河南省濮阳市南乐县豫北名校2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省濮阳市南乐县豫北名校2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】由双曲线即知，则离心率为.故选：C2.的展开式的第4项为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以.故选：B3.若随机变量的分布列为，则（）A.12 B.10 C.9 D.8【答案】B【解析】根据分布列中概率之和为1，列方程得：，即，解得.故选：B4.已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设圆心坐标为：由题意可知圆的标准方程为：，由圆过点，所以，解得：，所以圆的标准方程为，故选：C5.若随机变量的所有可能取值为2，4，且，则（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】由分布列的性质可知：，所以，所以，故选：A6.已知等差数列的公差，前项和为，若，则（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】D【解析】因为，所以，所以，即，所以，所以.故选：D7.2025年2月深圳福田区推出基于DeepSeek开发的AI数智员工，并上线福田区政务大模型2．0版，该模型能进一步驱动政务效能全面跃升．某地也准备推出20名AI数智员工（假定这20名AI数智员工没有区别），分别从事三个服务项目，若每个项目至少需要5名AI数智员工，则不同的分配方法种数为（）A.21 B.18 C.15 D.12【答案】A【解析】先每组分5名员工，然后剩余5名分成三组，采用隔板法，五名员工和两个隔板，共有七个位置，所以不同的分配方法种数为种.故选：A8.已知盒中装有9个除颜色外其他完全相同的小球，其中有3个白球，6个红球，每次从盒中随机抽取1个小球，观察颜色后再放回盒中，直到两种颜色的球都取到，且取到的一种颜色的球比另一种颜色的球恰好多2个时停止取球，则停止取球时取球的次数为6的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】一共四种情况：（1）前四次，可能是白2红2（顺序任意），然后(i)抽2红或者(ii)抽2白结束.（2）前四次也可能是白4，然后抽2红结束.（3）前四次还可能是红4，然后抽2白结束.取到白球的概率为，取到红球的概率为，（1）的两种情况的概率分别为（i），(ii)，（2）（3）前4红后2白或者前4白后2红的概率和为：，所以共有总概率为.故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在空间直角坐标系中，已知点，（与点不重合），则下列结论正确的是（）A.若点，关于平面对称，则B.若点，关于轴对称，则C.若，则D.若，则【答案】BC【解析】对A，若点，关于平面对称，则，所以，故A错误；对B，若点，关于轴对称，则，所以，故B正确；对C，若，则，故C正确；对D，若，则，所以，两式相减得，故D错误.故选：BC10.已知函数的导函数为，则（）A.一定偶函数B.一定有极值C.一定存在递增区间D.对任意确定的，恒存在，使得【答案】ACD【解析】对于A，由得，定义域为关于原点对称，且，所以一定是偶函数，故A正确；对于B，当时，，在上单调递增，没有极值，故B错误；对于C，当时，，在上单调递增，当时，得或，则在和上单调递增，综上，一定存在递增区间，故C正确；对于D，因为，所以的值域即在上的值域，而在上必有大于0的最大值，记该最大值为，则，即对任意确定的，恒存在，使得，故D正确.故选：ACD11.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点从点处出发，每次向上或向右移动1个单位长度，直至到达点时停止移动，则下列结论正确的是（）A.移动的方法共有252种B.仅有4次连续向上移动的方法有30种C.经过点的移动方法有70种D.若对任意，从第次到第次的移动方向相同，则移动的方法有2种【答案】ABD【解析】对A，由题可知，无论怎样走，一定移动10次，其中5次向上移动，5次向右移动，故移动的方法共有种，故A正确；对B，仅有4次连续向上移动的方法有种，故B正确；对C，若经过点，则前3次向右移动2次向上1次，后7次向右3次向上4次，所以移动的方法有种，故C错误；对D，由题可知，当时，第1,2次的移动方向相同，当时，第3,4,5次的移动方向相同，当时，第6,7,8,9次的移动方向相同，因为向右5次，向上5次，所以第次移动方向相同，则移动的方法有2种，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某地高中生的肺活量（单位：）服从正态分布,若该地有12000名高中生，则其中肺活量低于的高中生的人数约为______．参考数据：．【答案】【解析】因为，所以.所以肺活量低于的高中生的人数约为：.故答案为：13.若函数的图象在处的切线与在处的切线互相垂直，则的一个值为________．【答案】(答案不唯一)【解析】由，可得，所以在处的切线斜率为，在处的切线斜率为由题意：，可设，则，解得：，，同时取，得，所以的一个值为，故答案为：14.甲、乙、丙三人进行篮球传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第4次传球传给乙的概率为______．【答案】【解析】前4次传球接球的情况有：乙甲乙甲、乙甲乙丙、乙甲丙甲、乙甲丙乙、乙丙甲乙、乙丙甲丙、乙丙乙甲、乙丙乙丙、丙甲乙甲、丙甲乙丙、丙甲丙甲、丙甲丙乙、丙乙甲乙、丙乙甲丙、丙乙丙甲、丙乙丙乙，共16种，第4次传球传给乙的情况有：乙甲丙乙、乙丙甲乙、丙甲丙乙、丙乙甲乙、丙乙丙乙，共5种，设第4次传球传给乙的事件为，则故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知椭圆经过点，且离心率．（1）求的方程；（2）若直线经过点且与相切，求的方程．解：（1）由椭圆经过点，且的离心率，可得，且，解得，所以椭圆的方程为.（2）当过的直线的斜率不存在时，此时，显然不符合题意，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，联立方程组，整理得，因为直线与椭圆相切，所以，整理得，解得，所以的方程为，即.16.如图，在长方体中，，，，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面；（2）由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点，向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，有，，，，，设，，，，，因为，所以，解得，所以，设平面的一个法向量为，有，令，可得，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.河南省是我国小麦产量第一大省，约占全国小麦产量的．小麦品种是在河南省广泛种植的一个品种，某科研基地在实验田种植的品种小麦收获时，随机取10个该小麦的种子样本，每个样本均为1000粒，测得每个样本的质量（称为千粒重，单位：）分别为40，48，42，46，50，46，52，43，48，45，记这10个数据的平均数为．（1）从这10个数据中随机选取3个，记这3个数据中大于的个数为，求的分布列；（2）用这10个样本中千粒重大于的频率作为每个样本千粒重大于的概率，从解：（1），易知40，48，42，46，50，46，52，43，48，45，中有6个小于等于平均数，4个大于平均数，所以的所有可能取值为，0，1，2，3；，，，，所以的分布列为：0123（2）由（1）知：每个样本千粒重大于的概率为，设20个样本中千粒重大于的样本个数为,由题意可知：,所以，设千粒重大于的样本最有可能是，则，，解得：，故，所以千粒重大于的样本最有可能是8个.18.已知数列满足，．（1）求证：是等比数列；（2）若，求数列的前项和；（3）判断是否存在，使得，，成等差数列，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．解：（1）由条件得，所以，又，所以是首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）知，所以，设，则，两式相减得，所以，设，则．（3）由（1）知，所以，假设存在，使得，，成等差数列，则，所以，即，即，当时，，，，当时，，所以不存在，使得，，成等差数列.19.若函数在区间上有意义，且存在，使得对任意的，当时，单调递增，当时，单调递减，则称为上的“抛物线型函数”，其中为在上的峰值．（1）若函数，试判断是否是区间上的“抛物线型函数”；（2）若是区间上的“抛物线型函数”，求实数的取值范围；（3）若函数，求证：是区间上的“抛物线型函数”，并求在区间上的峰值．解：（1）因为，所以，设，则，当时，可得，所以函数在区间上单调递减，所以，所以，所以在区间上单调递减，故不是是区间上的“抛物线型函数”（2）因为，所以，当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，但区间为，所以在区间上单调递增，不满足题意；当时，令得或，若，当时，，函数在区间上单调递增，当时，，函