2026版《优化设计大一轮》高考数学（优化设计新高考版）课时规范练67离散型随机变量及其分布列、数字特征

课时规范练67离散型随机变量及其分布列、数字特征1.(13分)(2024·广东东莞模拟)某短视频软件经过几年的快速发展,深受人们的喜爱,该软件除了有娱乐属性外,也可通过平台推送广告.某公司为了宣传新产品,现有以下两种宣传方案:方案一:投放该平台广告,据市场调研,其收益X分别为0元,20万元,40万元,且P(X=20)=0.3,期望E(X)=30.方案二:投放传统广告,据市场调研,其收益Y分别为10万元,20万元,30万元,其概率依次为0.3,0.4,0.3.(1)请写出方案一的分布列,并求方差D(X);(2)请你根据所学的统计知识给出建议,该公司宣传应该投放哪种广告,并说明你的理由.2.(15分)(2024·山东济宁一模)袋中装有大小相同的4个红球,2个白球.某人进行摸球游戏,游戏规则如下:①每次从袋中摸取一个小球,若摸到红球则放回袋中,充分搅拌后再进行下一次摸取;②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束.(1)求摸球游戏结束时摸球次数不超过3的概率;(2)若摸出1次红球计1分,摸出1次白球记2分,求游戏结束时,此人总得分X的分布列和数学期望.3.(15分)(2024·江西南昌一模)甲公司现有资金200万元,考虑一项投资计划,假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势,若投资期间经济形势好,投资有25%的收益率,若投资期间经济形势不好,投资有10%的损益率;如果不执行该投资计划,损失为1万元.现有两个方案,方案一:执行投资计划;方案二:聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形势,聘请费用为5000元,若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好,则执行投资计划;若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好,则不执行该计划.根据以往的资料表明,投资咨询公司乙预测不一定正确,投资期间经济形势好,咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8;投资期间经济形势不好,咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设根据权威资料可以确定,投资期间经济形势好的概率是40%,经济形势不好的概率是60%.(1)求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率.(2)根据获得利润的期望值的大小,甲公司应该执行哪个方案?说明理由.4.(15分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120发电量最多可运行台数123若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装多少台发电机?答案：1.解(1)设P(X=0)=a,P(X=40)=b,依题意得a+b+0.3=1,①又E(X)=0×a+20×0.3+40b=30,②由①②解得a=0.1,b=0.6.∴X的分布列为X02040P0.10.30.6则D(X)=(0-30)2×0.1+(20-30)2×0.3+(40-30)2×0.6=180.(2)由题得Y的分布列为Y102030P0.30.40.3则E(Y)=10×0.3+20×0.4+30×0.3=20,D(Y)=(10-20)2×0.3+(20-20)2×0.4+(30-20)2×0.3=60.由E(X)>E(Y)可知采用平台广告投放期望收益较大,又D(X)>D(Y),说明平台广告投放的风险较高.综上所述,如果公司期望高收益,选择平台广告;如果公司期望收益稳定,选择传统广告.2.解(1)设Bi=“第i次摸球时摸到红球”(i=1,2,3,4),则由题可知P(Bi)=C4则P(Bi)=1-P(Bi)=1-设A=“摸球游戏结束时,摸球次数不超过3”,则A=B1∪B1B2∪B1B2B3,事件B1、事件B1B2与事件由概率的加法公式及乘法公式,得P(A)=P(B1)+P(B1B2)+P(B1B2B3)=P(B1)+P(B1)P(B2)+P(B1)P(B2)·P(B3)=13+(2)由题可知,X的可能取值为2,3,4,5,则P(X=2)=P(B1)=13,P(X=3)=P(B1B2)=P(B1)P(B2)=23×13=29,P(X=4)=P(B1B2B3)+P(B1B2B3B4)=P(B1)P(B2)P(B3)+P(B1)P(B2)P(B3)P(B4)=23×23×13+23×23×23×23=2881,P所以X的分布列为X2345P12288所以E(X)=2×13+3×29+43.解(1)记事件B1=“投资期间经济形势好”,事件B2=“投资期间经济形势不好”,事件A=“投资咨询公司预测投资期间经济形势好”,则P(B1)=0.4,P(B2)=0.6,因此P(A)=P(B1A+B2A)=0.4×0.8+0.6×0.3=0.5.(2)若采取方案一,则该公司获得的利润值X万元的分布列是X50-20P0.40.6E(X)=50×0.4-20×0.6=8;若采取方案二:设该公司获得的利润值为Y万元,有以下情况,投资期间经济形势好,咨询公司乙预测经济形势为好,Y=49.5,其发生的概率为P(B1A)=0.4×0.8=0.32,投资期间经济形势好,咨询公司乙预测经济形势为不好,Y=-1.5,其发生的概率为P(B1A)=0.4×0.2=0.08,投资期间经济形势不好,咨询公司乙预测经济形势为好,Y=-20.5,其发生的概率为P(B2A)=0.6×0.3=0.18,投资期间经济形势不好,咨询公司乙预测经济形势为不好,Y=-1.5,其发生的概率为P(B2A)=0.6×0.7=0.42,因此,随机变量Y的分布列为Y-20.5-1.549.5P0.180.50.32因此E(Y)=-20.5×0.18-1.5×0.5+49.5×0.32=-3.69-0.75+15.84=11.4,因为E(X)<E(Y),所以甲公司应该选择方案二.4.解(1)依题意可得,P1=P(40<X<80)=1050=0.2,P2=P(80≤X≤120)=3550=0.7,P3=P(X>120)=550=记事件A=“在未来4年中,至多有1年的年入流量超过120”,所以P(A)=C40(1-P3)4+C41(1-P3)3P(2)记水电站年总利润为Y(单位:万元),①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,所以一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5000,且E(Y)=5000×1=5000.②安装2台发电机.当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5000-800=4200,因此P(Y=4200)=P(40<X<80)=P1=0.2,当X≥80时,两台发电机运行,此时Y=5000×2=10000,因此P(Y=10000)=P(X≥80)=P2+P3=0.8.由此可得Y的分布列为Y420010000P0.20.8所以E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840.③安装3台发电机.依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5000-1600=3400,因此P(Y=3400)=P(40<X<80)=P1=0.2;当80≤X≤120时,两台发电机运行,此时Y=5000×2-800=9200,此时P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=P2=0.7,当X>120时,三台发电机运行,此时Y=5000×3=15000,因此P(Y=15000)=P(X>120)=P3=0.1,由此可得Y的分布列为Y3400920015000P0.20.70.1所以E(Y)=3