河南省豫西北教研联盟（平许济洛）2025届高三下学期第三次质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省豫西北教研联盟（平许济洛）2025届高三下学期第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，，则（）．A. B. C. D.M【答案】A【解析】由题设，则.故选：A2.已知非零向量，满足，若，则与的夹角为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，且，所以，所以，所以，又，所以.故选：B3.若复数z满足，则的取值范围为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由，即对应点在以复平面的原点为圆心，1为半径的圆上，由表示上述圆上点到点的距离，结合圆的性质，易知.故选：D4.已知圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】若圆锥底面半径为，则，可得，故圆锥的高，若圆锥外接球的半径为，则球心到圆锥底面距离，所以，即，可得，故外接球的表面积为.故选：A5.设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，直线交C于另一点B，的内切圆与相切于点P，若|，则椭圆C的离心率为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，如下示意图，是内切圆与的切点，因为左、右焦点分别为，，上顶点为A，（椭圆参数关系），由，结合对称性、圆的切线性质，令，且，所以，所以，可得，故，故选：C6.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则，当时，，因为在上只有一个极大值点，则，解得，因为，故正整数最大值为.故选：D.7.函数满足：，，且，则（）．A4900 B.4950 C.5000 D.5050【答案】B【解析】令，则，可得，令，则，可得，令，则，可得，令，，则，可得，当时，则，显然也满足上式，所以，故.故选：B8.若，都有，则a的取值范围为（）．A B. C. D.【答案】D【解析】由题设，，即，令且，则，当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，当，此时，则，不合题设，故，所以，而在上单调递增，则，问题化为，在上恒成立，令且，则，当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，所以，故.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数，且为奇函数，下列说法正确的有（）．A.，B.当时，C.直线是曲线的一条切线D.若在区间上存在两个极值点，则【答案】ACD【解析】由题设，即，所以，即恒成立，所以，，A对；故，所以，或时，，即在上单调递增，时，，即在上单调递减，所以在上单调递减，此时，故，B错；由上分析，极大值，极小值，显然是曲线的一条切线，C对；若在区间上存在两个极值点，则，故，D对.故选：ACD10.已知正方形的边长为2，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形，依此方法一直继续下去．若把正方形的面积记为数列的首项，后继各正方形的面积依次为，，…，，…，则下列结论正确的为（）．A.B.前10个正方形的面积之和为C.数列的前100项之和为D.若这个作图过程可以一直继续下去，则所有这些正方形的面积之和将趋近于8【答案】BD【解析】由题设，第个正方形的边长为，则对角线长为，如下图示，所以，即，又，即是首项为4，公比为的等比数列，故，所以，A错；前10项和，B对；由，则其前100项之和，C错；由项和恒成立，D对.故选：BD11.已知曲线C过坐标原点O，且C上的点P到两个定点，的距离之积为4，则下列结论正确的是（）．A. B.的面积的最大值为2C.的最大值为4 D.的周长的取值范围为【答案】ABD【解析】令，则且，由于曲线过原点，则，A对；所以，仅当时取等号，所以，且均在曲线上，则曲线关于轴及原点对称，根据对称性，只需分析从的变化过程，此时从，又，仅当取等号，所以的面积的最大值为2，B对；由，整理得，所以，则，C错；由，而，根据对称性，只需分析从的变化过程，对于在上单调递增，即，所以，此时在上单调递增，所以，D对.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若直线与抛物线相交于A，B两点，则__________．【答案】【解析】联立直线与抛物线得，可得，解得或，不妨令，，则，，所以.故答案为：13.已知函数，若存在实数b，使函数恰有三个零点，则a取值范围为__________．【答案】【解析】由在上单调递增，且值域为，对于，当，则，而，此时最多有两个零点；当时，则，此时的大致图象如下，由在上单调递增，且，结合上图，当，即时，，恰有三个零点，当，即时，，恰有三个零点；当时，在上单调递增，此时函数最多有两个零点，不符题意；综上，.故答案为：14.甲、乙、丙、丁四人玩踢毽子游戏，第一次由甲踢出，每次踢出时，踢出者都等可能地将毽子踢给另外三个人中的任何一人．若第二次踢出后恰好踢给乙，则此毽子是由丙踢出的概率为__________，第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为__________．【答案】①.②.【解析】由已知条件可知，前两次踢出的毽子被接到的情况有（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），共种，设事件：第二次踢出后恰好踢给乙，事件：第二次的毽子由丙踢出，乙接到，则事件包含：（丙，乙），（丁，乙）两种情况；事件包含（丙，乙）一种情况，则，，则；设第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为，易知若第次踢出后，毽子恰好踢给乙，则第次踢出后，毽子恰好不踢给乙，再由其踢给乙，则，且，则，则数列是以为首项，为公比的等比数列，则，即.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求证：；（2）若，，求的面积．（1）证明：因为，由题和正弦定理得，所以，所以，由正弦定理得；（2）解：由余弦定理且可知，，因为，所以，所以，，可知，所以，所以，所以，所以的面积.16.为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：，，，．已知，各分数段人数的频数统计如下表：分数段频数1030mn（1）求m，n的值；（2）按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与期望；（3）由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在内的学生人数．参考数据：若，则，，．解：（1）已知抽取的学生总数为100名，即各分数段频数之和为100，可得到方程，化简得.又因为，将其代入，可得，即，解得.把代入，可得.（2）计算分层抽样后成绩在内的人数：成绩在内的频数为人.从100人中抽取10人，根据分层抽样的性质，抽取的10人中成绩在内的人数为人，那么成绩不在内的人数为人.表示抽到的人中成绩在内的人数，所以的可能取值为，，，，.计算取各个值的概率：.....列出的分布列：可得.（3）已知，则，.，.今年该地共20000名学生参加比赛，所以成绩在内的学生人数约为人.17.如图，在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，点F在线段上，且．（1）求证：平面；（2）求平面和平面的夹角的余弦值；（3）设点G在线段上，且，判断直线是否在平面内？请说明理由．（1）证明：因为平面，平面，则，又，都在平面内，所以平面；（2）解：在平面内过点作的垂线交于点，平面，平面，则，构建如下图示的空间直角坐标系，则，因为为的中点，所以，故，所以，，设平面的一个法向量为，则，取则，平面的一个法向量为，则，所以平面和平面的夹角的余弦值；（3）解：直线在平面内，理由如下：因为点在上，且，，所以，，由（2）知平面的一个法向量为，所以，所以直线在平面内.18.在平面直角坐标系中，点P是圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线相交于点Q，记动点Q的轨迹为曲线C．（1）求C方程；（2）已知点，若垂直于x轴的直线与C相交于A，B两点，设直线和C的另外一个交点为D．（ⅰ）求证：直线过定点E；（ⅱ）过点E作直线l交C于M，N两点（M，N在y轴右侧），求的面积的最小值．解：（1）由在线段的垂直平分线上，则，点是圆上任意点，则，，所以，所以的轨迹是以为焦点，实轴长为4的双曲线，对应双曲线参数为，则轨迹方程为；（2）（i）设，则，直线，联立双曲线，得，，且，，由，则，整理得，又，，所以，显然直线过定点，得证；（ii）由直线过点，与双曲线右支交于，故斜率必不为0，所以，可设，，联立双曲线，整理得，，则，则，，，令，则，又在上单调递减，则，此时，即，所以最小.19.若存在正实数a，对任意，使得，则称函数在D上是一个“函数”．（1）已知函数在区间上是一个“函数”，求a；（2）当时，．证明：函数在区间上是一个“函数”；（3）证明：．（1）解：由在区间上是一个“函数”，所以任意，恒