专题19动点问题与几何图形综合题型(原卷版+解析)

专题19动点问题与几何图形综合题型题型一、动点问题与几何图形最值问题主要有：线段最值；点到直线距离的最值；周长最值；面积最值等等.题型二、动点问题与几何问题相结合主要有：相似三角形的存在性；角平分线存在性；角度间的关系问题；面积关系问题等等.【例1】（2018·河南第一次大联考）如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为( ).A．4 B．2 C．7 D．8【变式1-1】（2019·济源一模）如图，△ABC是等边三角形，AB=3，E在AC上且AE=AC，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则线段AF的最小值是 .【例2】（2019·开封二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与抛物线y＝x2+bx+c交于坐标轴上两点A、C，抛物线与x轴另一交点为点B；（1）求抛物线解析式；（2）若动点D在直线AC下方的抛物线上，如图2，作DM⊥直线AC，垂足为点M，是否存在点D，使△CDM中某个角恰好是∠ACO的一半？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，说明理由．图1图2【变式2-1】（2019·洛阳模拟）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AECP的最大面积；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.1.（2019·济源一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B；抛物线（a≠0）过A，B两点，与x轴交于另一点C(-1，0)，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AB上方的抛物线上有一动点E，求出点E到直线AB的距离的最大值；（3）如图2，直线AB与抛物线的对称轴相交于点F，点P在坐标轴上，且点P到直线BD，DF的距离相等，请直接写出点P的坐标．图1图22.（2019·洛阳二模）如图，抛物线y=ax2+5x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x-4经过点B，C.点P是直线BC上方抛物线上一动点，直线PC交x轴于点D．（1）直接写出a，c的值；（2）当△PBD的面积等于△BDC面积的一半时，求点P的坐标；（3）当∠PBA=∠CBP时，直接写出直线BP的解析式．3.（2019·洛阳三模）在平面直角坐标系中，直线y=x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y=x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；4.（2019·周口二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这个抛物线的解析式；（2）若D(2，m)在该抛物线上，连接CD，DB，求四边形OCDB的面积；（3）设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点E作EH⊥x轴于点H，再过点F作FG⊥x轴于点G，得到矩形EFGH．在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，直接写出该正方形的边长．5.（2019·濮阳二模）如图，已知直线y＝﹣3x+c与x轴相交于点A（1，0），与y轴相交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴的左侧抛物线上的动点，当S△PAB＝2S△AOB时，求点P的坐标.6.（2019·商丘二模）如图．在平面直角坐标系中．抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣2）．已知点E（m，0）是线段AB上的动点（点E不与点A，B重合）．过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P．交BC于点F．（1）求该抛物线的表达式；（2）当线段EF，PF的长度比为1：2时，请求出m的值；（3）是否存在这样的m，使得△BEP与△ABC相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．7.（2019·开封二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝﹣x交第二象限于点E，与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，EC∥x轴．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线y＝﹣x上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值.8.（2019·西华县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？9.（2019·中原名校大联考）如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+5交于B，C两点，已知点D的坐标为（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点M，N分别是直线BC和x轴上的动点，则当△DMN的周长最小时，求点M，N的坐标．10.（2019·郑州模拟）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b，c的值．（2）如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标．（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．图1图211.（2019·郑州模拟）如图，抛物线y=-x2+bx+c和直线y=x+1交于A、B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C.（1）求抛物线的解析式.（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．12.（2019·郑州模拟）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（，1），（3,1），（3,0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是 专题19动点问题与几何图形综合题型题型一、动点问题与几何图形最值问题主要有：线段最值；点到直线距离的最值；周长最值；面积最值等等.题型二、动点问题与几何问题相结合主要有：相似三角形的存在性；角平分线存在性；角度间的关系问题；面积关系问题等等.【例1】（2018·河南第一次大联考）如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为( ).A．4 B．2 C．7 D．8【答案】D.【分析】如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，利用勾股定理及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半分别求出PE与AE的长，由AE+EP求出AP的最大值即可．【解析】解：如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，在Rt△PNE中，PN=4，NE=MN=3，根据勾股定理得：PE=5，在Rt△AMN中，AE为斜边MN上的中线，∴AE=MN=3，则AP的最大值为：AE+PE=3+5=8，故选D．【点评】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，以及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．【变式1-1】（2019·济源一模）如图，△ABC是等边三角形，AB=3，E在AC上且AE=AC，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则线段AF的最小值是 .【答案】.【解析】解：先确定F点的轨迹，过E作的直线BC的平行线，分别过D、F作该平行线的垂线，垂足为G，H，如图所示，由折叠性质，知△DEG≌△EFH，∴EH=DG，∵△ABC是等边三角形，AE=2，CE=1，∴DG=CE·sin60°=，即EH为定值，∴点F落在直线FH上，且FH⊥BC，根据垂线段最短，当AF⊥FH时，AF的值最小，如下图所示，过A作AN⊥FH，延长AC交FH于点M，AN的长即为所求线段AF的最小值，∵EH=DG=，∠AMN=30°，∴EM=2EH=，∴AM=+2，∴AN=AM=，故答案为：.【例2】（2019·开封二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与抛物线y＝x2+bx+c交于坐标轴上两点A、C，抛物线与x轴另一交点为点B；（1）求抛物线解析式；（2）若动点D在直线AC下方的抛物线上，如图2，作DM⊥直线AC，垂足为点M，是否存在点D，使△CDM中某个角恰好是∠ACO的一半？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，说明理由．图1图2【答案】见解析．【解析】解：（1）在y＝x﹣4中，当x＝0，y＝﹣4，即C（0，﹣4）；当y＝0，x＝3，即A（3，0）；把点A、C坐标代入y＝x2+bx+c，并解得：b=，c=－4，∴抛物线解析式为：y＝x2x－4；（2）存在，作∠ACO的平分线CP交x轴于点P，过P作PH⊥AC于点H，则CH＝CO＝4，OP＝PH，设OP＝PH＝x，则PA＝3﹣x，∵OC＝4，OA＝3，∴AC＝5，AH＝1，在Rt△PHA中，PH2+AH2＝AP2，即x2+12＝（3﹣x）2，解得：x＝，∴tan∠PCH＝tan∠PCO=，①过点D作DG⊥x轴于点G，过点M作ME∥x轴，与y轴交于点E，与DG交于点F．设M（m，m﹣4），则ME＝m，FG＝OE＝4﹣m，CE＝m，可得：△CEM∽△MFD，①当∠DCM=∠ACO时，可得：，即MF=m，DF=m，∴DG=DF+GF=m+4﹣m=4－m，EF=EM+FM=m，即点D(m,m－4)，将其坐标代入y＝x2x－4得：，解得：m=0（舍）或m=，∴D点横坐标为：m=.②当∠MDC＝∠ACO＝∠PCH时，同理可得：MF＝4m，DF＝3m，∴EF＝EM+MF＝m+4m＝5m，DG＝DF+FG＝3m﹣m+4＝m+4，∴D（5m，﹣m﹣4），∴﹣m﹣4=，解得m＝0（舍去）或m＝,此时D点横坐标为：5m=；综上所述，点D横坐标为或．【变式2-1】（2019·洛阳模拟）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AECP的最大面积；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A(0,1)，B（9,10）代入y=x2+bx+c得：，解得：∴抛物线的解析式为：y=x2－2x+1.（2）由y=x2－2x+1知，抛物线的对称轴是x=3，∵AC∥x轴，A(0,1)，∴A与C关于对称轴对称，C(6,0)，AC=6由A(0,1),B(9,10)得直线AB的解析式为：y=x+1，设P（m，m2－2m+1），则E(m，m+1)，∴PE=－m2+3m，∴S四边形AECP=S△AEC+S△APC=·AC·EF+·AC·PF=×6×（－m2+3m）=，∴当m=时，四边形AECP的面积取最大值，此时点P(，).（3）存在，点Q坐标为（4,1）或（－3,1）.由y=x2－2x+1知点P(3,-2)，∴PF=3，CF=3，∴∠PCF=45°，同理，∠EAF=45°，即∠PCF=∠EAF，由勾股定理得：AB=，AC=6，PC=，设Q（n，1），①当△CPQ∽△ABC时，，即，解得：t=4，即Q(4,1).②当△CQP∽△ABC时，，即，解得：t=－3，即Q(－3,1).综上所述，符合题意的点Q坐标为：(4,1)或(－3,1).1.（2019·济源一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B；抛物线（a≠0）过A，B两点，与x轴交于另一点C(-1，0)，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AB上方的抛物线上有一动点E，求出点E到直线AB的距离的最大值；（3）如图2，直线AB与抛物线的对称轴相交于点F，点P在坐标轴上，且点P到直线BD，DF的距离相等，请直接写出点P的坐标．图1图2【答案】见解析.【解析】解：（1）在中，当x=0时，y=；当y=0时，x=3，即A(3，0)，B(0，)，将A(3，0)，C(－1，0)代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：.（2）过点E作EM⊥x轴交AB于M，过E作EN⊥AB于N，点E到AB的距离为EN，可得△ENM∽△AOB，∴,在Rt△AOB中，OA=3，OB=，由勾股定理得：AB=，∴，即EN=，设E（m，），M（m，），则EM=－（）=，∴EN===，∴当m=时，E到直线AB的距离的最大值为.（3）∵点P到直线BD，DF的距离相等，∴点P在∠BDF或∠BDF邻补角的平分线上，如图所示，由知D点坐标为（1,3），∵B（0，），∴BD=，∵DP平分∠BDF，∴∠BDP=∠PDF，∵DF∥y轴，∴∠BPD=∠PDF，∴∠BPD=∠BDP,∴BD=DP，∴P(0,1),设直线PD的解析式为：y=kx+n，∴n=1，k+n=3，即直线PD的解析式为：y=2x+1，当y=0时，x=，∴当P在∠BDF的角平分线上时，坐标为（0,1）或（，0）；同理可得：当P在∠BDF邻补角的平分线上时，坐标为：（0,）或（7，0），综上所述，点P的坐标为：（0,1），（，0），（0,），（7，0）.2.（2019·洛阳二模）如图，抛物线y=ax2+5x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x-4经过点B，C.点P是直线BC上方抛物线上一动点，直线PC交x轴于点D．（1）直接写出a，c的值；（2）当△PBD的面积等于△BDC面积的一半时，求点P的坐标；（3）当∠PBA=∠CBP时，直接写出直线BP的解析式．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵直线y=x-4经过点B，C，∴B(4，0),C(0,－4),将B(4，0),C(0,－4)代入y=ax2+5x+c得：c=－4，a=－1，（2）抛物线解析式为：y=－x2+5x－4，过点P作PH⊥x轴于H，如图所示，设P(m,－m2+5m－4)，∵△PBD的面积等于△BDC面积的一半，∴PH=OC=2，即－m2+5m－4=2，或－m2+5m－4=－2，解得：m=2或m=3或m=或m=，∵0<m<4，∴m=2或m=3或m=（3）y=－x+4或y=（2－）x+4－8，理由如下：①当点P在x轴上方时，此时由∠PBA=∠CBP可得：∠PBA=∠ABC=45°，可得直线BP的解析式为：y=－x+4；②当点P在x轴下方时，此时∠PBA=∠ABC=15°，∠CBP=30°，设直线BP交y轴于点Q，过点Q作QE⊥BC于E，如图所示，设Q(0,m)，则OQ=－m，QC=4+m，∴QE=CE=（4+m），BE=QE=（4+m），∵CE+BE=4，∴（4+m）+（4+m）=4，解得：m=4－8，即Q（0，4－8），由B（4,0），可得直线BP的解析式为：y=（2－）x+4－8，综上所述，直线BP的解析式为：y=－x+4或y=（2－）x+4－8.3.（2019·洛阳三模）在平面直角坐标系中，直线y=x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y=x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；【答案】见解析.【解析】解：（1）∵直线y=x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C，∴B(4,0),C(0,－2),∵B、C在抛物线y=x2+bx+c上，∴，解得：b=，c=－2，即抛物线解析式为：y=x2x－2.（2）过点D作DF⊥x轴于F，交BC于E，∴D(m,m2m－2)，E(m，m－2)，F(m，0)，其中0<m<4，∴DE=m2+2m，∵DM⊥BC，∴∠DME=∠BFD=90°，∴∠BOC=∠DME=90°，∴△OBC∽△MDE，∴,即，∴DM=DE=，∵<0，∴当m=2时，DM取最大值，最大值为.4.（2019·周口二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这个抛物线的解析式；（2）若D(2，m)在该抛物线上，连接CD，DB，求四边形OCDB的面积；（3）设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点E作EH⊥x轴于点H，再过点F作FG⊥x轴于点G，得到矩形EFGH．在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，直接写出该正方形的边长．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，∴，解得：a=-1，b=3，即抛物线的解析式为：y=-x2+3x+4.（2）∵抛物线y=-x2+3x+4与y轴交于点C∴C（0,4），∵D(2,m)在抛物线上，∴m=6，即D(2,6),S四边形OCDB=S△OCD+S△OBD=×4×2+×4×6=16，即四边形OCDB的面积为16.（3）或，理由如下：∵EFGH为正方形，∴EF=EH，设E(n，-n2+3n+4)，则F(3-n，-n2+3n+4)，∵抛物线的对称轴为x=，∴n>,∴n－（3-n）=-n2+3n+4或n－（3-n）=-（-n2+3n+4），解得：n=或n=(舍)或n=或n=(舍)∴边长EF=2n-3，得：EF=或.5.（2019·濮阳二模）如图，已知直线y＝﹣3x+c与x轴相交于点A（1，0），与y轴相交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴的左侧抛物线上的动点，当S△PAB＝2S△AOB时，求点P的坐标.【答案】见解析．【解析】解：（1）将A（1，0）代入y＝﹣3x+c，得：c＝3，即B（0，3），将A（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：-1+b+c=0，c=3，解得：b=-2，c=3，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）连接OP，抛物线的对称轴为：x＝﹣1，设P（m，﹣m2﹣2m+3），其中m＜﹣1，S△PAB＝S△POB+S△ABO﹣S△POA，∵S△PAB＝2S△AOB，∴S△POB﹣S△POA＝S△ABO，∴，解得：m=－2或m=3（舍），即P点坐标为（－2,3）.6.（2019·商丘二模）如图．在平面直角坐标系中．抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣2）．已知点E（m，0）是线段AB上的动点（点E不与点A，B重合）．过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P．交BC于点F．（1）求该抛物线的表达式；（2）当线段EF，PF的长度比为1：2时，请求出m的值；（3）是否存在这样的m，使得△BEP与△ABC相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）将点A（﹣1，0）、C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c得：，解得：b=，c=－2，∴抛物线的表达式为：y＝x2x﹣2；（2）在y＝x2x﹣2中，当y=0时，x=－1或x=4，即B(4,0),设直线BC的解析式为：y＝kx+n，将点C（0，﹣2）、B(4,0)代入y＝kx+n，得：，解得：∴直线BC的表达式为：y＝x﹣2，∵E（m，0），∴P(m，m2m﹣2)，F(m，m﹣2)①当E在线段AO上时，EF>PF，不符合题意；②当E在线段OB上时，EF=2－m，PF=m﹣2－（m2m﹣2）=－m2+2m，∵2EF=PF，∴2（2－m）=－m2+2m，解得：m=2或m=4，∵E不与A、B重合，∴m≠4，即m=2；（3）∵A（﹣1，0）、C（0，﹣2）、B(4,0),∴AB2=25，AC2=5，BC2=20，∴AB2=AC2+BC2∴△ABC是直角三角形，当△BEP与△ABC相似，则∠EPB＝∠CAB或∠EPB＝∠ABC，∴tan∠EPB＝tan∠CAB，或tan∠EPB＝tan∠ABC，①当tan∠EPB＝tan∠CAB时，即：，解得：m＝0或4（舍去），②当tan∠EPB＝tan∠ABC，即：，解得：m＝3或4（舍去），综上所述，m的值为0或3．7.（2019·开封二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝﹣x交第二象限于点E，与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，EC∥x轴．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线y＝﹣x上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值.【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知：A（﹣3，0），C（0，2），EC∥x轴∴点E的纵坐标为2，∵点E在直线y＝﹣x上，∴点E（﹣2，2），∵将A（﹣3，0）、E（﹣2，2）代入y＝ax2+bx+2，得：，解得：抛物线的解析式为：；（2）∵OC=CE=2，∴∠ECO=∠CEO=45°，∵PG⊥x轴，PH⊥EO，∴∠PGH=45°，即△PGH为等腰直角三角形，P(m，)，G（m，﹣m），∴l=PG=（+m）＝∵<0，∴当m=－时，l取最大值，最大值为：.8.（2019·西华县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？【答案】见解析．【解析】解：（1）∵直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，∴A（5，0），B（0，10），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵抛物线过点B（0，10），C（8，4），O(0,0)，∴c=0，25a+5b=0，64a+8b=4，∴a=，b=，c=0抛物线解析式为y=x2x，∵A（5，0），B（0，10），C（8，4），∴AB2=52+102=125，BC2=82+（10﹣4）2=100，AC2=42+（8﹣5）2=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．（2）由（1）知BC=10，AC=5，OA=5， OP=2t，BQ=t，CQ=10﹣t，∵AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°，在Rt△AOP和Rt△ACQ中，AC=OA，PA=QA，∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，∴OP=CQ，即2t=10﹣t，解得：t=，即当运动时间为s时，PA=QA.9.（2019·中原名校大联考）如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+5交于B，C两点，已知点D的坐标为（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点M，N分别是直线BC和x轴上的动点，则当△DMN的周长最小时，求点M，N的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y＝﹣x+5中，当x＝0，y＝5，当y＝0，x＝5，点B、C的坐标分别为（5，0）、（0，5），将（5，0）、（0，5），代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=4，c=5即二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5.（2）在y＝﹣x2+bx+5中，当y＝0时，x＝﹣1或5，∴A（﹣1，0），OB＝OC＝2，∴∠OCB＝45°；过点D分别作x轴和直线BC的对称点D′（0，﹣3）、D″，∵∠OCB＝45°，∴CD″∥x轴，点D″（2，5），连接D′D″交x轴、直线BC于点N、M，此时△DMN的周长最小，设直线D’D’’的解析式为：y＝mx+n将D′（0，﹣3），D″（2，5），代入解得：m=4，n=－3，直线D’D’’的解析式为：y＝4x﹣3，∴N(，0).联立y＝4x﹣3，y＝﹣x+5得：x=，y=，即M(，).10.（2019·郑州模拟）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b，c的值．（2）如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标．（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．图1图2【答案】见解析.【解析】解：（1）∵CD∥x轴，CD=2，C在y轴上，∴抛物线的对称轴为：x=1，即b=－2，∵OB=OC，C(0，c)，∴B(-c,0)，即c2+2c+c=0，解得：c=0（舍）或c=－3，即b=-2，c=-3，（2）抛物线的解析式为：y=x2-2x-3，可得：E(1,-4)，A(-1,0)，B(3,0),C(0,-3),则直线BE的解析式为：y=2x-6，设F(0,m)，则其关于直线l对称点为F’(2,m)，∵F’在直线BE上，∴m=－2，即F(0，－2).(3)存在，理由如下：过点Q作QD⊥PN于D，连接PQ、NQ，设点