湖北省襄阳五中2025届高三下学期5月适应性考试（五）数学答案教师版

第第页襄阳五中2025届高三下学期5月适应性考试（五）数学试题命题人：苏代辉任健审题人：王丹刘俐选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A={x|1⩽x⩽3}，A.(2,3] B.[1,4) C.(−∞,4) D.[1,+∞)【答案】A

解：由题意可知A∩B={x|2<x⩽3}．2．已知非零向量a，b，且(a+b)⋅a=0，则A.1 B.−1 C.−a D.【答案】C

解：因为(a+b)⋅a=a2+a⋅b=03.已知cosπ4+x=13，则sin5π4A.−13 B.13C.223 【答案】A解：sin5π4-x=sin3π2-π44.若随机变量ξ的分布列如下表，表中数列{an}为等差数列，则ξ34567PaaaaaA.12 B.13 C.14【答案】D

解：∵数列{an}为等差数列，由等差数列性质得a1+a2+5.已知实数x，y满足x>3，且xy+2x−3y=12，则xA.1+26 B.8C.62 D.1+23【答案】A解:因为x>3,且xy+2x-3y=12,所以y=12-2x从而x+y=x-2+6x-3=(x-3)+6x-3+1≥26+1,当且仅当x=6+3,y=6-2时等号成立,所以故选A.6．抛物线y=x2A.(−1,32) B.(−1,54)【答案】B

解：对于抛物线y=x2+2x+2，通过配方可得(x+1)2=y−1，

可以看作是将x2=y向左平移1个单位，向上平移1个单位得到，

对于x2=y，2p=1，则p=12，焦点坐标为(0,14)，

(0,14)7.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f′(x)+A.(1,+∞) B.(−∞,13)

C.(【答案】C

解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，

所以f(−x)=f(x)，−f′(−x)=f′(x)，

因为f′(x)+2x也是偶函数，

所以f′(x)+2x=f′(−x)+2−x，

故2f′(x)=2−x−2x，即f′(x)=12(2−x−2x)，

当x≥0时，f′(x)=128．已知在四棱锥中，平面，，，为等边三角形，则平面与三棱锥的外接球球面的交线长为（

）A． B． C． D．【答案】B解:因为，所以，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，则为三棱锥的外接球的直径，平面，平面，所以，，由勾股定理得．取为的中点，过作，为垂足，，平面，平面，所以，又，平面，故平面，因为为等边三角形，且，则，所以到平面的距离，故平面与三棱锥的外接球球面的交线为圆，且圆的半径满足，解得，故其周长为故选：B选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。9．已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（

）A．展开式的各项系数之和为4096B．展开式中含项的系数为45C．展开式中存在常数项D．展开式中第6项的系数最大【答案】BCD解:由二项式的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，得，解得，令，得，即展开式的各项系数之和为1024，故A错误；由通项，令，解得，所以展开式中含项的系数为，故B正确；若展开式中存在常数项，令，解得，故C正确；由可知展开式共有11项，中间项二项式系数最大，即第6项的系数最大，故D正确.10．一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、蓝.从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，则(

)A.P(A)=13 B.A,B为互斥事件 C.P(B|A)=12【答案】AC

解：P(A)=13，A,B可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，A,B不互斥，B错．在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为12，CP(B)=23×12+1D错，选AC．11.已知复数z，则下列说法正确的是(

)A.若|z|=2，则z=±2 B.若z+2i∈R，则z的虚部为−2

C.若z2>0，则z∈R D.若【答案】BCD

解：对于选项A，设z=a+bi(a,b∈R)，由于|z|=2，所以a2+b2=4，故选项A不正确;

对于选项B，设z=a+bi(a,b∈R)，由于z+2i∈R，可得b+2=0，b=−2，故选项B正确;

对于选项C，设z=a+bi(a,b∈R)，由于z2>0故选项C正确;

对于选项D，设z=a+bi(a,b∈R)，由于|z|=1，所以a2+b2=1，

因为a，b∈R，所以−1≤a≤1，

又|z−2|=|a−2+bi|=a−22+b2=填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．1与2025的等比中项为.【答案】.解:设1与2025的等比中项为为，所以，所以.故答案为：.13．已知函数f(x)=(x+2)(2x2+【答案】6

解：因为f(−2)=0，所以f(4)=0，

所以f(x)=2(x+2)(x−1)(x−4)=(x+2)(2x2−10x+8)，

所以a=−10，b=8，则a+2b=6．

14．如图，斜率为12的直线与椭圆C：x24+y2b2=1(0<b<2)交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于点M，N，若|AN|=|NM|=|MB|【答案】23

解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

因为|AN|=|NM|，所以M(−x1,0)，N(0,y12)，

又|NM|=|MB|，所以B(−2x1,−y12)，

所以x2=−2x1y2=−四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）如图，某市拟在长为8千米的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数（单位：千米）的图象，且图象的最高点为（单位：千米）；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定.求A，的值和线段MP的长；求∆MNP面积最大值.解:（1）依图象可知，2分，所以，，4分，当时，，点的坐标为，千米6分(没有单位扣1分)在中，，，8分当且仅当取等号，10分，的面积最大值为平方千米；13分（没有单位扣1分）16．（本小题15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，点E是棱PD上的一点，平面AEC．(1)求证：点E是棱PD的中点；(2)若平面ABCD，，PC与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的正切值．解:（1）连接BD，BD与AC交于，点F，连接EF，四边形ABCD为矩形，为BD的中点，平面AEC，平面PBD经过PB且与平面AEC交于EF，，…………4分又点F是BD的中点，点E是棱PD的中点.………………5分（2）方法一：平面ABCD，AC，AD，平面ABCD，，则就是PC与平面ABCD所成的角，故，解得．…………7分四边形ABCD为矩形，，又，PA与AD是平面PAD内的两相交直线，平面PAD，如图，平面PAD内作，垂足为G，连接GC，则，是二面角的平面角．…………………10分在直角三角形PAD中，，点E是PD的中点，，且平面PAD，平面PAD，，故，二面角的平面角的正切值为．……………15分方法二：平面ABCD，AC，AD，平面ABCD，，则就是PC与平面ABCD所成的角，又四边形ABCD为矩形，，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设是平面AEC的一个法向量，二面角的大小为，由，可得，…………7分则，故解得，所以，…………9分又是平面AED的一个法向量，且为锐角，…………………10分故，…………12分则，即，所以二面角的平面角的正切值为．………15分（本小题15分）已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围.解:（1）渐近线方程为.又，双曲线的方程为.………………4分（2）直线与双曲线交于不同的两点，由，得，，且，，且.………………6分设，则，，线段的中点坐标为，线段的垂直平分线的方程为，即，…………10分又在由点与构成的三角形中，，点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上，…………12分，又，且，解得，或，实数的取值范围是.……………………15分（本小题17分）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戏中小球落入袋记1分，落入袋记2分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得分的概率为.求，，.求出的通项公式.解:（1）小球三次碰撞全部向左偏或者全部向右偏落入袋，故概率，小球落入袋中的概率.故，，6分（2）游戏过程中累计得分可以分为两种情况：得到分后的一次游戏小球落入袋中（分），或得到分后的一次游戏中小球落入袋中（）分，故10分故为常数数列且，故即12分，故是以为首项，以为公比的等比数列，15分故，所以的通项公式为17分19．（本小题17分）已知函数，且曲线在点处的切线方程为.(1)求实数的值.(2)当时，证明：当时，.(3)当时，若存在，使得成立，证明：.解:（1）.曲线在点处的切线方程