专题17一元一次不等式(热考题型)-原卷版+解析

专题17一元一次不等式【思维导图】◎考点题型1一元一次不等式的定义概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式为：或。例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。例．（2022春·全国·七年级假期作业）下列各式中，是一元一次不等式的是（

）A．5+4>8 B．2x-1C．2x≤5 D．2x+y>7变式1．（2020春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）下列不等式中不是一元一次不等式的是（）A．x＞3 B．＞2 C．﹣y+1＜y D．2x＞1变式2．（2020春·山东聊城·八年级校考阶段练习）下列不等式是一元一次不等式的是（）A．x2﹣9x≥x2+7x﹣6 B．x+1=0 C．x+y＞0 D．x2+x+9≥0变式3．（2022春·贵州毕节·八年级校考期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是()．A．＋1＞2 B．x2＞9C．2x＋y≤5 D．＜0◎考点题型2解一元一次不等式解一元一次不等式的一般步骤：去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为12、解一元一次方程和解一元一次不等式的区别：一元一次方程一元一次不等式解法的依据方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变解法的步骤①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向解得情况一元一次方程只有一个解一元一次不等式可以有无数多个解例．（2022春·陕西西安·八年级校考阶段练习）解不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．变式1．（2022秋·浙江·八年级校联考期中）解下列不等式，并将它的解集在数轴上表示出来．，变式2．（2023·全国·九年级专题练习）解下列不等式，并把解集表示在数轴上．(1)(2)解不等式，并在数轴上表示解集．变式3．（2022秋·湖南郴州·八年级校考阶段练习）解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来．◎考点题型3整数解问题例．（2022秋·浙江金华·八年级校联考期中）已知关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围为（）A． B． C． D．变式1．（2022秋·八年级单元测试）已知关于x的不等式你只有两个正整数解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．变式2．（2019秋·浙江·九年级统考阶段练习）不等式的所有非负整数解的和为（

）A．-3 B．-1 C．1 D．3变式3．（2019春·云南红河·七年级统考期末）不等式的解集中，正整数解的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个◎考点题型4表示方法1、一元一次不等式的解集的表示方法：表示的两种形式：①用不等式表示；②用数轴表示。下面我们讨论用数轴表示一元一次不等式解集的四种情况：用数轴表示不等式解集时要“两定”：定边界点，定方向。若符号为“>或<”时，边界点为空心，若符号为“≥或≤”，边界点为实心。定方向时要注意“小于向左，大于向右”。例．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）已知不等式，其解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C． D．变式1．（2022·全国·七年级专题练习）不等式的解集是（

）A． B．C． D．变式2．（2022春·河北唐山·七年级统考期末）不等式的解在数轴上表示正确的是（

）A．B．C． D．变式3．（2022·广东深圳·模拟预测）不等式的解在数轴上的表示正确的是（

）A．B．C．D．◎考点题型5求不等式解的最值例．（2022春·广东汕头·七年级统考期末）已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（

）A．3 B．-3 C．4 D．-4变式1．（2022春·黑龙江大庆·九年级统考期中）已知实数，，满足，．若，则的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6变式2．（2022春·河南漯河·七年级统考期末）已知二元一次方程组，，则的最小值是（）A．1 B． C．0 D．变式3．（2019春·江苏·七年级阶段练习）不等式的最大整数为，不等式中的最小整数解为，则的值是（

）A．0 B．1 C．3 D．4◎考点题型6一元一次不等式解决实际问题1)审：认真审题，分清已知量、未知量；2)找：要抓住题中的关键字找出题中的不等关系；3)设：设出适当的未知数；4)列：根据题中的不等关系列出不等式；5)解：解出所列不等式的解集；6)答：检验是否符合题意，写出答案。例．（2022春·福建泉州·七年级统考期末）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，某校德育处举行了以“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”为主题的党史知识竞赛．知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分，小聪有3道题没答，竞赛成绩超过90分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（）A． B．C． D．变式1．（2022秋·八年级课时练习）某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小聪有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为()A．3×5+3×0.8x≤27 B．3×5+3×0.8x≥27C．3×5+3×0.8(x﹣5)≤27 D．3×5+3×0.8(x﹣5)≥27变式2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考阶段练习）某商店为了促销一种定价为4元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小颖有44元钱，那么她最多可以购买该商品（

）A．10件 B．11件 C．12件 D．13件变式3．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期中）把一些书分给几名同学，若每人分9本，则书本有剩余，条件*．若根据题意，设有名同学，可得到符合题意的不等式，则“条件*”可以是（

）A．每人分5本，则剩余3本B．每人分5本，则剩余的书可多分给3个人C．每人分5本，则还差3本D．其中一个人分5本，则其他同学每人可分3本◎考点题型7解决几何问题例．（2023秋·湖南益阳·八年级校联考期末）用长为40m的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度m，要使靠墙的一边长不小于25m，那么与墙垂直的一边长x（m）的取值范围为（）A． B． C． D．变式1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知点P（1－2m，m－1），则不论m取什么值，该P点必不在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变式2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图．已知点是射线上一动点（不与点重合），，若为钝角三角形，则的取值范围是（）A．B．C．或D．或变式3．（2021·广东·九年级专题练习）如图，是等边三角形，是边上一点，且的度数为，则的值可能是（

）A．10 B．20 C．30 D．40专题17一元一次不等式【思维导图】◎考点题型1一元一次不等式的定义概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式为：或。例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。例．（2022春·全国·七年级假期作业）下列各式中，是一元一次不等式的是（

）A．5+4>8 B．2x-1C．2x≤5 D．2x+y>7【答案】C【分析】从是否含有不等号，是否含有未知数，未知数的个数是否一个，这个未知数的指数是否为1，四个方面判断即可．【详解】∵5+4>8中，没有未知数，∴不是一元一次不等式，A不符合题意；∵2x-1，没有不等号，∴不是一元一次不等式，B不符合题意；∵2x≤5是一元一次不等式，∴C符合题意；∵2x+y>7中，有两个未知数，∴不是一元一次不等式，D不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义即含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式，正确理解定义是解题的关键．变式1．（2020春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）下列不等式中不是一元一次不等式的是（）A．x＞3 B．＞2 C．﹣y+1＜y D．2x＞1【答案】B【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可．【详解】解：＞2不是一元一次不等式．故选：B．【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，正确理解知识点是解题的关键；变式2．（2020春·山东聊城·八年级校考阶段练习）下列不等式是一元一次不等式的是（）A．x2﹣9x≥x2+7x﹣6 B．x+1=0 C．x+y＞0 D．x2+x+9≥0【答案】A【分析】根据一元一次不等式的概念（只有一个未知数，且未知数的次数为1，系数为零，左右两边为整式），分别验证四个选项即可得到答案.【详解】解：A，x2﹣9x≥x2+7x﹣6，两边同时减去x2，得到一元一次不等式，故是答案；B.x+1=0，不符合一元一次不等式的概念，故不是答案；C.x+y＞0，有两个未知数，不是一元一次不等式，故不是答案；D.x2+x+9≥0，未知数的次数是2，不是一元一次不等式，故不是答案；故A为答案.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义（只有一个未知数，且未知数的次数为1，系数为零，左右两边为整式），熟记一元一次不等式的定义是解题的关键.变式3．（2022春·贵州毕节·八年级校考期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是()．A．＋1＞2 B．x2＞9C．2x＋y≤5 D．＜0【答案】D【分析】主要依据一元一次不等式的定义进行辨别．含有一个未知数并且未知数的次数是一次的不等式叫一元一次不等式．【详解】A分母中含有未知数，所以不是一元一次不等式；B是一元二次不等式，所以不是一元一次不等式；C是二元一次不等式，所以不是一元一次不等式；Ｄ是一元一次不等式，所以D正确.故选D．【点睛】本题考查一元一次不等式的识别．◎考点题型2解一元一次不等式1、解一元一次不等式的一般步骤：去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为12、解一元一次方程和解一元一次不等式的区别：一元一次方程一元一次不等式解法的依据方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变解法的步骤①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向解得情况一元一次方程只有一个解一元一次不等式可以有无数多个解例．（2022春·陕西西安·八年级校考阶段练习）解不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．【答案】，图见解析【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为，并在数轴上表示出来即可．【详解】解：，，，，，，．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．变式1．（2022秋·浙江·八年级校联考期中）解下列不等式，并将它的解集在数轴上表示出来．，【答案】，它的解集在数轴上表示见解析【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【详解】解：去分母，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得将不等式的解集表示在数轴上如下：【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变．变式2．（2023·全国·九年级专题练习）解下列不等式，并把解集表示在数轴上．(1)(2)解不等式，并在数轴上表示解集．【答案】(1)，详见解析(2)，详见解析【分析】（1）先移项合并同类项系数化成1，再把解集表示在数轴上；（2）通过去分母，去括号，移项，系数化为1求得，在数轴上表示解集即可．【详解】（1）解：，移项，得，合并同类项，得，两边都除以2，得；这个不等式的解表示在数轴上如图所示．；（2）解：，去分母，得，去括号，得，移项，合并同类项得，系数化为1，得，在数轴上表示解集如图：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是正确地解一元一次不等式，解集为“”时要用实心点表示．变式3．（2022秋·湖南郴州·八年级校考阶段练习）解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来．【答案】x≥2，见解析【分析】先根据解一元一次不等式的解法步骤：去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1求得解集，再表示在数轴上即可【详解】解：去分母，得：，去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：，系数化为1，得：，解集在数轴上表示为：【点睛】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤，正确求解是解答的关键，特别注意不等号的方向．◎考点题型3整数解问题例．（2022秋·浙江金华·八年级校联考期中）已知关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解不等式求得不等式的解集，再根据不等式只有三个正整数解，可得到一个关于a的不等式，最后求得a的取值范围即可．【详解】解：解不等式，解得：，不等式有三个正整数解，一定是1、2、3，根据题意得：，解得：，故选：A．【点睛】本题主要考查了不等式的整数解，正确求解不等式得到解集是解答本题的关键．变式1．（2022秋·八年级单元测试）已知关于x的不等式你只有两个正整数解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出关于x的一元一次不等式的解集，根据整数解的个数确定a的取值范围．【详解】解：关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解，∴a＜0，∴不等式的解集为x＜，又∵关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解，∴2＜≤3，解得-6＜a≤-3，故选：B．【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，掌握一元一次不等式的解法以及整数解定义是正确解答的关键．变式2．（2019秋·浙江·九年级统考阶段练习）不等式的所有非负整数解的和为（

）A．-3 B．-1 C．1 D．3【答案】D【分析】先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到非负整数解求和即可．【详解】不等式2x-1≤3的解集为x≤2，所以非负整数解为0，1，2共3个．所以，它们的和=0+1+2=3，故选D．【点睛】解答此题要先求出不等式的解集，再确定非负整数解．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．变式3．（2019春·云南红河·七年级统考期末）不等式的解集中，正整数解的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】先求出不等式的解集，然后从解集里取出正整数即可．【详解】解：2x-5＞3(x-3)2x-5＞3x-92x-3x＞-9+5-x＞-4x＜4不等式的正整数解为1，2，3，共3个，故选C．【点睛】本题考查了求一元一次不等式的正整数解，正确的求出不等式的解集是解决此题的关键．◎考点题型4表示方法1、一元一次不等式的解集的表示方法：表示的两种形式：①用不等式表示；②用数轴表示。下面我们讨论用数轴表示一元一次不等式解集的四种情况：用数轴表示不等式解集时要“两定”：定边界点，定方向。若符号为“>或<”时，边界点为空心，若符号为“≥或≤”，边界点为实心。定方向时要注意“小于向左，大于向右”。例．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）已知不等式，其解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可判定．【详解】解：，解得，在数轴上表示为：，故选：B．【点睛】本题考查了解一元一次不等式并把解集在数轴上表示出来，准确把不等式的解集在数轴上表示出来是解决本题的关键．变式1．（2022·全国·七年级专题练习）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先解不等式，然后结合数轴上数的表示，即可得答案．【详解】解：解得：，A、表示的解集为，故此选项不符合题意；B、表示的解集为，故此选项符合题意；C、表示的解集为，故此选项不符合题意；D、表示的解集为，故此选项不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，解题的关键是掌握在数轴上表示数的时候，注意大于向右，小于向左．变式2．（2022春·河北唐山·七年级统考期末）不等式的解在数轴上表示正确的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】先解不等式求得解集，然后再数轴上表示即可．【详解】解：3-3x＞2-2x-3x+2x＞2-3-x＞-1x＜1在数轴上表示如图：故选C．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式及用数轴表示不等式的解集，正确解不等式是解题关键，注意“＞”向右，“＜”向左，带等号用实心，不带等号用空心．变式3．（2022·广东深圳·模拟预测）不等式的解在数轴上的表示正确的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】先求出不等式的解集，再表示在数轴上即可．【详解】解：∵，∴，在数轴上表示为：，故选：B．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解本题的关键．要注意把每个不等式的解集在数轴上表示出来的方法（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圈表示．◎考点题型5求不等式解的最值例．（2022春·广东汕头·七年级统考期末）已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（

）A．3 B．-3 C．4 D．-4【答案】A【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可．【详解】∵是不等式的一个解，∴，解得，∴整数k的最小值是3．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．变式1．（2022春·黑龙江大庆·九年级统考期中）已知实数，，满足，．若，则的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】将y和z分别都用含x的式子表示，根据题意，把x的范围求出来，则x+y+z求出最大值．【详解】由，．可得y=3-x，z=x-6，∴x+y+z=x+3-x+x-6=x-3．∵，∴．解得．∴x-3，∴x+y+z3，则最大值为3．故选A．【点睛】此题考查了不等式的计算，把y和z分别都用含x的式子正确表示出来是解此题的关键．变式2．（2022春·河南漯河·七年级统考期末）已知二元一次方程组，，则的最小值是（）A．1 B． C．0 D．【答案】B【分析】先解二元一次方程组，再根据条件列出不等式，解不等式即可求得答案．【详解】①②得：①②得：解得的最小值为．故选B．【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键．变式3．（2019春·江苏·七年级阶段练习）不等式的最大整数为，不等式中的最小整数解为，则的值是（

）A．0 B．1 C．3 D．4【答案】A【分析】先求不等式的解集，再分别确定a、b的值，然后代入求解即可.【详解】解：∵不等式的解集为x＜4，a是解集中的最大整数，∴a=3，∵不等式中的最小整数解为b，∴b=－1，∴a+3b=3+3×(－1)=0.故选A.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解集，属于基础题，解答的关键是认真审题，把握x的取值范围.◎考点题型6一元一次不等式解决实际问题1)审：认真审题，分清已知量、未知量；2)找：要抓住题中的关键字找出题中的不等关系；3)设：设出适当的未知数；4)列：根据题中的不等关系列出不等式；5)解：解出所列不等式的解集；6)答：检验是否符合题意，写出答案。例．（2022春·福建泉州·七年级统考期末）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，某校德育处举行了以“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”为主题的党史知识竞赛．知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分，小聪有3道题没答，竞赛成绩超过90分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】小聪答对题的得分：10x；小聪答错的得分：-5（17-x），不等关系：小聪得分超过90分．【详解】解：设他答对了x道题，根据题意，得10x-5（17-x）>90．故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，找到不等关系是解题的关键．变式1．（2022秋·八年级课时练习）某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小聪有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为()A．3×5+3×0.8x≤27 B．3×5+3×0.8x≥27C．3×5+3×0.8(x﹣5)≤27 D．3×5+3×0.8(x﹣5)≥27【答案】C【分析】设小聪可以购买该种商品x件，根据总价=3×5+3×0.8×超出5件的部分结合总价不超过27元，即可得出关于x的一元一次不等式．【详解】设小聪可以购买该种商品x件，根据题意得：3×5+3×0.8（x-5）≤27．故选C．【点睛】考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．变式2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考阶段练习）某商店为了促销一种定价为4元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小颖有44元钱，那么她最多可以购买该商品（

）A．10件 B．11件 C．12件 D．13件【答案】C【分析】根据题意，列出不等式求解即可．购买商品的钱不能超过44元．【详解】解：∵，∴她购买的商品超过了5件，设她购买了x件商品，，解得：，∴她最多可以购买该商品12件．故选：C．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出不等式求解．变式3．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期中）把一些书分给几名同学，若每人分9本，则书本有剩余，条件*．若根据题意，设有名同学，可得到符合题意的不等式，则“条件*”可以是（

）A．每人分5本，则剩余3本B．每人分5本，则剩余的书可多