pi}{4}\)。（）8.函数\(y=\log_ax\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）在\((0,+\infty)\)上单调递增。（）9.向量\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，则\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)。（）10.若\(f(x)\)是定义在\(R\)上的偶函数，则\(f(-x)=f(x)\)。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数\(y=2\sin(3x-\frac{\pi}{4})\)的单调递增区间。答案：令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq3x-\frac{\pi}{4}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)，解不等式得\(\frac{2k\pi}{3}-\frac{\pi}{12}\leqx\leq\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{4},k\inZ\)，所以单调递增区间为\([\frac{2k\pi}{3}-\frac{\pi}{12},\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{4}],k\inZ\)。2.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，求\(a_n\)的通项公式。答案：设公差为\(d\)，则\(a_7-a_3=4d=13-5=8\)，得\(d=2\)，又\(a_3=a_1+2d=5\)，即\(a_1+4=5\)，\(a_1=1\)，所以\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-2,3)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)及\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\vert\)。答案：\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\times(-2)+2\times3=4\)。\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1-2,2+3)=(-1,5)\)，则\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{(-1)^2+5^2}=\sqrt{26}\)。4.求过点\((1,2)\)且与直线\(2x-y+1=0\)平行的直线方程。答案：直线\(2x-y+1=0\)斜率为\(2\)，所求直线与之平行，斜率也为\(2\)。由点斜式得\(y-2=2(x-1)\)，整理得\(2x-y=0\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的定义域、值域和单调性。答案：定义域为\(x^2-1\neq0\)，即\(x\neq\pm1\)。令\(t=x^2-1\geq-1\)且\(t\neq0\)，则\(y=\frac{1}{t}\)，值域为\((-\infty,-1]\cup(0,+\infty)\)。在\((-\infty,-1)\)和\((-1,0)\)上单调递增，在\((0,1)\)和\((1,+\infty)\)上单调递减。2.已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)，讨论\(a\)，\(b\)变化时对椭圆形状的影响。答案：\(a\)决定长轴长度，\(a\)增大，椭圆变“扁”；\(b\)决定短轴长度，\(b\)增大，椭圆变“圆”。离心率\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)，\(a\)、\(b\)变化影响离心率，进而影响椭圆形状。3.讨论在数列问题中，如何根据递推公式求通项公式。答案：常见方法有累加法，适用于\(a_{n+1}-a_n=f(n)\)；累乘法，适用于\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)；构造法，将递推公式转化为等差或等比数列求解，如\(a_{n+1}=pa_n+q\)可构造\(a_{n+1}+m=p(a_n+m)\)求解。4.讨论直线与圆的位置关系有哪些判断方法。答案：一是几何法，比较圆心到直线的距离\(d\)与圆半径\(r\)的大小，\(d\ltr\)时相交，\(d=r\)时相切，\(d\gtr\)时相离；二是代数法，联立直线与圆的方程得一元二次方程，根据判别式\(\Delta\)判断，\(\Delta\g