2025年江苏中考数学压轴题分项汇编：费马点模型（原卷版+解析）

压轴专题10费马点模型

9技法全归纳

知识考点与解题策略

费马点概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点.A

结论：

1）对于一个各角不超过120。的三角形，费马点是对各边的张角都是120。的点；

2）对于有一个角超过120。的三角形，费马点就是这个内角的顶点.

（注意：通常涉及费马点的试题中三角形的最大顶角小于120°）

【解题思路】运用旋转的方法，以AABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短,

得出最短长度.

【扩展】与等腰三角形、等边三角形、直角三角形常见的费马点结论

如图所示，以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形，连接DC、EB,交点为点P,点P为费马点.

图形结论

等腰三角形A①NAPB=NBPC=NAPC=120°；

②4ABP与4ACP全等；

③4BCP为等腰三角形；

@AABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P

为费马点时和最小.

等边三角形①AP=BP=CP；

②/APB=NBPC=NAPC=120°；

③AABP、AACP>4BCP全等；

W④点P是垂心，是aABC各边的高线的交点；

⑤点P是4ABC各边的中线的交点；

⑥点P是内心，是在三角形三个内角的角平分线的

交点；

⑦4ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P

为费马点时和最小.

直角三角形①4ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P

为费马点时和最小；

②/APB=/BPC=NAPC=120°

二BC

【进阶】

加权费马点模型概述：前面学的PA+PB+PC最小值的费马点问题线段前面系数都是1,如果现在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系数不是1,那么此类题目就叫做“加权费马点”.

【模型拓展】

类型一单系数类

当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，

类型二多系数类

其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。

以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转

中心呢？我们总结了以下方法：

1.将最小系数提到括号外

2.中间大小的系数确定放缩比例;

3.最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不为1的两条线段所

在的三角形。

例：已知：在Rt^ABC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,aABC内部有一点P,连接PA,PB,PC

问题求解图形作法

求PA+PB+PC最D△CAP绕点C顺时针旋转60。得4CDE

小值盛BD长度即为所求，在RtABCD中有勾股定理可得

BD=>/BC2+CD2=V61

BC

求PA+PB+V2PC△CAP绕点C顺时针旋转90°得4CDE

最小值此时4PCE为等腰直角三角形，即PE=V2PC

因止匕原式=PA+PB+VIPC=ED+PB+PE,贝I）当B、P、E、

四点共线时取得最小值，BD长度即为所求，在RtZkBF

C

B66oV

3招••・・..../3中有勾股定理可得BD=VBF2+FA=回

-%.

求PA+PB+V3PCE△CAP绕点C顺时针旋转120°得4CDE

最小值此时4PCE为等腰三角形且NPCE=120°,即

PE=V3PC,因此原式=PA+PB+百PC=ED+PB+PE,贝屋

B3Q。、C

B、P、E、D四点共线时取得最小值，BD长度即为所寸

在RtABFD中有勾股定理可得BD=，BF2FD2=

r+

V60+30V3

思路：原式=2(PA+^PB+®PC)

22

1)将PC边绕点C旋转60°,然后过点P作PFLCE」

点F,贝ijPF=3PC;2)扣B利用三角形中位线来处理；3：

PA前的系数是1,不需要转化，所以旋转4PCB.

过程：ABCP绕点C顺时针旋转60°得ACDE,然后才

点P作PFLCE于点F,此时4PCE为等边三角形，跳

pF=V3pc过点F作FG〃DE,则FG=-PB,则当A、P

22

F、G四点共线时取得最小值，AG长度即为所求，在I

△ACG中有勾股定理可得AG=VCG+AC2=V345原式

=2(PA+-PB+^PC)=2734

过程：4ACP绕点C顺时针旋转60°得ACDE,然后i

点P作PFLCE于点F,此时4PCE为等边三角形，跳

PF=^PC,过点F作FG〃DE,贝I]FG=iAP,则当B、P

22

F、G四点共线时取得最小值，BG长度即为所求，在:F

△BCG中有勾股定理可得BG=VCG+AC2=7.5,原式=

(ipA+PB+^PC)=26

22

备注：若变形后的系数不是特殊值，则可借助位似的相关知识进行赢

可典题固基础

例题1(24-25九年级上•江苏盐城•阶段练习)探究题

(1)知识储备

①如图1,已知点尸为等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点.求证：PB+PC=PA.

②定义：在△ABC所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点尸为△ABC的费

马点，此时以+PB+PC的值为△A8C的费马距离.

(2)知识迁移

我们有如下探寻△ABC(其中NA，ZB,NC均小于120。)的费马点和费马距离的方法：如图2,在△ABC的

外部以8C为边长作等边△80及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段—的长度即为△ABC的费马距离.

(3)知识应用

①如图3所示的△ABC(其中均小于120。)，AB=3,BC=4,ZABC=30°,现取一点尸，使点

P到A民。三点的距离之和最小，求最小值；

②如图4,若三个村庄A3、C构成尺也ABC,其中AC=6km,BC=40km,NC=9O°.现选取一点尸打水井，

使P点到三个村庄A&C铺设的输水管总长度最小，画出点尸所对应的位置，输水管总长度的最小值为

.(直接写结果)

S新题型特加

1.如图，在VABC中，ZC4B=90°,AB=AC=1,P是VABC内一点，求B4+P3+PC的最小值为

2.如图，在放AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点P是AB边上一动点，作尸于点。，线段AO上

存在一点。，当Q4+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，贝UPD=

3.如图，在VABC中，ZACB=90°,44c=30。，AB=2.若点尸是VABC内一点，则上l+PB+PC的

最小值为•

P

CA

4.（24-25江苏泰州阶段练习）问题背景：如图，将AABC绕点A逆时针旋转60。得到AADE,DE与BC

交于点尸，可推出结论：PA+PC=PE

问题解决：如图，在AMNG中，MN=6,ZM=75°,MG=4也.点。是AMNG内一点，则点。到AAWG

三个顶点的距离和的最小值是

5.如图，四边形ABCD是菱形，A2=6,且/ABC=60。，M是菱形内任一点，连接AM,BM,CM,则

AM+BM+CM的最小值为.

6.（2025九年级下•全国・专题练习）在边长为4的正VABC中有一点P,连接24、PB、PC,求

（r-\2

-AP+BP+^PC的最小值.

22

7.在DABC。中，ZABC=45°,连接AC,已知A2=AC=应，点E在线段AC上，将线段DE绕点。顺

时针旋转90°为线段OF.

B

图1图2图3

(1)如图1,线段AC与线段8£)的交点和点E重合，连接E尸，求线段E尸的长度；

⑵如图2,点G为DC延长线上一点，使得GC=EC,连接FG交相>于点求证：亚AH=CD;

(3)如图3,在(2)的条件下，平面内一点P,当8尸+CP+VIB尸最小时，求的面积.

8.VABC中，48=60°.

图1图2图3

⑴如图1,若AC>3C,CO平分/ACS交A3于点且4。=6区).证明：ZA=30°；

(2)如图2,若AC<3C,取AC中点E,将CE绕点C逆时针旋转60。至CF,连接班'并延长至G,使3尸=尸6,

猜想线段A3、BC、CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3,若AC=3C,尸为平面内一点，将AAB尸沿直线AB翻折至AABQ,当3AQ+2BQ+JiiCQ取得

最小值时，直接写出焉的值.

9.如图，正方形ABCD的边长为4,点尸是正方形内部一点，求PA+2PB+若PC的最小值.

10.【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶•德・费马，提出一个问题：求作三角形

内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”.

如图，点尸是VABC内的一点，将绕点A逆时针旋转60。到AAP'C',则可以构造出等边△的',得

AP=PP,CP=CP,所以24+PB+PC的值转化为PP+PB+PC的值，当8,P,P',C四点共线时，

线段BC的长为所求的最小值，即点尸为VABC的“费马点”.

如图1,点尸是等边VABC内的一点，连接R4,PB,PC,将APAC绕点A逆时针旋转60。得到AAP'C'.

①若以=3,则点P与点P之间的距离是

②当%=3,PB=5,尸C=4时，求/APV的大小;

(2)如图2,点P是VA2C内的一点，且NA4c=90。，AB=6,AC=2。求+的最小值.

11.(八年级上・江苏苏州•期中)背景资料：在已知VABC所在平面上求一点P,使它到三角形的三个顶点

的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人

们称为“费马点如图1，当VABC三个内角均小于120。时，费马点尸在VABC内部，当

ZAPB=ZAPC=ZCPB=120°时,则PA+PB+PC取得最小值.

图1图2

(1)如图2,等边VABC内有一点P,若点尸到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求一AP3的度数，为

了解决本题，我们可以将AABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时AACP/△的这样就可以利用旋转变换，

将三条线段以、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出44PB=；

知识生成：怎样找三个内角均小于120。的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三

角形并连接等边三角形的顶点与VABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点.请同学们探索以下

问题.

⑵如图3,VABC三个内角均小于120。，在VA2C外侧作等边三角形△ABE,连接CE,求证：CB'过VABC

的费马点.

(3)如图4,在RTAABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,点尸为VABC的费马点，连接AP、BP、CP,

求上4+PB+PC的值.

(4)如图5,在正方形A58中，点E为内部任意一点，连接AE、BE、CE,且边长AB=2；^AE+BE+CE

的最小值.

12.【问题提出】

(1)如图1,四边形ABC。是正方形，是等边三角形，/为对角线3。(不含8点)上任意一点，将

绕点B逆时针旋转60。得到3N,连接EN、AM,CM.若连接跖V,则ABMN的形状是.

(2)如图2,在R/AABC中，ZBAC=90°,AB+AC=10,求3C的最小值.

【问题解决】

(3)如图3,某高新技术开发区有一个平行四边形的公园ABC。，AB+8c=6千米，ZABC=60°,公园内

有一个儿童游乐场E,分别从48、C向游乐场E修三条求三条路的长度和(即AE+BE+CE)

最小时，平行四边形公园A38的面积.

13.如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为(0,2),点。在x轴的正半轴上，=30°,OE

为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线y=o?+3x+c与x轴相交于A、下两点(A在歹的左侧).

6

(2)等边△QMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；

(3)点、P为AABO内的一个动点，设加=PA+P3+PO,请直接写出，"的最小值，以及加取得最小值时，

线段AP的长.

14.【阅读材料：】如图①，AABC中，各个内角均小于120。，在AABC内找一点。，使

ZAOB=ZAOC=Z.COB=120°,止匕时；Q4+O3+OC最小；这个点。称为AABC的费马点，OA+OB+OC

的值称为“1BC的费马距离；(费马，17世纪法国数学家)

【费马点的求作及原理：】如图②，在AABC的外侧作等边AABD、等边AACE,连接CD、3E交于点O,

这个交点。就是AABC的费马点；

作图原理：小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明：

小明的部分证明思路：第一步，先证明右仞。丝448£,...进而得出/。。8=120。，第二

步，连接。4,并在线段。。上取一点。，使NOAQ=60。；…进而得出/4。8=120。

第一步：;

第二步：.

【费马距离的计算：】连接Q4.

(1)证明：OA+OB+OC=CD-,

(2)当钻=4,8。=5,48。=60。时，求&4BC的费马距离.

15.1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,求

平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该

点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，

②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角

形的某个顶点）

当VABC的三个内角均小于120°时，

如图1,将绕，点C顺时针旋转60。得到AA'PC,连接尸P,

由尸C=PC,ZPCP'=60°,可知APCP为①三角形,故=又=故

PA+PB+PC=PA+PB+PP>AB,

由②可知,当P,P',A在同一条直线上时，R4+PB+PC取最小值，如图2,最小值为43,此时

的尸点为该三角形的“费马点”，5.^"ZAPC=ZBPC=ZAPB=@；

已知当VA2C有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若/B4C2120。，

则该三角形的“费马点”为⑷点.

（2汝口图4,在VABC中，三个内角均小于120。，且AC=3,BC=4,ZACB=30°,已知点尸为VA3C的“费

马点”，求上4+尸3+尸（7的值；

（3）如图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km,8C=2百km,ZACB=60°.现欲

建一中转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为a

元/km,。元/km,元/km,选取合适的尸的位置，可以使总的铺设成本最低为元.（结果

用含a的式子表示）

16.（八年级上•江苏南京•阶段练习）背景资料：在已知VABC所在平面上求一点尸，使它到三角形的三个

顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的

点被人们称为“费马点如图1,当VABC三个内角均小于120。时，费马点P在VABC内部，当

ZAPB=ZAPC=ZCPB=120。时，贝！I+尸3+PC取得最小值.

(1)如图2,等边VABC内有一点P,若点尸到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求一AP3的度数，为

了解决本题,我们可以将“PB绕顶点A旋转到△ACT处，此时△ACP'四△APB这样就可以利用旋转变换，

将三条线段出、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出/4P3=.知识生成：怎样找三个内角

均小于120。的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶

点与VABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点，请同学们探索以下问题.

⑵如图3,VABC三个内角均小于120。，在VABC外侧作等边三角形AAB?,连接CE,求证：CB,xtNABC

的费马点.

(3)如图4,在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=l,/ABC=30。，点P为VA2C的费马点，连接AP、BP、CP,

求上4+PB+PC的值.

17.(22-23八年级下•江苏扬州•阶段练习)背景资料：在已知VABC所在平面上求一点P,使它到三角形

的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的,

所求的点被人们称为“费马点如图1,当VABC三个内角均小于120。时，费马点尸在VABC内部，当

ZAPB=ZAPC=ZCPB=120。时，贝!J上4+尸3+PC取得最小值.

(1)如图2,等边VA3C内有一点P,若点尸到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求一AP3的度数.为

了解决本题，我们可以将△APB绕顶点A逆时针旋转60。到△ACP处，这样就可以将三条线段R4、PB、PC

转化到一个三角形中，从而求出ZAPB=_。.

(2)请利用第(1)题解答的思想方法，解答下面的问题：

①如图3,VABC中，AB=AC,E、尸为BC边上的点，且44F=45。，判断BE、EF、之间的数量关

系并注明；

②如图4,在VA3C中，ZABC=30°,AB=2,BC=3,在VABC内部有一点P,连接上4、PB、PC,求

B4+PB+PC的最小值.

18.若一个三角形的最大内角小于120。，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120。，此时该点叫

做这个三角形的费马点.如图1,当△ABC三个内角均小于120。时，费马点尸在AABC内部，此时

ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°,上4+尸3+PC的值最小.

⑴如图2,等边三角形ABC内有一点P,若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,求NAP3的度数.为

了解决本题，小林利用“转化”思想，将△A8P绕顶点A旋转到△ACP处，连接尸P,此时AAW/AAB尸，

这样就可以通过旋转变换，将三条线段抬，PB,PC转化到一个三角形中，从而求出Z4PB=.

(2)如图3,在图1的基础上延长3P,在射线8尸上取点E,连接AE,AD.^AD=AP,ZDAE=ZPAC,

求证：BE^PA+PB+PC.

⑶如图4,在直角三角形ABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,钻=1,点尸为直角三角形ABC的费马点，

连接AP,BP,CP,请直接写出R4+PB+PC的值.

压轴专题10费马点模型

技法全归纳

知识考点与解题策略

费马点概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点.A

结论：

1）对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120。的点；

DC

2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点.

（注意：通常涉及费马点的试题中三角形的最大顶角小于120。）

【解题思路】运用旋转的方法，以AABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短,

得出最短长度.

【扩展】与等腰三角形、等边三角形、直角三角形常见的费马点结论

如图所示，以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形，连接DC、EB,交点为点P,点P为费马点.

图形结论

等腰三角形A①NAPB=NBPC=NAPC=120°；

②/\ABP与4ACP全等；

③4BCP为等腰三角形；

@AABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P

为费马点时和最小.

等边三角形①AP=BP=CP；

②NAPB=NBPC=NAPC=120°；

③AABP、AACP>4BCP全等；

④点P是垂心，是AABC各边的高线的交点；

⑤点P是4ABC各边的中线的交点；

⑥点P是内心,是在三角形三个内角的角平分线的

交点；

⑦4ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P

为费马点时和最小.

直角三角形A______E①4ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P

y

为费马点时和最小；

®ZAPB=ZBPC=ZAPC=120°

BC

【进阶】

加权费马点模型概述：前面学的PA+PB+PC最小值的费马点问题线段前面系数都是1,如果现在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系数不是1,那么此类题目就叫做“加权费马点”.

【模型拓展】

类型一单系数类

当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，

类型二多系数类

其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。

以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转

中心呢？我们总结了以下方法：

1.将最小系数提到括号外；

2.中间大小的系数确定放缩比例；

3.最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不为1的两条线段所

在的三角形。

例：已知：在RtaABC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,△ABC内部有一点P,连接PA,PB,PC

问题求解图形作法

求PA+PB+PC最D△CAP绕点C顺时针旋转60°得4CDE

底

小值BD长度即为所求，在RtABCD中有勾股定理可得

BD=VBC2+CD2=V61

BC

求PA+PB+V2PC△CAP绕点C顺时针旋转90°得4CDE

y

最小值此时4PCE为等腰直角三角形，即PE=V2PC

因止匕原式=PA+PB+VIPC=ED+PB+PE,则当B、P、E、

四点共线时取得最小值，BD长度即为所求，在Rt^BF

B66O¥C

3弋多••・・・...八/3中有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=V91

/-F-

求PA+PB+V3PCE△CAP绕点C顺时针旋转120°得4CDE

最小值此时4PCE为等腰三角形且NPCE=120°,即

PE=V3PC,因此原式=PA+PB+百PC=ED+PB+PE,则匚

B3。沔幻

B、P、E、D四点共线时取得最小值，BD长度即为所可

在RtABFD中有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=

V60+30V3

思路：原式=2(PA+^PB+®PC)

22

1)将PC边绕点C旋转60°,然后过点P作PFLCE」

点F,贝ijPF=3PC;2)扣B利用三角形中位线来处理；3：

PA前的系数是1,不需要转化，所以旋转4PCB.

过程：ABCP绕点C顺时针旋转60°得ACDE,然后才

点P作PFLCE于点F,此时4PCE为等边三角形，跳

pF=V3pc过点F作FG〃DE,则FG=-PB,则当A、P

22

F、G四点共线时取得最小值，AG长度即为所求，在I

△ACG中有勾股定理可得AG=VCG+AC2=V345原式

=2(PA+-PB+^PC)=2734

过程：4ACP绕点C顺时针旋转60°得ACDE,然后i

点P作PFLCE于点F,此时4PCE为等边三角形，跳

PF=^PC,过点F作FG〃DE,贝I]FG=iAP,则当B、P

22

F、G四点共线时取得最小值，BG长度即为所求，在:F

△BCG中有勾股定理可得BG=VCG+AC2=7.5,原式=

(ipA+PB+^PC)=26

22

备注：若变形后的系数不是特殊值，则可借助位似的相关知识进行赢

可典题固基础

例题1(24-25九年级上•江苏盐城•阶段练习)探究题

(1)知识储备

①如图1,已知点尸为等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点.求证：PB+PC=PA.

②定义：在△ABC所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点尸为△ABC的费

马点，此时以+PB+PC的值为△A8C的费马距离.

（2）知识迁移

我们有如下探寻△ABC（其中NA，ZB,NC均小于120。）的费马点和费马距离的方法：如图2,在△ABC的

外部以8C为边长作等边△80及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段—的长度即为△ABC的费马距离.

（3）知识应用

①如图3所示的△ABC（其中均小于120。），AB=3,BC=4,ZABC=30°,现取一点尸，使点

P到A民。三点的距离之和最小，求最小值；

②如图4,若三个村庄A3、C构成尺也ABC,其中AC=6km,BC=40km,NC=9O°.现选取一点尸打水井，

使P点到三个村庄A&C铺设的输水管总长度最小，画出点尸所对应的位置，输水管总长度的最小值为

.（直接写结果）

【答案】（1）证明见解析；

（2）AD

（3）5,2739.

【分析】（1）在以上截取PD=PC,可证明△ACZ）多△BCP,则从而得出B4=PB+PC；

（2）利用（1）中结论得出B4+PB+PC=R1+（尸B+PC）=B4+P。，再根据“两点之间线段最短”可得答案；

（3）①在（2）的基础上先画出图形，再利用勾股定理求解；

②仿照①的方法可画出P的位置，利用勾股定理可求出输水管总长度的最小值，

【详解】（1）解：①证明：在抬上截取PD=PC,连接CD,

\"AB=AC=BC,

所以AB=AC=BC，

ZAPB=ZAPC=60°,

...△PC。为等边三角形，

/.ZPCD=ZACB=60°,CP=CD,

：.NPCD-Z.DCM=AACB-NDCM,即ZACD=/BCP,

在△AC。和ABCP中,

AC=BC

ZACD=NBCP

CP=CD

：.△AC。丝ABCP(SAS),

：.AD=PB,

'：PA=AD+DP,DP=PC,

：.Ri=PB+PC；

(2)如图2,根据(1)的结论得：PA+PB+PC=PA+^PB+PC)=PA+PD,

.•.当A、尸、。共线时，以+PB+PC的值最小，

二线段A。的长度即为△ABC的费马距离，

故答案为：AD-

D

图2

(3)①如图，以8C为边长在AABC的外部作等边△8C。，连接AZ),则线段AO的长即为最短距离,

•.•△BCO为等边三角形，BC=4,

ZCBD=60°,BD=BC=4,

'：ZABC=30°,

：.ZABD=90°,

在RtXABD中,

VAB=3,BD=4,

AD=ylAB2+BD2=A/32+42=5；

②以BC为边,在BC下方作等边△BCK,设等边△BCK外接圆为。O,连接AK交。。于P,则由①知此时

E4+P2+PC最短，且最短距离等于AK的长度，过K作K7UAC交AC延长线于T,如图:

•.•△3CK是等边三角形,

/.ZBCK=60°,CK=BC=46，

'：ZCAB=90°,

...ZTCK=30°,

在C7X中，

TK=、CK=、4乖>=2瓜CT=®K=舟2拒=6,

22

/.AT=AC+CT=6+6=12,

在RfAAKT中，

AK=>JAT2+TK2=J122+(2⑹2=2A/39,

故答案为：2回.

【点睛】本题考查圆的综合应用，也是阅读理解型问题，主要考查了新定义：三角形费马点和费马距离,

还考查了等边三角形的性质、三角形全等、勾股定理等知识，难度很大，理解新定义是本题的关键.

s新题型特3

1.如图，在VABC中，NC4B=90。，AB=AC=1,P是VA2C内一点，求上4+尸3+PC的最小值为

2

【分析】将小APC绕点C顺时针旋转60°得小DFC,可得PC=PF,DF=AP,^PA+PB+PC转化为

FD+BP+PF,此时当8、P、F、。四点共线时，B4+P3+PC的值最小，最小值为8。的长；根据勾股

定理求解即可.

【详解】解：将△APC绕点C顺时针旋转60。得△。尸C,连接PF、AD,DB,过点。作。ELBA,交B4的

延长线于点E-

：.AP=DF,ZPCF=ZACD^60°,PC=FC,AC=CD,

：./\PCF,△AC。是等边三角形，

:.PC=PF,AD=AC=l,/D4C=60°

PA+PB+PC=FD+BP+PF,

...当2、P、F、。四点共线时，R4+PB+PC的值最小，最小值为的长;

VZCAB=90°,ZCAD=60°,

：.ZEAD=30°,

DE=—AD=—,

22

AE=VAD2-£D2=—,

2

/.B£=l+—,

2

BD=y/BE2+DE2="+3,

2

PA+PB+PC的值最小值为8.

故答案为：

【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将△APC绕点C顺时针旋转60。得小DFC,将三条线段的长

转化到一条直线上.

2.如图，在放AABC中，ZBAC=90°,AB^AC,点P是A8边上一动点，作尸。_LBC于点。，线段4。上

存在一点。，当QA+Q8+QC的值取得最小值，且4。=2时，贝!]P£)=.

A

【答案】3+也

【分析】如图1,将ABQC绕点B顺时针旋转60。得到△8M0,连接。N,当点A,点。，点N,点M共线时,

Q4+QB+QC值最小，此时，如图2,连接MC,证明AM垂直平分BC,证明AO=B。，此时尸与O重合，

设则。Q=x-2,构建方程求出x可得结论.

【详解】解：如图1,将仆BQC绕点B顺时针旋转60。得到△BNM,连接QN,

：.BQ=BN,QC=NM,ZQBN=60°,

...△BQN是等边三角形，

：.BQ=QN,

：.QA+QB+QC=AQ+QN+MN,

当点A,点。，点N,点M共线时，Q4+QB+QC值最小,

此时，如图2,连接MC

A(P)

图2

:将△8QC绕点B顺时针旋转60。得到△BNM,

：.BQ=BN,BC=BM,ZQBN=60°^ZCBM,

...△BQV是等边三角形，ACBM是等边三角形，

:./BQN=/BNQ=60。,BM=CM,

；BM=CM,AB=AC,

AM垂直平分BC,

'：AD±BC,ZBQD=60°,

BD=6QD,

\"AB=AC,ZBAC=90°,ADYBC,

：.AD=BD,此时尸与。重合，设贝ljDQ=x-2,

.'.x=tan60°x(%-2)=A/3(X-2),

•»x=3+y/3，

:.PD=3+B

故答案为：3+6-

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是

正确运用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题.

3.如图，在VABC