专题17《圆柱和圆锥的认识、表面积与体积》(学生版+解析)

2023-2024学年数学六年级小升初备考复习专题讲练（江苏专用）专题17《圆柱和圆锥的认识、表面积与体积》（思维导图+知识精讲+江苏真题汇编练）知识点一：圆柱与圆锥的认识1.圆柱的定义:以长方形的一条边所在的直线为轴旋转一周,得到的几何体叫作圆柱。2.圆锥的定义:以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周,得到的几何体叫作圆锥。3.圆柱和圆锥的特征:名称图形展开图特征圆柱(1)上下两个底面是两个相等的圆;两个底面之间的距离叫作高(h);圆柱有无数条高。(2)侧面展开图是长方形(或正方形),长方形的长相当于圆柱的底面周长,宽相当于圆柱的高圆锥(1)底面是圆,顶点到底面圆心(O)的距离叫作高(h),圆锥只有1条高。(2)圆锥的侧面展开图是一个扇形知识点二：圆柱与圆锥的测量1.圆柱的侧面积、表面积。(1)圆柱的侧面积=底面周长×高,用字母表示为:S侧=πdh(或2πrh)(2)圆柱的表面积=底面积×2+侧面积,用字母表示为:S=2πr2+2πrh2.圆柱的体积=底面积×高,用字母表示为:V=πr2h。

3.圆锥的体积=QUOTE𝟏𝟑13×底面积×高,用字母表示为:V=QUOTE𝟏𝟑13πr2h知识点三：用排水法计算不规则物体的体积1.体积小的物体可以直接放入有水的长方体或圆柱等规则的容器里,观察水面所处的刻度的变化体积差就是物体的体积。

2.体积大的物体,可以放入装满水的长方体或圆柱等规则的容器里,排出水的体积就是物体的体积。检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.50（较难）一．慎重选择（共5小题，满分10分，每小题2分）1．（2分）（2023•无锡）下面各图形以虚线为轴旋转一周形成几何体，（）图形成的体积与如图形成的体积相等。A． B． C． D．2．（2分）（2022•溧水区）如图中甲是用20个硬币堆成的，底面是个圆形，面积是5.4cm2，它的高度是4cm；再用这20个硬币重新堆成乙图，乙的高度（）A．大于4cm B．等于4cm C．小于4cm D．无法判断3．（2分）（2023•惠山区）一个从里面量底面直径是20厘米的圆柱形玻璃杯内盛有一些水，恰好占杯子容量的，将一块石块放入，待完全浸没在水中后（水未溢出），这时水面上升了12厘米，刚好与杯子口相平，这个玻璃杯的容积是（）毫升。A．6280 B．7536 C．7850 D．94204．（2分）（2023•武进区）把一个圆柱的底面平均分成若干个小扇形，切开后拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了40平方厘米。已知这个圆柱的高是5厘米，那么它的底面半径是（）厘米。A．4 B．8 C．10 D．25．（2分）（2022•鼓楼区）如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装了一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积占瓶子容积的（）A． B． C． D．二．认真填空（共8小题，满分16分，每小题2分）6．（2分）（2023•涟水县）一个长方体和一个圆锥等底等高，它们的体积之差是48立方分米，长方体的体积是立方分米，圆锥的体积是立方分米。7．（2分）（2023•清江浦区）一个圆柱的高是3厘米，底面直径是4厘米，它的体积是立方厘米，表面积是平方厘米。8．（2分）（2023•江都区）如图，把一个直圆柱的底面平均分成若干个扇形，切开拼成一个近似的长方体。表面积比原来增加了40平方厘米。已知圆柱的高和半径为相邻的自然数，那么这个圆柱的体积最大是立方厘米。9．（2分）（2023•武进区）做一根长3米、管口直径2米的圆柱形白铁皮通风管，至少需要白铁皮平方米。10．（2分）（2023•武进区）如图，将直角三角形以直角边AB为轴旋转一周，所得立体图形的体积是立方厘米，如果以直角边BC为轴旋转一周，那么所得立体图形的体积是立方厘米。11．（2分）（2023•昆山市）如图，有一张长方形铁皮，按下面方式进行裁切后，可以做成一个圆柱，那么做成的圆柱的侧面积是。12．（2分）（2023•昆山市）数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中，它无处不在。一个瓶子里装有一些水（如图），根据图中标出的数据，可得瓶中水的体积占瓶子容积的。13．（2分）（2023•惠山区）把一个底面直径和高都是6cm的圆柱的侧面沿虚线剪开，得到一个不规则图形（如下图），这个不规则图形的面积是cm2；如果给这个原来的圆柱做一个正方体纸盒，至少需要硬纸板cm2（接头部分40cm2计算）。三．判断正误（共5小题，满分5分，每小题1分）14．（1分）（2013•溧水区校级模拟）圆柱体积是圆锥的3倍．（判断对错）15．（1分）（2020•吴江区校级模拟）把一圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积与圆锥体积的比是2：1．．（判断对错）16．（1分）（2019春•南京月考）“做圆柱形通风管需要多少铁皮”是求这个圆柱的侧面积．（判断对错）17．（1分）（2022•阜宁县）圆柱的侧面积＝底面周长×高，如果把长方体的前、后、左、右四个面称为侧面，那么，长方体的侧面积也可以用“底面周长×高”计算。（判断对错）18．（1分）（2021•苏州）两个圆锥的底面半径之比1：2，它们的高之比是2：1。则它们的体积是相同的。（判断对错）四．看图计算（共1小题，满分4分，每小题4分）19．（4分）（2019•宿迁模拟）计算下面立体图形的体积：五．解决问题（共13小题，满分65分，每小题5分）20．（5分）（2023•清江浦区）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高6分米。先在鱼缸里注入128升水，再放入一些鹅卵石，浸没在水中，发现水面上升了3厘米。鹅卵石的体积一共是多少立方分米？21．（5分）（2023•常熟市）图1是某圆柱形饮料瓶的规格尺寸，把12瓶这样的饮料装入纸盒中（紧密放置，如图2）。这个纸盒的容积是立方厘米。22．（5分）（2023•阜宁县）六年级数学兴趣小组的同学准备了一个无盖的圆柱容器和A、B两种型号铁球各若干个，准备做实验。（实验过程中水的损耗忽略不计）步骤一：往圆柱形容器中加入一定量的水，水面高度为40mm，保证容器内的水能够淹没所有的铁球。步骤二：先放入3个A型号铁球，经过测量水面的高度上涨了12mm；再把3个A型号铁球捞出，放入4个B型号铁球，水面的高度恰好也上涨了12mm。由此可得一个A型号铁球可以使水位上升mm，一个B型号铁球可以使水位上升mm。步骤三：把之前的铁球全部捞出，然后放入A型号与B型号铁球共10个，水面高度涨到72mm。（1）把“步骤二”中的数据填写完整。（2）放入水中的A、B两种型号的铁球各有多少个？（列式解答）23．（5分）（2023•广陵区）晶晶的爸爸在“琉璃厂”买了一块砚台，为了测量它的体积，做了以下实验：①天平称出这块砚台的质量是1.44kg；②天平称出1立方分米砚台材料质量为2.5kg；③测量一个圆柱形玻璃容器的底面半径是8cm；④用直尺量出容器的高是10cm；⑤在容器里注入一定量的水，量出水面高度为5cm；⑥将砚台完全浸入水中（水未溢出），量出水自高度为8cm。根据信息，你能用不同的方法求出这块砚台的体积吗？（π取值3进行计算）24．（5分）（2022•宿迁）有一个底面内直径是20厘米的圆柱形水杯，里面浸没着一个底面半径是6厘米、高是12厘米的圆锥形铅锤，当取出铅锤后，杯里的水下降了多少厘米？25．（5分）（2023•滨湖区）早在2000多年前，我国古代劳动人民就会用自己的方法计算各种物体的体积。《九章算术》中记载的圆柱体积的计算方法是“周自相乘，以高乘之，十二而一”，也就是说，用底面周长的平方乘高，再除以12，可以求出圆柱的体积。（1）如果一个圆柱的底面周长是20厘米，高是10厘米，你能用上面的方法算出这个圆柱的体积吗？（得数保留整立方厘米）（2）如果用现在的方法计算这个圆柱的体积，计算结果是多少立方厘米？（提示：计算时可以先保留π进行约分和计算，最后再用3.14代入，得数保留整立方厘米。）26．（5分）（2023•阜宁县）如图1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分钟。（1）圆锥内漏完水需要多少时间？（2）请你在图2中用阴影表示出此时圆柱内的水。27．（5分）（2023•淮安区）一个圆柱形木块若切成4块（如图1），表面积增加48cm2；若切成3块（如图2），表面积增加50.24cm2。若削成一个最大的圆锥（如图3），体积减少立方厘米。（5分）（2023•无锡）一个圆柱和一个圆锥的体积之比是8：3，圆柱的底面半很是圆锥底面半径的2倍。若圆锥的高是36cm，则圆柱的高是多少厘米？29．（5分）（2022•惠山区）把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，然后把这个圆锥沿着高切开，得到两个如图的物体，一个截面的面积是30平方厘米。如果这个圆锥的高是6厘米，那么这个圆柱形木料的体积是多少？30．（5分）（2023•如皋市）在一个无盖的圆柱形薄铁皮桶里，放入一个圆锥形铁块，然后装满水，铁块浸没在水中。以下是相关信息，请结合这些信息提出一个三步或三步以上计算的问题，并解答。（结果可以保留π）①桶的底面直径是6分米。②铁块的底面直径为3分米。③取出铁块后，水面距离桶沿0.3分米。我的问题：？解答：31．（5分）（2023•崇川区模拟）龙一鸣想用一个圆柱形容器测量一个玻璃球的体积，他做了以下实验：（1）向容器中注入一定量的水，接着把一个棱长为6cm的正方体完全浸没在水中，当把正方体从水中取出后，水面下降了2cm．（2）将15个同样的玻璃球完全浸没在水中后，量得水面上升了3cm．请你根据以上信息计算一个玻璃球的体积．32．（5分）（2023•兴化市）将底面积相等的圆柱和圆锥形铁块同时放入盛有水的玻璃杯中，圆锥高是圆柱高的2倍，水面变化情况如图所示。已知圆锥形铁块的底面积为15平方厘米。（1）圆柱形铁块的体积是多少立方厘米？（2）圆锥形铁块的高是多少厘米？2023-2024学年数学六年级小升初备考复习专题讲练（江苏专用）专题17《圆柱和圆锥的认识、表面积与体积》（思维导图+知识精讲+江苏真题汇编练）知识点一：圆柱与圆锥的认识1.圆柱的定义:以长方形的一条边所在的直线为轴旋转一周,得到的几何体叫作圆柱。2.圆锥的定义:以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周,得到的几何体叫作圆锥。3.圆柱和圆锥的特征:名称图形展开图特征圆柱(1)上下两个底面是两个相等的圆;两个底面之间的距离叫作高(h);圆柱有无数条高。(2)侧面展开图是长方形(或正方形),长方形的长相当于圆柱的底面周长,宽相当于圆柱的高圆锥(1)底面是圆,顶点到底面圆心(O)的距离叫作高(h),圆锥只有1条高。(2)圆锥的侧面展开图是一个扇形知识点二：圆柱与圆锥的测量1.圆柱的侧面积、表面积。(1)圆柱的侧面积=底面周长×高,用字母表示为:S侧=πdh(或2πrh)(2)圆柱的表面积=底面积×2+侧面积,用字母表示为:S=2πr2+2πrh2.圆柱的体积=底面积×高,用字母表示为:V=πr2h。

3.圆锥的体积=QUOTE𝟏𝟑13×底面积×高,用字母表示为:V=QUOTE𝟏𝟑13πr2h知识点三：用排水法计算不规则物体的体积1.体积小的物体可以直接放入有水的长方体或圆柱等规则的容器里,观察水面所处的刻度的变化体积差就是物体的体积。

2.体积大的物体,可以放入装满水的长方体或圆柱等规则的容器里,排出水的体积就是物体的体积。检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.50（较难）一．慎重选择（共5小题，满分10分，每小题2分）1．（2分）（2023•无锡）下面各图形以虚线为轴旋转一周形成几何体，（）图形成的体积与如图形成的体积相等。A． B． C． D．【思路点拨】这个图形中三角形绕一条直角边所在的直线旋转一周得到的是底面半径为2厘米，高为6厘米的圆锥，根据圆锥的体积计算公式“V＝πr2h”即可求出它的体积；同理可求出选项A中旋转形成的圆柱体积；选项B中长方形绕它的一条边旋转一周得到的立体图形是一个底面半径为2厘米，高为3厘米圆柱，根据圆柱的体积计算公式“V＝πr2h”即可求出它的体积；同理，可求出选项C的体积，选项D中旋转成的圆锥的体积；根据圆锥的体积计算公式“V＝πr2h”即可求出它的体积；然后通过比较即可进行选择。【规范解答】解：π×22×6×＝8π（cm3）A、π×22×2＝8π（cm3）B、π×22×3＝12π（cm3）C、π×32×2＝18π（cm3）D、×π×62×2＝24π（cm3）故选：A。【考点评析】此题主要是考查圆柱体积的计算、圆锥体积的计算．在这里五个算式中都有π，没必须取3.14再计算，体积可以用含有π的式子表示。2．（2分）（2022•溧水区）如图中甲是用20个硬币堆成的，底面是个圆形，面积是5.4cm2，它的高度是4cm；再用这20个硬币重新堆成乙图，乙的高度（）A．大于4cm B．等于4cm C．小于4cm D．无法判断【思路点拨】甲乙两图都是由20个硬币堆成的，厚度一样，所以乙的高等于甲的高。【规范解答】解：因为两个图形的高都有20个硬币，所以乙图的高等于甲图的高；乙的高度是4cm。故选：B。【考点评析】解答此题关键是理解两个图形的高就是硬币的厚度和。3．（2分）（2023•惠山区）一个从里面量底面直径是20厘米的圆柱形玻璃杯内盛有一些水，恰好占杯子容量的，将一块石块放入，待完全浸没在水中后（水未溢出），这时水面上升了12厘米，刚好与杯子口相平，这个玻璃杯的容积是（）毫升。A．6280 B．7536 C．7850 D．9420【思路点拨】根据题意，可以先求出圆柱形杯子的高，已知原来杯子里面的水占杯子容量的，即杯中水的高也占杯子高，将一块石块放入浸没在水中，这时水面上升了12厘米，刚好与杯子口相平，把杯子的高看作单位“1”，12厘米占杯子高的（1﹣），由此可以求出杯子的高；再根据圆柱体的体积（容积）公式，v＝sh，列式解答。【规范解答】解：12÷（1﹣）＝12＝20（厘米）3.14×（20÷2）2×20＝3.14×100×20＝6280（立方厘米）6280立方厘米＝6280毫升答：这个玻璃杯的容积是6280毫升。故选：A。【考点评析】此题解答关键是求出杯子的高，再根据圆柱体的体积（容积）计算公式解答即可。4．（2分）（2023•武进区）把一个圆柱的底面平均分成若干个小扇形，切开后拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了40平方厘米。已知这个圆柱的高是5厘米，那么它的底面半径是（）厘米。A．4 B．8 C．10 D．2【思路点拨】根据圆柱体积公式的推导过程可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，拼成的长方体的长等于圆柱的底面周长的一半，宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高，拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积增加了40平方厘米，表面积增加的是长方体的左右两个面的面积，根据长方形的面积＝长×宽，那么宽＝面积÷长，由此可以求出圆柱的底面半径。【规范解答】解：40÷2÷5＝20÷5＝4（厘米）答：它的底面半径是4厘米。故选：A。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆柱体积公式的推导过程及应用，长方形的面积公式及应用。5．（2分）（2022•鼓楼区）如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装了一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积占瓶子容积的（）A． B． C． D．【思路点拨】因为把瓶盖拧紧后，瓶子无论正放还是倒放，瓶子里水的体积不变，通过观察图形可知，这个瓶子的容积相当于高是（16﹣14+10）厘米，以瓶子的底面为底面的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：V＝Sh，当圆柱的底面积不变时，圆柱体积和高成正比例，所以瓶中水的体积与瓶子容积的比等于水的高与圆柱高的比，据此解答即可。【规范解答】解：10：（16﹣14+10）＝10：12＝5：6＝答：瓶中水的体积占瓶子容积的。故选：C。【考点评析】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是明确：当圆柱的底面积不变时，圆柱体积和高成正比例。二．认真填空（共8小题，满分16分，每小题2分）6．（2分）（2023•涟水县）一个长方体和一个圆锥等底等高，它们的体积之差是48立方分米，长方体的体积是72立方分米，圆锥的体积是24立方分米。【思路点拨】长方体的体积＝长×宽×高，圆锥的体积＝×底面积×高，用字母表示出长方体的长宽高和圆锥底面圆半径，再用字母表示出长方体和圆锥的体积，根据题意：长方体的体积﹣圆锥的体积＝48，即可解答本题。【规范解答】解：设长方体的长为a分米，宽为b分米，高为c分米，圆锥的底面半径为r分米，高等于长方体的高c分米，根据题意可知：ab＝πr2因为长方体的体积＝长×宽×高＝abc，圆锥的体积＝×底面积×高＝πr2c，根据题意可得：abc﹣πr2c＝48所以：abc﹣abc＝48，即abc＝48，所以abc＝48÷＝72（立方分米），即长方体的体积为72立方分米。圆锥的体积：72﹣48＝24（立方分米）答：长方体的体积是72立方分米，圆锥的体积是24立方分米。故答案为：72，24。【考点评析】本题考查了长方体和圆锥的体积的应用。7．（2分）（2023•清江浦区）一个圆柱的高是3厘米，底面直径是4厘米，它的体积是50.24立方厘米，表面积是62.8平方厘米。【思路点拨】圆柱的体积＝底面积×高，根据底面直径可以求出底面积，继而求出圆柱的体积；圆柱的表面积＝侧面积+两个底面积，其中侧面积＝圆柱底面周长×高，据此可以求出圆柱的表面积。【规范解答】解：（4÷2）2×3.14×4＝22×3.14×4＝4×3.14×4＝12.56×4＝50.24（立方厘米）4×3.14×3+（4÷2）2×3.14×2＝12.56×3+22×3.14×2＝37.68+4×3.14×2＝37.68+12.56×2＝37.68+25.12＝62.8（平方厘米）答：体积是50.24立方厘米，表面积是62.8平方厘米。故答案为：50.24，62.8。【考点评析】本题主要考查圆柱体的表面积和体积计算方法，较为基础。8．（2分）（2023•江都区）如图，把一个直圆柱的底面平均分成若干个扇形，切开拼成一个近似的长方体。表面积比原来增加了40平方厘米。已知圆柱的高和半径为相邻的自然数，那么这个圆柱的体积最大是314立方厘米。【思路点拨】将一个圆柱切开后拼成一个近似的长方体，高没变，但拼成的长方体表面积比圆柱的表面积多了两个长方形的面积，这两个长方形的长都和圆柱的高相等，宽都和圆柱的底面半径相等；已知表面积增加了40平方厘米，由此即可得每个长方形的面积是40÷2＝20（平方厘米）；由于圆柱的高和半径为相邻的自然数，且圆柱体积最大，所以底面半径最大是5厘米，高最大是4厘米，由此根据圆柱的体积公式即可解答。【规范解答】解：40÷2＝20（平方厘米）由于圆柱的高和半径为相邻的自然数，所以底面半径最大是5厘米，高最大是4厘米，体积最大是：3.14×52×4＝3.14×25×4＝78.5×4＝314（立方厘米）答：这个圆柱的体积最大是314立方厘米。故答案为：314。【考点评析】此题考查了求圆柱的体积的灵活应用，根据圆柱的切割特点和增加的表面积，先求出圆柱的底面半径和高，然后利用圆柱体积公式来解答。9．（2分）（2023•武进区）做一根长3米、管口直径2米的圆柱形白铁皮通风管，至少需要白铁皮18.84平方米。【思路点拨】根据生活经验可知，圆柱形通风管只有侧面，没有底面，根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：3.14×2×3＝6.28×3＝18.84（平方米）答：至少需要白铁皮18.84平方米。故答案为：18.84。【考点评析】此题主要考查圆柱侧面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。10．（2分）（2023•武进区）如图，将直角三角形以直角边AB为轴旋转一周，所得立体图形的体积是37.68立方厘米，如果以直角边BC为轴旋转一周，那么所得立体图形的体积是50.24立方厘米。【思路点拨】根据圆锥的特征可知，将直角三角形以直角边AB为轴旋转一周，得到一个底面半径是3厘米，高是4厘米的圆锥；如果以直角边BC为轴旋转一周，得到一个底面半径是4厘米，高是3厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。【规范解答】解：×3.14×32×4＝×3.14×9×4＝37.68（立方厘米）×3.14×42×3＝×3.14×16×3＝50.24（立方厘米）答：将直角三角形以直角边AB为轴旋转一周，所得立体图形的体积是37.68立方厘米，如果以直角边BC为轴旋转一周，那么所得立体图形的体积是50.24立方厘米。故答案为：37.68，50.24。【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。11．（2分）（2023•昆山市）如图，有一张长方形铁皮，按下面方式进行裁切后，可以做成一个圆柱，那么做成的圆柱的侧面积是50.24平方厘米。【思路点拨】求圆柱的侧面积，圆柱的底面周长等于半径是2cm的圆的周长，高等于圆柱的底面直径，根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。【规范解答】解：3.14×2×2×（2×2）＝6.28×2×4＝12.56×4＝50.24（cm2）答：做成的圆柱的侧面积是50.24cm2。故答案为：50.24平方厘米。【考点评析】熟练掌握圆柱的侧面积公式是解答本题的关键，注意圆柱的高与底面直径的关键。12．（2分）（2023•昆山市）数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中，它无处不在。一个瓶子里装有一些水（如图），根据图中标出的数据，可得瓶中水的体积占瓶子容积的。【思路点拨】根据图可知，瓶子的底面积是相同的，由于瓶子的容积＝水的体积+空白部分的体积，可以设瓶子的底面积为S，根据圆柱的体积公式：底面积×高，则水的体积是：14S，瓶子的容积是：14S+（20﹣16）S＝14S+4S＝18S，根据一个数是另一个数的几分之几，用14S÷18S，据此即可填空。【规范解答】解：由分析可知：设瓶子的底面积为S。14S+（20﹣16）S＝14S+4S＝18S14S÷18S＝可得瓶子中水的体积占瓶子容积的。故答案为：。【考点评析】本题主要考查圆柱的体积公式以及一个数是另一个数的几分之几的计算方法，熟练掌握它的公式以及运算方法并灵活运用。13．（2分）（2023•惠山区）把一个底面直径和高都是6cm的圆柱的侧面沿虚线剪开，得到一个不规则图形（如下图），这个不规则图形的面积是36πcm2；如果给这个原来的圆柱做一个正方体纸盒，至少需要硬纸板256cm2（接头部分40cm2计算）。【思路点拨】由图可知，这个不规则图形的面积等于圆柱的侧面积；如果给这个原来的圆柱做一个正方体纸盒，则纸盒的棱长为6厘米，据此求出纸盒的表面积，再加上接头部分的面积即可。【规范解答】解：π×6×6＝6π×6＝36π（平方厘米）6×6×6+40＝216+40＝256（平方厘米）答：这个不规则图形的面积是36πcm2；如果给这个原来的圆柱做一个正方体纸盒，至少需要硬纸板256cm2。故答案为：36π；256。【考点评析】解答本题需熟练掌握圆柱的侧面积公式及正方体的表面积公式。三．判断正误（共5小题，满分5分，每小题1分）14．（1分）（2013•溧水区校级模拟）圆柱体积是圆锥的3倍．×（判断对错）【思路点拨】一个圆柱的体积等于与它等底等高的圆锥体积的3倍，原题没有注明“等底等高”，只说“圆柱的体积是圆锥体积的3倍”是错误的．【规范解答】解：由于圆柱、圆锥的体积公式中都有底面积和高两个未知的量，原题没有对这两个量加以“等底等高”，所以不能说“圆柱的体积是圆锥体积的3倍”；故答案为：×．【考点评析】此题是考查圆柱、圆锥的关系，要注意圆柱和圆锥在等底等高的条件下体积有3倍或的关系．15．（1分）（2020•吴江区校级模拟）把一圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积与圆锥体积的比是2：1．√．（判断对错）【思路点拨】把一圆柱削成一个最大的圆锥，则这个圆柱与圆锥是等底等高的，所以圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，由此即可判断．【规范解答】解：把一圆柱削成一个最大的圆锥，则这个圆柱与圆锥是等底等高的，等底等高的圆柱与圆锥的体积之比是3：1，则削去部分的体积与圆锥的体积之比就是2：1，所以原题说法正确．故答案为：√．【考点评析】此题考查了圆柱内最大的圆锥的特点以及等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用．16．（1分）（2019春•南京月考）“做圆柱形通风管需要多少铁皮”是求这个圆柱的侧面积．√（判断对错）【思路点拨】圆柱的表面积为侧面积加两个底面的面，而圆柱形通风管的表面积则去掉圆柱的两个底面的面积，即只求其侧面积即可．【规范解答】解：“做圆柱形通风管需要多少铁皮”是求这个圆柱的侧面积．故答案为：√．【考点评析】此题主要考查圆柱的展开图，关键明白圆柱形通风管的表面积即为其侧面积．17．（1分）（2022•阜宁县）圆柱的侧面积＝底面周长×高，如果把长方体的前、后、左、右四个面称为侧面，那么，长方体的侧面积也可以用“底面周长×高”计算。√（判断对错）【思路点拨】根据圆柱的侧面积公式：圆柱的侧面积＝底面周长×高，如果把长方体的前、后、左、右四个面称为侧面，那么，长方体的侧面积也可以用“底面周长×高”计算。据此判断。【规范解答】解：因为长方体的前后面的面积＝长×高×2，长方体左右面的面积＝宽×高×2，所以长方体的侧面积＝（长+宽）×2×高，也就是长方体的侧面积也可以用“底面周长×高”。因此题干中的结论是正确的。故答案为：√。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆柱的侧面积公式及应用，长方体的表面积公式及应用。18．（1分）（2021•苏州）两个圆锥的底面半径之比1：2，它们的高之比是2：1。则它们的体积是相同的。×（判断对错）【思路点拨】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，设两个圆锥的底面半径分别为r、2r，两个圆锥的高分别为2h、h，把数据代入公式求出两个圆锥的体积进行比较即可。【规范解答】解：设两个圆锥的底面半径分别为r、2r，两个圆锥的高分别为2h、h，π×r2×2h＝πr2h×（2r）2×h＝πr2h所以，两个圆锥的体积不相等。因此，题干中的说法是错误的。故答案为：×。【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。四．看图计算（共1小题，满分4分，每小题4分）19．（4分）（2019•宿迁模拟）计算下面立体图形的体积：【思路点拨】根据圆柱的体积公式：V＝sh，圆锥的体积公式：V＝sh，把数据分别代入公式解答即可．【规范解答】解：3.14×（18.84÷3.14÷2）2×10＝3.14×32×10＝3.14×9×10＝282.6（立方分米）；答：这个圆柱的体积是282.6立方分米．×3.14×（6÷2）2×6＝×3.14×9×6＝56.52（立方米）；答：这个圆锥的体积是56.52立方米．【考点评析】此题主要考查圆柱的体积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．五．解决问题（共13小题，满分65分，每小题5分）20．（5分）（2023•清江浦区）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高6分米。先在鱼缸里注入128升水，再放入一些鹅卵石，浸没在水中，发现水面上升了3厘米。鹅卵石的体积一共是多少立方分米？【思路点拨】根据题意，鱼缸里水上升的体积就是鹅卵石的体积，结合长方体的额体积公式：V＝abh，解答即可。【规范解答】解：3厘米＝0.3分米8×5×0.3＝40×0.3＝12（立方分米）答：鹅卵石的体积一共是12立方分米。【考点评析】此题考查了探索某些实物体积的测量方法，本题关键是明白：鱼缸里水上升的体积就是鹅卵石的体积，进而得解。21．（5分）（2023•常熟市）图1是某圆柱形饮料瓶的规格尺寸，把12瓶这样的饮料装入纸盒中（紧密放置，如图2）。这个纸盒的容积是4320立方厘米。【思路点拨】通过观察图形可知，这个长方体盒子的长等于圆柱底面直径的6倍，宽等于圆柱底面直径的2倍，高等于圆柱的高。根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：（6×6）×（6×2）×10＝36×12×10＝432×10＝4320（立方厘米）答：这个盒子的容积是4320立方厘米。故答案为：4320。【考点评析】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。22．（5分）（2023•阜宁县）六年级数学兴趣小组的同学准备了一个无盖的圆柱容器和A、B两种型号铁球各若干个，准备做实验。（实验过程中水的损耗忽略不计）步骤一：往圆柱形容器中加入一定量的水，水面高度为40mm，保证容器内的水能够淹没所有的铁球。步骤二：先放入3个A型号铁球，经过测量水面的高度上涨了12mm；再把3个A型号铁球捞出，放入4个B型号铁球，水面的高度恰好也上涨了12mm。由此可得一个A型号铁球可以使水位上升4mm，一个B型号铁球可以使水位上升3mm。步骤三：把之前的铁球全部捞出，然后放入A型号与B型号铁球共10个，水面高度涨到72mm。（1）把“步骤二”中的数据填写完整。（2）放入水中的A、B两种型号的铁球各有多少个？（列式解答）【思路点拨】（1）根据放入3个A型号铁球，经过测量水面的高度上涨了12mm；再把3个A型号铁球捞出，放入4个B型号铁球，水面的高度恰好也上涨了12mm。由此可得一个A型号铁球可以使水位上升4mm，一个B型号铁球可以使水位上升3mm。据此解答即可；（2）设放入A型号x个，B型号铁球10﹣x个，然后根据题意列方程解答即可。【规范解答】解：（1）12÷3＝4（毫米）12÷4＝3（毫米）答：一个A型号铁球可以使水位上升4mm，一个B型号铁球可以使水位上升3mm。（2）设放入A型号x个，B型号铁球10﹣x个。4x+（10﹣x）×3＝72﹣404x﹣3x+30＝32x＝210﹣x＝8答：放入水中的A型号的铁球有2个，B种型号的铁球有8个。故答案为：4；3。【考点评析】本题考查了不规则物体的体积测量知识以及用方程解决问题知识，结合题意分析解答即可。23．（5分）（2023•广陵区）晶晶的爸爸在“琉璃厂”买了一块砚台，为了测量它的体积，做了以下实验：①天平称出这块砚台的质量是1.44kg；②天平称出1立方分米砚台材料质量为2.5kg；③测量一个圆柱形玻璃容器的底面半径是8cm；④用直尺量出容器的高是10cm；⑤在容器里注入一定量的水，量出水面高度为5cm；⑥将砚台完全浸入水中（水未溢出），量出水自高度为8cm。根据信息，你能用不同的方法求出这块砚台的体积吗？（π取值3进行计算）【思路点拨】第一种方法，利用质量和体积的关系，1立方分米砚台材料质量为2.5kg，这块砚台的质量是1.44kg，根据“包含”除法的意义，用除法求出这块砚台的体积。第二种方法，利用排水法进行计算。把块砚台放入有水的圆柱形容器，上升部分水的体积就等于块砚台的体积。根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。【规范解答】解：方法一：1.44÷2.5＝0.576（立方分米）方法二：3×82×（8﹣5）＝3×64×3＝192×3＝576（立方厘米）576立方厘米＝0.576立方分米答：这块砚台的体积是0.576立方分米。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握不规则物体体积的测量方法及应用，“包含”除法的意义及应用，圆柱的体积公式及应用。24．（5分）（2022•宿迁）有一个底面内直径是20厘米的圆柱形水杯，里面浸没着一个底面半径是6厘米、高是12厘米的圆锥形铅锤，当取出铅锤后，杯里的水下降了多少厘米？【思路点拨】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，圆柱的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，用圆锥的体积除以圆柱的底面积即可。【规范解答】解：3.14×62×12÷[3.14×（20÷2）2]＝3.14×36×12÷[3.14×100]＝452.16÷314＝1.44（厘米）答：杯里的水下降了1.44厘米。【考点评析】此题主要考查圆锥、圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。25．（5分）（2023•滨湖区）早在2000多年前，我国古代劳动人民就会用自己的方法计算各种物体的体积。《九章算术》中记载的圆柱体积的计算方法是“周自相乘，以高乘之，十二而一”，也就是说，用底面周长的平方乘高，再除以12，可以求出圆柱的体积。（1）如果一个圆柱的底面周长是20厘米，高是10厘米，你能用上面的方法算出这个圆柱的体积吗？（得数保留整立方厘米）（2）如果用现在的方法计算这个圆柱的体积，计算结果是多少立方厘米？（提示：计算时可以先保留π进行约分和计算，最后再用3.14代入，得数保留整立方厘米。）【思路点拨】（1）根据我国古代计算圆柱体积的方法，用底面周长的平方乘高，再除以12，可以求出圆柱的体积。据此列式解答。（2）根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。【规范解答】解：（1）20×20×10÷12＝400×10÷12＝4000÷12≈333（立方厘米）答：这个圆柱的体积是约是333立方厘米。（2）π×（20÷π÷2）2×10＝π×（400÷4π2）×10＝400÷4π×10＝≈318（立方厘米）答：这个圆柱的体积是约是318立方厘米。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握我国古代计算圆柱体积的方法及应用，以及现在计算圆柱体积的方法及应用。26．（5分）（2023•阜宁县）如图1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分钟。（1）圆锥内漏完水需要多少时间？（2）请你在图2中用阴影表示出此时圆柱内的水。【思路点拨】（1）根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出圆锥容器内水的体积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答。（2）因为等底等等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答即可。【规范解答】解：（1）3.14×32×6÷1.57＝3.14×9×6÷1.57＝56.52÷1.57＝36（分钟）答：圆锥内漏完水需要36分钟。（2）6×＝2（厘米）答：圆柱容器内水深2厘米。作图如下：【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。27．（5分）（2023•淮安区）一个圆柱形木块若切成4块（如图1），表面积增加48cm2；若切成3块（如图2），表面积增加50.24cm2。若削成一个最大的圆锥（如图3），体积减少25.12立方厘米。【思路点拨】根据圆柱的切割特点可知，如图2切割成3块，则表面积是增加了4个圆柱的底面的面积，据此求出一个底面的面积是多少，根据圆的面积公式（S＝πr2）可得这个圆的半径是2厘米，再根据图1的切割方法，沿底面直径切割后，表面积是增加了8个以底面半径和高为边长的长方形，据此可以求出这个长方形的面积（S＝长×宽），因为半径是2厘米，所以利用长方形的面积公式可得，圆柱的高，据此求出了圆柱的底面半径和高，再利用圆柱的体积公式（V＝Sh）即可求出这个圆柱的体积，如图3，把这个圆柱先削成一个最大的圆锥，则削掉的部分的体积就是这个圆柱的体积的。【规范解答】解：50.24÷4＝12.56（平方厘米）12.56÷3.14＝4（厘米）因为22＝4，所以这个圆柱的底面半径是2厘米。48÷8÷2＝6÷2＝3（厘米）3.14×22×3×（1﹣）＝3.14×4×3×＝25.12（立方厘米）答：体积减少了25.12立方厘米。故答案为：25.12。【考点评析】抓住圆柱的两种切割特点，根据增加的表面积分别求出这个圆柱的底面半径和高，是解决本题的关键。28．（5分）（2023•无锡）一个圆柱和一个圆锥的体积之比是8：3，圆柱的底面半很是圆锥底面半径的2倍。若圆锥的高是36cm，则圆柱的高是多少厘米？【思路点拨】根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，已知个圆柱和一个圆锥的体积之比是8：3，圆柱底面半径是圆锥底面半径的2倍，又知道圆锥的高是36厘米，求圆柱的高是多少厘米，根据它们的