竞赛数学高中试题及答案

竞赛数学高中试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.函数\(y=\log_2(x^2-4)\)的定义域是（）A.\((-2,2)\)B.\((-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\)C.\([-2,2]\)D.\((-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\)2.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，则公差\(d\)为（）A.1B.2C.3D.43.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-1,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(m\)的值为（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)4.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，则\(\cos\alpha\)的值为（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)5.双曲线\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的渐近线方程是（）A.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)B.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{2}{3}x\)D.\(y=\pm\frac{3}{2}x\)6.函数\(y=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{\pi}{4}\)7.若\(a\gtb\gt0\)，则下列不等式成立的是（）A.\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}{b}\)B.\(a^2\ltb^2\)C.\(\log_2a\gt\log_2b\)D.\((\frac{1}{2})^a\gt(\frac{1}{2})^b\)8.已知\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，则\(z=2x+y\)的最大值为（）A.3B.4C.5D.69.从5名男生和3名女生中选3人参加活动，至少有1名女生的选法有（）A.25种B.46种C.60种D.90种10.已知\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\gt0\)时，\(f(x)=x^2-2x\)，则\(f(-1)\)的值为（）A.-1B.1C.3D.-3二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，是偶函数的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\ln|x|\)D.\(y=e^x+e^{-x}\)2.以下说法正确的是（）A.过两点有且只有一条直线B.两点之间线段最短C.垂直于同一条直线的两条直线平行D.平行于同一条直线的两条直线平行3.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则（）A.\(A\capB=\{2,3\}\)B.\(A\cupB=\{1,2,3,4\}\)C.\(A\subseteqB\)D.\(B\subseteqA\)4.下列关于导数的说法正确的是（）A.若\(f(x)\)在\(x=x_0\)处可导，则\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}=f^\prime(x_0)\)B.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)（\(n\inR\)）C.\((\sinx)^\prime=\cosx\)D.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)5.对于椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)，以下说法正确的是（）A.长轴长为\(2a\)B.短轴长为\(2b\)C.焦距为\(2c\)（\(c^2=a^2-b^2\)）D.离心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(0\lte\lt1\)）6.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)为实数，则下列命题正确的是（）A.若\(a\gtb\)，则\(ac^2\gtbc^2\)B.若\(ac^2\gtbc^2\)，则\(a\gtb\)C.若\(a\gtb\)，\(ab\gt0\)，则\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)D.若\(a\gtb\)，\(ab\lt0\)，则\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}{b}\)7.下列数列中，是等比数列的有（）A.\(2,4,8,16,\cdots\)B.\(1,-1,1,-1,\cdots\)C.\(2,0,2,0,\cdots\)D.\(a,a,a,a,\cdots\)（\(a\neq0\)）8.已知直线\(l_1:ax+2y+6=0\)，\(l_2:x+(a-1)y+a^2-1=0\)，若\(l_1\parallell_2\)，则\(a\)的值为（）A.-1B.2C.1D.09.关于函数\(y=\tanx\)，下列说法正确的是（）A.定义域是\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)B.周期是\(\pi\)C.图象关于点\((\frac{k\pi}{2},0)(k\inZ)\)对称D.在\((-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi)(k\inZ)\)上单调递增10.从0，1，2，3，4这5个数字中任取3个组成三位数，其中偶数的个数为（）A.30B.36C.40D.42三、判断题（每题2分，共10题）1.空集是任何集合的真子集。（）2.若\(a\)，\(b\)为实数，且\(a+b=0\)，则\(a=b=0\)。（）3.函数\(y=\frac{1}{x}\)在定义域内是单调递减函数。（）4.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，则\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\)。（）5.抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦点坐标是\((\frac{p}{2},0)\)。（）6.若\(a\gtb\)，则\(a^3\gtb^3\)。（）7.对于任意实数\(x\)，\(\sin^2x+\cos^2x=1\)。（）8.若数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=n^2\)，则\(a_n=2n-1\)。（）9.过圆\(x^2+y^2=r^2\)上一点\((x_0,y_0)\)的切线方程是\(x_0x+y_0y=r^2\)。（）10.若\(f(x)\)是周期为\(T\)的函数，则\(f(x+T)=f(x)\)。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数\(y=x^2-2x+3\)在区间\([0,3]\)上的最值。答案：\(y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)，对称轴\(x=1\)。在\([0,1]\)递减，\([1,3]\)递增。\(x=1\)时，\(y_{min}=2\)；\(x=3\)时，\(y_{max}=6\)。2.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，\(a_1=1\)，\(S_5=25\)，求\(a_n\)。答案：\(S_5=5a_1+\frac{5\times4}{2}d=5+10d=25\)，解得\(d=2\)。\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.求过点\((1,2)\)且与直线\(2x-y+1=0\)垂直的直线方程。答案：直线\(2x-y+1=0\)斜率为\(2\)，所求直线斜率\(k=-\frac{1}{2}\)。由点斜式得\(y-2=-\frac{1}{2}(x-1)\)，即\(x+2y-5=0\)。4.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\alpha\)为锐角，求\(\cos2\alpha\)的值。答案：\(\cos2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha\)，把\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)代入得\(\cos2\alpha=1-2\times(\frac{1}{3})^2=\frac{7}{9}\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=\frac{1}{x-1}\)在区间\((1,+\infty)\)和\((-\infty,1)\)上的单调性。答案：在区间\((1,+\infty)\)和\((-\infty,1)\)上分别任取\(x_1\)，\(x_2\)且\(x_1\ltx_2\)，计算\(y_1-y_2=\frac{x_2-x_1}{(x_1-1)(x_2-1)}\)。在\((1,+\infty)\)上\(y_1-y_2\gt0\)，函数递减；在\((-\infty,1)\)上\(y_1-y_2\gt0\)，函数也递减。2.讨论直线\(y=kx+1\)与圆\(x^2+y^2=1\)的位置关系。答案：圆\(x^2+y^2=1\)圆心\((0,0)\)，半径\(r=1\)。圆心到直线距离\(d=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\)。当\(d\ltr\)即\(k\neq0\)时，相交；\(d=r\)即\(k=0\)时，相切；\(d\gtr\)不成立。3.讨论\(a\)取不同值时，不等式\(ax^2-2x+1\gt0\)的解集情况。答案：当\(a=0\)，\(-2x+1\gt0\)，解集\(x\lt\frac{1}{2}\)；\(a\gt0\)，\(\Delta=4-4a\)，\(\Delta\lt0\)即\(a\gt1\)时，解集\(R\)；\(\Delta=0\)即\(a=1\)时，解集\(x\neq1\)；\(\Delta\gt0\)即\(0\lta\lt1\)时，\(x\lt\frac{1-\sqrt{1-a}}{a}\)或\(x\gt\frac{1+\sqrt{1-a}}{a}\)；\(a\lt0\)时，\(\frac{1+\sqrt{1-a}}{a}\ltx\lt\frac{1-\sqrt{1-a}}{a}\)。4.讨论等比数列