2025年江西省南昌市高考数学一模试卷+答案解析

2025年江西省南昌市高考数学一模试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.二项式3+1）5的展开式中，X的系数为（）

A.-10B.-5C.10D.5

2.已知复数Z满足2+22=6+〃，贝！12=（）

A.2+，B.2—iC.1—2，D.1+2，

3.设0：0<a<1，q-.关于x的方程A/Wsinc+cos/=a有实数解，则p是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知/（乃=|£—&/<°，则方程/⑶=8所有的根之和为（）

I2,优》0

A.1B.2C.5D.7

5.已知｛Q/为等比数列，若Q2+4Q4=4Q3，则已九｝的公比q=（）

A.-2B.2C.--D.i

22

6.直线V=与圆力2+/一27一3=o交于4,3两点.Q川=通，贝1」|。引=（）

A.渔B.C,D.

5555

7.我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同,

则称这两个函数的图象“相似”.已知/（，）=/—3/+（,—i）2,则下列给出的函数其图象与4=/（乃的

图象“相似”的是（）

A.y=x2B.y=—x2C.y=x3—3xD.y=—x3+3/

2

8.已知双曲线C：/—&7,=i的左、右焦点分别为Fi，F2,尸为双曲线。第一象限上一点，//？用的角

24

2

平分线为/,过点。作「用的平行线，分别与F6,I交于M,N两点，若眼N|=1PF2],则△PF1F2的

o

面积为（）

A.20B.12C.24D.10

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

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9.现从甲、乙两名射击运动员中选择一人参加大型选拔赛，各进行了10次射击，射击成绩（单位：环）如表

所示：

次数12345678910

甲77898910999

乙89781071010710

依据该次选拔赛成绩，下列说法中正确的是（）

A.甲的平均成绩高于乙的平均成绩

B.预计对于平均成绩较差，稳定发挥水平就能获得冠军，则选择乙参加比赛

C.预计对手平均成绩9.2环，则选择乙参加比赛

D.预计对手平均成绩8.8环，则选择甲参加比赛

10.如图，平行六面体—4氏的体积为6,点P为线段上D、

的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有（）A二h/

A.三棱锥P—GCO/y\P//

B.三棱锥P-BiDiD/芦…

C.三棱锥P—OiBQ

D,三棱锥P-DXAC

11.己知/（/）是R上的连续函数，满足V/，neR有+y）+f（x—y）=f8）f（y）,且/⑴=1,则下

列说法中正确的是（）

A./(0)=0B./3）为偶函数

C./（/）的一个周期为6D.（|,0）是的一个对称中心

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合A={剑足，＜1},B={0,1,2,3,4}.则4nB的元素个数为.

13.已知等差数列{厮}各项不为零，前〃项和为斗，若5n=所与+1，则句3=.

14.三角形是常见的几何图形，除了我们已经学习的性质外，三角形还有很多性质，如：

性质1：△46。的面积S=-ACsinA=；4月-AdtanA；

性质2：对于△ABC内任意一点P,有福•NF+豆百•巨B+CN•戏=%那就+就•瓦？+。注•优;

性质3：△48。内存在唯一一点P,使得/_PAB=2PBe=APCA=a,这个点尸称为△ABC的“勃

罗卡点”，角a称为△43。的“勃罗卡角”.

若△/口。的三边长分别为1,1,、口根据以上性质，可以计算出△4BC的“勃罗卡角”的正切值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

在△A3。中，角N,B,C的对边0,6、c成公差为2的等差数列.

(1)若△AB。为锐角三角形，求。的取值范围；

(2)若7sin4=3sinC,求△48。的面积.

16.(本小题15分)

如图，在三棱锥P—48。中，PAL平面NBC,AB=BC=1，ZABC=120%PA=AC，D为PC

的中点.

(1)求证：BDLAC;

(2)求BD与平面PAB所成角的正弦值.

17.(本小题15分)

已知/(工)=a;In(a;-1)—ax(a€R).

(1)若/(c)在定义域上单调递增，求。的取值范围；

(2)若9=/(2)有极大值加，求证：m<-4.

18.(本小题17分)

已知椭圆C：《+(=1(0>5>0)的离心率6=4，过点P(4,0)作直线/与椭圆C交于/,2两点(4在

2上方)，当/的斜率为一：时，点/恰与椭圆的上顶点重合.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知设直线MB的斜率分别为岛，k2,设的外接圆圆心为E.点8关于x轴的

对称点为。.

⑶求比+用2的值；

侬)求证：MELPD.

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19.(本小题17分)

通过抛掷骰子产生随机数列｛%｝,具体产生方式为：若第卜(卜=1,2,3「“，n)次抛掷得到点数

浪=1,2,3,4,5,6),则四=心记数列｛厮｝的前〃项和为S〃，X。为必除以4的余数.

(1)若n=2,求$2=4的概率；

(2)若n=2,比较P(X2=0)与P(X2=3)的大小，说明理由;

⑶若n=20，设(/+/++/4+/+/产=M+瓦工_|_历/-----1_仇20储叫试确定该展开式中各项

系数与事件&=j(jGN+,j&120)的联系，并求X2O=0的概率.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：3+1)5的展开式中，X的系数为Ct」4=5.

故选：D.

利用二项式定理可求得答案.

本题考查二项展开式的通项与项的系数的求法，为基础题.

2.【答案】B

【解析】解：设z=a+bi(a,bCR),

则z=a-瓦，

'：z+2z=6+i9

：,a+bi+2(a-bi)=3a-bi=6+i,即｛,解得Q=2,b=-1,

则2=2-5.

故选：B.

根据已知条件，结合共甄复数的定义，以及复数的概念，即可求解.

本题主要考查共辗复数的定义，以及复数的概念，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：若关于x的方程，sin/+cosI=Q有实数解，

由\/3sinx+cosx=2sin(力+—)G[—2,2],

6

则—2WQ(2,

因为@1)g[-2,2],

故p是q的充分不必要条件.

故选：A.

先结合辅助角公式及正弦函数性质求出乡对应的范围，然后结合充分必要条的定义即可判断.

本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：当出＜0时，

令出2-2劣=8，

即/一2N—8=0，

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解得x=-2；

当a;》0时，

令2H=8,

解得工=3，

所以方程/（乃=8的根为3,-2,

所以所有根之和为1.

故选：A.

求出方程的所有根，即可得答案.

本题考查了函数与方程思想，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：｛厮｝为等比数列，。2+4。4=4。3，

,,,a^q+4向『=4伙］2,

4/—4q+1=0,

解得｛丽｝的公比q

故选：D.

利用等比数列的性质求解.

本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

6.【答案】C

（y=2x03

【解析】解：联立（22c。c，整理可得：5/—2/—3=0,解得，=—三，/=1，

Ix+y-2x-3=05

36

即（―十一三）或（1,2）,

55

?6

因为Q川=所以8（—三,一工）,

0O

所以|。引=/（—|）2+（—|）2=?.

故选：C.

联立直线与圆的方程，可得交点的坐标，再由|0旬的长度，可得点3的坐标，进而可得|。引的长度.

本题考查直线与圆相交的点的坐标的求法，属于基础题.

7.【答案】C

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【解析】解：/'（工）=^—ec+2（，—1）,

知/⑴=0，

令尸⑶=0得e，=（e—2）z+2.

由图知存在3<0,

当/C（一00,磔）时，f\x）>0,/（非）单调递增;

当ce（如,1）时,/（x）<0,/（①）单调递减；当a；e（1,+oo）时，f'（x）>0,/（，）单调递增.

X(一00,4)g(如1)1(l,+oo)

f'3+0-0+

极小值

于⑺T极大值/（必）T

/⑴

对于选项C,y=x3—3x,y'=3or2—3=3(a;—l)(a:+1),

与/（c）一样，从左向右看先有极大值，再有极小值，符合题意.

故选：C.

根据题目所给定义求解即可.

本题考查导数的综合运用，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：因为双曲线。：/—"=1,所以a=l,b=2娓，c=5,

24

因为PN平分/F1PF2,所以/F?PN=4MPN,

又MNIIPF2,且过。点，

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所以4MNP=NFzPN=NMPN,且M为P—的中点，

2

所以|VN|=|A/P|=也理，又眼N|=1|P弱，设上司=力，

O

Af

则|PFi|=\MP\+\MF]\=2|MN|=

o

4ff

所以卢局―|P6|=W-t=W=2a=2,所以t=6,

oo

所以|P国=1=6,|PFi|=/=8,又间福=2c=10,

所以|P四2+|p码2=因理2,所以PFJPF2，

所以△。凡凡的面积为:x6x8=24.

故选：C.

根据双曲线的几何性质，角平分线的性质，勾股定理，三角形面积公式，即可求解.

本题考查双曲线的几何性质，焦点三角形面积的求解，属中档题.

9.【答案】CD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于N,甲的平均成绩为诞=吃(7+7+8+9+8+9+10+9+9+9)=8.5,乙的平均成绩为

方乙=上(8+9+7+8+10+74-10+10+7+10)=8.6,

则甲的平均成绩低于乙的平均成绩，N错误；

对于3,由数据分析，甲成绩的波动比较小，成绩更稳定，而乙成绩的波动较大，成绩不稳定，

由于对手平均成绩较差，稳定发挥水平就能获得冠军，则应该选择甲参加比赛，8错误；

对于C,甲的10次成绩中，大于9.2环的有1次，而乙有4次大于9.2,

若对手平均成绩9.2环，则选择乙参加比赛，C正确；

对于。，甲的10次成绩中，大于8.8环的有6次，而乙有5次大于9.2，

若对手平均成绩8.8环，则选择甲参加比赛，。正确.

故选：CD.

根据题意，由平均数的计算公式分析/,分析数据的波动大小判断8,分析甲、乙成绩大于9.2和8.8的次数,

判断。和。，综合可得答案.

本题考查数据平均数、波动大小的分析，考查运算求解能力，是基础题.

10.【答案】ACD

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【解析】解：记平行六面体AB。。-的体积为/=6，

对于/,由平行六面体的性质，415//平面。

故点P到平面OiOCCi的距离等于点B到平面DiDCCi的距离，

故Vp-C-iCD=VB-CJCZ)=|><^=1,故/正确；

对于3,因为VP—氏。1。=]VP-BiDiDB，底面面积固定，点P在线段413上位置不同，高不同，故体积不为

定值，故2错误；

对于C,因为小48,平面OQU平面。1耳。，故人田〃平面。1场。，

点尸到平面的距离等于点2到平面场。的距离，

故Vp-DiBtC=VB-DBC=VDi-BCBx=〈X〈V=1,故C正确;

对于。，因为AiR〃OOi，41旦《平面。14。，OQu平面。p4C,故A/〃平面04。，

点P到平面0P4。的距离等于点B到平面0P4。的距离，

故Vp-DiAC=VB-D1AC=VDi-BCA=1X=1,故。正确.

故选：ACD.

根据线面平行的性质，将动点到面的距离转换成定点到面的距离，利用等体积法依次求解即可.

本题主要考查棱锥体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

11.【答案】BCD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4,定义域为R的函数/0)满足：\/x>yeR,f(x+y)+f[x-y)=/(x)/(y),且于1)=1,

令y=0,有2/⑶=/(0)/㈤,即/⑶[/(O)—2]=0恒成立,

必有/(0)=2,/错误；

对于3：令Z=0,则/仅)+/(—9)=/(0)/®),即/®)+/(—幼=2/®),变形可得:于5=A—y),

则/(Z)是偶函数，故2正确；

对于C,对任意X,yeR,f(x)f(y)=f(x+y)+f(x—y),

令y=1，可得/⑶"1)=/(2+1)+/(/—1),即/(2+1)+/(N一1)=/(/),

变形可得f(c+2)+f(x)=f8+1),

联立可得：/(/+2)+/侬-1)=0,即加+3)+/(切=0,

则有f[x+6)=-f(x+3)=/(a;),

则/(2)为最小正周期为6的函数，C正确；

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对于。，由于13+3)+/3)=0,/3)为偶函数,则/(，+3)+/(—比)=0,

故(|,0)是/(①)的一个对称中心，。正确.

故选：BCD.

根据题意，利用特殊值法分析N和比由函数周期性的定义分析C,结合函数奇偶性和对称性的性质分析，

综合可得答案.

本题考查抽象函数的奇偶性和周期性的判断，注意赋值法的应用，属于中档题.

12.【答案】2

【解析】解：A={rr|In®<1}={rr|O<x<e},B={0,1,2,3,4),

则4nB={1,2}.

故答案为：2.

先求出集合力,然后结合集合交集运算即可求解.

本题主要考查了集合交集运算，属于基础题.

13

13.【答案】y

【解析】解：等差数列{厮}各项不为零，前〃项和为S0,Sn=anan+1,

：.ai=ai&2，解得02=1，

电+1=a2a3=&3，

-的=2d=1,d=；,

…,1113

«13=«2+lid=1+—=—•

13

故答案为：y.

利用等差数列的性质求解.

本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

14.【答案】遛

3

【解析】解：由题意，不妨设AB=AC=1,BC=\/3'则NBAC=120°>AABC=Z.ACB=30°,

设△48。的“勃罗卡角”为a,则NPAB=NPBC=NP04=a，APAC120°-a,

APCB=30°-a，NPBA=30°—a，

PAABQ1T1z-y

在△PAR中，由正弦定理可得：———r=^—,所以=―r,

sm(30°—a)sm150°sm(30°—a)

，.,PAAC,「/sina

在△P4C中t，由正弦定理可得：-7=^-^-,可得。人二:访亦一r,

sm(30°—a)sm150°sm(120°—a)

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smasma

所以即sin(30°-d)=sin(120°-d),

sin(30°—a)sin(120°—a)

所以30°—。+120°—a=180°，解得a=30。，

所以tana=

3

故答案为：VI.

3

不妨设43=4。=1，禽，则乙84。=120°，=乙4CB=30°，设△AB。的”勃罗卡角

为。，则APAB=4PBe=APCA=a，则APAC=120°-a，APCB=30°—a，NPBA=30°-a，

在中，由正弦定理求得尸/,在△P4C中，由正弦定理求得PN,由此求得tana.

本题考查了平面向量的数量积运算，也考查了三角形的面积计算与三角恒等变换，是中档题.

15.【答案】解：：(1)因为a,6,c是公差为2的等差数歹U,

所以b=a+2,C=Q+4,

所以Q+(Q+2)〉(a+4),则Q〉2,

其次，因为△AB。为锐角三角形，

7T

所以最大角Ce(0,5),

所以cos。〉0,则十一〉0,

2ab

所以。2</+必，即。2一%—12〉0,解得Q〉6；

(2)因为7sin4=3sin。

由正弦定理可得7a=3c,

即7Q=3(Q+4),解得a=3,则b=5,c=7,

a2+b2—c21

所以cosC

2ab2'

V3_15A/3

所以S4ABe-absinC=-x3x5x

2224

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

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16.【答案】解：(1)证明：取NC的中点为E,连接DE,

因为。为尸C的中点，所以0石〃P4,

因为P4_L平面/8C，所以。EJ_平面/8C,

所以DELAC，因为AB=BC=1,所以BEL4C，

因为DECBE=E，所以47,平面3DE,且RDu平面8。£，

所以80,4。；

(2)以点/为坐标原点，以直线/尸分别为x,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

因为AB=BC=1，NABC=120°，PA=AC，

所以8(1,0,0),P(0,0,通)，C(*g,0)，

则居，苧，殍),所以初=(1,??)，

平面PAB的法向量为元=(0,1,0),

所以cos<r?>='BD-Tt_丁_73

|国同|—1x1—4

【解析】(1)先证平面再根据线面垂直的性质定理即可得证;

(2),建立空间直角坐标系，求出平面尸的法向量，利用向量法求解即可.

本题考查线线垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题.

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力

17.【答案】解：⑴因为尸Q)=ln(a;-1)+——a,

设s(c)=F(x)=ln(±-1)H------a,

x—1

〃、11x—2

因为1<2<2时，"(,)<(),f(c)单调递减;

x〉2时，d(£)>o,r(c)单调递增，

所以〃％in=r⑵=2-a，

因为/(2)在定义域上单调递增，

所以「⑶》0恒成立，

所以2—a?0,即aW2.

(2)由(1)可知，当?/=/0)—加有两个不同的零点时，a〉2,

此时广⑶min=/")=2—。<0，

且2T1时-⑺—>+oo,X一+oo时f\x)—>+oo,

所以尸3)=0,则7=叼，X=a?2(l<<2<x2)>

其中ln(®—1)+-'彳=a(〃=1,2),

Xi-l

因为1<4<叼时,[(乃>0,因为单调递增;

为<2</2时，尸⑶<0,/(2)单调递减；

，〉政时，[(c)>0,/(2)单调递增，

所以刀=为为八/)的极大值点，则机=/(21).

且/(叫)=司皿的—1)—a]=a；i[ln(a；i—1)—ln(a；i—1)---——

设。⑵=一三(1</<2)，则，(乃=/)]；)>0,

所以9(乃在(1,2)单调递增，

所以g(x)<g⑵=-4,即加<-4.

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

18.【答案】解：⑴易知直线I：y=一%+1,

因为b=l，£=/_,,

解得Q=2,

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2

则椭圆C的标准方程为T之+/=1；

4

⑵⑴设直线/的方程为6=加沙+4,4(如明),B(x2,yj,

x=my+4

x22,消去工并整理得(?7?2+4)02+8?7?^+12=0,

{「。=1

,.—8m12

由韦达定理得+沙2=,.，V1V2=2-，

m2+4m2+4

而I、ILL阴।改工2yl+6四2-(阴+敌)

所以比+k=-----+-----二-7----五7-----n—，

2Xi—1徵一1(力1—1)(^2—1)

12—8m

因为为统+xyi-仅1+v/2)=2m眦2+3(讥+y)=2mx+3x],彳=0,

2277?/+4777/+4

所以-智斗普罕二。,

(71—1)(12—1)

⑻易知M4垂直平分线方程为y-^=—2二-巴好),

zyi/

日口xi-134小

即g=---——X+t—^,①

V18阴

同理得MB垂直平分线方程为？/=-9二+舞，②

V28y2

因为比+%=0,

0,

所以3

即金+金=。，

yiV2

—o,口二3*3舄3/11,、、3(vi+V2)/,、

®+®^2to=-+-=-(-+--h+y2))=-.^-(l-W2))

角星得VE=|*"“I_眦2),

4V1V2

②-①得'"2阴一…'二素”二2+3—讥)),

明沙22加沙2

因为直线N3过点P(4,0),

所以kp4=kpB>

yiV2

m即----7=----p

a：i—472-4

整理得立四2-改阴=4(侬-yi)，

所以4E=；(l+?/l?/2)，

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—8m

3(勿+仪)3/+4

则kME=