量子力学（第2版）课件 14不确定关系 电子在库仑场中的运动

§3-8不确定关系知识点教学目标不确定关系的表述不确定关系的实质和意义不确定关系的应用

能熟练表述不确定关系。深刻领悟不确定关系的意义。能利用不确定关系估算简单体系的基态能量。本节内容1不确定关系2说明1

不确定关系2说明不确定关系的表述设、代表两力学量算符，且它们的对易关系为，那么对于任意的归一化波函数，有其中，是算符或普通的数；、称为偏差算符。偏差算符的特征：是厄米算符；偏差平方算符的平均值为1

不确定关系2说明证明引入实参数ξ，令则所以又因此考虑到1

不确定关系2说明由不确定关系可以看出，若，即、不对易时，它们的方均偏差不会同时为零，其乘积大于某一正数。举例在的本征态下，上式变为例1.写出坐标与动量的不确定关系。

例2.写出角动量算符之间的不确定关系。

1

不确定关系2说明把经典力学中描述纯属粒子性的力学量（如坐标和动量）用于有波动性的粒子，不会完全适用。特点和意义不是由测量过程决定的，关系的存在源于微粒的波动性。不确定关系正确反映了微观世界的规律，是人们对于物质世界认识的进一步深化。揭示了用经典理论描述微观粒子的局限性。1

不确定关系2说明一般情况下，两个不对易的力学量不可能同时具有确定值，其中一个力学量取值越确定，另一个力学量取值就越不确定。例如注意：个别情况下，两个不对易的力学量算符，也可能同时有准确测量值。例如，在态下，

，、同时具有准确值0，即1

不确定关系2说明微观粒子的位置和动量不可能同时具有确定值，所以经典力学中轨道概念对微观粒子一般是不适用的。按不确定关系，可以得到电子速度的不确定度为电子速度的不确定度与电子的速度几乎是同一个量级。例如，氢原子中电子速度是106m/s，坐标的不确定度是原子的线度，即。对原子问题，经典力学已不适用了，必须采用量子力学。1

不确定关系2说明h标志着微观规律和宏观规律之间的差异。若h→0，则坐标和动量以及角动量之间都对易，在其共同的本征态中同时具有确定值，量子力学过渡到经典力学。若h很大，如h=6.63Js，则宏观物体的坐标和动量也遵从不确定关系，即宏观物体也会表现出明显的波动性，经典力学就不再存在。1

不确定关系2说明举例例3.线性谐振子处于基态，计算。方法一：1

不确定关系2说明方法二：利用波函数递推公式1

不确定关系2说明基态能量的估算：在态下，能量的平均值即所以，在运算时常用能量平均值的最小值作为基态能量的近似。1

不确定关系2说明例4.估算线性谐振子的零点能（基态能量）。任意态下，能量平均值由不确定关系，得能量平均值的最小值令，得所以即线性谐振子的零点能是不确定关系所要求的最小能量。1

不确定关系2说明ABCD提交14-1下列关于“不确定关系”说法错误的是揭示了用经典理论描述微观粒子的局限性。不是由测量过程决定的，关系的存在源于微粒的波动性。不适用于经典粒子，所以不确定关系是错误的。导致微观粒子的位置和动量不可能同时具有确定值。单选题1分§3-9电子在库仑场中的运动知识点教学目标中心力场的特点中心力场中的定态薛定谔方程粒子在库仑场中的能量和波函数熟悉中心力场的特点。记住电子在库仑场中的能量表达式和波函数的构成形式。本节内容1粒子在中心力场中的运动2电子在库仑场中的运动1粒子在中心力场中的运动2电子在库仑场中的运动中心力场中的哈密顿算符特点：，即势能与、无关，中心对称。经典物理

1粒子在中心力场中的运动2电子在库仑场中的运动

称为有效势能因为它具有转动参考系中离心力的形式，故U1称为离心势能。1粒子在中心力场中的运动2电子在库仑场中的运动量子力学径向动能离心势能形式上与经典力学一致1粒子在中心力场中的运动2电子在库仑场中的运动径向动量算符1粒子在中心力场中的运动2电子在库仑场中的运动中心力场的薛定谔方程令，代入薛定谔方程中心力场中径向波函数满足的方程ABCD提交14-2粒子在中心力场中运动的特点是

粒子的势能与时间无关。粒子的势能与径向无关。粒子的势能与角向无关。粒子的势能是一定值。单选题1分1粒子在中心力场中的运动2电子在库仑场中的运动库仑场径向波函数满足的方程令，则该方程与一维薛定谔方程形式上相似，但有几点区别：1粒子在中心力场中的运动2电子在库仑场中的运动变量r的范围是0→∞，而不是-∞→+∞。代替了势能U(r)。有效势能（如图所示）为了保证波函数

有限，必须附加边界条件

。1粒子在中心力场中的运动2电子在库仑场中的运动能量本征解（E<0）【参阅周世勋《量子力学教程》（第二版）60-62页】合流超几何多项式其中为玻尔半径。径向波函数1粒子在中心力场中