黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高二下学期4月学业阶段性评价考试数学试卷

哈尔滨市第九中学学年度下学期4月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（考试时间：分钟满分：分共2页）第I卷（共分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）1.若一数列为1，，，，⋯，则是这个数列的（）A.第12项B.第13项C.第14项D.第15项【答案】D【解析】【分析】根据数列指数的特点求出通项公式，即可得到结果.【详解】数列的指数分别是0，7，14，21，，则指数部分构成首项为，公差为的等差数列，则对应指数的通项公式为，由，所以是这个数列的第15项.故选：D2.建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示.下列叙述中正确的是（）A.在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0B.在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率C.甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率第1页/共17页D.乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率【答案】D【解析】【分析】结合瞬时变化率与平均变化率变化率结合图象分析即可得.【详解】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故A错误；对B大于，故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误；对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于，乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于，故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误；对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快，故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确.故选：D.3.已知数列满足：对任意的，都有，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据对任意的，有，且，求得的值，即可得的值.【详解】对任意的，都有，且，所以，则，所以.故选：B.4.函数的单调递减区间是（）第2页/共17页A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求导后令可得.【详解】由题意可得，令，所以当时，，函数为递减函数，所以函数的单调递减区间是.故选：C5.一个等比数列共有项，若前项之和为15，后项之和为60，则这个等比数列的所有项的和为（）A.63B.72C.75D.87【答案】A【解析】【分析】根据等比数列前n项和的等片段和性质可求解.【详解】由题意知，，又，解得，所以.故选：A.6.等差数列的前项和为，若，，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（A.第5项B.第6项C.第7项D.无法确定【答案】C【解析】【分析】由题意结合等差数列的性质可得，且，从而可求得答案第3页/共17页【详解】因为，，由等差数列的性质可得，所以，所以该数列的公差，所以绝对值最小的项在0附近的项中取得，因为，所以，所以绝对值最小的项为，故选：C7.数列满足，且，则等于（）A.19B.20C.21D.22【答案】B【解析】【分析】递推公式两侧同时乘以，化简递推公式，得，运用累加法及裂项相消法求和，化简整理，即可得到所求通项，代入数值即可得解.【详解】因为，，，所以有，，，，.累加得，又，所以，即.第4页/共17页当时，符合上式，所以.则.故选：B.8.已知是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意构造函数，利用导数求出其单调区间，然后逐个分析判断即可.【详解】令（，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，对于A，因为，所以，所以，所以，所以A错误，对于B，因为，所以，所以，所以，所以B正确，对于C，因为，所以，所以，所以，所以C错误，对于D，因为，所以，所以，所以，所以D错误，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查比较大小，解题的关键是构造函数，利用导数求出函数的单调区间，然后利用函数的单调性比较大小，属于中档题.二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列求导结果正确的是（）A.B.C.D.第5页/共17页【答案】ACD【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导原则求解即可.【详解】，A正确；，B错误；，C正确；，D正确.故选：ACD10.已知函数，则下列描述正确的是（）A.直线是的一条切线B.在上单调递增C.在上的最小值为D.关于的不等式的解集为【答案】ACD【解析】AB据导函数的正负即可判断；对于C选项，通过判断函数在上的单调性，即可求解；对于D选项，根据函数的单调性，得，解不等式即可.【详解】对于A，由，得，假设直线是的一条切线，设切点为，则，解得，此时，即切点为，经验证，点也在直线上，所以直线是的一条切线，故A正确；第6页/共17页对于B，因为，令，解得或，令，解得，在和上单调递增，在上单调递减，故B错误；对于C，由B可知当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当或时，函数取得最小值，又，，所以当时，函数取得最小值为，故C正确；对于D，因为在上单调递增，又，，所以，解得或，故D正确.故选：ACD.若正整数，的公约数只有1，则称，互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如，，，则下列结论正确的是（）A.B.为素数时，C.数列是等比数列D.【答案】ABC【解析】，，可判定A的因数只有和1到所有的数均与互质可判定B；由是质数结合欧拉函数的定义得到可判定C；根据欧拉函数的定义找到小于或等于内与互素的个数可判定D.【详解】对于A，小于或等于且与互素的数有，所以，又由，，所以，故A正确；第7页/共17页对于B，素数的因数只有和，所以1到的所有的数均与互质，所以为素数时，，所以B正确；对于C，因为是质数，所以在不超过的整数中，所有的偶数的个数为，根据欧拉函数的定义可得，则，又由，所以数列是等比数列，所以C正确；对于D，因为是偶数，小于的正奇数有个，其中是的倍数的奇数有个，它们与不互素，所以，所以D不正确.故选：ABC.第卷（共分）三、填空题（共3小题，每小题5分）12.记Sn为等比数列{a}的前n项和．若，则S=____________．【答案】.【解析】目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以．【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．13.函数的极大值为________.【答案】【解析】【分析】根据题意，求导可得函数的极值，从而得到最值，即可得到结果.第8页/共17页【详解】由可得，令，即，即，解得或，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以是函数的极大值点，即最大值点，且最大值为.故答案为：14已知数列满足，，则______.【答案】【解析】【分析】根据奇数项和偶数项的特征，根据分组求和得，即可得解.详解】由可知：当为偶数时，，当为奇数时，，所以，即，由此解得.故答案为：四、解答题（共5小题，总计分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.记为等差数列的前项和．已知．（1）求的通项公式；第9页/共17页（2到新数列，求的前20项和．【答案】（1）；（2）487【解析】1）设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；（2）列举法表示，得到的前20项，并分组求和，得到答案.【小问1详解】设公差为，由题意得，解得，故；【小问2详解】，，故的前20项为，故的前20项和为.16.在①，.已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有________.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.第10页/共17页【答案】（1）选①②，答案均；（2）证明过程见解析【解析】1，为首项和公差均为1的等差数列，得到，根据求出通项公式；选②，，求出为首项和公差均为1的等差数列，得到，根据求出通项公式；（2，求和得到，并作差得到的最小值为，证明出结论.【小问1详解】选①，，，因为，所以，因为数列的各项均为正数，所以，，所以，又，，所以为首项和公差均为1的等差数列，所以，，所以当时，，当时，，显然满足，综上，；选②，①，当时，，解得，当时，，第11页/共17页故，又因为数列的各项均为正数，所以，故，即，又，故为首项和公差均为1的等差数列，所以，解得，所以当时，，当时，，显然满足，综上，；【小问2详解】由（1）知，，，，所以，因为，所以，所以为递增数列，故的最小值为，所以.17.已知函数，函数.（1）设点是函数图象上的任意一点，在点处切线的倾斜角为，求角的取值范围；（2）讨论函数在区间上的单调性.【答案】（1）（2）答案见解析第12页/共17页【解析】1）求导，先求出，再结合导数的几何意义、直线斜率与倾斜角的关系及正切函数的性质求解即可；（2）求导，分，两种情况讨论求解即可.【小问1详解】由，则，则，即，所以，则，又，所以或，即角的取值范围为.【小问2详解】由，，则，令，得，当时，，函数在区间上单调递增；当时，若，；若，，所以函数在区间上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减.18.已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；第13页/共17页（32、、有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）不存在正整数，理由见解析【解析】1）构造出，为等比数列，求出通项公式；（2），错位相减法求和得到；（3为递减数列，结合，得到对所有正整数，均有，所以不存在正整数，使得、、成等差数列.【小问1详解】，故，，故，所以为首项为3，公比为3的等比数列，所以，所以；【小问2详解】，所以①，故②，式子①②得，第14页/共17页故；【小问3详解】不存在正整数，使得、、成等差数列，理由如下：、、成等差数列，故，即，即，设，则，当时，恒成立，所以当时，数列递减数列，又，故对所有正整数，均有，所以不存在正整数，使得、、成等差数列.19.对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期.（1）判断数列是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.（2）已知无穷数列是周期为2的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围；（3和满足第15页/共17页得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）数列为周期数列，周期为2（2）（3）不存在，理由见解析【解析】1）根据周期数列的定义进行判断即可；（2）根据题意，分为偶数和为奇数时两种情况讨论求解即可；（3）假设存在非零常数，使得是周期为的数列，推导出数列是周期为的周期数列，进而得数列周期为，推出，由而该方程无解即可得解.【小问1详解】因为，，所以数列是周期数列，其最小正周期