2025年江苏中考数学压轴题汇编：四边形压轴（原卷版+解析）

压轴专题13四边形压轴

背：技法全归纳

知识考点与解题策略

本专题主要知识点比较基础，但需要结合相等、模型构造、分类讨论、相似等多

个知识点综合来进行分析，所以整体难度才会比较大。本质还是根据相关性质推

理出三角形相关的问题。

模型01平行四边形的性质与判定

性质/图形平行四边形

边两组对边平行且相等

角对角相等、邻角互补

对角线互相平分

对称性中心对称图形

判定方法:

(1)与边有关的判定：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

(2)与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

(3)与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形

模型02菱形的性质与判定

性质/图形菱形

边四条边相等

角对角相等、邻角互补

对角线对角线互相垂直且平分

对称性既是轴对称，又是中心对称

判定方法：

(1)先证平行四边形，再证一组邻边相等；

(2)先证平行四边形，再证对角线互相垂直;

(3)证四条边都相等的四边形；

(4)证对角线互相垂直且平分的四边形；

模型03矩形的性质与判定

性质/图形矩形

边对边平行且相等

角四个角都是90°

对角线相等且互相平分

对称性既是轴对称，又是中心对称

判定方法：

(1)先证平行四边形，再证一个内角是直角;

(2)先证平行四边形，再证对角线相等；

(3)证三个角为直角；

模型04正方形的性质与判定

性质/图形正方形

边四条边相等

角四个角都是90°

对角线对角线互相垂直、平分且相等

对称性既是轴对称，又是中心对称

判定方法：

由菱形到正方形(1)有一个内角是直角的菱形是正方形;

(2)对角线相等的菱形是正方形；

由矩形到正方形：(1)邻边相等的矩形是正方形；

(2)对角线互相垂直的矩形是正方形。

典题固基础

例题1如图，菱形ABCD中，ZABC=60°,AB=4,点E是线段8。上一点(不含端点)，将沿AE

翻折，的对应边与相交于点尸.

⑴当/BAE=15。时，求E尸的长；

(2)若/XABF是等腰三角形，求AF的长；

(3)若EF=k-BE,求上的取值范围.

s新题型特3

1.(2024•江苏扬州•一模)已知菱形ABC。中，点E是对角线AC上一点，点/是边AT＞上一点，连接EF、

BE、CF,

图3

【特例探究】

⑴如图1,若NABC=60。且EPCD,线段班、CT满足的数量关系是.

(2)如图2,若/ABC=90。且防_LAC,判定线段BE、CF满足的数量关系，并说明理由;

CF

⑶一般探究】如图3,根据特例的探究,若4AC=o,=E凡请求出版的值(用含。的式子表示)；

(4)【发现应用】如图3,根据“一般探究”中的条件，若菱形边长为1,芸=百，点尸在直线AD上运动,

BE

则△CEF面积的最大值为.

2.(2022•江苏徐州•中考真题)如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=12,点尸在边A8上，。、E

分别为BC、PC的中点，连接。E.过点E作8c的垂线，与8C、AC分别交于从G两点.连接。G,交

PC于点H.

AA

备用图

(1)/EOC的度数为二

(2)连接PG,求AAPG的面积的最大值；

(3)PE与。G存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；

⑷求笑的最大值.

CE

3.(2021.江苏扬州•中考真题)在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：

已知线段3c=2,使用作图工具作Nft4c=30。，尝试操作后思考：

(1)这样的点A唯一吗？

(2)点A的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追梦，，学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上(点8、C除

外)，....小华同学画出了符合要求的一条圆弧(如图1).

-----P

图1图2备用图

(1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决.

①该弧所在圆的半径长为__________；

②VABC面积的最大值为________；

(2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上,而在如图1所示的弓形内部，我们

记为A-,请你利用图1证明ZBAC>30°；

(3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,

4

点尸在直线CD的左侧，＞tanZZ)PC=-.

①线段所长的最小值为；

2

②若5皿=十曲贝峨段加长为——

4.矩形ABC。中，42=8,40=12.将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为。E.

Ap

(1)如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP,求妥的值;

DE

(2)如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点孔求8b的长

4

5.(2023•江苏淮安•三模)如图，在uA3co中，AB=5,AD=13,tanZB=§,点尸是BC边上一动点,

将/XAPB沿着”翻折，得到APB,.直线尸3'和A。边所在直线交于点K.

(1)如图①，当点5'恰好落在边上时，求的长.

(2)①如图②，当点B'落在।ABCD内部时，试探索AK、PB、KB，的数量关系，并说明理由.

②当点B'落在,ABCD外部时，①中探索的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写

出新的数量关系.

(3)当点9恰好落在AD边上时，点尸的位置记为凡.当点尸从点［运动到点C时，直接写出点K的运动路

径长.

6.(2024•江苏泰州•三模)如图，点E、F、G、”分别在菱形ABC。的各边上.

图1图2图3备用图

【初步认识】

(1)如图1,若AE=A"=CP=CG,则四边形EFG/f一定是()

A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形

【变式探究】

(2)如图2,若AC、龙＞交于点0,E、H分别是AB、AD上一点，0E=0H,AE^AH,EO、HO的延

长线分别交在8、BC于点G、F,求证：四边形EFG〃是矩形.

【深入思考】

(3)如图3,若AC、交于点。，且AO=10,OD=5,当AH满足什么条件时，可作出两个不同矩形

EFGH,请直接写出你的结论.

(4)在(3)的条件下，设=AE=y,请探索》与x满足的关系式.

7.(2024.江苏扬州.二模)如图，点E是边长为2的正方形ABCD边AD上一动点，连接BE,将射线BE绕

点B顺时针旋转45°交边CD于点E过点E作EHLBF,垂足为点连接交8E于G,在点E从点A

运动到点。运动过程中.

!10AED

昌昌

BB

备用图

⑴直接写出ZDAH的度数为°；

⑵连接CH,

①笠DF的比值是否为定值，是定值求出该比值，不是定值请说明理由;

Crz

②当DH〃BE时,直接写出DE的长；

⑶在点E运动过程中，ABG的面积记为S1,EGH的面积记为S2,求出，-邑的最大值.

8.(2024•江苏镇江•二模)“折纸”是同学们经常做的手工活动.

如图1,矩形纸片ABC。，AB=8,AD=16,点。为其对称中心，小明沿着过点0的直线"N将矩形纸片

进行折叠，折痕交边AD、BC于点M、N,点A、B的对应点记为A、B',B'N交边AD于点、E.

DC。⑼CDC

图1图2图3

⑴如图2,当点9与点。重合时，AM=_；

(2)在上述折叠过程中，求证：

①，EMN为等腰三角形；

②(8_41/乂8-网=16；

⑶如图3,AM^2,连结OD交B'N于点片连接OE,则OEF的面积为一.

9.(2024•江苏南京.二模)用矩形纸片可以折叠出等边三角形，但折叠会损耗矩形纸片的面积.能否将整

张矩形纸片无损耗地剪拼成一个等边三角形呢？

(1)有些矩形纸片很容易剪拼成等边三角形.如图两个矩形纸片只需剪1~2刀就可以拼成等边三角形，请画

出分割线，并做必要标注.

®AB：BC=1：V3@AB:SC=V3:4

(2)任意矩形要剪拼成等边三角形很难想到，不妨倒过来考虑，即研究将等边三角形纸片剪拼成矩形，图③

是一种可行的分割方案：

①求证：DM=GN；

②将图③中甲、乙、丙三部分进行平移或旋转可以拼出矩形，在原图中画出拼接矩形的示意图.

⑶如何将一张A4纸(如图④，AB=21cm,2C=210cm)剪拼成等边三角形？在图中画出分割线(标注

必要的长度或角度，写出必要的文字说明).

10.(2024•江苏盐城•一模)综合与实战

【问题情境】最完美的四边形是正方形，在“综合与实战”课上，老师和同学们一起对正方形进行了再探究:

如图1,正方形ABCD的对角线AC,80相交于点。.

【数学思考】老师首先提出了如下问题：

(1)如图2,作△CQD关于CD的对称图形△CED,连接AE交于点F.试判断。咒与。尸的数量关系,

并说明理由：

E

图2

【深入探究】老师让同学提出新的问题：

(2)善思小组提出问题：如图3,以为直径作P,点M为，尸上的动点，连接CM,OM,若正方形

ABC。的边长为6cm,求△COM面积的最大值;

(3)智慧小组提出问题：如图4,以BC为直径作(P,点”为尸上的动点，过点M作对角线AC的垂

线，垂足为Q,若正方形A2CZ)的边长为6cm,求MQ+42的取值范围.

四边形ABC。是菱形，AC〃y轴.

①若点4(1,3),反比例函数y=：的图像经过点

求该反比例函数的表达式，并判断点A是否在这个反比

例函数图像上;

②是否存在点4(。,“，使得反比例函数y=：的图像同时经过点A、B?若存在，求人6满足的关系式；若

不存在，说明理由.

(2)如图2,菱形的顶点A,8和边的中点£在反比例函数匕＞0)图像上，顶点C、。在反比例函

数%=0)图像上，边A8与y轴的交点为R

①求AF:班'的值;

②若勺&=-15,则菱形ABCD的面积为

12.（2024•江苏苏州•一模）数学实验活动：两个正方形纸片的摆放.

将两个边长为10cm的正方形纸片钻8、AB'C'D'按图①方式进行摆放后，得到了8个阴影三角形，这些

三角形的周长会有怎样的特点呢？数学实验小组经过探究，有了如下3个发现：

图①图②图③

发现1：图①中的8个阴影三角形的周长之和是一个定值，这个定值为cm；

发现2：将两个正方形按图②方式进行摆放，其中3'。经过点C,且AD与AB、AD都相交，交点分别为E、

F,则图中的阴影三角形（AAEF）的周长是一个定值，请你求出这个值；

发现3：在图②的情形下，按图③方式平移正方形纸片AB'C'D'，使得AD分别与AB、AO相交于点G、H,

3'C'分别与8C、C。相交于点/、N,则图中的2个阴影三角形（AG”与,CMN）的周长之和也是一

个定值，请你求出这个值.

13.（2024.江苏泰州.一模）【定义呈现】有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形，

其中，这两个内角称为倍角.例如：如图1,在四边形ABCD中，?A2?C,ZD=2ZB,那么我们就叫这

个四边形是倍对角四边形，其中/A,ND称为倍角.

【定义理解】如图1,四边形ABCD是倍对角四边形，且/A,/O是倍角.求NB+NC的度数；

【拓展提升】如图2,四边形BDEC是倍对角四边形，且NOEC,NBDE是倍角,延长3£＞、CE交于点A.在

BC下方作等边三角形延长FC、OE交于点G.若钻=AC,BC=2,FG=kAB,四边形BDEC

的周长记为/.

A

（1）用上的代数式表示/；

（2）如图3,把题中的“AB=AC”条件舍去，其它条件不变.

①求证：CE=EG；

②探究」7是否为定值.如果是定值，求这个定值，如果不是，请说明理由.

k+\

14.（2024.江苏泰州•一模）已知，点尸是边长为。为常数）的正方形内部一动点，PELADE,

3c于P,连结尸£>,EF,DE,DF,记APDE,尸，！PEF的面积分另U为跖，S2,S3,令PE=x,

PF=y.

（图2）

（1）如图1,点P在对角线AC上.

①求、+邑（用含。、x的代数式表示）

②是否存在实数左，使。+邑+/^的值与P点在AC上的位置无关.若存在，请求出发的值；若不存在，请

说明理由;

X1

（2）若-=当点尸在VABC内部（不含边界）时（如图2）.

①求x的取值范围;

②试说明：S.+S.的值随着x的增大而增大.

15、在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质.

【操作探究】

(1)如图1,已知VABC,NC=90,将VABC绕着直角边AC中点G旋转，得到二所，当一DEF的顶点。

恰好落在VABC的斜边AB上时，斜边DE与AC交于点X.

②证明：DGH~ADH.

【问题解决】

⑵在(1)的条件下，已知AC=4,3c=3,求C”的长.

【拓展提升】

(3)如图2,在菱形ABCD中，AC=8,30=6,将菱形ABC。绕着A3中点M顺时针旋转，得到菱形EFG”,

当菱形EFGH的顶点E分别恰好落在菱形ABCD的AD边和对角线8。上时，菱形EFGH的边与3C边相交

于点N,请直接写出的长.

图2备用图

16、综合与探究.

【特例感知】

(1)如图(a),E是正方形ABCD外一点，将线段AE绕点A顺时针旋转90。得到？IF,连接OE,BF.求

证：DE=BF;

【类比迁移】

(2)如图(b),在菱形ABC。中，AB=4,-3=60。，P是AB的中点，将线段上4,PO分别绕点P顺时

针旋转90。得到尸E,PF,PF交BC于点、G,连接CE,CF,求四边形CEGF的面积；

【拓展提升】

4

(3)如图(c),在平行四边形ABCD中，AB=12,AD=10,28为锐角且满足sinB=6.P是射线54

上一动点，点C,。同时绕点尸顺时针旋转90。得到点G,D,当△BCD为直角三角形时，直接写出3尸

的长.

(图(c)备用图)

17.已知矩形ABC。中，AB=6,BC=8,点、E、尸分别在线段AB、BC上,把△上«尸沿直线E尸翻折，点

8落在点3'.

图1图2图3

⑴当点E与点A重合时,

①如图1,连接尸方，射线F3'交AD于点G,求证:点G在折痕,的垂直平分线上;

②如图2,连接C3',若CEB'是直角三角形，贝|3尸=

③在点尸运动变化过程中，试判断FG能否平分矩形ABC。的面积？若能，求出BF的值；若不能，则说明

理由;

(2)如图3,若AE=4时，连接CB'、AB',求四边形AB，CD面积的最小值.

18、(1)如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE,

①若BE=BC,过C作交BE于点/，求证：AABE沿AFCB；

②若黑彩旗8=2。时，则BECF=

(2)如图，在菱形ABCD中，cosA=1,过C作CE^AB交48的延长线于点E,过E作跖工AD交AD于

点F,若S菱形钻s=24时，求取的值.

(3)如图，在平行四边形ABCD中，ZA=60°,AB=6,AD=5,点E在CD上，且CE=2,点、F为BC上

一点，连接跖，过E作EG，跖交平行四边形A3CD的边于点G,若斯.EG=7道时，请直接写出AG的

备用图

19、我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1,图2,图3中，AF,BE是VABC的

中线，AF±BE,垂足为P.像VABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=。，AC=b,AB=c.

Si图4

(1)［特例探索］

如图1,当NABE=45。,c=2忘时，a=，b=

如图2,当/ABE=30。，c=4时，a=,b=

(2)［归纳证明］

请你观察(1)中的计算结果，猜想b2,0?三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现

的关系.

(3)［拓展应用］

利用(2)中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中，。为对角线AC中点，E,产分别为线段

A0,的中点，连接BE,CF并延长交于点M.BM,CM分别交AD于点GH,如图4所示，求

MG'+MH?的值.

压轴专题13四边形压轴

技法全归纳

知识考点与解题策略

本专题主要知识点比较基础，但需要结合相等、模型构造、分类讨论、相似等多

个知识点综合来进行分析，所以整体难度才会比较大。本质还是根据相关性质推

理出三角形相关的问题。

性质/图形平行四边形

边两组对边平行且相等

角对角相等、邻角互补

对角线互相平分

对称性中心对称图形

性质/图形菱形

边四条边相等

角对角相等、邻角互补

对角线对角线互相垂直且平分

对称性既是轴对称，又是中心对称

性质/图形矩形

边对边平行且相等

角四个角都是90°

对角线相等且互相平分

对称性既是轴对称，又是中心对称

性质/图形正方形

边四条边相等

角四个角都是90°

对角线对角线互相垂直、平分且相等

对称性既是轴对称，又是中心对称

学典题固基础

例题1如图，菱形ABC。中，ZABC=60°,AB=4,点E是线段8。上一点（不含端点），将ABE沿AE

翻折，AB的对应边AB'与8。相交于点F.

⑴当/瓦9=15。时，求E尸的长；

（2）若AAB尸是等腰三角形，求AF的长；

⑶若EF=hBE,求左的取值范围.

【答案】（1）2-冬8

3

⑵手或2指一2近

【分析】（1）根据菱形的性质以及折叠的性质可得VABC是等边三角形，AC±BD,AO=2,BO=243,

ZBAF=ZFBA=30°,则=Ab=2括-O尸，根据勾股定理求出。/=毡，根据等腰直角三角形的性质

3

可得OE=OA=2,即可得EF的长；

（2）分两种情况：①当AF=6/时，②当=B方时，根据等腰三角形的性质分别求解即可；

（3）过点£作9/，M于作ENLAb于N,根据三角形的面积公式可得变=空，则斯=英匹，

EFAFAB

AF

由防=上班得人=——，由点F在3。上可得AF的最大值为4,当AFJ_BD,即点尸与点。重合时，项的

AB

值最小为。4=2,可得2WAFV4,即可得％的取值范围.

【详解】（1）菱形ABCD中，ZABC=60°,AB=4

VABC是等边三角形，AC.LBD,AO=-AC,ZABD=ZCBD=-ZABC=30°

22

/.AO=2,BO=2s/3

由折叠得NBAE=ZFAE=15°

ZBAF=ZFBA=30°

：.BF=AF=2^/3-OF

在Rt.-.AOF中，OF2+O^AF2

/.OF2+22=^2-j3-OF^

.c口2有

••OF=-----

3

VZBAE=15°,NEBA=30。

ZAEO=45°

・・・/VLEO是等腰直角三角形，

：.OE=OA=2

9J3

/.EF=OE-OF=2—-—

3

（2）若是等腰三角形，分三种情况：

①当AF=6F时

由（1）知，BF=AF=2^3-OF,OF=^~

3

4尸=2力一毡=迪

33

②当A8=B/时，如图1,

•/AB=4

BF=4

OF=BF-OB=4-26

AF=y/o^+OF2=,2?+（4一2⑹2=2&-272

综上，AF的长为也或4或2#-2拒；

3

（3）过点E作于/,作EN_LAb于N

由折叠得ZBAE=Z.FAE

：.EM=EN

—xABxEMAD

*ABE2_A3

S.AFE-XAFXENAF

2

S

ABE_心R乙E

又々

AFEEF

.BEAB

EFAF

・••ET

•/EF=kBE

AF

AB

•・•点尸在8D上

・・・AF的最大值为4,当AFLBD

即点尸与点。重合时，AF的值最小为。4=2

2<AF<4

•亭景】

•••%的取值范围为9yl

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理,

等腰三角形的性质等，分类思想的运用是解题的关键.

练新题型特训

1.（2024•江苏扬州•一模）已知菱形ABCD中，点E是对角线AC上一点，点尸是边AD上一点，连接EE、

BE、CF,

图3

【特例探究】

⑴如图1,若NABC=60。且EPCD,线段BE、CP满足的数量关系是:

（2）如图2,若/ABC=90。且EFLAC,判定线段BE、CT满足的数量关系，并说明理由;

CF

⑶【一般探究】如图3,根据特例的探究,若=AE=E凡请求出版的值（用含。的式子表示）；

⑷【发现应用】如图3,根据“一般探究”中的条件’若菱形边长为1,第=6,点/在直线9上运动,

则△CEF面积的最大值为.

【答案】（1）BE=CF

（2）CF=s/2BE，理由见解析

CF

(3)=2cosa

BE

(4)更

16

【分析】（1）证明△ABE丝△ACF（SAS）,即可得出结论;

（2）证明oABEsACF,即可得出结论；

AR4rCFAC

（3）过点3作30,4?于点0,先证明9M。-乙的，得到=再证明4245石6AC。得到▼二F，

AEAFBEAB

推出AC=2ABcosa,即可得出结论；

（4）连接8D交AC于点。，过点石作。于点H,由（3）推出NEE4=ND4C=NBAC=30。，设A£=x,

则EF=x,求出LBE，S四，根据ABEsqACF,得至！］■=（空］=（6丫=3,进而求出

SABEyBE）''

s=--X2+-X,利用二次函数的性质，求出最值即可得出结果・

-CEF44

【详解】（1）•・•四边形ABC。是菱形，ZABC=60°,

：.AB=BC=CD=AD,AADC=ZABC=60°,

・・・NABC和AADC都是等边三角形，

AB=AC,ZDAC=ZBAC=60°,

•:EFCD,

：.ZAFE=ZADC=60°f

•••△A£F是等边三角形，ZBAE=ZCAF=60°,

：.AE=AF,

在4AB石和△ACF中,

AB=AC

</BAE=ZCAF,

AE=AF

：.AABE^AACF(SAS),

：.BE=CF；

故答案为：BE=CF,

(2)解：CF=叵BE，理由如下：

・・•四边形ABC。是菱形，ZABC=90°,

：.AB=BC=CD=AD,ZADC=ZABC=90°,

：.ZBAC=ZDAC=45°fAC=y[2AB

■:EF1AC,

AF=4iAE，

.AC_AF

••商一瓦’

：.：ABE^ACF,

.BEAB_AB

CF~AC~CAB'

CF=y/2BE;

(3)如图3,过点3作及9LAC于点。，

图3

・・•四边形ABCD是菱形，ZBAC=a,

.・.AB=BC,ZDAC=ZBAC=ZACB=a,

AE=EF,

：.ZAFE=ZDAC=a,

：.AABC^AEF,

.ABAC

*AE-AF

又・.・NZMC=NBAC=a,

：.：ABE^ACF,

.CFAC

•.=,

BEAB

・.,AB=BC,BO.LACf

AC=2AO,AO=AB-cosNBAC,

AC=2ABcosa,

.CF_2ABcosa

=2cosa;

*AB

(4)如图4,连接8。交AC于点0,过点E作及/_LAD于点77,

C

图4

CF

由(3)可得：ABES-ACF,~—=2cosABAC,ZEAF=ZEFA,

BE

2cosNBAC=6

ZEFA=ADAC=ABAC=30°,

设AE=x,则防=%，

・・•四边形ABC。是菱形,

AC±BD,

：.BO=-AB=-xl=~,

222

SARF=~AE,BO=—X'—=—x

M£2224

,.・AE=EF=x,ZDAC=30°,EHLAD,

**•EH=—AE=—x,AF=2,AH,

22

AF=2AH=2」AE2-EH2=2

S=-AF-EH=-xy/3x--x=—x2;

的AFF2224

:ABEs二ACF,

-C—CC_C

,•0,ACF一口.CEFTuAEF-、CEF丁

当3省时，5皿有最大值：—.

216

故答案为：出.

16

【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定

和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形以及利用二次函数的性质求最值.本题的综合性强，难

度大，属于中考压轴题.熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键.

2.(2022.江苏徐州•中考真题)如图，在aABC中，NBAC=90。，AB=AC=12,点尸在边A2上，D、E

分别为BC、PC的中点，连接。E.过点E作8C的垂线，与BC、AC分别交于尸、G两点.连接DG,交

PC于点H.

(D/EOC的度数为二

(2)连接PG,求AAPG的面积的最大值;

(3)PE与0G存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由;

⑷求笑的最大值.

CE

【答案】(1)45。

(2)9

@PE=DG,理由见解析

(4)2/1+1

2

【分析】(1)先说明NB=45。，再说明0E是△的中位线可得然后由平行线的性质即可解答；

(2)先说明加和△GFC是等腰直角三角形可得Z)P=EF=12DE、GF=CF=^CG；设4P=x,则

22

BP=U-x,BP=n-x=2DE,然后通过三角形中位线、勾股定理、线段的和差用x表示出AG,再根据三角形

的面积公式列出表达式，最后运用二次函数求最值即可；

(3)先证明△GPD丝△CTE,可得DG=CE,进而可得PE=£)G；由4GFD0ACFE可得NECF=NDGF,

进而得到NGHE=/a7E=90。，即可说明DG、PK的位置关系；

(4)先说明△CE/sACDH得到C关F=C丹F，进而得到CH笠C=F三•CD¥，然后将已经求得的量代入可得CH笠=

CDCHCECECE

Z12I288然后根据“+：=(&+；］-222求最值即可.

【详解】(1)解：：在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=12

：.ZB=ZACB=45°

V,D、E分别为BC、PC的中点

：.DE//BP,DE=-BP

2

：.ZEDC=ZB=45°.

(2)解：如图：连接PG

VZEDC=ZACB=45°fGF±DC

•••△瓦/和△GR?是等腰直角三角形

：.DF=EF=^DE,GF=CF=—CG,

22

设AP=x,贝！|BP=12-x,BP=12-x=2DE

12-x12-x

：・DE='EF=^/T

2

•RtAAPC,

・•・PC=7AP2+AC2=42+144

CE=-Jx2+144

2

・：Rt4EFC

12+x

2A/2

CG=桓CF=12+'

•cAPC-AD人厂112-x12%-x2-(x-6)+36

・・34A/G——AG=—x---=-----=--------

22244

所以当x=6时，SzAPG有最大值9.

•：DF=EF,ZCFE=ZGFD,GF=CF

：.AGFD^ACFECSAS)

：.DG=CE

・・・石是PC的中点

：.PE=CE

：.PE=DG；

•：AGFDQACFE

：./ECF=/DGF

•・•ZCEF=ZPEG

：.ZGHE=ZEFC=90°,BPDGLPE,

(4)解：,:△GFD”MFE

：.ZCEF=ZCDH

又丁ZECF=ZDCH

:.XCEFs^CDH

,CECF

——，即CECH=CFCF

CDCH

.CHCFCD

'~CE~CE2

•：FC=^f^,CE=-VX2+144,CD，BC==6近

2,222

12+x

-6A/2x+1212

CH2&=12x

2

2X+144288

CE16+144%+12+-24

x+12

<12_12_]_2及+2_&+1

-27288-242472-24-2A/2-2-4-2

・•・笑的最大值为"里.

【点睛】本题主要考查了三角形中位线、平行线的性质、二次函数求最值、全等三角形的判定与性质、相

似三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键.

3.(2021・江苏扬州•中考真题)在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：

已知线段3c=2,使用作图工具作N54C=30。，尝试操作后思考：

(1)这样的点A唯一吗？

(2)点A的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以3c为弦的圆弧上(点3、C除

外)，…….小华同学画出了符合要求的一条圆弧(如图1).

(1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决.

①该弧所在圆的半径长为

②VABC面积的最大值为；

（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们

记为W，请你利用图1证明NBAC>30°；

（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2,已知矩形ABC。的边长钻=2,BC=3,

4

点尸在直线CO的左侧，且tan/。尸C=§.

①线段尸8长的最小值为；

2

②若StPCD=~SPAD,则线段PD长为.

【答案】（1）①2；②6+2；（2）见解析；（3）①叵B；②逑或正

444

【分析】（1）①设。为圆心，连接80,CO,根据圆周角定理得到NBOC=60。，证明△OBC是等边三角

形，可得半径；

②过点。作8C的垂线，垂足为E,延长EO,交圆于。，以BC为底，则当A与。重合时，VABC的面积

最大，求出OE,根据三角形面积公式计算即可；

（2）延长友V,交圆于点。，连接CD,利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；

41

⑶①根据tan"PC=§,连接尸。，设点。为尸£>中点，以点。为圆心，万尸。为半径画圆，可得点尸在

优弧CPZ）上，连接8Q,与圆。交于尸，可得3P即为3尸的最小值，再计算出8。和圆。的半径，相减即

可得到3P;

2

②根据AD,8和SPCD=-S咏推出点尸在/ADC的平分线上,从而找到点P的位置,过点C作CF，尸。，

垂足为尸，解直角三角形即可求出OP.

【详解】解：（1）①设。为圆心，连接8。，CO,

ZBAC=30。，

ZBOC=60°,又OB=OC,

△03C是等边三角形，

OB=OC=BC=2,即半径为2；

②-VABC以3C为底边，BC=2,

当点A到3C的距离最大时，V4BC的面积最大，

如图，过点。作BC的垂线，垂足为E,延长EO,交圆于。，

BE=CE=l,DO=BO=2,

OE=y]BO2-BE2=5

DE=6+2,

,VABC的最大面积为gx2x(g+2)=g+2；

图1

(2)如图，延长BA,交圆于点D,连接C。,

:点。在圆上，

1./BDC=/BAC,

ABAC=Z.BDC+ZACD,

■.NBAC>NBDC,

NBA'C>ABAC,即ZBAC>30°；

图1

(3)①如图，当点尸在BC上，且PC=5时，

/PCD=90。,AB=CD=2,AD=BC=3,

CD4

'''tanNOPC=,为定值，

连接PO,设点。为BD中点，以点Q为圆心，!尸。为半径画圆，

2

二点尸在优弧CPD上，连接B。，与圆。交于P,此时3P即为3尸的最小值，过点。作QELBE,垂足为£,

丁点。为尸£＞中点,

I13

二点E为尸C中点，即。£=耳8=1,PE=CE=-PC=~,

39

...BE=BC-CE=3——=一，

44

BQ=^BE2+QE2=,

PD=yJeD2+PC2=-,

2

•••圆Q的半径为=

224

BP=BQ-P'Q=^~5,即3P的最小值为甄-5；

44

△24。中AD边上的高等于△PCD中CD边上的高，

即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，

则点P到AD和C。的距离相等，即点尸在，ADC的平分线上，如图,

过点C作CFLPD,垂足为尸，

PD平分上WC,

ZADP=NCDP=45。,

.•.V8B为等腰直角三角形，又CD=2,

CF=DF=3=五,

CF4

tanZDPC=—=-,

PF3

4

当点尸在线段上时，PD=DF+PF=42+—=—；

44

当点尸在线段DF上时，PD=DF-PF=y/2--=—.

44

考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题,

解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点尸的

轨迹.

4.矩形A8CD中，A8=8,AD=12.将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为OE.

（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP,求一的值;

EP的延长线交于点R求B尸的长.

【分析】（1）如图①中，取DE的中点M,连接PM.证明APOMs^DCP,利用相似三角形的性质求解

即可.

（2）如图②中，过点P作GH//BC交AB于G,交CD于H.设EG=x,则BG=4-x.证明AEGP^APHD,

EGPGEPI

推出——=——=—=-,推出PG=2EG=3x,DH=AG=4+x,在RtAPHD中，由PH2+DH2=PD2,可得(3x)

PHDHPD3

2+（4+x）2=122,求出X,再证明AEGPs^EBF,利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】解：（1）如图①中，取DE的中点M,连接PM.

图①

:四边形ABCD是矩形,

・・・NBAD=NC=90。，

由翻折可知，AO=OP,AP±DE,N2=N3,NDAE=NDPE=90。，

在R3EPD中，VEM=MD,

・・・PM=EM=DM,

・・・N3=NMPD,

/.Z1=Z3+ZMPD=2Z3,

VZADP=2Z3,

・・・N1=NADP,

VAD//BC,

・・.NADP=NDPC,

・・・N1=NDPC,

VZMOP=ZC=90°,

.'.△POM