2023-2025北京高三一模数学汇编：集合间的基本关系

第1页/共1页2023-2025北京高三一模数学汇编集合间的基本关系一、单选题1．（2025北京通州高三一模）已知全集为R，集合，，则（

）A． B． C． D．2．（2025北京石景山高三一模）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．3．（2025北京顺义高三一模）已知集合，集合，则（

）A． B．C． D．4．（2025北京朝阳高三一模）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．5．（2025北京平谷高三一模）已知集合，则（

）A． B．C． D．6．（2024北京房山高三一模）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．7．（2024北京延庆高三一模）已知集合，，则（

）A． B．C． D．8．（2024北京朝阳高三一模）已知全集，，则（

）A． B． C． D．9．（2024北京海淀高三一模）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．10．（2024北京西城高三一模）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．11．（2024北京东城高三一模）如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（

）

A． B． C． D．12．（2024北京门头沟高三一模）已知集合，集合，则（

）A． B．C． D．13．（2023北京顺义高三一模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．14．（2023北京海淀高三一模）已知集合，则（

）A． B． C． D．15．（2023北京房山高三一模）已知集合，则（

）A． B． C． D．16．（2023北京丰台高三一模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．17．（2023北京平谷高三一模）已知集合，则（

）A． B． C． D．二、填空题18．（2024北京朝阳高三一模）设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论：①若，则{思想政治，历史，生物}；②若，则{地理，物理，化学}；③若{思想政治，物理，生物}，则；④若，则{思想政治，地理，化学}.其中所有正确结论的序号是.三、解答题19．（2024北京丰台高三一模）已知集合（，），若存在数阵满足：①；②．则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”．(1)已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值；(2)若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；(3)判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由．20．（2023北京门头沟高三一模）已知集合.若对于集合M的任意k元子集A，A中必有4个元素的和为，则称这样的正整数k为“好数”，所有“好数”的最小值记作.(1)当，即集合.（i）写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为；（ii）写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于；(2)证明：；(3)证明：.21．（2023北京西城高三一模）给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．(1)判断集合是否具有性质？说明理由；(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；(3)若集合具有性质，证明：．

参考答案1．B【分析】由补集及交集运算即可求解.【详解】由，可得或，所以，故选：B2．B【分析】利用集合的补集运算求解.【详解】因为全集，集合，所以，故选：B3．C【分析】先确定集合，再根据补集的定义运算即可.【详解】因为，.所以.故选：C4．A【分析】求出集合A，然后根据交集运算求解即可.【详解】，所以，故选：A.5．D【分析】根据并集的定义即可求.【详解】，故选：D6．B【分析】根据补集的定义即可得解.【详解】因为全集，集合，所以.故选：B.7．B【分析】根据题意，由并集的运算，即可得到结果.【详解】因为，则.故选：B8．D【分析】求出集合A，再利用补集的定义求解即得.【详解】全集，则，所以.故选：D9．D【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.【详解】全集，集合，所以.故选：D10．B【分析】利用补集和交集运算求解即可.【详解】因为集合，所以或，又集合，所以或.故选：B11．D【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解.【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是.故选：D.12．A【分析】求,判断选项.【详解】根据题意可得，，故选：A13．A【分析】根据并集的运算，计算即可得出答案.【详解】根据并集的运算可知，.故选：A.14．A【分析】求交集可得答案.【详解】因为集合，所以.故选：A.15．C【分析】直接求并集得到答案.【详解】集合，则.故选：C16．D【分析】根据并集运算求解.【详解】因为集合，，所以，故选:D.17．C【分析】由并集的定义求解即可.【详解】因为集合，所以.故选：C.18．①③【分析】对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到必为偶数，讨论和两种情况下的求解即可；对于④：通过举例{物理，地理，历史}来说明.【详解】对于①：，所以，所以，又{地理，物理，化学}，所以{思想政治，历史，生物}，①正确；对于②：，即，所以，所以必为偶数，又，当时，，不符合，所以，且，此时情况较多，比如{物理，地理，生物}，②错误；对于③：若{思想政治，物理，生物}，则，所以，③正确；对于④：当{物理，地理，历史}时，，满足，但不是{思想政治，地理，化学}，④错误.故选：①③【点睛】方法点睛：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做.19．(1)，，，(2)证明见解析(3)是“好集合”，满足的“好数阵”有，，，；不是“好集合”，证明见解析【分析】（1）直接根据定义解出未知量的值；（2）可构造恰当的映射，以证明结论；（3）第三问可通过分类讨论求解问题.【详解】（1）由“好数阵”的定义，知，，，，故，，，，进一步得到，.从而，，，.（2）如果是一个“好数阵”，则，.从而，.故也是一个“好数阵”.由于是偶数，故，从而.这就说明两数阵和的第1行第2列的数不相等，从而是不同的数阵.设全体“好数阵”构成的集合为，并定义映射如下：对，规定.因为由中的元素构成的数阵只有不超过种，故是有限集合.而，这就表明，从而是满射，由是有限集，知也是单射，从而是一一对应.对“好数阵”，已证两数阵和是不同的数阵，故.同时，对两个“好数阵”，，如果，则；如果，则.所以当且仅当.最后，对，由，称2元集合为一个“好对”.对，若属于某个“好对”，则或，即或.由于，故无论是还是，都有.这表明，每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有偶数个.（3）若是“好数阵”，则有，所以，这表明一定是偶数.若，设是“好数阵”，则，从而，故.由于，故，同理.若，设，则，故，从而.进一步有，而，故.假设，设，则，故，则，.由于，，故，.此时，从而，，但此时，矛盾；所以，故，分别尝试所有24种可能的对应方式，知符合条件的“好数阵”有，；若，则，从而.若，则或.若，则，，分别尝试3种可能，知符合条件的“好数阵”有，.若，则，，若，则，或且，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有；若，则，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有；若，则，假设，由于，，故，矛盾，所以.对尝试所有组合，知符合条件的“好数阵”有，，，.综上，全部的“好数阵”有，，，，，，，，，，其中，满足的有，，，.综上，是“好集合”，满足的“好数阵”有，，，.若，由于此时不是偶数，所以不存在“好数阵”，从而不是“好集合”.【点睛】关键点点睛：关键是第3小问需要较为繁琐的分类讨论，耐心尝试所有情况才可不重不漏.20．(1)（i）；（ii）(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）取，验证得到答案.（2）若，，，从大到小取个元素，得到中任意4个元素之和，得到证明.（3）集合的元素按和为分组，和把集合的元素按和为分组，确定中必有一个与没有公共元素，设，的4个元素满足条件，得到时成立，得到证明.【详解】（1）取，则，满足条件；取，则；；；；；满足条件.（2）若，，，从大到小取个元素，，，或，，则中任意4个元素之和，不成立，故.（3）当时，把集合的元素按和为分组，得：，易得，中至少有2个二元子集满足．若把集合的元素按和为分组，得：．易得，中至少有3个二元子集满足．而集合两两互不相交，与中每一个至多有一个公共元素，所以，中必有一个与没有公共元素，不妨设，则的4个元素就是的4个互异元素，而这4个元素的和为．又，所以．【点睛】关键点睛：本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，将集合按照和为与和为分组，再根据抽屉原理得到新集合，是解题的关键.21．(1)具有，理由见解析(2)不存在，证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据集合具有性质的特征，即可根据集合中的元素进行检验求解，（2）假设集合具有性质，分别考虑时，集合中的元素，即可根据的定义求解.（3）根据假设存在使得，考虑当时以及时，分量为1的个数即可讨论求解.【详解】（1）因为，同理．又，同理．所以集合具有性质．（2）当时，集合中的元素个数为．由题设．

假设集合具有性质，则①当时，，矛盾．②当时，，不具有性质，矛盾．③当时，．因为和至多一个在中；和至多一个在中；和至多一个在中，故集合中的元素个数小于，矛盾．④当时，，不具有性质，矛盾．⑤当时，，矛盾．综上，不存在具有性质的集合．（3）记，则．若，则，矛盾．若，则，矛盾．故．假设存在使得，不妨设，即．当时，有或成立．所以中分量为的个数至多有．当时，不妨设．因为，所以的各分量有个，不妨设．由时，可知，，中至多有个，即的前个分量中