2023-2025北京高三（上）期末数学汇编：三角恒等变换（人教B版）

第1页/共1页2023-2025北京高三（上）期末数学汇编三角恒等变换（人教B版）一、单选题1．（2025北京东城高三上期末）下列函数中，使既是奇函数又是增函数的是（

）A． B． C． D．2．（2025北京西城高三上期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，点在角的终边上，则（

）A． B． C． D．3．（2025北京昌平高三上期末）已知函数的最小正周期为，，且函数在区间上具有单调性，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．（2024北京通州高三上期末）如图，在平面直角坐标系中，角和的顶点都与原点重合，始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点.若，则（

）A． B． C． D．5．（2023北京东城高三上期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边位于第一象限，且与单位圆交于点，轴，垂足为.若的面积为，则（

）A． B． C． D．6．（2023北京石景山高三上期末）已知函数，则下列命题正确的是（

）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．最小正周期为，且作上为增函数D．的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象二、填空题7．（2024北京东城高三上期末）已知函数，若，则的一个取值为．8．（2024北京大兴高三上期末）如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆，外框是以为中心，边长为2的正六边形，则到线段的距离为；若是圆上的动点，则的取值范围是.

三、解答题9．（2025北京海淀高三上期末）已知函数.(1)求曲线的两条对称轴之间距离的最小值；(2)若在区间上的最大值为，求的值.10．（2025北京房山高三上期末）已知函数，，且的最小值为.(1)求的值；(2)设，求函数在区间上的最大值及相应自变量的值.11．（2024北京西城高三上期末）已知函数的一个零点为．(1)求的值及的最小正周期；(2)若对恒成立，求的最大值和的最小值．12．（2024北京朝阳高三上期末）已知函数的图象过原点.(1)求的值及的最小正周期；(2)若函数在区间上单调递增，求正数的最大值.13．（2024北京通州高三上期末）已知函数.(1)求的最小正周期及单调递增区间；(2)若，且，求的值.14．（2024北京石景山高三上期末）设函数．(1)若，求的值；(2)已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．条件①：函数的图象经过点；条件②：时，的值域是；条件③：是的一条对称轴．15．（2024北京房山高三上期末）已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称.(1)求的值；(2)设，若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.16．（2023北京顺义高三上期末）已知函数的一个零点为．(1)求A和函数的最小正周期；(2)当时，若恒成立，求实数m的取值范围．17．（2023北京通州高三上期末）已知函数的最小正周期为.(1)求的值；(2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递增区间.18．（2023北京西城高三上期末）已知函数．(1)求的最小正周期；(2)若，且，求x的取值范围．19．（2023北京昌平高三上期末）已知函数，再从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知，(1)求的解析式；(2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.条件①：函数的图象经过点；条件②：函数的图象可由函数的图象平移得到；条件③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为.注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.20．（2023北京一六六中高三上期末）在中，，，点在边上，，.（1）求；（2）求的面积.

参考答案1．B【分析】先求得，然后根据函数的奇偶性和单调性等知识来确定正确答案.【详解】对于A，，由于，所以是偶函数，不合题意，故A错误；对于B，，既是奇函数，又是增函数，符合题意，故B正确；对于C，，当时，，所以不是奇函数，不合题意，故C错误；对于D，，该函数是奇函数，但不单调，不符合题意，故D错误.故选：B.2．A【分析】根据三角函数的定义求三角函数值，再结合二倍角公式，即可求解.【详解】由条件可知，,所以，，所以.故选：A3．B【分析】整体代换法求得函数对称中心的横坐标，结合题设条件，得出，进而求得的最小值．【详解】由题意，函数，又因为最小正周期为，所以，所以令，解得则函数的对称中心的横坐标为，又因为，函数关于对称，函数在上单调，所以，当时，，即的最小值为.故选：B.4．C【分析】由题意并根据可得，由三角函数定义知，然后应用差角余弦公式计算求值即可.【详解】由题意，设，由已知A的坐标并结合三角函数的定义得，则.故选：C5．D【分析】由三角函数的定义结合三角形面积列出方程，再由倍角公式求出答案.【详解】由三角函数的定义可知：，故，故，解得：.故选：D6．C【分析】利用辅助角公式，结合正弦型函数的对称性、最小正周期公式、单调性、奇偶性逐一判断即可.【详解】，对于A，因为，所以不是函数图象的对称轴，所以A错误，对于B，因为，所以点不是函数图象的对称中心，所以B错误，对于C，的最小正周期为，当即时，单调递增，所以在上单调增，所以C正确；把的图象向右平移个单位得到函数的图象，没有奇偶性，所以D错误，故选：C7．（答案不唯一）【分析】利用和角的正弦公式和诱导公式化简，求出即可求解.【详解】，，即，解得，，，.的一个取值为.故答案为：（答案不唯一）.8．1【分析】根据正六边形的性质即可求解空1，利用向量的坐标运算即可由三角函数的性质求解.【详解】取中点为，由于正六边形的边长为2，所以,因此到线段的距离为,建立如图所示的直角坐标系，则,，，由于,故，故答案为：1；

9．(1)；(2).【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再求出函数图象的对称轴方程即可.（2）分析函数在的性质，确定最大值点，再结合函数值求出.【详解】（1）函数由，解得所以曲线的两条对称轴之间的距离最小值为．（2）当时，，由在区间上的最大值为，得，而正弦函数在上单调递减，则在上单调递减，因此，，解得，所以的值是.10．(1)(2)当时，函数取最大值【分析】（1）根据题意可得出函数的最小正周期，即可求得的值；（2）由可求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求出函数在区间上的最大值及其对应的值.【详解】（1）因为函数，，且的最小值为.所以，函数的最小正周期为，则.（2）由（1）知，，则，当时，，故当时，即当时，函数取最大值，即.11．(1)，最小正周期为(2)的最大值是；的最小值是1【分析】（1）现有条件求出值的解析式，再运用降幂公式和辅助角公式将其化成正弦型函数，即可求得的最小正周期；（2）先由给定区间求出的范围，结合正弦函数的图象，求得其值域，分析函数取最值时自变量的值，即可求出的最大值和的最小值.【详解】（1）由题设，化简得解得．故则的最小正周期为；（2）由，可得．故得，即．当，即时，取得最大值1；当，即时，取得最小值．由对恒成立，可得，且．即的最大值是，的最小值是1．12．(1)，(2)【分析】（1）利用函数图象过原点求得，然后利用三角恒等变换化简函数，利用周期公式求解周期；（2）先利用换元法求解函数的单调递增区间，利用子集关系建立不等式求解即可.【详解】（1）由得.所以.所以的最小正周期为.（2）由（），得（）.所以的单调递增区间为（）.因为在区间上单调递增，且，此时，所以，故的最大值为.13．(1)，单调递增区间为(2)【分析】（1）由二倍角公式以及两角和与差化简可得，再求最小正周期和单调区间即可；（2）由得，则的值可求.【详解】（1）因为，所以.所以的最小正周期.令，得.所以的单调递增区间为.（2）因为，所以.因为，所以.所以.所以.所以的值为.14．(1)(2)选②或③，【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解；（2）选①，由可判断；选②，由题意，，由三角函数的性质可得周期，即可得；选③，由题意，得，又是的一条对称轴，所以，由此可解得.【详解】（1）因为，所以．因为，所以．（2）选①，∵，∴函数的图象不可能经过点，不合题意；选②，因为在区间上单调递减，且当时，的值域是，所以，.此时，由三角函数的性质可得，故．

因为，所以.选③，因为在区间上单调递减，所以，即，解得．

因为是的一条对称轴，所以.所以，即，解得.由，可知.15．(1)(2)【分析】（1）求出平移后所得函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性，结合的取值范围可求得的值；（2）利用三角恒等变换化简得出，由可得，结合题意可得出关于的不等式，解之即可.【详解】（1）解：将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数，由题意可知，函数为奇函数，则，可得，又因为，则.（2）解：由（1）可知，，则，因为，则，由，可得，因为在区间上有且只有一个零点，则，解得.因此，实数的取值范围是.16．(1)；(2)【分析】（1）解方程即可求，然后把函数降幂，辅助角公式后再求周期.（2）若恒成立，即求.【详解】（1）的一个零点为，即，所以函数的最小正周期为.（2）当时有最大值，即.若恒成立，即,所以，故的取值范围为.17．(1).(2)，.【分析】（1）化简的表达式，根据最小正周期求得的值；（2）根据三角函数图象的变换规律，可得的解析式，根据正弦函数的单调性，即可求得答案.【详解】（1）因为，所以的最小正周期,依题意得，解得.（2）由（1）知，把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，再把得到的图象向右平移个单位，得到的图象，即，由函数的单调递增区间为，,令，得，所以的单调递增区间为，.18．(1)；(2).【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式即可化解得，则得到其最小正周期；（2）根据范围求出，则，则，解出即可.【详解】（1）所以的最小正周期为.（2）因为,所以.因为,所以.所以.解得,所以的取值范围是.19．(1);(2).【分析】（1）化简，若选①，将点代入求得，可得答案；选②，根据三角函数图象的平移变化规律可得，可得答案；选②，由函数的最小正周期可确定，可得答案；（2）由确定，从而求得的范围，根据不等式恒成立即可确定实数的取值范围.【详解】（1）;选①：函数的图象经过点，则，所以，则，由，可得，则；选②：函数的图象可由函数的图象平移得到，即的图象可由函数的图象平移得到，则，则.选