2025年江苏中考数学压轴题分项汇编：阿氏圆模型（原卷版+解析）

压轴专题11阿氏圆模型

背：技法全归纳

知识考点与解题策略

阿氏圆模型

模型解读

动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B,动点尸满足PA/PB=k"为常数，且际1））,

那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯

圆，简称为阿氏圆。

如图1所示，。。的半径为r,点4、5都在。0外，P为。。上一动点，已知片小。3（即竺=上），连

0B

接PA、PB,则当的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？

如图2,在线段06上截取。。使OC=k♦r（即9£=攵），・.•丝=%,・・.”="，

OPOBOBOP

PC

VZPOC=ZBOP,:ZOCsxBOP,:.土=k，BPk-PB=PC.

PB

故本题求“PA+hPB”的最小值可以转化为“PA+P。的最小值。

其中与A与C为定点，尸为动点，故当A、P、C三点共线时，“P4+PC”值最小，如图3所示。

阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在

于如何构造母子相似。

阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）;点在圆内：向外取点（系数大于1）；一

内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。

注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归响题中，我们见识了“hR4+P5”最值问题，其中P

点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题.

可典题固基础

例题1如图1,在R7A42C中，ZACB=90°,CB=4,C4=6,圆C的半径为2,点尸为圆上一动点，连

接AP,BP,求：

©AP+-BP,

2

@2AP+BP,

（3）^AP+BP,

④AP+33P的最小值.

S新题型特3

1.如图，在RdABC中，ZACB=90°,CB=7,AC=9,以C为圆心、3为半径作。C,尸为。C上一动点,

连接AP、BP,则的最小值为（）

A

c.4+VioD.25/13

2.（23-24九年级上•江苏徐州•期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2,点。是边的中点，G为正

方形内一动点，且GO=1.点P是边上另一动点，连接尸G、PA,则B4+PG的最小值为

3.（2020・江苏常州•一模）如图，在。。中，点A、点B在。。上，=90°,。4=6,点C在。4上,

且0c=2AC,点。是02的中点，点M是劣弧4B上的动点，则CM+2OW的最小值为

4.如图，边长为4的正方形，内切圆记为。。，尸是。。上一动点，则友必十尸8的最小值为

5.如图所示，ZACB=60°,半径为2的圆。内切于-1CB.尸为圆。上一动点，过点尸作PM、PN分别

垂直于2CB的两边，垂足为M、N,则PM+2PN的取值范围为.

A

CNB

6.如图所示的平面直角坐标系中，A(0,4),8(4,0),尸是第一象限内一动点，OP=2,连接心、BP,则

7.如图，在VABC中，ZB=9O°,AB=CB=2,以点8为圆心作圆2与AC相切，点尸为圆B上任一动点,

则PA+1pC的最小值是

2

8.如图，在RtVABC中，AB=AC=4,点E,尸分别是AB,AC的中点，点P是扇形的用上任意一

点，连接BP,CP,则^BP+CP的最小值是.

--------------------------

9.（2020.江苏南京•二模）如图，在AABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以点C为圆心，6为半径的

圆上有一个动点。连接A。、BD、CD,则2AD+38O的最小值是.

10.如图，已知正方ABC。的边长为6,圆8的半径为3,点尸是圆8上的一个动点，则PD-gpC的最大

值为.

11.如图，在边长为4的正方形ABC。内有一动点尸，且BP=6.连接CP,将线段PC绕点尸逆时针旋

转90。得到线段尸Q.连接CQ、DQ,则goQ+CQ的最小值为

【答案】5

12.（20-21九年级上•江苏宿迁・期末）问题提出：如图①，在&AABC中，ZC=90°,CB=4,CA=6,QC

的半径为2,尸为圆上一动点，连接AP、BP,求AP+12尸的最小值.

2

图①图①备用图图②

(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP,在CB上取一点O,使C/A1,

CDCP1PDCD11

则==大^=彳.又/PCANBCP,所以△PCEA45CP.所以二二不二7.所以=所以

CrCB2BPCr22

A尸+；BP=AP+P。.请你完成余下的思考，并直接写出答案：+尸的最小值为二

(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求gAP+BP的最小值；

(3)拓展延伸：如图②，已知在扇形C。。中，ZCOD=^0°,0C=6,04=3,OB=5,P是CD上一点，求

2上4+PB的最小值.

13.(九年级下•江苏盐城•阶段练习)如图1,抛物线>=依2+(4+3)》+3(。工0)与无轴交于点4(4,。)，与y

轴交于点8,在x轴上有一动点E(〃?,0)(0<加<4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于

(1)求a的值和直线AB的函数表达式：

C,6

(2)设APA/N的周长为C-AAEN的周长为a,若射二不求相的值.

(3)如图2,在(2)的条件下，将线段。£绕点。逆时针旋转得到OE',旋转角为a(00<a<90°),连接

2

EA、E'B,求石公+百石》的最小值.

14.已知ACDE与VABC有公共顶点C,ACDE为等边三角形，在VABC中，ZBAC=120°.

⑴如图1,当点E与点8重合时，连接AD,已知四边形ABDC的面积为2代，求钻+AC的值；

⑵如图2,AB=AC,A、E、。三点共线，连接AE、BE,取BE中点连接AM,求证：AD=2AM-,

(3汝口图3,AB=AC=4,CE=2,将ACDE以C为旋转中心旋转，取DE中点尸，当8歹+立A歹的值最小

4

时，求tan/AB尸的值.

15.如图1,抛物线＞=〃/+法一4与x轴交于A、5两点，与，轴交于点C,其中点A的坐标为(-1,。)，抛

图1图2

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点尸是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点尸使四边形ABPC的面积为16,若存在，求出点

P的坐标若不存在，请说明理由；

(3)如图2,过点8作8斤，3c交抛物线的对称轴于点尸，以点C为圆心，2为半径作。C,点。为上的

一个动点，求正BQ+FQ的最小值.

4

16.如图，RtAABC,ZACB=90°,AC=BC=2,以C为顶点的正方形CDEF(C、D、E、尸四个顶点按

逆时针方向排列)可以绕点c自由转动，且CO=V^,连接A凡BD

(1)求证：△BDC出LAFC

(2)当正方形CAM有顶点在线段A8上时，直接写出且A。的值；

2

(3)直接写出正方形8所旋转过程中，且的最小值.

2

17.如图，点A、8在0。上，且。4=08=6,且OALO8,点C是。1的中点，点。在08上，且。。=

4,动点尸在。。上.求2PC+PO的最小值.

18.如图1所示，。0的半径为r,点A、8都在。。外，P为。。上的动点，已知r=kOB.连接PA,

PB,则当“小+七尸8”的值最小时，P点的位置如何确定？

A

A

图1

19.如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A,C两点，抛物线y=x?+bx+c

经过A,C两点，与x轴的另一交点为B

(1)求抛物线解析式及B点坐标；

(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时，四边形AMBC

面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

(3)如图2,若P点是半径为2的。B上一动点，连接PC、PA,当点P运动到某一位置时，PC+gPA的

值最小，请求出这个最小值，并说明理由.

压轴专题11阿氏圆模型

技法全归纳

知识考点与解题策略

阿氏圆模型

模型解读

动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B,动点尸满足PA/PB=k（"为常数，且际1））,

那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯

圆，简称为阿氏圆。

如图1所示，。。的半径为r,点A、5都在。。外，P为。。上一动点，已知片左。3（即&=k），连

0B

接PA、PB,则当“PA+hPB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？

OPOBOBOP

,：ZPOC=ZBOP,：.APOC^ABOP,二二=左，BPk-PB=PC.

PB

故本题求“PA+hP3”的最小值可以转化为“PA+PO,的最小值。

其中与A与C为定点，尸为动点，故当A、尸、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。

阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在

于如何构造母子相似。

阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）;点在圆内：向外取点（系数大于1）;-

内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。

注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“hB4+P3”最值问题，其中P

点轨迹是直线，而当尸点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题.

曾典题固基.

例题1如图1,在RT/kABC中，ZACB^9Q°,CB=4,C4=6,圆C的半径为2,点尸为圆上一动点，连

接AP,BP,求:

@AP+-BP,

2

©2AP+BP,

(3)|AP+BP,

④AP+33P的最小值.

【答案】①回；②2曲；③冬暑；④2历.

【分析】①在CB上取点。，使C£>=1,连接CP、DP、AD根据作图结合题意易证AOCP~APCB,即可

得出=从而推出+=尸。，说明当A、尸、O三点共线时，AP+BD最小，最小值即

为AD长.最后在此△AC。中，利用勾股定理求出A。的长即可；

②由2AP+BP=2(A尸+ggP),即可求出结果；

21

③在C4上取点E,使CE=q，连接CP.EP.BE.根据作图结合题意易证△ECP~AP0L,即可得出砂=：AP,

从而推出：AP+BP=EP+BP,说明当2、P、E三点共线时，EP+3P最小，最小值即为8E长.最后在RfABCE

中，利用勾股定理求出BE的长即可；

④由AP+3BP=3(gAP+BP),即可求出结果.

【详解】解：①如图，在CB上取点。，使8=1,连接CP、DP、AD.

A

•;CD=1,CP=2,CB=4,

.CDCP1

^~CP~~CB~2'

又：ZDCP=NPCB,

"DCP〜APCB,

即

BP22

AP+-BP=AP+PD,

2

...当A、尸、D三点共线时，AP+PD最小，最小值即为AZ）长.

:在放△AC。中，AD=yiAC1+CDl=762+12-

，4尸+；8尸的最小值为而'；

②2AP+BP=2(AP+-BP),

2AP+3尸的最小值为2义庖=2庖；

2

③如图，在CA上取点E,使CE=§,连接。尸、EP、BE.

•：CE=-CP=2,C4=6,

39

.CECP

**CP-CA-3*

又•：/ECP=NPCA,

:•小ECP”PCA,

ppii

即放」AP,

AP33

-AP+BP=EP+BP,

3

，当5、P、E三点共线时，EP+3P最小,最小值即为防长.

•・•在中，BE=dBC、CE2=业+守=笠^.

gAP+BP的最小值为零；

④AP+3BP=3(|AP+BP),

AP+33尸的最小值为3x2亘=2历.

3

【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理.正确的作出辅助线，并且理解三

点共线时线段最短是解答本题的关键.

练新题型特训

1.如图，在放AABC中，ZACB=9Q°,CB=1,AC=9,以C为圆心、3为半径作。C,P为。C上一动点,

连接AP、BP,贝QAP+BP的最小值为（）

C.4+V10D.2年

【答案】B

【详解】思路引领：如图，在。1上截取CM,使得CM=1,连接PM,PC,BM.利用相似三角形的性质

证明BJWIAP+BP=PM+PB>BM,利用勾股定理求出BM即可解决问题.

答案详解：如图，在CA上截取CM,使得CM=1,连接PM,PC,BM.

■:PC=3,CM=\,CA=9,

：.PC2=CM-CA,

.PCCM

••一，

CACP

•.*ZPCM=AACP,

.PMPC_1

•>-PA-AC-3

：.PM=-PA,

3

-AP+BP=PM+PB,

3

"：PM+PB>BM,

在RtABCM中，VZBCM=90°,CM=1,BC=1,

:.BM7f+7。=5夜,

：.^AP+BP>5y/2,

的最小值为5啦.

故选：B.

2.（23-24九年级上•江苏徐州•期中）如图，已知正方形A3。的边长为2,点。是BC边的中点，G为正

方形内一动点，且G9=l.点P是CD边上另一动点，连接PG、PA,则PA+PG的最小值为.

【答案】V13-1/-1+A/13

【分析】本题考查了轴对称求最短线段，矩形和正方形的性质，圆的定义，勾股定理等知识，利用对称的

性质作线段的等量转移是解题关键.作点A关于直线。的对称点A,连接OA,以。为圆心，OG长为半

径作圆，点G在圆上运动，OA、CD与。。交于点G'、P',则=AD=AL>=2,G'O=GO=1,

当点G、P在G'、尸，位置时，此时点0、G、P、4四点共线，RL+PG+GO有最小值为OA长，过点。

作OELAD于点E,求出。4=历，即可求解.

【详解】解：,•・正方形的边长为2,点。是BC边的中点，

AD=BC=CD=2,OC=1,NBCD=NCDA=90。,

如图，作点A关于直线C。的对称点AI连接OA,以。为圆心，OG长为半径作圆，点G在圆上运动，OA'

与CD与。。交于点P、G,

则上4=24',AD=AD=2,G'O=GO=1,

.­.PA+PG+GO=PA'+PG+G'O>OA',

当点G、尸在G'、户位置时，此时点0、G'、P'、4四点共线，丛+PG+GO有最小值为OA长,

过点。作OE_LAD于点E,则四边形OCDE是矩形,

,-.DE=OC=l,OE=CD=2,

:.AE=3,

OA!=4OE~+A!E2=V13，

尸A+PG+GO的最小值为屈,

.•.R4+PG的最小值为屈-GO，即屈-1,

故答案为：V13-1.

AE~二D二二予.A'

3.（2020•江苏常州•一模）如图，在。。中，点A、点B在。。上，/AO8=90。，。4=6,点C在。4上,

且OC=2AC,点。是03的中点，点M是劣弧4B上的动点，则CM+200的最小值为

【答案】4A/10

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用

辅助线，构造相似三角形解决问题.延长到T,使得3T=03,连接MT,CT.利用相似三角形的性

质证明=,求CM+2DM的最小值问题转化为求O0+MT的最小值.利用两点之间线段最短得到

CM+MT>CT,利用勾股定理求出CT即可解题.

【详解】解：延长02到T,使得37=03,连接MT,CT.

・・•点。是05的中点,

，OD=DB=3,OT=12,

「•OM2=ODOT,

.0M_OT

'~6D~~6M'

•・,ZMOD=ZTOM,

AMODSROM,

'HT~~OT~2,

MT=2DM,

..CM+2DM=CM+MT>CT,

•・,OC=2ACf

・•.OC=4,

又・・•在RtZXOCT中，ZCOT=90°,OT=129

CT=y]0C2+0T2=V42+122=4A/10，

CM+2DM>4^10,

CM+2DM的最小值为,

故答案为：45710.

4.如图，边长为4的正方形，内切圆记为。0,尸是。。上一动点,则&B4+PB的最小值为

【答案】2号

【分析】也PA+PB=&（丛+与PB）,利用相似三角形构造PB即可解答.

【详解】解：设。。半径为厂,

DC

0P=r=；BC=2,0B=&r=26,

取OB的中点/,连接P/,

OI=lB=yH,

OP2

BE日嘉乎3,

:•条器,NO是公共角，

:.△BOPs^poi,

•.•—PI=O1=—,

PBOP2

;.Pl=^lpB,

2

：.AP+—PB=AP+PI,

2

...当A、P、/在一条直线上时，AP+立尸8最小,

2

作IELAB于E,

・・・NA5O=45。，

：.1E=BE=—BI=\,

2

：.AE=AB-BE=3,

.•.A/=732+I2=Vio>

：.AP+也PB最小值=A/=A/10,

2

•；gPA+PB=e（理+惇PB）,

；•忘%+P8的最小值是&4/=血*加=2班.

故答案是25行.

【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形.

5.如图所示，ZACB=60°,半径为2的圆0内切于—ACB.尸为圆。上一动点，过点尸作尸”、PN分别

垂直于—ACB的两边，垂足为“、N,则R0+2PN的取值范围为.

【答案】6-26VpM+2PNV6+2石

【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形；方法一，PM+2PN=2^PM+PN^,作MHLPN,

=,确定HN的最大值和最小值.方法二，延长〃尸交CB于点E,求得NEPN=60°,得至UPE=2PN,

PM+2PN=PM+PE=ME,当ME与。。相切时，取得最大和最小，据此求解即可.

【详解】解：方法一，作于H,作MF_LBC于尸，

:.NPMC=NPNC=90。,

:.ZMPN=30—NPMC—/PNC—NC=120。,

:.ZMPH=180°-NMPN=60°,

HP=PMcosZMPH=PM?cos60°=-PM,

2

PN+-PM=PN+HP=NH,

2

•:MF=NH,

当MP与。。相切时，MR取得最大和最小,

如图1,

A

FNB

图1

连接。尸，OG,OC,

可得：四边形OPMG是正方形，

：.MG=OP=2,

在MACOG中，

CG=OGtan60°=273,

:.CM=CG+GM=2+2.,

在.RNCMF中,

MF=CM-smZACB=(2+2^)x^-=3+y/j,

2

:.HN=MF=3+y/3,

PM+2PN=2(gpM+PN)=2HN=6+26,

如图2,

图2

由上知：CG=26，MG=2,

CM=26-2,

:.HM=Q^fxq=3-6,

:.PM+2PN=2(gpM+/W)=2fflV=6—25

:.6-2J3<PM+2PN<6+2.y/3.

故答案为：6-2^3<PM+2PN<6+2.

、PN分别垂直于ZACB的两边,

/.ZAffW=120°,

ZEPN=60°,

：.PE=2PN,

：.PM+2PN=PM+PE=ME,

...当ME与。。相切时，ME取得最大和最小，

连接。尸，作。

可得：四边形0PMD是正方形，

;.MD=OP=2,

在Rt^CO。中，ZDOC=^AOB=30°,CD=2^3,

:.CM=CD+DM=2+2y/3,

；•ME的最大值为V§CM=2百+6,

故答案为：6-2A/3<PM+2PA^<6+2A/3.

6.如图所示的平面直角坐标系中，4。,4),3(4,0),尸是第一象限内一动点，OP=2,连接转、BP,则

BP+^AP的最小值是

【答案】行

0PnA

【分析】取点TQ1),连接尸T,BT.根据。尸2=OT.Q4,有金=荒，即可证明APOTSAA。尸，即有,

进而可得尸T=：PA,则有PB+：PA=PB+PT,利用勾股定理可得W=炉工=旧，则有

小三尸2折，问题得解.

【详解】解：如图，取点T(O，D,连接PT,BT.

8(4,0),

■：OP=2,

.'.OP2=OTOA,

.OPOA

一而一而‘

♦;/POT=ZAOP,

..△POTSAAOP,

PT=-PA,

2

:.PB+-PA=PB+PT,

2

BT=712+42=#7>

：.PB+PT>y/ll,

:.BP+^AP>4n,（当B、P、T三点共线时取等号）

.•.台尸+:2台的最小值为而'.

故答案为：厉.

【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用

辅助线，构造相似三角形解决问题.

7.如图，在VABC中，ZB=90°,AB=CB=2,以点8为圆心作圆2与AC相切，点尸为圆B上任一动点，

则PA+显PC的最小值是.

2

【答案】V5

【分析】作8“，AC于"，取8C的中点。，连接PD,如图，根据切线的性质得为。B的半径，再根

据等腰直角三角形的性质得到BH=1-AC=V2，接着证明仆BPDSABCP得到尸。=曰PC,所以出+gpC

=PA+PD,而PA+PD>AD（当且仅当A、P、。共线时取等号），从而计算出A。得到以+变尸C的最小值.

2

【详解】解：作8HLAC于H,取BC的中点。，连接PD,如图,

；AC为切线，

为。B的半径，

VZABC=90°,AB=CB=2,

:.AC=0BA=2近,

；.BH=gAC=④,

：.BP=y[2,

..PBy/2BD1近

'BP~sj2~2

而NPBD=NCBP,

:.△BPDsMCP,

.PD_PB

：.PD=JiPC,

2

：.PA+^±PC=PA+PD,

2

而心+尸。沙。（当且仅当A、P、。共线时取等号），

而小＞=后不=6，

，%+P。的最小值为

即以+[PC的最小值为右.

故答案为：5

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.解决问题的关键是利用相似比确定线

段PO=1pc.也考查了等腰直角三角形的性质.

2

8.如图，在RtVABC中，AB=AC=4,点E,尸分别是48,AC的中点，点P是扇形AEF的用上任意一

点，连接BP,CP,则［BP+CP的最小值是.

【答案］

【分析】在AB上取一点T,使得连接口叫CT.证明△尸Ai如‘推出篝=冬=?

推出PT=gP5,推出/P8+CP=C尸+PT,根据尸C+尸mTC,求出CT即可解决问题.

【详解】解：在A8上取一点T,使得AT=1,连接尸T,PA,CT.

*：PA=2.AT=1,AB=4,

・••唐2=4=ATMS

.PAAB

*'AT-PA?

'：APAT=ZPAB,

:.^PAT^^BAP,

,PT_API

••尸3—5，

：.PT=WPB,

：.^PB+CP=CP+PT,

'：PC+PT>TC,

在RjACT中，

'：ZCAT=9Q°,AT=1,AC=4,

CT=yjAT2+AC2=#7，

:.^PB+pc>Jr/,

1PB+PC的最小值为V17.

故答案为后.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关

系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键.

9.（2020•江苏南京•二模）如图，在△ABC中，ZACB=9Q°,BC=12,AC=9,以点C为圆心，6为半径的

圆上有一个动点。连接A。、BD、CD,则240+32。的最小值是.

【答案】12^0

2

【分析】如下图，在CA上取一点E,使得CE=4,先证ADCEsaACD,将转化为DE,从而求得

2

-AD+BD的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值.

【详解】如下图，在CA上取一点E,使得CE=4

CDAC

~CE~^D

ZECD=ZACD

△DCE^AACD

EDDC_6

AD-AC-9

2

ED二一AQ

3

在^EDB中，ED+DB>EB

.,.ED+DB最小为EB,即ED+DB=EB

：.-AD+DB=EB

3

在RtAECB中，EB=7122+42=4a

：.-AD+DB=4s/10

3

.•.2AD+3DB=12V10

故答案为：12^/10.

【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCEs/XACD.

10.如图，已知正方ABCD的边长为6,圆8的半径为3,点尸是圆B上的一个动点，则尸PC的最大

值为.

【答案】y

3

【分析】如图，连接在上取一点使得3M=5,进而证明43尸则在点尸运动的任

意时刻，均有尸M=gpc,从而将问题转化为求的最大值.连接PD,在APAM中，PD-PM<DM,

故当M、尸共线时，为最大值，勾股定理即可求得

3

【详解】如图，连接取，在2C上取一点M,使得.二,

AD

3

BP31

BM_2_1>

BC62

BMBP

\-ZPBM=ZCBP

LBPMsABCP

.MPBM\

,PC~BP~2

:.MP=-PC

2

:.PD--PC=PD-MD

2

在小PDM中，PD-PM<DM,

当。、M,P共线时，为最大值,

四边形MCD是正方形

NC=90°

在HtACDM中，DM=SC+MC?=卜+=y

故答案为：—■

【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造［PC是解题的关键.

11.如图，在边长为4的正方形ABC。内有一动点P,且8P=&.连接CP,将线段PC绕点尸逆时针旋

转90。得到线段尸。.连接CQ、DQ,则《QQ+CQ的最小值为

【答案】5

【分析】连接AC.AQ,先证明△BCPs△AC。得丝="即AQ=2,在AO上取AE=1,证明△QA£s^DAQ

BP2

得EQ=；QD,故g£)2+C2=E2+C9CE,求出CE即可.

【详解】解：如图，连接AC、AQ,

1/四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90。得到线段PQ,

：.NACB=NPCQ=45。，

：.ZBCP=ZACQ,cosZACB=—=—,cosZPCQ=—=—,

AC2QC2

・•・ZACB=ZPCO,

:.XBCPSXNCQ,

.AQ拒

••-

BP2

,:BP=6,

：.AQ=2,

，。在以A为圆心，A。为半径的圆上,

在A£>上取AE=1,

AE_1

~AQ~2

：./\QAE^/\DAQ,

嘲J即叫”，

•••^DQ+CQ=EQ+CQ>CE,

连接CE,

CE=ylDE、Clf=5,

•••1DQ+C。的最小值为5.

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键

在于能够连接AC、AQ,证明两对相似三角形求解.

12.(20-21九年级上•江苏宿迁・期末)问题提出：如图①，在R〃ABC中，ZC=90°,CB=4,G4=6,QC

的半径为2,尸为圆上一动点，连接AP、BP,求+的最小值.

2

图①图①备用图图②

(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP,在CB上取一点。，使CA1,

CDCP1PDCD11

贝!J==育又NPCD=ZBCP,所以△PCD^ABCP.所以====7.所以=所以

CrCn2orCr22

AP+^BP=AP+PD.请你完成余下的思考，并直接写出答案：4尸+38尸的最小值为二

(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求《AP+研的最小值；

(3)拓展延伸：如图②，已知在扇形CO。中，NCOD=90°,0C=6,(24=3,OB=5,P是CD上一点，求

2R4+PB的最小值.

【答案】(1)后

Q呼

(3)13

【分析】(1)利用勾股定理即可求得本题答案；

2CDCP11

(2)连接CP,在C4上取点£>,使CD=w，则有/3二二二不，可证APCDSAACP,得到=

即,AP+BP=BP+尸。，从而;AP+3P的最小值为2D；

33

(3)延长0A到点E,使CE=6,连接PE,。尸，可证^OAP^OPE,得到EP=2PA，得到2上4+PB=EP+PB,

当E,P,B三点共线时，得到最小值.

【详解】(1)解：如图连接AD,

VAP+-BP=AP+PD,要使4尸+工2尸最〃、，

22

...当AP+AD最小，当点AP,。在同一条直线时，AP+AD最小,

AP+：3尸的最小值为AD,

在吊2X40)中，CD=1,AC=6,

AD=y/AC2+CD2=屈'

A尸+：8尸的最小值为历，

故答案为：历；

2

(2)解：如图连接CP,在C4上取点。，使

.CDCP

…而一演—5'

,:ZPCD=ZACP,

：.APCDS^ACP,

：.PD=-AP

3f

：.-AP+BP=BP+PD,

3

[AP+BP的最小值为BD=JBC?+CD?=2y，

33

故答案为：零；

（3）解：如图延长Q4到点E,使CE=6,

OE=OC-^-CE=12f

连接尸EOP,

•・・Q4=3,OB=5,

.OAOP

''~OP~~OE~^'

ZAOP=ZAOPf

:•△OAPsQPE,

AP1

•・•—_―,

EP2

/.EP=2PA,

2PA+PB=EP+PB,

.•.当E,P,8三点共线时，取得最小值：BE=^OB2+OE2=13-

故答案为：13.

【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形判定及性质，最值得确定.

13.（九年级下•江苏盐城•阶段练习）如图1,抛物线>=加+（。+3户+3（4工0）与无轴交于点A（4,0）,与y

轴交于点8,在x轴上有一动点E（"40）（0<〃z<4）,过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于

点、P,过点P作于点

(1)求a的值和直线AB的函数表达式：

(2)设△PMN的周长为C-AAEN的周长为G，若m=5'求机的值.

(3)如图2,在(2)的条件下，将线段0E绕点。逆时针旋转得到OE',旋转角为a(0°<a<90°),连接

E'A.E'B,求+的最小值.

【答案】(1)。=-：3.直线AB解析式为产-；3x+3；

4-4

(2)2

⑶也

3

【分析】(1)令产0,求出抛物线与冗轴交点，列出方程即可求出〃，根据待定系数法可以确定直线A8解

析式；

PN6

(2)由APNMs^ANE,推出丁=—,列出方程即可解决问题；

AN5

42

(3)在y轴上取一点M使得0%=1,构造相似三角形，可以证明AM就是的最小值.

【详解】(1)令y=0,贝!J〃/+(〃+3)x+3=0,

(x+1)(ax+3)=0,

•一十3

a

•抛物线产"2+(。+3)x+3(存0)与x轴交于点A(4,0),

VA(4,0),B(0,3),

设直线A3解析式为广质+。，则，：；：b=0，

「b7-____3

解得，4,

b=3

3

・・・直线A3解析式为广qx+3；

9

\PM.LABfPE±OA,

：./PMN=/AEN,

,：NPNM=NANE,

:•丛PNMS^ANE,

..O

,G5

.PN_6

••=一,

AN5

■:NE//OB,

.AN_AE

••商一质’

AN=—(4-m),

4

3o

v抛物线解析式为y=-+：x+3,

44

3933

PN=——m2+—m+3-(——m+3)=——m2+3m,

4444

32；

——m+3m(

・_A___=9

*,55，

解得m=2或4,

经检验x=4是分式方程的增根,

m=2；

4

(3)如图2,在y轴上取一点的使得连接AM,在AM上取一点E使得OF=OE.

2

此时AE'+^BE'最小(两点间线段最短，A、M\E共线时)，

【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识,

2

解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM就是+的最小值.

14.已知ACDE与VABC有公共顶点C,ACDE为等边三角形，在VABC中，/B4c=120。.

⑴如图1,当点E与点8重合时，连接A。，已知四边形ABQC的面积为26，求AB+AC的值；

⑵如图2,AB=AC,A、E、。三点共线，连接AE、BE,取BE中点连接AM,求证：AD=2AM^

(3)如图3,AB=AC=4,CE=2,将ACDE以C为旋转中心旋转，取DE中点F,当8歹+走A歹的值最小

4

时，求tan/ABP的值.

【答案】(1)2后

(2)见解析

小136

45

【分析】(1)延长AC到T,使得CT=54连接DT,过点。做DN，AT于N,证明AABD^TCD(SAS),

得出ZM=DT,ZADB=NTDC,证明A/MT为等边三角形，设AN=TN=x,得出

SGAT=次.DN=必=26，求出x的值即可得出答案；

(2)延长54到〃使得=连接以7、CH,证明AACD丝AHCE(SAS),得出=证明40

为ABHE的中位线，得出“石=24欣=加，即可证明结论；

(3)连接CP,过点A作AG,3c于点G,以点C为圆心，CT为半径作圆，在AC上截取CM,

4

连接MF,证明AC™SAC4F,得出必.=空=走，即句0=立人尸，得出8尸+立人尸=8/+根，连

AFCF444

接与G)C交于一点，当点/在此点时，M+RVf最小，即3尸+且A/最小，过点M作肱V，3c于点N,

4

过点A作于点。，求出AQ,8。即可得出答案.

【详解】(1)解：延长AC到T,使得CT=B4连接DT,过点。做ONLAT于M如图所示：

•.,△CDE为等边三角形，ZB4c=120。，

DB=DC,NBDC=60°,

四边形ABAC中，/3DC+/OC4+/C4B+/ABD=360。,

ZABD+ZACD=ZDCT+ZACD=180°,

：.ZABD