浙江大学线性代数i期末试卷及答案

浙江大学线性代数i期末试卷及答案一、选择题（每题3分，共15分）1.向量组的秩是（）。A.1B.2C.3D.42.矩阵的行列式为0，说明该矩阵（）。A.可逆B.不可逆C.可逆或不可逆D.无法判断3.对于一个n阶矩阵A，下列说法正确的是（）。A.A的秩小于nB.A的秩等于nC.A的秩大于nD.A的秩与n无关4.线性方程组有解的条件是（）。A.系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩B.系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩C.系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩D.系数矩阵的秩大于等于增广矩阵的秩5.矩阵A的逆矩阵记作（）。A.A'B.A^(-1)C.A^(-2)D.A^(1/2)二、填空题（每题4分，共20分）6.矩阵A的特征值是特征多项式的_________。7.矩阵A的秩等于A的_________个最大线性无关行（列）向量的数量。8.矩阵A和B的乘积记作_________。9.矩阵A的转置记作_________。10.矩阵A的行列式记作_________。三、计算题（每题10分，共30分）11.计算矩阵A的行列式，其中A为：\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]12.求矩阵B的逆矩阵，其中B为：\[B=\begin{bmatrix}2&1\\1&3\end{bmatrix}\]13.求矩阵C的特征值和特征向量，其中C为：\[C=\begin{bmatrix}4&1\\1&3\end{bmatrix}\]四、证明题（每题15分，共30分）14.证明：如果矩阵A和B可交换，即AB=BA，则A和B可以同时对角化。15.证明：如果矩阵A是正定矩阵，则其所有特征值均为正数。五、应用题（每题15分，共30分）16.已知线性方程组：\[\begin{cases}x+2y+3z=1\\2x+3y+z=2\\3x+y+2z=3\end{cases}\]求该方程组的通解。17.已知矩阵D和向量v，求矩阵D对向量v的作用结果，其中D为：\[D=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]v为：\[v=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\]答案一、选择题1.B2.B3.B4.A5.B二、填空题6.根7.行8.AB9.A^T10.|A|三、计算题11.矩阵A的行列式为0。12.矩阵B的逆矩阵为：\[B^{-1}=\begin{bmatrix}3&-1\\-1&2\end{bmatrix}\]13.矩阵C的特征值为5和1，对应的特征向量分别为：\[v_1=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix},\quadv_2=\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\]四、证明题14.证明略。15.证明略。五、应用题16.该方程组的通解为：\[\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}-1\\2\\-1\end{bmat