量子力学（第2版）课件 11厄米算符的本征问题 坐标算符和动量算符

§3-2厄米算符的本征问题知识点教学目标厄米算符的本征值厄米算符的本征函数会证明厄米算符的本征值是实数。会证明厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。理解厄米算符本征函数完备性的物理意义。

本节内容1厄米算符的本征值必为实数2厄米算符本征函数的正交性3厄米算符本征函数的完备性1厄米算符的本征值必为实数2厄米算符本征函数的正交性3厄米算符本征函数的完备性一个力学量总是用一个相应的线性厄米算符来表征。定理：厄米算符的本征值是实数。例如：对以一维断续谱一方面态叠加原理所要求力学量观测值为实数所要求另一方面所以1厄米算符的本征值必为实数2厄米算符本征函数的正交性3厄米算符本征函数的完备性定理：厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。一方面另一方面所以无简并情况对归一化波函数本征函数的正交归一方程1厄米算符的本征值必为实数2厄米算符本征函数的正交性3厄米算符本征函数的完备性f个简并的波函数：选择不唯一；不一定正交。怎么办？方法：可以重新线性组合，构造一组新的本征函数，使之满足正交归一化条件简并情况选择合适系数使具有正交归一性，即。

1厄米算符的本征值必为实数2厄米算符本征函数的正交性3厄米算符本征函数的完备性施密特正交归一法其次，构造正交性：归一性：首先，选取一个态矢，例如，并归一化联立两个方程，求出、，进而求出。如此做下去，就得到一组正交归一化的简并波函数。1厄米算符的本征值必为实数2厄米算符本征函数的正交性3厄米算符本征函数的完备性令，并归一化令，利用正交归一性，得例1.用施密特方法在区间−1≤x≤1上正交归一化函数1、x、x2。1厄米算符的本征值必为实数2厄米算符本征函数的正交性3厄米算符本征函数的完备性令利用正交归一性，得1厄米算符的本征值必为实数2厄米算符本征函数的正交性3厄米算符本征函数的完备性态空间态空间的基矢波函数描述体系所处的状态。由全部波函数和零函数构成的空间，称为态空间。每一个波函数都是态空间中的一个元素，又称为态矢量。态空间又称为态矢空间。线性厄米算符的作用就是把态空间的一个元素变成另一个元素。线性厄米算符的本征函数构成一组正交归一的函数系，它可以作为态空间中的一组基矢（基底）。完备性：态空间中的任意态矢量可以向正交归一的基底作展开，即1厄米算符的本征值必为实数2厄米算符本征函数的正交性3厄米算符本征函数的完备性用乘以上式两端并对坐标变量积分展开系数将代入中，得因为所以本征函数的封闭关系ABCD提交11-1以下关于厄米算符本征问题说法正确的是厄米算符的本征值必为实数厄米算符的本征值不一定为实数厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交厄米算符的本征函数系是完备的多选题1分§3-3坐标算符和动量算符知识点教学目标坐标算符的本征值和本征函数动量算符的本征值和本征函数知道坐标算符和动量算符本征值的特征。能推证坐标算符和动量算符的本征函数。能写出坐标算符和动量算符的本征函数规格化方程。本节内容1坐标算符2动量算符1坐标算符2动量算符坐标算符的本征值和本征函数一维情况的本征方程本征值本征函数规格化三维情况本征方程1坐标算符2动量算符动量算符的本征值和本征函数分离变量本征值本征函数1坐标算符2动量算符规格化坐标算符和动量算符的特征：本征值可连续取值，即构成连续谱。本征波函数不能归一化，只能规格化为δ函数。ABCD