河南省驻马店市新蔡县2025届高三三模数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省驻马店市新蔡县2025届高三三模数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，得，所以虚部为，故选：B．2.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为函数在上单调递减，所以当时，恒成立，则；当时，由在上递减，若，，合题意，若，则，故;又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得.综上所述，，故选：C．3.已知集合，集合，则等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意，，得，，所以．故选：C．4.已知向量满足，，与的夹角为，且，则的值为（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】由，得，∴，∴，即，∴．故选：A．5.定义在上的奇函数满足时，若在上恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】易求当时，，所以，故．所以．由的图象知在上递增，所以在上恒成立，即在上恒成立．所以解得．故选：C．6.已知函数的极值点与的零点完全相同，则（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】，由，得①，对于，由，得，依题意，所以②，由于函数的极值点与的零点完全相同，对比①②可得.故选：B7.设A，B是曲线上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x轴折叠，使得上，下两半部分所成二面角为，则的最小值为（）A.2 B. C. D.4【答案】C【解析】设，，在平面直角坐标系中，过作轴于点，过作轴于点，则，，，，折叠后即有，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选:C.8.若函数是单调递增函数，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，依题意，恒成立，令，，由，可得：，由，可得：，所以在单调递减，在单调递增；所以的最小值为，所以，解得，故选：B二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若，则有2个零点B.若，则的解集为C.在上有极小值D.在上有极大值【答案】ABC【解析】对于选项A：当时，由得，，解得或0，所以有且仅有2个零点，故A正确；对于选项B：当时，，且，由得，解得，所以的解集为，故B正确.对于选项C：当时，且，由得或，当时，；当时，.①若，则，当时，；可知在的右侧附近单调递减，在左侧附近单调递增，所以在内有极小值；②若，则，当时，则，可知，可知在的右侧附近单调递减，在左侧附近单调递增，所以在内有极小值；③若，当时，；当时，；可知在的右侧附近单调递增，在左侧附近单调递减，所以在有极小值；④若，则，当时，则，可知，可知在的右侧附近单调递减，在左侧附近单调递增，所以在内有极小值；综上所述：上有极小值，故C正确.对于选项D：因为，构建，可知，构建，可得，可知在上单调递增，则，若，则，即，可知在上单调递增，则，且，可知在上存在唯一零点，当，，即；当，，即；可知在内单调递减，在内单调递增，所以有极小值，无极大值；②若，且，可知在上存在唯一零点，当，，即；当，，即；可知在内单调递减，在内单调递增，且，且，可知在上存在唯一零点，当，，即；当，，即；可知在内单调递减，在内单调递增，所以有极小值，无极大值；综上所述：在上无极大值，故D错误故选：ABC.10.已知两种金属元件（分别记为）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（参考数据：若，则，）（）A.B.C.D.对于任意的正数t，恒有【答案】AB【解析】对于A，，A正确；对于B，由两个正态分布密度曲线知，则，B正确；对于C，由两个正态分布密度曲线知，则，C错误；对于D，对于任意的正数t，由图象可知，表示的面积始终小于表示的面积，则恒有，D错误.故选：AB11.法国天文学家乔凡尼•多美尼科•卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称之为卡西尼卵形线（CassiniOval）．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，其轨迹为．下列结论中，正确的是（）A.曲线关于轴对称B.原点始终在曲线的内部C.当时，面积的最大值为D.在第一象限的点的纵坐标的最大值为【答案】ACD【解析】设，由，得．将代入上式，等式仍成立，知曲线关于轴对称，所以选项A正确；当时，将代入等式成立，知原点在曲线上，所以选项B错误；当时，方程整理得．令，则，若方程有两个负根，则，推出无解，故方程至少有一个正根，由得，面积的最大值为，所以选项C正确．由，得．令，得，所以．所以．所以．所以选项D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若曲线的切线为，则______．【答案】1【解析】设切点为，由，得，则由题意得所以，．所以．所以．故答案为：1.13.已知直线交双曲线于点，点，若的重心恰好落在双曲线的左焦点上，则直线的斜率为______．【答案】【解析】设，，因为，，由重心坐标公式得，，所以弦的中点坐标为，，即．又，在双曲线上，由题意知直线的斜率存在，则，故，作差得，将中点坐标代入得．故答案为：14.已知数列的各项均不为零，且，若表示事件“，”，则________.【答案】【解析】依题意可知事件A为与同号，与异号，则，，的符号有2种情况，剩下的，，，任意选有，则.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别为，已知．（1）若，求的值；（2）若，，的中点为，求的长．解：（1）因，由正弦定理，得，所以．所以．又因为为的内角，所以，所以，从而．又因为，则，所以．（2）由题意，，所以．又，所以．所以．因为，所以，从而．在中，由余弦定理得，所以．16.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右焦点为，右顶点为，．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过的直线交椭圆于点（其中点在轴上方），为椭圆的左顶点．若与的面积分别为，，求的取值范围．解：（1）设椭圆的半焦距为，由题意，得，解得，故椭圆方程为．（2）①当斜率不存在时，易知；②当斜率存在时，可设，，，由，得，显然，所以，．因为，，所以．因为，又，设，则，，解得且，所以．综上所述，取值范围为．17.如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面．（1）求证：平面；（2）若，，，求二面角的余弦值．（1）证明：如图，取为内一点，作，交于点，作，交于点．因为平面平面且平面平面，平面，所以平面．因为平面，所以，同理得．因为，且平面，所以平面．（2）解：因为，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示．由题意，得，，，，则，，，．设平面的法向量为，则令，则，，所以．设平面的法向量为，则令，则，，所以．设二面角的平面角为，则由图可得．故二面角的余弦值为．18.已知有限集合（，），若，则称A为“完美集”.（1）已知，，，，成等差数列，若集合A为“完美集”，求；（2）已知，是否存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，说明理由；（3）已知，且集合A为“完美集”，求A.解：（1）依题意，，，解得；（2）设数列的公比为q，依题意，，，因为集合A为“完美集”，所以，整理得，解得，不符题意，所以不存在首项为3等比数列，使得集合A为“完美集”；（3）设，若集合A为“完美集”，则，易知，，，当时，，当时，显然不符题意；当时，不妨设，，故，所以；当时，因为，所以，符合题意；当时，，不符题意；综上，或.19.已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若，讨论方程的根的个数.解：（1）的定义域为，则，因，由，解得，当时，恒成立，所以的无递增区间，递减区间为；②当时，，令，得；令，得，所以的递增区间为，递减区间为；③当时，，令，得；令，得，所以的递增