河南省周口市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省周口市2024-2025学年高一上学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.1.若集合，则中元素的个数为（）A.1 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】因为，所以中有4个元素．故选：C．2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】．故选：B.3.若，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，由，得．故选：C．4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以．故选：D.5.要得到函数的图象，只需把函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】A【解析】因为，所以把的图象向左平移个单位长度，可得到的图象．故选：A.6.若函数有意义，且在区间上单调递减，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题知且．设，则在区间上单调递减，由复合函数的单调性可得，即．又因为当时，所以，解得．综上得．故选：D.7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，，两式相加，得，即．故选：B.8.已知函数，若方程有3个不同的实数根，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，画出大致图象．方程有3个不同的实数根，即函数的图象与直线有3个交点，由图可知．易知：是方程的根，即的根，所以．当时，令，可得，所以时，．所以．所以的取值范围是．故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.若A，B均为非空集合且，则“”是“”的必要不充分条件B.若a，，则“”是“”的充分不必要条件C.若x，，则“”是“”的充要条件D.“”是“”的充分不必要条件【答案】ABD【解析】对于A，由“”可以推出“”，但由“”不能推出“”，则“”是“”的必要不充分条件，A正确；对于B，由，得，从而，但由只能得到，不能得到，则“”是“”的充分不必要条件，B正确；对于C，等式成立的前提是，则“”不是“”的充要条件，C错误；对于D，若，则，必有，反之不成立，则“”是“”的充分不必要条件，D正确.故选：ABD.10.若，且，则（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】对于A，D，取，则，故A，D错误；对于B，因为，所以，所以，因为，所以，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以，结合B选项的分析，可得，所以，故C正确．故选：BC.11.若函数满足对任意，都有，且当时，则（）A.的值不可能是0 B.C.是奇函数 D.是增函数【答案】AC【解析】对于A，在中，令，得或，若，则当时，，与已知矛盾，所以，故A正确；对于B，令，得，所以，故B错误；对于C，令，得，所以是奇函数，故C正确；对于D，取，是符合已知条件的函数，但不是增函数，故D错误．故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则，的最大值为__________．【答案】【解析】因为，所以，故，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为．13.已知某种食品的保鲜时间y（单位：h）与储存温度x（单位：）满足的关系式为，若该食品在时的保鲜时间是，在时的保鲜时间是在时保鲜时间的2倍，则该食品在时的保鲜时间是__________．【答案】64【解析】由该食品在时的保鲜时间是，得，所以，由在时的保鲜时间是在时保鲜时间的2倍，得，所以，所以该食品在时的保鲜时间是．故答案为：64.14.已知函数，在上的最大值为，则__________．【答案】1【解析】，当时，，所以，所以，所以．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数的图象关于直线对称，的最小正周期为．（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间．解：（1）因为的最小正周期为，所以，因为图象关于直线对称，所以，即，又，所以，所以．（2）因为的单调递增区间为，所以令，得，所以的单调递增区间为.16.已知函数．（1）若的图象经过点，求不等式的解集；（2）若存在x，使得，求a的取值范围．解：（1）因为的图象经过点，所以，即，又，所以．因为的定义域为，且在上单调递增，所以由，得，解得，故原不等式的解集为．（2），即，化简可得，所以方程在时有解．易知在上的值域为，所以，又，所以，即a的取值范围为．17.已知．（1）求；（2）若，且，求．解：（1）因为，所以．（2）因为，所以．因为，①两边平方得，所以，又因为，所以，所以，②①②联立，得，所以，故．18.已知是偶函数．（1）求的值；（2）用单调性的定义证明在上单调递增；（3）解关于不等式．解：（1）因为是偶函数，其定义域为，所以，即，所以（负值舍去）．当时，，满足，是偶函数，所以．（2）由（1）知．，且，有，由，得，所以，即，所以在上单调递增．（3）由（1）知，故原不等式为，可得．若，得，原不等式的解集为，若，原不等式等价于，因为，所以原不等式的解集为，若，原不等式等价于，当时，原不等式的解集为，当，即时，原不等式的解集为，当，即时，原不等式的解集为．19.给定区间D，若在D上有最大值M及最小值m，且，则称为D上的“单位距函数”．（1）若是上的“单位距函数”，求a的值．（2）若函数在区间上的最小值为．（i）求的表达式；（ii）若为整数，且为区间上的“单位距函数”，求m，a的值．解：（1）因为，当时，，当且仅当时取等号，所以，此时；，此时．因为为上的“单位距函