2023-2025北京高三（上）期末数学汇编：平面向量的运算

第1页/共1页2023-2025北京高三（上）期末数学汇编平面向量的运算一、单选题1．（2025北京昌平高三上期末）在△中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2025北京西城高三上期末）在△中，则“”是“△是直角三角形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2025北京东城高三上期末）已知平面向量为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024北京东城高三上期末）已知非零向量，，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．5．（2024北京丰台高三上期末）已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题6．（2025北京石景山高三上期末）向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线，则实数.7．（2025北京通州高三上期末）已知是同一平面上的三个向量，满足，，则与的夹角等于；若与的夹角为，则的最大值为.8．（2025北京西城高三上期末）折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是，.9．（2025北京朝阳高三上期末）已知为△所在平面内一点，满足，且，，设为向量的夹角，则；．

参考答案1．B【分析】设，由平行四边形法则得到,将表示成的函数，并利用二次函数的性质求出最小值.【详解】△中，，为的中点，所以，设，则，，，即当时，的最小值为.故选：B.2．A【分析】根据充分不必要条件的判定和向量数量积的定义和运算律即可得到答案.【详解】，则，因为在中，则，则，则，则是直角三角形，则充分性成立；反过来若“△是直角三角形”，则不一定是，比如，则，则，则，则必要性不成立，则“”是“△是直角三角形”的充分不必要条件.故选：A.3．C【分析】由题设有设，，，如下图，为边长为1的菱形，数形结合及向量加减、数乘的几何意义判断条件间的推出关系，即可得答案.【详解】由平面向量为两两不共线的单位向量，设，，，如下图，为边长为1的菱形，若，即与垂直，，即，而，且，所以共线，即与共线；若与共线，即且，而，即，所以与垂直，故.所以“”是“与共线”的充要条件.故选：C4．B【分析】根据向量的数量积的运算律求解即可.【详解】非零向量，，满足，且，对于A，不恒为，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，不恒为，故C错误；对于D，不恒为，故D错误.故选：B.5．A【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性.【详解】当，且时，，充分性满足；当时，，当，时，是可以大于零的，即当时，可能有，，必要性不满足，故“，且”是“”的充分而不必要条件.故选：A.6．2【分析】由图得，根据向量与共线，结合共线向量基本定理设，即可解得实数的值.【详解】由图可知，，因为向量与共线，所以根据共线向量基本定理可设：，即，则，所以，解得.故答案为：2.7．4【分析】第1空，利用可得；第2空，根据向量夹角的关系，利用向量的几何表示，设，，确定为的外接圆直径时最大，进而可得.【详解】第1空：，因，故，第2空：设，，则,设，则，，因与的夹角为，而，故在两段优弧上，如下图，右上方的弧所在圆的半径为，左下方的弧所在的圆的半径为2且圆心为，结合图形可得即可取得最大值为直径即为，故答案为：；48．【分析】根据扇形面积公式，即可求解扇面的面积；根据向量数量积公式求模.【详解】由条可知，，，所以扇形的面积，扇形的面积,所以扇面的面积是；.故答案为：；9．