河北省普通高校2025届招生考试精准预测卷（三）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省普通高校2025届招生考试精准预测卷（三）数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于集合，因为，所以，又，则，则，故选：C．2.已知复数，则（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】，则，故选：C．3.若（其中）是偶函数，则（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】由题意知：，则，化简为，则，解得．故选：A．4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，显然，所以，则，则，解得或（舍去），所以，则．故选：B．5.已知函数的最小正周期为，且．则当时，的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为的最小正周期为，则，解得．因为，所以时，取最大值，则，取，则，时，，所以，则的取值范围为，故选:D．6.已知直线，直线，若与交点为，且，则的最小值为（）A.2 B. C.3 D.【答案】A【解析】可变形为由可得，则恒过定点，同理可得恒过定点，且有，则，此时的轨迹是以为直径的圆：．因，由图知，当点在线段上时，的值最小，其最小值为.故选：A．7.已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限）且（为坐标原点），则当时，的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，设，则有，化简为，则，则，则，解得时，，代入解得，则．故选：B．8.已知的最小值为0，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，则令，令，则；令，则，且时，，则的取值范围为.则的最小值为0，即的最小值为0，即，则时，，则．故选：A．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，且向量的夹角为，下列说法正确的是（）A.B.C.向量和的夹角为D.若，则【答案】BD【解析】因为，且向量的夹角为，对于选项A：，则A错误；对于选项B：要使得，则它们的数量积为0.即，则B正确；对于选项C：因为，则，则C错误；对于选项D：因为，所以，解得，则D正确．故选：．10.已知有甲､乙两个盒子，甲中有3个白球，2个黑球，乙中有1个白球，3个黑球．从甲中取出一个球放入乙中，再从乙中取出一个球放入甲中．记事件“从甲中取出的球为白球”；事件“从乙中取出的球为白球”；事件“甲中最后有3个白球”．下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A中，由，所以A正确；对于B中，由全概率公式，可得，所以B错误；对于C中，由，所以C正确；对于D中，由，则，所以D正确.故选：ACD．11.已知双曲线的左､右焦点分别为，实轴长为到渐近线的距离为为双曲线右支上一点，下列结论正确的是（）A.双曲线的虚轴长为2B.若构成三角形，则的内心的横坐标为2C.若，则的面积为4D.若，则的最大值为【答案】BC【解析】双曲线的一条渐近线为，即，则，解得．实轴长为4，则有，则，对于选项A：虚轴长为，则A错误；对于选项B：如图，不妨设内切圆与三边分别切于的内心为，则，又，则，解得，则，则B正确；对于选项C：因为，所以，不妨设，则，则，解得，则，则，则C正确；对于选项D：由于，则直线与双曲线交于两点，由，则D错误．故选：BC．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12.已知函数，则在处的切线方程为__________．【答案】【解析】，且，则，则切线方程为，即为．.故答案为：.13.已知等差数列中，是的前项和，且满足，则__________．【答案】【解析】设公差为，则，解得，则.故答案为：.14.已知函数，若有四个不同的实数解，且，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由于时，，即函数图像关于对称，因此，故．又，则，即为，则，故．由于，所以，则．令，则在上单调递减，，，则的取值范围为．故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤．15.在中，角对应的边长分别为，且有．（1）求角；（2）若，且为锐角三角形，求的面积的最大值．解：（1）因为，由正弦定理可化简为，即，因为，所以解得，或.（2）因为为锐角三角形，所以，又，即，，则，当且仅当时等号成立，此时锐角三角形，所以．16.如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，．（1）证明：；（2）若二面角为，且，求与平面所成角的余弦值．（1）证明：因为为正方形，所以，因为，为中点，所以，又平面，平面，且，所以平面，平面．所以.（2）解：由（1）得，，所以为二面角的平面角，即，，则，又，则，因为，可得，又，且平面，平面，则平面，则两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，有，则，设平面的法向量，则，即为，取，设平面与所成角为，则，，故平面与所成角的余弦值为．17.2024年奥运会，我国射击项目收获颇丰，现有甲､乙两位射击爱好者来到靶场射击．已知甲每次射击上靶的概率为，乙每次射击上靶的概率为，甲､乙两人每次射击是否上靶相互独立．（1）若甲､乙两人各自射击3次，求甲､乙两人共上靶至少2次的概率；（2）若甲､乙两人各自射击2次，上靶得一分，不上靶得零分，记甲､乙两人得分的差的绝对值为，求的分布列和数学期望．解：（1）设甲上靶次数为，乙上靶次数为，且则；（2）的可能取值为，有，，，的分布列为012．18.已知圆，圆过点且与圆内切，若圆的圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）若过点的直线与曲线交于两点（在轴上方），且曲线与轴交于两点（在点左侧），记直线的斜率分别为，请问是否为定值，如果是请求出定值；如果不是，请说明理由．解：（1）设，则，则在圆内部，则，即为，则点的轨迹是以为焦点的椭圆，设曲线的方程为：，则，解得，故，则的方程为；（2）如图,令，则，易知直线斜率不为0，设直线，则化简得，则，，同理，且，则，，所以是定值，该定值为．19.已知，且在处取得极小值．（1）求的值；（2）若，且在处取得极大值，求的取值范围；（3）证明：对于任意的，有恒成立．（1）解：，则，解得，当时，，①当时，单调递增，又由，可知当时，，②当时，对求导，得到，可知单调递增，有mx>e-π6-12>0可知当时，单调递增，又由，可知当时，，由①②可知时，函数在处取得极小值；（2）解：，则，对求导得到，①当时，若x∈0,π2,px>0,g'②当时，当时，单调递增，若，可得当时，单调递增，由①知不可能是的极大值点，若时，存在，使当时，，当时，，又由，可知当