2025年江苏中考数学压轴题汇编：二次函数（角度问题）原卷版+解析

压轴专题05二次函数（角度问题）

背；技法全归纳

知识考点与解题策略

【解题思路】

二次函数与角有关问题包括等角、倍角、特殊角以及三角函数问题.

倍角问题，往往将其转化成等角问题.

对于等角问题，一般有以下解决路径：

（1）将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决；

⑵用等角的三角比相等，构造直角三角形，寻找比例关系；

⑶利用角的和差关系，寻找等角，而等角存在两个相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例线段构建

数量关系；

（4）利用角平分线的相关性质定理.

勤典题固基础

例题1（24-25江苏扬州•一模）在平面直角坐标系中，抛物线-2x-3与x轴交于点A和点8,与y轴

交于点C,顶点为O.

⑴请直接写出A、B、。三点坐标.

⑵如图1,点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线2C于点N,求线段长

度的最大值；

⑶如图2,若点尸在抛物线上且满足/PCB=NCBD,求点尸的坐标；

例题2如图1,在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线/=-x2+bx+c的顶点坐标为C（-3,4）,

与X轴分别交于点A,B.连接AC,点。是线段AC上方抛物线上的一动点.

(1)求抛物线的解析式；

⑵如图1,在点。运动过程中，连接AD、CD,求△ADC面积的最大值；

⑶如图2,在点。运动过程中，连接OD交AC于点E,点尸在线段。4上，连接OC、DF、EF,若

ZACO=AFDO+ZDFE,求点F横坐标的最大值.

例题3综合与探究

如图，抛物线尸加+bx-3(aW0)与x轴交于A(-l,0)、8两点，与y轴交于点C,点。,立曰在抛物线上，

点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作尸。〃y轴交直线5。于点。，连接24、PB、QA,设点

P的横坐标为m.

(1)求抛物线的函数表达式；

⑵求四边形PAQ3面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)若点M是抛物线上任意一点，是否存在点使得NMNLB=2NACO,若存在，请直接写出所有符合条

件的点M的坐标，若不存在，请说明理由.

新题型特训

1.（24-25九年级上•江苏苏州•期中）如图，二次函数》=-无2+2〃IX+2M+1（机是常数，且加＞0）的图象

与x轴交于A,B两点（点A在点2的左侧）,与y轴交于点C,顶点为D其对称轴与线段BC交于点E,

与x轴交于点凡连接AC.若ZBEF=2ZACO,则机的值为（）

2.（24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习）如图，二次函数y=-》2+2〃a+2”?+1（根是常数，且加＞0）的

图象与x轴交于A,8两点（点A在点8的左侧），与y轴交于点C,顶点为。.其对称轴与线段BC交于

点E,与x轴交于点E连接AC若ZBEF=2ZACO,则根的值为.

3.（24-25九年级上•江苏扬州•期末）如图，抛物线y-Y+bx+c经过A（4,0）,C（-l,0）两点，与y轴交

于点8,P为第一象限抛物线上的动点，连接48、BC、PA.PC,尸C与AB相交于点Q.

（1）求抛物线的解析式；

⑵设△APQ的面积为'，△BCQ的面积为S2,当51-邑=5时，求点尸的坐标;

（3）抛物线上存在点P,满足NB4B+NCBO=45。，则点P的坐标为.

4.(24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a(x-l)(x-4)(a>0)

与x轴交于A、B两点，与>轴交于点C,若满足OC?=0405.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)连接AC、BC,

①求证：ZACO=ZCBA；

②在抛物线上找一点E,使得NEAC=2NCBA,请求出点E的坐标.

5、如图，已知抛物线y=法+c经过点A(-6,0),3(2,0),与y轴交于点C

(1)求抛物线的解析式；

⑵若点尸为该抛物线上一动点.

①当点尸在直线AC下方时，过点尸作尸石x轴，交直线AC于点E,作尸尸〃y轴.交直线AC于点R求

跖的最大值；

②若ZPCB=3/OCB,求点P的横坐标.

6.如图，直线y=-x+3与X轴、y轴分别交于8、C两点，抛物线y=-炉+6x+c经过点2、C,与x轴另

一交点为A,顶点为D

(1)求抛物线的解析式；

⑵在x轴上找一点E,使EC+EO的值最小，求出此时点E的坐标，并求EC+即的最小值；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得NAPB=NOCB?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明

理由.

7.(24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习)如图1,二次函数的图象经过A(TO)和5(4,0)，交y轴于点C(0,2),

连接3c.点。为第一象限抛物线上一动点，过点。分别作x轴和y轴的垂线，交于点E和点?

(2)求面积的最大值及此时点D的坐标：

(3)当DEF面积最大时，在抛物线上是否存在一点使请直接写出点M的坐标；若

不存在，请说明理由.

24

8.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=+2的图象与无轴交于A,2两点(点A在点2

的左侧).与y轴交于点C,连接BC.

(1)求A、B、C三点的坐标；

⑵若点尸是x轴上一点，当3cp为等腰三角形时，求点P的坐标；

(3)点。是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点。使NQCB=ZABC?若存在，请求出点。的坐标；

若不存在，请说明理由.

9.如图，二次函数y=G?一6膜+4(°是常数，且。片0)的图象与x轴相交于点A、B(点A在点B的左

侧)，与y轴相交于点C,S.OC=2OA,连接AC.

⑴填空：«=,3的坐标为；

(2)如图1,点。为抛物线上一点，且在B,C两点之间运动，连接AO与BC相交于点E,连接AC,BD,

当S△曲-S.c的值最大时，求直线80的表达式；

(3)如图2,动点尸在抛物线的对称轴上，连接BC、PA.PC,若NAPC=2NABC,请求出点尸的坐标.

10.（24-25・江苏扬州•二模）如图，二次函数的图象与X轴交于A（TO）,B（5,o）两点，与y轴交于点C（0,5）,

顶点为。.O为坐标原点.

⑴求二次函数的表达式；

⑵求四边形ACDB的面积；

（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若NACO=NP3C,则尸点的坐标为.

11.（24-25•江苏淮安•一模）如图①，二次函数＞=-/+法+4的图象与直线/交于A（T,2）、8（3,〃）两点.点

P是x轴上的一个动点，过点尸作x轴的垂线交直线/于点交该二次函数的图象于点N,设点P的横坐

标为加.

⑵若点N在点M的上方，且肱V=4,求机的值；

⑶将直线45向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）.

①记NBC的面积为S-N4C的面积为S2,是否存在加，使得点N在直线AC的上方，且满足S尸gs”

若存在，求出机及相应的5、S?的值；若不存在，请说明理由.

②当机＞-1时，将线段绕点M顺时针旋转90。得到线段MF,连接用、FC、OA,若

ZFBA+ZAOD-ZBFC=45°,直接写出点F的坐标.

12.（2024•江苏宿迁•三模）已知，如图，直线y=-2x+利与x轴、y轴相交于点A、点C,点A的坐标为

(-2,0),点8的坐标为(3,0),抛物线>="2+施+,经过点4B、C.

(2)延长C4至点D,作NZMB、NACB的平分线，两条角平分线相交于点G,求tanNG的值；

(3)在(2)的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得N3PC=NG,若存在，求出点尸的坐标,

若不存在，请说明理由.

13.(2024・江苏无锡二模)如图，已知二次函数)=加-5依+44>0)的图象与x轴交于&、B(A在8左

3

侧)，与y轴交于C,在函数图象上取一点〃，点。和点C的纵坐标相同，CD=AC,twZOAC=~.

⑴求二次函数的表达式；

⑵在x轴上取点M(m,0),若二次函数图象上存在一点N,使得N/W7+NACO=90。，且满足条件的点

N有且只有3个，请求出机的值.

14.如图，抛物线>=江+法-3经过A(-l,0),3(3,0)两点，与y轴交于点C,尸为第四象限内抛物线上

一个动点，过点P作/轴于点连接AC,AP,AP与y轴交于点D

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)求四边形。MB尸面积的最大值；

(3)当=4c时，求直线AP的函数表达式及点P的坐标.

15.(2024・江苏无锡・一模)如图1,在平面直角坐标系中，直线y=+若与x轴，y轴交于点A,B,二

次函数的图象G经过点4点2,与无轴交于点C(3,0).

⑴求二次函数的表达式；

⑵如图2,点尸在第一象限内二次函数图象上，分别过点P作直线轴的垂线，垂足是E,F,当PE+PF

取得最大值时，求点尸的坐标；

⑶如图3,将二次函数的图象G沿射线CB的方向平移，平移后的二次函数图象G'恰好经过点8,点。为

图象G'上一点，直线CQ与直线A3相交于点ABAC=ZAMC+ZBCA,求点。的横坐标.

16.(2025九年级下•江苏•专题练习)如图在平面直角坐标系中，一次函数y=；x-2的图象与无轴交于点3,

与y轴交于点C,二次函数y=g/+6x+c的图象经过B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A,动点。在

直线BC下方的二次函数图象上.

⑴求二次函数的表达式；

(2)如图2,过点。作OMLBC于点是否存在点O,使得VCDM中的某个角恰好等于—ABC的2倍?

若存在，直接写出点。的横坐标；若不存在，请说明理由.

17.(2024.江苏无锡.一模)在平面直角坐标系中，二次函数)=侬2+加彳-6加的图象与无轴交于A、B(A

在B左侧)，与y轴交于C,一次函数y=2x+〃的图象经过A、C两点.

(1)分别求出加、〃的值；

(2)在二次函数图象上是否存在点P,且尸满足NPOC+/3co=45。？若存在，请求出点尸的坐标；若不存

在，请说明理由.

18.(24-25九年级下•江苏连云港•阶段练习)如图，二次函数丁=/+/+。的图象与x轴交于A,3两点,

与y轴交于C点，其中8(1,0),c(o,3).

⑴求这个二次函数的表达式；

⑵点P是二次函数图像上X轴下方的一个动点，过点尸作尸。〃丁轴交直线AC于点Q,连接CP,将.PCQ

沿PC折叠，当。的对应点。'恰好落在y轴上时，请求出点。的坐标；

⑶在二次函数的图象上，是否存在点使得NM4c=NOCB?若存在，请求出M点坐标；若不存在，请

说明理由.

19.（2025・江苏盐城•模拟预测）如图，四边形Q4BC是矩形，点A的坐标为（6,0）,点C的坐标为（0,3）,

点P从点C出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点。出发，同时点。从点0出发，沿以每秒2个单

位长度的速度向点A运动，当点尸与点。重合时运动停止.设运动时间为/秒.

⑵当△尸。。与-8QA相似时，求f的值；

⑶当t=l时，抛物线y=+公+c经过尸，Q两点，与x轴交于另一点抛物线的顶点为N,问该抛物

线上是否存在点。，使=若存在，求出所有满足条件的。的坐标；若不存在，说明理由.

压轴专题05二次函数（角度问题）

司技法全归纳

知识考点与解题策略

【解题思路】

二次函数与角有关问题包括等角、倍角、特殊角以及三角函数问题.

倍角问题，往往将其转化成等角问题.

对于等角问题，一般有以下解决路径：

（1）将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决；

⑵用等角的三角比相等，构造直角三角形，寻找比例关系；

⑶利用角的和差关系，寻找等角，而等角存在两个相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例线段构建

数量关系；

（4）利用角平分线的相关性质定理.

1

典题固基础

例题1（24-25江苏扬州•一模）在平面直角坐标系中，抛物线y=Y-2x-3与x轴交于点A和点3,与y轴

交于点C,顶点为。.

⑴请直接写出A、B、。三点坐标.

⑵如图1,点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线8c于点N,求线段长

度的最大值；

⑶如图2,若点尸在抛物线上且满足NPCB=NCBD,求点尸的坐标;

【答案】（1）点A的坐标为（T,。），点B的坐标为（3,0）,点。的坐标为（1,T）

瑶

⑶（4,5）或g，-：］

【分析】（1）由抛物线产--2尤-3,分别令y=0,x=0,则可确定抛物线与坐标轴的交点坐标，根据顶

点坐标可确定点D的坐标；

（2）设"石，光轴于点设"（m,苏-2m-3）,确定直线的解析式为y=%-3,得到N（m,m-3）,继

而得到MN=（*3）-（苏一2*3）=-，-£［+；，根据二次函数的最值可得结论；

（3）确定直线以）的解析式为V=2x-6,然后分两种情况进行讨论即可.

【详解】（1）解：：抛物线-2彳-3与x轴交于点A和点8,与V轴交于点C,

当y=0时，得彳2_2%-3=0,解得：》=一1或x=3,

当x=0时，得、=一3,

/.A(-l,0),3(3,0),C(0,-3),

:抛物线y=d-2x-3的顶点为£),

。［一2，即

，点A的坐标为点B的坐标为（3,0）,点D的坐标为（1,-4）；

（2）设轴于点E,设-2机-3）,

设直线2C的解析式为与c,过点3（3,0），C（0,-3）,

[?)kBC+bBC=0

[%c=-3

&BC=1

解得:

bBC=一3

直线8C的解析式为，=x-3,

:过点M作x轴的垂线，交直线于点N,

2

zn-|9

AAW=(m-3)-(m2-2m—3)=-m2+3m=-+—，

4

V-l<0,

39

当加时,线段MN的长度取得最大值,此时最大值为了；

图1

(3)设直线的解析式为＞=凝/+%。，过点以3,0),D(l,-4),

=

3kBD+^BD。

^BD+^BD=-4

解得:

•••直线BD的解析式为y=2x-6,

①如图,

NPCB=NCBD,

：.PC//BD,

设直线尸C的解析式为y=2x+%c，过点c(o,-3),

••・"hpc-=-3”,

・•・直线PC的解析式为y=2x-3,

y=2x-3

联立

y=-lx-3

x一=Q或「Ix=4

解得:

此时点尸的坐标为(4,5)；

②如图，设CP交3。于点G,作射线OG交BC于点尸,

'ZPCB=ZCBD,

.GC=GB,

.8(3,0),C(0,-3),

.OC=OB=3,

.OG垂直平分2C,

.点厂是8C的中点,

’.点尸的坐标是

33

•=-—

••2OG2'

・k

,•~OG

直线OG的解析式为y=,

:直线OG：y=-x与直线8。：y=2x-6交于点G,

y=—x

联立

y=2x-6'

jx=2

解得:b=-2'

0(2,-2),

设直线CG的解析式为＞=QG尤+%G，过点C（0,-3）,G（2,-2）,

1%G=-3

"嚷+bcG=-2

•••解得：rCG=2,

，直线CG的解析式为y=；x-3,

联立卜”，

y=/-2x-3

（5

【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的最值，待定系数法确定

函数解析式，平行线的判定，二次函数与一次函数的交点，等角对等边，中点坐标，垂直平分线的判定和

性质等知识点.掌握二次函数的性质、确定二次函数与一次函数交点坐标的方法是解题的关键.

例题2如图1,在平面直角坐标系xOy中，0为坐标原点，已知抛物线y'=-x2+bx+c的顶点坐标为C（-3,4）,

与x轴分别交于点A,B.连接AC,点。是线段AC上方抛物线上的一动点.

图I图2

(1)求抛物线的解析式；

(2汝口图1,在点。运动过程中，连接AD、CD,求△ADC面积的最大值；

(3)如图2,在点。运动过程中，连接OD交AC于点E,点F在线段Q4上，连接OC、DF、EF,若

ZACO=AFDO+ZDFE,求点/横坐标的最大值.

【答案】⑴丫'=一/一6尤一5

(2)1

⑶Y

【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合：

(1)把抛物线设为顶点式即可得到答案；

(2)先求出A(-5,0),3(-1,0),进而求出直线AC解析式为y=2x+10；如图所示，过点。作。E〃y轴，

交AC于E,设。，“，-//-6〃?-5),则E(MI>2MI+10),可得Z)E=-(m+4了+1；进而得到

S.ADC=SADE+S,c»E=-(-7+4)+1,据此可得答案；

(3)利用勾股定理得到。4=5,OC=5,AC=2也，则。4=OC,可得NO4c=/OC4,利用三角形外角

ApAp

的性质证明NCOE=NA£F,进而证明△AEFS^COE,得到=,设A£=〃?，则CE=2逐-%

CEOC

可得A尸=-g(加-有『+1,则当根=百时，AF有最大值，最大值为1,即点尸的横坐标的最大值为-5+1=T.

【详解】(1)解：：抛物线，=*+版+。的顶点坐标为。(-3,4),

抛物线解析式为V=-(1+3)2+4=-x2-6x-5；

(2)解：在V=—%2一6%—5中，当歹=一元2一6元—5=0时，解得％=—1或无=一5,

AA(-5,0),5(-1,0)；

f

设直线AC解析式为＞=kx+b9

.\-3k+br=4

・・1_5左+加=0，

・p=2

・,3=10，

・・・直线AC解析式为y=2x+10；

如图所示，过点。作。£〃y轴，交AC于E,

设£）（相,一加一6机一5）,则E（m,2m+10）,

DE=—m2—6m—5—（2m+10）=—m2—8m—15=—（m+4）2+1；

•,^AADC=^/\ADE+SMDE

=DE

=-（m+4）2+1,

V-l<0,

・・・当相=T时，有最大值，最大值为1；

（3）解：・・・A（—5,0）,C（-3,4）,

AOA=5,OC=^（-3-0）2+（4-0）2=5,AC=^［（-5）-（-3）］2+（0-4）2=275,

：.OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

9：ZACO=ZFDO+ZDFE,ZOEF=ZFDO+ZDFE,

ZACO=NOEF,

:ZAEO=ZAEF+ZOEF=ZACO+ZCOE,

:.NCOE=/AEF,

：.AAEF^ACOE,

.AF_AE

"~CE~'OC'

设=则CE=2&-m,

•___A_F_____m_

2^/5-m5

m2+m

.­.AF=-^=-^m-^+l,

当〃?=君时，AF有最大值,最大值为1,

点P的横坐标的最大值为-5+l=T.

例题3综合与探究

如图，抛物线尸加+bx-3(aW0)与x轴交于A(TO)、3两点，与y轴交于点C,点。,工3在抛物线上，

点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作尸。〃y轴交直线3。于点。连接上4、PB、QA,设点

P的横坐标为m.

(1)求抛物线的函数表达式；

⑵求四边形PA23面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)若点M是抛物线上任意一点，是否存在点使得/M4S=2/ACO,若存在，请直接写出所有符合条

件的点M的坐标，若不存在，请说明理由.

a9

［答案］⑴)

44

⑶存在，〃(3,-3)或加卜,|

【分析】(1)待定系数法进行求解即可;

(2)根据四边形PAQ3的面积等于AAP。的面积加上V8PQ的面积，转化为二次函数求最值即可；

(3)取AC的中点E,连接OE,作。尸_LAC,勾股定理求出AC的长，等积法求出0P的长，根据斜边上

OF3

的中线和三角形的外角推出NOEF=/OC4+NCOE=2/OC4,进而求出tan/OEP=——=—,根据

EF4

3(39、

ZMAB=2ZOCA=ZOEF,得到tan=tan/OEF=—,设M-3,过点M作MGJ.AB于

4144)

点G,分点M在A3的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可.

【详解】⑴把A(TO),4一2,|卜弋入解析式丫=加+8一3("0),得：

f3

r-b-3=0a=-

a4

t09，解得Q，

7b=——

lI4

._39&

・・y=­x2—x-3；

44

391Q

(2)*.*y=—x2—x—3,当y=0时，—x2——x—3=0,解得：x=4,x=—1,

4444x2

8(4,0),

设直线的解析式为>=丘+伉，则:

4左+々=0,3

k,=—

’79，解得：v4,

-2k+b,=—

2队=3

/.y=--x+3,

4

・・•点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点尸作尸。〃y轴交直线BD于点Q,

P\m,—m2-—m-3\,Q\m,--m+3

I44J[4

33933

PQ=——m+3——m2+—m+3=——m2+—m+6,

44442

设尸。与A5交于点T,

则：四边形PAQ3的面积=S.APQ+SBPQ

=^PQAT+^PQBT,

=gpQ.AB

I二疗+为+6X5

242）

-竺苏+”机+15

84

=一2球+?

当m=1时，四边形PA28的面积最大，为『；止匕时尸卜,9

(3)存在;

y=-^--x-3,

-44

，当x=o时，y=-3,

.-.C（0,-3）,

VA（-1,O）,

OA=1,OC=3,AC=^+32=A/10.

取AC的中点E,连接OE,过点。作Ob_LAC于点兄

AZOCA=ZCOE,1X3=VT0OF,

AZOEF=ZOCA+ZCOE=2ZOCA,OF=,

10

EF=yJoE2-OF2，

/.tanZOEF=—

EF4

,/ZMAB=2ZOCA=ZOEF，

3

tanZMAB=tanZOEF=—,

4

设小（3/丁9-3、,过点”作MG,钻于点G,则：39

MG=-n^--n-3AG=〃+1,

3/_9〃_3

2AB嘿443,

n+14

D27&

当“在AB下方时：MG=一丁+方、+3.3,

~AG~^+1~4

解得：n=—l（舍去）或〃=3,经检验〃=3是原方程的解;

・・・M（3,—3）；

‘川―'3

当M在上方时：MG_44=3,

AG-^+1-4

解得：«=-1（舍去）或〃=5,经检验〃=5是原方程的解;

综上：“（3,-3）或加（5,2.

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，分割法求面积，二次函数求最

值，斜边上的中线，解直角三角形等知识点，综合性强，属于压轴题，正确的求出解析式，利用数形结合

和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键.

s新题型特加

1.（24-25九年级上•江苏苏州•期中）如图,二次函数丫=-/+2如+2旭+1。〃是常数，且相>0）的图象

与x轴交于A,8两点（点A在点8的左侧），与y轴交于点C,顶点为D其对称轴与线段BC交于点E,

与x轴交于点F.连接AC.若NBEF=2ZACO,则m的值为（)

QV2—1D.铝

.2

【答案】B

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线性质，先用机的

代数式表示出A,B,C的坐标，再作/OCB的平分线交08于点G,过点G作于点H,根据全等

和角平分线性质得到用加的代数式表示的GH和GB的长，根据GH和GB的关系即可求出m的值.

【详解】解：当>=。时，一f+2%x+2〃z+l=0,

解方程，得%=-1,无2=2%+1,

.・点A在点B的左侧，且〃2>0,

A(-l,0),8(2%+1,0),

当x=0时，y=2m+1,

.-.C(0,2m+l),

OB=OC=2"?+1,

NBOC=90。,

:.ZOBC=45°,

・・•斯〃y轴,

...ZBEF=/BCO,

ZBEF=2ZACOf

,\ZBCO=2ZACO,

作/0C3的平分线交05于点G,过点G作GH，3c于点“，如图,

:.NBCO=2NOCG,GH=GO,

在△AOC和△GCO中,

ZACO=ZGCO

<oc=oc

ZAOC=ZGOC

A^AOC^AGOC(ASA),

：.OA=OG=1,

:.GH=1,GB=OB-OG=2m+l-l=2m,

GH工BC,NGBH=45。,

:.GH=BH=\,

:.GB=^GH2+BH2=42GH=42,

即2m=A/2,

m=-----

2

故选：B.

2.（24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习）如图，二次函数、=-X2+2如+2"?+1（机是常数，且〃]>0）的

图象与x轴交于A,8两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,顶点为。.其对称轴与线段BC交于

点、E,与x轴交于点E连接AC.若ZBEF=2ZACO,则根的值为.

【分析】先用加的代数式表示出A,B,C的坐标，再作NOCB的平分线交。2于点G,过点G作GHLBC

于点H，根据全等和角平分线性质得到用帽的代数式表示的GH和GB的长，根据GH和GB的关系即可求

出机的值.

【详解】解：在y=-/+2〃a+2m+1中，当y=0时，--+2如+2m+1=0,

解方程，得为=T,^2=2m+l,

:点A在点3的左侧，且相>0,

.-.A（-l,0）,B（2m+l,0）,

在y=T?+2〃4+2m+1中，当x=0时，y-2m+l,

.-.C（0,2m+l）,

/.OB=OC=2m+l,

/BOC=90°,

:.ZOBC=45°,

・・,所〃y轴，

:.ZBEF=ZBCO,

ZBEF=2ZACO9

,\ZBCO=2ZACO.

作/0C5的平分线交03于点G,过点G作GHL5c于点H,则。G=GH,如图,

:.ZBCO=2ZOCG,GH=GO,

,\ZACO=ZGCO,

在△ACO和△GCO中,

ZACO=ZGCO

OC=OC

ZAOC=ZGOC

：._ACC^AGCO（ASA）,

OA=OG=GH=1,

:.GB=OB-OG=2m+i-l=2m,

GHtBC,ZGBH=45°,

・・・NBGH是等腰直角三角形,

:.GB=6GH,

即2/77=-s/2，

2

故答案为：f

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性

质，角平分线性质，通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键.

3.（24-25九年级上•江苏扬州•期末）如图，抛物线＞=--+"+c经过A（4,0）,C（—l,0）两点，与y轴交

于点8,P为第一象限抛物线上的动点，连接A3、BC、PA、PC,PC与A3相交于点。.

⑴求抛物线的解析式;

（2）设△APQ的面积为'，△BCQ的面积为52，当5「星=5时，求点尸的坐标；

（3）抛物线上存在点P,满足NP4B+/CBO=45。，则点P的坐标为.

【答案】⑴、=-炉+3工+4

⑵点P的坐标是（1,6）或（2,6）

⑶尸（3,4）

【分析】（1）将A（4,0）,C（TO）代入片-/+法+~利用待定系数法确定函数解析式;

（2）根据图形得到：Sl+SAQC=S2+SAQC+5,B|JSAPC=SABC+5.运用三角形的面积公式求得点尸的纵

坐标＞=6,然后由二次函数图象上点的坐标特征求得点尸的横坐标即可；

（3）过点P作PDLx轴于点。，根据03=。4=4得到//450=/。45=45。，可推出一BOCs尸/凶，由相

似的性质进行即可求解.

【详解】（1）解：：抛物线y=-*+bx+c经过A（4,0）,C（-1,O）两点,

J—16+4Z?+c=0

[―1—Z?+c=O

b=3

解得:

c=4

，抛物线的解析式为y=-x2+3x+4；

(2)解：•••S「Sz=5,

•c_c_<

,•0ACP°ABC-•

令k=0,

贝ljy=4,

・・・3(0,4).

VA(4,0),C(-1,O),

OB=OA=4,AC=5,

S=—xACxOB=—x5x4=10,

说ARC22

•**SACp=15.

设尸（力+3/+4）,

•**SACP=/xACxyp=—x5x（—»+3/+4）=15,

1・0=1或，=2,

・••尸（1,6）或尸（2,6）；

（3）解：存在，点户的坐标是（3,4）.

理由：过点尸作尸。_Lx轴于点O,

*.*OB=OA=4,

・・・ZABO=ZOAB=45°.

•.・NPAB+NCBO=45。,

ZCBO+ZPAB+ZBAO=90°.

'/ZCBO+Z.BCO=90°,

：.ZBCO=ZOAB-^-ZPAB=ZPAD.

・・•ZBOC=ZPDA=90°f

:・一BOCS/DA,

.BOCO

•・而一茄.

设点「（a,—/+3a+4）,

APD=-a2+3a^4,AD=4-a,

4=1

—Q2+3Q+44—a

整理得7々+12=0,

解得％=3或g=4（不符合题意），

・・・尸（3,4）,

故答案为：（3,4）.

【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性

质，勾股定理的应用以及三角形面积公式，相似三角形的性质等知识点.

4.（24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a（x-l）（x-4）（a>0）

与x轴交于A、B两点，与>轴交于点C,若满足OC?=0405.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）连接AC、BC,

①求证：ZACO=ZCBA；

②在抛物线上找一点E,使得/E4c=2/CBA,请求出点E的坐标.

［答案］⑴y=gx2_：x+2

⑵①见解析；②（8,14）

【分析】（1）令y=0,可求出A、8的坐标，然后求出C的坐标，最后把C的坐标代入函数解析式求解即

可；

（2）①证明△COAs^BOC,然后根据相似三角形的性质即可得证；

②取OC中点G,过G作GHLOC交AC于X,连接OH,设点E满足NE4c=2/CBA,则C"=O",根

据等边对等角和三角形外角的性质可得出NOH4=2NOCE,结合已知可得出/EAC=,则AE〃。//,

根据平行线分线段可得出H是AC中点，则待定系数法求出直线3解析式为V=2x,直线AE解

y=2x-2

析式为y=2x-2,联立方程组15，即可求出E的坐标.

y=­x2—x+2

r22

【详解】（1）解：令尸0,贝I］0=4（X-1）（X—4）,

解得x=l,x=4,

AA（1,O）,8（4,0）,

AAO=1,30=4,

OC-^OAOB,

/.OC2=1x4=4,

AOC=2（负值舍去），

・・・C（0,2）,

代入y=1）（%—4）,得2=a（0—1）（0—4）,

解得a=1，

2

；•了。1)(1)=»一|无+2；

(2)①证明：•..OC'OA.OB,

.PCOB

••一，

OAOC

又NCOA=/BOC,

・•・△COASABOC,

AZACO=ZCBO,即NACO=NCR4；

②如图，取OC中点G,过G作GHLOC交AC于H,连接O",设点E满足NE4C=2NCBA,

则C4=O”,

ZOCH=ZCOH,

：.Z.OHA=NOCH+Z.COH=2ZOCH,

5LZACO=ZCBAf

：.ZOHA=2ZCBA,

'：ZEAC=2ZCBA,

：.ZEAC=ZOHAf

：.AE//OH,

'：GH±OC,^AOC=90°,

・•・GH//OA,

...CH=CG=1，,

AHOG

是AC中点，

又4(1,0),C(0,2),

1+00+2

/.H即H

~2~,214

设直线OH解析式为＞=区,

则、=1,

解得k=2,

，直线OH解析式为y=2x,

'：AE//OH,

设直线AE解析式为＞=2无+机,

把4(1,0)代入，得0=2+”,

解得m=-2,

直线AE解析式为y=2x-2,

y-2x-2

联立方程组15,

y=—x2——x+2

22

"I或(=1

解得(舍去)，

y=14V=0

，£的坐标为(8,14).

【点睛】本题考查了二次函数与相似三角形，待定系数法，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意,

添加合适的辅助线，构造相似三角形，合理分类讨论是解题的关键.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点尸为该抛物线上一动点.

①当点尸在直线AC下方时，过点尸作尸"x轴，交直线AC于点E,作刊7〃＞轴.交直线AC于点片求

Er的最大值；

②若ZPCB=3ZOCB,求点P的横坐标.

【答案】⑴y=；V+2x-6

⑵①当②号

【分析】（1）待定系数法求解析式即可;

(2)①当x=0时，、=-6,即C(0,-6),OA=6=OC,ZOAC=ZOCA=45°,待定系数法求直线AC的

解析式为了=一%—6；如图1,设F，一r—6）,贝ij尸，：/+2C6）,尸产=-3r一3r=-3（r+3）2+£,由-3<0,

'NJ乙乙乙乙

9

可知当/=一3时，尸尸有最大值,，由尸石x轴，P/〃y轴，可得NPFE=NPEF，PE=PF,由勾股定理

得，EF=JPE°+PF°=也PF，进而可求斯的最大值；②如图2,作B关于，轴的对称点N,连接CN,

作CP,使NPCN=ZNCO,交x轴于£),由轴对称的性质可知，ZNCO=ZOCB,ON=OB=2,CN=CB,

则Z2VC3=2NOC3,ZPCO=ZPCN+ZNCO=2ZOCB=ZNCB,NPCB=NPCO+NOCB=3NOCB,由勾

22

股定理得，BC=CN=y/ON+OC=2710>如图2,作加_LCN于M,由SBCN=；CN-BM=；BN-OC,

Bpix2V10xBM=|x4x6,可求8M=5^,由勾股定理得，CMBC?-BM?=对远,贝U

2255

6M

tanNNCB=—=—^==,，由tanNDCO=—=tanNNCB=』，即变=?，可求OD=身，即£>[-生,o],

CM8河4OC4644I4J

5

441c

待定系数法求直线CD的解析式为y=-§x-6,联立，-§》-6=5/+2》一6,计算求出满足要求的解即可.

【详解】（1）解：将A（-6,0），3（2,0）代入y=gd+6x+c得,18-6Z;+c=0

2+2b+c=0

6=2

解得,

c=-6

**•y——+2%—6；

2

(2)①解：当x=0时，y=-6,即C(0,—6),

/.OA=6=OC,/(MC=/OC4=45°,

设直线AC的解析式为y=kx+d,

—6k+Z?=0

将A（-6,0），C（0,-6）,代入得,

b=-6

k=-l

解得,

b=-6

直线AC的解析式为y=-x-6；

如图1,

9

...当/=一3时，尸产有最大值5，

轴，P尸〃y轴，

ZPFE=ZOCA=45°,ZPEF=ZOAC=45°,

:•ZPFE=ZPEF，

PE=PF,

由勾股定理得，EF=4PE?+PF，=垃PF，

E尸的最大值为还：

2

②解：如图2,作3关于y轴的对称点N,连接CN,作CP,使NPCN=NNCO,交x轴于

由轴对称的性质可知，ZNCO=ZOCB,ON=OB=2,CN=CB,

：.ZNCB=2Z.OCB,ZPCO=ZPCN+ZNCO=2ZOCB=ZNCB,

ZPCB=ZPCO+ZOCB=3ZOCB,

由勾股定理得，BC=CN=yjON2+OC2=2M，

如图2,作H0LQV于

RrN=-CNBM^-BNOC,BP-x2>/10xBM=ix4x6,

BCN2222

解得，

5

由勾股定理得，CM=ylBC--BM2=,

6V10

八snBM3

tan/NCB----5

CM8AA04

5

tanZDCO=—=tanZA^CB=-,gR—

OC464

9

解得，OD=3,

设直线CD的解析式为y=g+w,

（9A"=-6

将C（0,-6）,川二,