全国卷3理数试题及答案

全国卷3理数试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\cupB=\)（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.若\(z=1+i\)，则\(\vertz^{2}-2z\vert=\)（）A.0B.1C.\(\sqrt{2}\)D.23.已知\(\tan\alpha=3\)，则\(\frac{2\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+2\cos\alpha}=\)（）A.\(\frac{1}{2}\)B.2C.\(-\frac{1}{2}\)D.\(-2\)4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,m)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,-2)\)，且\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{b}\)，则\(m=\)（）A.-8B.-6C.6D.85.函数\(f(x)=\frac{\sinx+x}{\cosx+x^{2}}\)在\([-\pi,\pi]\)的图象大致为（）（选项略）6.执行下面的程序框图，如果输入的\(x=0\)，\(y=1\)，\(n=1\)，则输出\(x\)，\(y\)的值满足（）（程序框图略）A.\(y=2x\)B.\(y=3x\)C.\(y=4x\)D.\(y=5x\)7.某圆柱的高为\(2\)，底面周长为\(16\pi\)，其三视图如右图。圆柱表面上的点\(M\)在正视图上的对应点为\(A\)，圆柱表面上的点\(N\)在左视图上的对应点为\(B\)，则在此圆柱侧面上，从\(M\)到\(N\)的路径中，最短路径的长度为（）（三视图略）A.\(2\sqrt{17}\)B.\(2\sqrt{5}\)C.\(3\)D.\(2\)8.已知双曲线\(C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一条渐近线方程为\(y=\frac{\sqrt{5}}{2}x\)，且与椭圆\(\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1\)有公共焦点，则\(C\)的方程为（）A.\(\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{10}=1\)B.\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1\)C.\(\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1\)D.\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1\)9.已知\(f(x)\)是定义在\(R\)上的偶函数，且在区间\((-\infty,0)\)上单调递增。若实数\(a\)满足\(f(2^{\verta-1\vert})\gtf(-\sqrt{2})\)，则\(a\)的取值范围是（）A.\((-\infty,\frac{1}{2})\)B.\((-\infty,\frac{1}{2})\cup(\frac{3}{2},+\infty)\)C.\((\frac{1}{2},\frac{3}{2})\)D.\((\frac{3}{2},+\infty)\)10.已知函数\(f(x)=2\cos^{2}x-\sin^{2}x+2\)，则（）A.\(f(x)\)的最小正周期为\(\pi\)，最大值为\(3\)B.\(f(x)\)的最小正周期为\(\pi\)，最大值为\(4\)C.\(f(x)\)的最小正周期为\(2\pi\)，最大值为\(3\)D.\(f(x)\)的最小正周期为\(2\pi\)，最大值为\(4\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，在区间\((0,+\infty)\)上单调递增的是（）A.\(y=x^{\frac{1}{2}}\)B.\(y=2^{x}\)C.\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)2.已知\(a,b,c\)为三条不同的直线，\(\alpha,\beta\)为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若\(a\parallelb\)，\(b\subset\alpha\)，则\(a\parallel\alpha\)B.若\(a\perp\alpha\)，\(b\perp\alpha\)，则\(a\parallelb\)C.若\(a\perp\alpha\)，\(a\perp\beta\)，则\(\alpha\parallel\beta\)D.若\(a\subset\alpha\)，\(\alpha\cap\beta=b\)，\(a\parallelb\)，则\(a\parallel\beta\)3.已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若\(a_{3}=5\)，\(S_{3}=9\)，则（）A.\(a_{1}=1\)B.\(d=2\)C.\(a_{5}=9\)D.\(S_{5}=25\)4.已知函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)(A\gt0,\omega\gt0)\)的部分图象如图所示，则（）（图象略）A.\(A=2\)B.\(\omega=2\)C.\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)D.函数的单调递增区间为\([k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}](k\inZ)\)5.已知曲线\(C\)的方程为\(x^{2}+y^{2}-2x-4y+m=0\)，下列说法正确的是（）A.当\(m=4\)时，曲线\(C\)表示一个点B.当\(m\gt5\)时，曲线\(C\)表示圆C.当\(m\lt5\)时，曲线\(C\)表示圆D.若曲线\(C\)与直线\(x+2y-4=0\)交于\(M\)，\(N\)两点，且\(\vertMN\vert=\frac{4\sqrt{5}}{5}\)，则\(m=4\)6.以下关于概率的说法正确的是（）A.若事件\(A\)与\(B\)互斥，则\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)B.若事件\(A\)与\(B\)相互独立，则\(P(AB)=P(A)P(B)\)C.对于任意事件\(A\)，\(B\)都有\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(AB)\)D.若事件\(A\)发生的概率为\(P(A)\)，则\(0\leqP(A)\leq1\)7.已知函数\(f(x)=x^{3}-3x\)，则（）A.\(f(x)\)有两个极值点B.\(f(x)\)在\((-\infty,-1)\)上单调递增C.\(f(x)\)的极大值为\(2\)D.\(f(x)\)的极小值为\(-2\)8.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，则（）A.\(a^{2}+b^{2}\geq\frac{1}{2}\)B.\(2^{a-b}\gt\frac{1}{2}\)C.\(\log_{2}a+\log_{2}b\geq-2\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2}\)9.已知椭圆\(C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1},F_{2}\)，过\(F_{2}\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，若\(\triangleAF_{1}B\)的周长为\(8\)，离心率\(e=\frac{1}{2}\)，则（）A.\(a=2\)B.\(b=\sqrt{3}\)C.\(F_{2}(1,0)\)D.椭圆\(C\)的方程为\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)10.已知函数\(f(x)\)的定义域为\(R\)，其导函数\(f^\prime(x)\)的图象如图所示，则（）（图象略）A.函数\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上单调递减B.函数\(f(x)\)在\(x=0\)处取得极小值C.函数\(f(x)\)在\((0,2)\)上单调递增D.函数\(f(x)\)在\(x=2\)处取得极大值三、判断题（每题2分，共10题）1.若\(a\gtb\)，则\(ac^{2}\gtbc^{2}\)。（）2.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，则\(\alpha=\frac{\pi}{6}\)。（）3.直线\(x+y+1=0\)与圆\(x^{2}+y^{2}=1\)相切。（）4.若向量\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)共线，则存在实数\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{b}\)。（）5.函数\(y=\cosx\)的最小正周期是\(2\pi\)。（）6.若数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n+1}=2a_{n}\)，则\(\{a_{n}\}\)是等比数列。（）7.空间中，垂直于同一条直线的两条直线平行。（）8.若\(f(x)\)是奇函数，则\(f(0)=0\)。（）9.抛物线\(y^{2}=4x\)的焦点坐标为\((1,0)\)。（）10.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)且\(x+y=1\)，则\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq4\)。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.已知\(\{a_{n}\}\)是等差数列，\(a_{1}=1\)，\(a_{3}+a_{4}=12\)，求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式。答案：设等差数列\(\{a_{n}\}\)的公差为\(d\)，\(a_{3}=a_{1}+2d\)，\(a_{4}=a_{1}+3d\)，由\(a_{3}+a_{4}=12\)，\(a_{1}=1\)可得\(2a_{1}+5d=12\)，即\(2+5d=12\)，解得\(d=2\)，所以\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。2.已知函数\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2\)，求\(f(x)\)的单调区间。答案：对\(f(x)\)求导得\(f^\prime(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)\)。令\(f^\prime(x)\gt0\)，解得\(x\lt0\)或\(x\gt2\)，此时\(f(x)\)单调递增；令\(f^\prime(x)\lt0\)，解得\(0\ltx\lt2\)，此时\(f(x)\)单调递减。即增区间为\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)，减区间为\((0,2)\)。3.已知\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(\cosC=\frac{1}{3}\)，求\(c\)的值及\(\triangleABC\)的面积。答案：根据余弦定理\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cosC\)，可得\(c^{2}=9+16-2\times3\times4\times\frac{1}{3}=17\)，则\(c=\sqrt{17}\)。又\(\sinC=\sqrt{1-\cos^{2}C}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)，所以\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\times3\times4\times\frac{2\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}\)。4.已知椭圆\(C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的离心率为\(\frac{\s