2025年九年级数学下册三角函数专项训练100题（含答案）

三角函数专题训练100题

阅卷人

一'单选题

得分

1.如图，菱形ZBCD的对角线交于点。，4E1BC于点E,若cos乙4BC=3AB=10,贝!MC的长为

)

A.12B.10C.4V5D.2A/5

2.如图，在平行四边形ABCD中，AB为O。的直径，O。与DC相切于点E,与AD相交于点F,

已知48=12,ZC=60°,则图中阴影部分面积是（）

B.36-12vl-37r

C.36—98一3兀D.36-6V3-6n

3.如图，4B为。。的直径，弦CO与直径4B平行，弦BC与弦40,。。分别交于点E,F.若

)

「V5

T,丁

4.如图，将矩形绕点C沿着顺时针方向旋转90。到矩形A'B'C'D'的位置，AB=2,AD=4,则

阴影部分的面积为（)

A.金兀-4A/3B.事兀一2V3^C.^7r—4V3D.§兀-2A/3^

5.如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB'C'D位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB'交

CD于点E,若AB=3,则4AEC的面积为（）

A.3B.1.5C.2V3D.V3

6.如图为某大坝的横断面，斜坡AB的坡比i=l：2,背水坡CD的坡比i=l：1,若AB的长度为

6西米，则斜坡CD的长度为（）.

D.米

7.如图，正六边形ABCDEF外作正方形OEGH,连接AH、BE交于点0,求需的值（）

D.2一乃

JC-3

8.如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔CD的高度，信号塔CD对面有一座高15米的

瞭望塔测得瞭望塔底B与信号塔底。之间的距离为25米，若从瞭望塔顶部4测得信号塔顶C的仰

角为a,则信号塔CD的高为()

A.(15+3")米B.(15+25•s讥a)米

C.(15+需；戊)米D.(15+25-tana)米

9.在△ABC中，NC=90°,cosA=|,贝ijtanB=()

4

A.4Bc-D.

5-155

10.如图，在2x2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于|,贝Ijsin/CAB=()

B.WD.3

10

阅卷人

二'填空题

得分

11.如图，已知M为线段的中点，4E与BD交于点C,ADME=AA==45°,DM交AC于点

F,ME交BC于点G,连接FG,如果4B=4VX/F=3,那么FG的长为

12.如图，在△ABC中，/ACB=90。，点D为AB边的中点，连接CD,若BC=4,CD=3,则

cosZB的值为

ft

H

13.如图，已知边长为2的正方形OABC在直角坐标系中，OA与y轴的夹角为30。，则点C的坐标

为.

14.如图，Rt△力BC中，乙4cB=90。，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：

①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交于点G；分别以点G,B为圆心，以大于的长为半

径画弧，两弧交点K,作射线CK；

②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M,交ZB的延长线于点N；分别以点M,

N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P,作直线交AC的延长线于点D,交射线CK

于点E.

请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；

(1)线段CD与CE的大小关系是；

(2)过点D作DF1AB交力B的延长线于点F,若力C=12,BC=5,贝UtanZDBF的值为.

15.计算：tanl°-tan2°-tan3°.......tan87°-tan88o,tan89°=

16.计算：tan45°+J（2-V5）2+出之=.

17.如图，已知OC经过原点，与坐标轴分别交于A,B两点，点B的坐标为（0,28），点D在。C

上，若乙4。。=30°,则点C的坐标为.

18.如图，在矩形ABCD中，AB=2DA,以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E,交AD的

延长线于点F,设DA=2,图中阴影部分的面积为.

19.在中，乙4BC=90°,BDLAC,垂足为点D,如果ZB=5,BD=2,那么

cosC=・

20.如图所示，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：2（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之

比），坝高BC=3zn,则坡面AB的长度是m.

阅卷人

三'计算题

得分

21.雷峰塔是杭州市西湖景区的地标性建筑，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座

彩色铜雕宝塔.某数学兴趣小组用无人机测量雷峰塔4B的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂

直上升至距离地面200m的P点，测得雷峰塔顶端A的俯角为22。；再将无人机沿雷峰塔的方向水平

飞行120m到达点Q,测得雷峰塔底端B的俯角为45。，求雷峰塔4B的高度.（参考数据：s讥22。。

0.37,cos22°«0.93,tan22°«0.40）

pQ

23•计算(仃-2)°—3tan3(r++8)之.

24.先化简，再求代数式(二不—与的值，其中a=2sin60。+tm45。.

u-r1a乙一1Cl-r1

25.先化简，再求代数式a?、4a+4+咯一i的值,其中。=2sin45。.

a2+aa+1

26.计算：(-l)2024+2cos300+(2024-7r)0-2tan45°.

27.(1)计算:V9+(TT+1)°+2sin60°+|2-V3|；

(2)解方程：2(%—3)2=3—x.

28.(1)化简：(a+2产—(a+3)(a—1)；

(2)计算：6sin60°+(TT-100)°-V27+|-2|.

29.计算：2tan45°-.^-2sin260°.

sin30°no

30.计算VH+lV5-212tan60°+(1)L

阅卷人

-----------------四、解答题

得分

31.如图，已知是。。的直径，点C在。。上，点E在4B上，作DE14B交4C的延长线于点

过点C作O。的切线CF交DE于点工

(1)求证：CF=DF.

(2)若点C为4。中点，CF=孕，sin^ADE=j,求。。的半径.

45

32.图1、图2均是8义8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB,CD,MN的端点

均在格点上，BC与AD相交于点E,回答下列问题：

D

图1图2

△ABE的周长

(1)在图1中，tanzDXB=

ACDE的周长

(2)在图2中请用一把无刻度的尺子，画出线段MN三等分点P,Q.(保留作图痕迹)

33.为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表:

方案设计方案1方案2

Z)C1J

G

裁剪方案示意图M

AEBANB

说明图中的正方形4EFG和正方形MNPQ四个顶点都在原四边形的边上

测量数据AD=9dm,CD=2dm,AB=14dm,Z-A=乙D=90°；

任务1:探寻边

填空：BC=______▲______dm,sinB=_______▲______；

角

任务2：比较面

计算或推理：正方形4EFG和正方形MNPQ边长之比；

积

任务3：应用实若在△BEF余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为▲

践dm.

34.如图，已知AB是。。的直径.点P在的延长线上，点D是。。上一点.连接P0,过点B作

BE垂直于PD,交PC的延长线于点C、连接4。并延长，交BE于点E,且AB=BE

E

C

D

(1)求证：PC是O。的切线；

(2)若PA=2,tcmB=*求O。半径的长.

35.如图，AB为。。的直径，D、E是。。上的两点，过D作。。的切线交AB的延长线于点C,

连接AD,BE,BD.

(2)若tanABED=mAC=18.求。。的半径.

36.如图，灯塔B位于港口力的北偏东58。方向，且A、B之间的距离为30km,灯塔C位于灯塔B的正

东方向，且B、C之间的距离为10km,一艘轮船从港口4出发，沿正南方向航行到达。处，测得灯塔C

位于北偏东37。方向上，这时，。处距离港口4有多远(结果取整数)？(参考数据：sin58o=0.85,

cos58°®0.53,tan58°«1.60,sin37°«0.60,cos37°®0.80,tan37°«0.75)

37.惠州泗州塔始建于唐朝，是一座八角七层的楼阁式石专塔，如图所示，为了测量塔高A。，已知在

C处测得塔顶的仰角乙4C。=45°,朝塔脚前进CB=16米到B点，在B处测得塔顶的仰角乙4B。=

60°,已知乙40B=90。，请求出塔高A。约为多少米.(b=1.7,结果精确到个位)

A

图1图2

38.如图，为了测量甲楼CD的高度，由于甲楼的底部D不能直接到达，于是，测量人员在乙楼的顶

部A测得甲楼的顶C的仰角是65。，底部D的俯角是45。，已知乙楼48的高度是12米，求甲楼CD的

高度.（参考数据：sin65°«0.91,cos65°«0.42,tan65°«2.14,结果精确到0.1米）

□

□

□

□

□

-

6□

T5°□

J45

X□

BD

39.如图为某游乐场摩天轮简化示意图，摩天轮最低端与地面的距离忽略不计，即可看作摩天轮与

地面相切于点C,摩天轮最外端圆的直径约为120米.夜晚，小明坐在透明座舱旋转到点B,测得

到地面的距离为90米，即BD=90米.

(1)小明所在位置距摩天轮的中心O的水平距离；

(2)当小明再次转到与到地面的距离为90米时，求小明走过的路程.

40.如图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构

示意图，量得托板力B=120nun,支撑板CD=110mm,底座DE,托板AB固定在支撑板顶端C处,

且CB=40mm,托板4B可绕点C转动，支撑板CO可绕点D转动.

A

C

々DLL--------L---------E

图1图2

(1)若乙DCB=70°,乙CDE=60°,求点A到直线OE的距离.(精确到0.1mm)

(2)为了观看舒适，在(1)的情况下，把绕点C逆时针旋转20。后，再将CD绕点D顺时针旋

转，使点B落在直线OE上，求CD旋转的角度大约是多少度？

参考数据:(sin40°«0.643,cos40°«0.766,tan40°«0.839,sin20°«0.342,cos20°«0.940,

tan20°x0.364,V3«1.732).

41.某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥.如图，河

旁有一座小山，山高BC=80m,点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和

对岸F的俯角分别为乙DBE=45。，乙DBF=31。.若在此处建桥，求河宽EF的长.(结果精确到

1m)[参考数据：sin31°«0.52,cos310工0.86,tan31°«0,60]

42.小张是“科技协会”的一名会员，他设计了一款距离测量仪器，这款仪器的最大测量距离为34米

(测量距离为两点所连线段的长度).为了测试这款仪器的性能，小张来到一座小山坡.从山脚A处

开始，作为测量点，手持仪器沿斜坡AB向上走.已知ACLBC,AC=19.2米，BC=8米.

(1)求tan/A的值；

(2)小张到达B后继续测试，先走一段水平路面BD,BDHAC,长为2.8米，再沿另一斜坡DE

向上走，直到G点，此时G,A两点之间达到最大测量距离34米，且斜坡DE的仰角为45。.请求

出DG的长度.(结果保留一位小数，在整个测量过程中，小张所走的路线在同一平面内:

V2=1.41,V3=1.73）

43.如图所示，渔船在4处看到灯塔C在北偏东60。方向上，渔船向正东方向航行了12MH到达B处,

在B处看到灯塔C在正北方向上.

（1）求这时渔船与灯塔C的距离.

（2）若渔船继续向正东方向行驶4km到达。处，求sin/BCD的值.

44.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离AB是

1.7m,看旗杆顶部M的仰角为45。；小红的眼睛与地面的距离CD是1.5加，看旗杆顶部M的仰角为

30°.两人相距28米且位于旗杆两侧（点B,N,。在同一条直线上）.请求出旗杆MN的高度.（参考

数据：1.4,V3«1.7,结果保留整数）

45.如图，已知斜坡4B长为60米，坡角（即NB4C）为30。，BCVAC,现计划在斜坡中点。处挖去

部分坡体（用阴影表示），修建一个平行于水平线C4的平台DE和一条新的斜坡BE.

□□

□□

□□

□□

（1）若修建的斜坡BE的坡角为45。，求平台DE的长；（结果保留根号）

（2）一座建筑物距离A处30米远（即4G为30米），小明在。处测得建筑物顶部H的仰角（即

乙HDM）为30。，点4G,H在同一个平面内，点C,4G在同一条直线上，且HG1CG,求建筑物

的高度.（结果保留根号）

阅卷人

-----------------五、阅读理解

得分

46.阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（a+P）=sinacosp+cosasinp,tan（a+p）=

:峨：喘.利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75。

1—LClfluLClflp

=tan（30。+45。）=要4竟管3惠=1+三=3+^=2+有

1—tan450+tan30°]_]义与3

问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题

（1）求sin75°；

（2）如图，边长为2的正△ABC沿直线滚动设当△ABC滚动240。时，C点的位置在C.当

△ABC滚动480。时，A点的位置在A.

①求tanNC4L的值；

②试确定^CAC+LCAA'的度数.

47.某校综合实践小组为测量学校国旗旗杆的高度，甲、乙两名同学设计了不同的测量方案.请阅

读材料，完成下列问题.

如图2,甲同学目高AB（眼睛到地面距离）1.60米，站在距离旗杆CD底部>0）米处，用简

易测角仪测量观察旗杆顶点C的仰角a（0°<a<90。），通过计算求出旗杆CD的高度.

（1）请用含有m,a的代数式表示旗杆CD的高度=米.

为了减少误差，该同学进行了五次测量并计算，统计的数据如下表.

序号离旗杆底部距离（单位：米）仰角旗杆的高度（单位：米）

1050°13.52

②1539°13.75

③2041°18.99

④2526°13.79

⑤3022°13.72

（2）观察上表数据并判定第组数据测量有误.（从“①，②，③，④，⑤”中选填）

（3）乙同学计划用自制的立角三角板力FG（两锐角大小不确定）和卷尺测量.如图3,乙同学目

高ZB（1.60米），他调整位置，设法使斜边ZG保持水平，边AF与旗杆顶点C在同一直线上.请你帮

助乙同学确定哪些线段需要用卷尺测量，将测量得到的长度用字母a,b,c...表示，求旗杆CD的高

度（用含有a,b,c...的代数式表示）.

48.【阅读理解】

在△ABC中，Z.BAC=90°,AB=AC,过点B、C分别作1的垂线，垂足分别为点D.

DE=；

（2）规律探究:

（I）如图②，若直线1从图①状态开始绕点A旋转a（0<a<45°；,则线段BD、CE和DE

的数量关系为.

（II）如图③，若直线1从图①状态开始绕点A顺时针旋转01（45。<&<90。），与线段BC相交

于点H,请探究线段和DE的数量关系并说明理由；

（3）尝试应用：在图③中，延长线段交线段AC于点F,若CE=3,求AF的长.

49.阅读下列材料：

在AABC中，乙4,乙B,乙C所对的边分别为a,b,c,求证：-Ar=

证明：如图1,过点C作CD1AB于点D,则

在Rt△BCD中，CD=asinB,

在RtLACD中，CD=bsinA,

a_b

■■asinB=bsmA,

sin4-sinB

图3

根据上面的材料解决下列问题：

b

(1)如图2,在AABC中,乙4,乙B,/.C所对的边分别为a,b,c求证:

sinB一

c

sinC*

(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会,张家界市积极优化旅游环境.如图3,规划中的一

片三角形区域需美化，已知乙4=67。，Z.B=53°,AC=80米，求这片区域的面积.(结果保

留根号.参考数据：sin53°«0.8,sin67°«0.9)

a

阅读下列材料：在AABC中，乙乙B,所对的边分别为a,b,c,求证:

50.4,ZCsin/

b

sinB'

证明：如图①，过点C作CDLAB于点D,则:

在Rt△BCD中，CD=asinfi,

在Rt△ACD中，CD=bsinA,

・•・asinB=bsinA.

.♦_b

•・sinA-sin

根据上面的材料解决下列问题:

b

(1)如图②，在4ABC中，乙4,乙B,乙C所对的边分别为a,b,c,求证:

sin8

c

sinC;

(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境.如图③，规划中的

一片三角形区域需美化，已知乙4=67。，=53。，4C=80米，求这片区域的面积（结果保

留根号，参考数据：sin53°«0.8,sin67°«0.9）.

51.“彼此让一让，路宽心更宽”，斑马线前礼让行人是城市文明的一种具体体现，也是司机理应履

行的一项法定义务，我市在锦惠路人民医院等路段设立了“礼让行人”交通标识.某数学小组在老师

的指导下对某路口的交通情况进行了如下探究.

问题情景：如图，某无红绿灯的路口有一行人从点力处出发，通过斑马线AD时，正好有一辆位于车

道中间的小汽车从点B（小汽车前沿中点）沿该车道中间直线匀速朝斑马线驶去.已知行人的速度是

lm/s,小汽车的速度为30km",每个车道宽3m,双向车道中间有宽0.5小的隔离带.若小汽车与行人

通过同一路口的时间差在5s内（不包含5s）,则存在交通安全隐患，此时要求小汽车“礼让行人”.

问题思考与解决：

0.5m

3m+3m3m

非

机

动

车

道

DMODDlDDOnODDM

（1）若4BAC=76°,

①计算此时小汽车到斑马线的距离BC；

②若在B点时小汽车司机发现行人后，立即减速慢行，结果在行人到达点C时，小汽车前沿离行人

还有1m,此时司机停车“礼让行人”，求小汽车在这一段的平均速度.

（2）若小汽车刚好不需要“礼让行人”，求NBAC的度数.

（参考数据：tan72°«3,tan76°«4,tan86°«14）

52.阅读与思考

阅读下列材料，并解决后面的问题.

在锐角AABC中，乙4,乙B,NC的对边分别是a,b,c,过C作CE1/B于E（如图1）,贝UsinB=

等,sin/=华,^CE=asmB,CE=bsinA,^asinB=bsinA,即磊=岛.同理有薪=

ac_b所pja_b_c

sin4'sinC-sinB''sinA—sinB—sinC即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比

相等.

运用上述结论和有关定理，在锐角三角形中，已知三个元素（至少有一条边），就可以求出其余三

个未知元素.根据上述材料，完成下列各题：

（1）如图1,在△ABC中，44=60。，ZC=45°,BC=30,贝！MB=；

（2）如图2,一艘轮船位于灯塔P的南偏东60。方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向

航行一段时间后，到达位于灯塔北偏东45。方向上的B处，此时B处与灯塔的距离为海里；

（结果保留根号）

（3）在（2）的条件下，试求75。的正弦值.（结果保留根号）

53.阅读下面的材料，并回答所提出的问题：如图所示，在锐角三角形ABC中，求证：$二$

smBsine

这个三角形不是一个直角三角形，不能直接使用锐角三角函数的知识去处理，所以必须构造直角

三角形，过点A作401BC,垂足为D,则在RtAABD和RMACD中由正弦定义可完成证明.

解：如图，过点A作ZD1BC,,垂足为D,

在Rt△ABD中，sinB=则4。=csinB

Rt△4CD中,sinC=臆,则40=hsinC

所以csinB=bsinC,曰nb_c

sinB-sinC

（1）在上述分析证明过程中，主要用到了下列三种数学思想方法的哪一种（)

A.数形结合的思想；B.转化的思想；C.分类的思想

(2)用上述思想方法解答下面问题.

在△ABC中，ZC=60°,AC=6,BC=8,，求AB和△ABC的面积.

(3)用上述结论解答下面的问题(不必添加辅助线)

在锐角三角形4BC中，AC=10,AB=5V6,Zf=60°,求＜8的度数.

54.阅读以下资料：

在△ABC中，若记内角A,B,C所对的三条边分别为a,b,c,贝kosZ=日芷二必，或写成

2bc

22

a^=b+c-2bccos4这称为余弦定理.余弦定理可以在已知三角形三条边的情况下，求出任意一个

角的余弦值；也可以在已知两条边和任意一个角的情况下，求出第三条边.

请尝试解决以下问题：

(1)若(a+b+c)(a—b+c)=3ac,求角B的值；

(2)若A=60°,且a=gc,求2的值.

c

55.阅读与思考：

请仔细阅读并完成相应的任务.

利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题.如图

31-12,在锐角三角形ABC中，乙4,乙B,ZC的对边分别是a,b,c,过点B作BH1AC

于点H,贝Ucos4=^=®,即44=c•cos4,于是CH=b-c•cos/.4RtAABH

BAc

2222222222

中，BH=AB-AH,在中，BH=BC-CHf/.c-ccos71=a-(b-

c-cosA)2,整理得a2=b2+c2—2bc-cos4

任务:

图31-12

(1)b2=，c2=

(2)已知△ABC中,乙4,z_B,Z-C所对边分别是a,b,c,a=V5/b=2,cosC=

求c.

56.阅读材料:

关于三角函数还有如下的公式：sin(a±B)=sinacoSjS±cosasin^；

/,小tana+tan6/八、tancr—tanfi

tan(a+S)=1飞记tan^；tan(a—/?)=.2.心呼

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值.

,al+1CO*"匚。QnoAtan450-tan30°1一学(3—右)(3—问12-673„万

例：tanl5。=tan(45°-30°)=*>5。.30。==(3+a(3-a==2一K

根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题

(1)计算：sinl5°；

(2)乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一(图1),小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如

图2,小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75。，小华的眼睛离地面的距离DC为

1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度.(精确到0.1米，参考数据百=1.732,V2=1,414)

57.阅读理解学习:

在学习《解直角二角形》这一章时，小迪同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的

面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是她的学习笔记.请仔细阅读下列材料并完成相应的任

务.

【阅读材料】：在^ABC中，乙4,NB/C的对边分别记为a,b,c,AABC的面积记为S^BC，过点人作A。1

BC,垂足为。，则

AD

•・,sinB=AD=AB•sinB

111

・•・SAARC=KBC•AD=TTBC-AB•sinB=-^a•c-sinB

△ABL222

同理可得：S〉ABC=sinAS.Bc='b•sinC

即：S4/BC=勃•c•sinH=^a-c-sinB=•b-sinC...①

由以上推理得结论①：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半.

又，：abcW0,将等式聂.c-sinA=ia'c-sinB=ia-b-sinC两边同除以鼻be得・,・史”"="普

2222ab

sinC小

由以上推理得结论②：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等.

【理解应用】请你学习上述阅读材料解答以下问题：

如图，甲船以24次海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于4处时，乙船位于甲船的南偏西75。

方向的B处，且乙船从B处沿北偏东15。方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达。处时，乙船航行

到甲船的南偏西60。方向的C处，此时两船相距8b海里.

(1)求AADC的面积；

(2)求乙船航行的路程是多少海里(结果保留根号).

58.【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：①cos(a+3)=cosacosS—sinasinf；②sin(a+

8)=sinacosS+cosasin/?；③tan(a+6)=京(1一tana-taniSg0).利用这些公式可以

将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如tanl05°=tan(45°+60°)=

tan45+tan60_1+V3_(1+V^)(1+V^)_4+21/3_反、

l-tan45-tan60l-lxV3(1—V3)(l+V3)—2)

【学以致用】根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：

(1)求cos75。的值；

(2)如图，一架直升机在一建筑物CD上方的点A处测得建筑物顶端点D的俯角a为60。，底端点

C的俯角。为75。，此时直升机与建筑物的水平距离BC为42m,求建筑物的高;

（3）疫情封控期间，直升机给该建筑物的居民投放物资，试求飞机从点A处往正东方向飞多

远，居民在点D处看飞机的仰角恰好是30。.

59.材料阅读:

光从空气针射入水中时，传播方向

发生了偏折，这种现象叫做光的折

\法线空气

射.我们把入射角a的正弦值和折射

角0的正弦值之比称为折射率（n）,

X水

即n=舞，已知光线从空气进入水

中时的折射率为/

问题解答：

如图，矩形ABCD为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点。，折射后照到水槽底部的

点Q,测得ZNOQ=37。，NQ=12cm.若P,O,C三点在同一条直线上，请依据相关材料求CQ的

长.（结果精确到0.1cm；参考数据：sin37°«f,cos37°«1tan37°

b54

60.阅读理解学习：

在学习《解直角三角形》这一章时，小迪同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形

的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是她的学习笔记.请仔细阅读下列材料并完成相应

的任务.

【阅读材料】：在△ABC中，乙4,乙B,ZC的对边分别记为a,b,c,△ABC的面积记为S^BC，过

点4作401BC,垂足为。，则

AD

•・,sinB=AD=AB-sinB.

AD

111

・

••△A以=K2BC•AD=2KBC-AB-sinB=2不。•c,sinB-

同理可得：S^ABC=。•sEA,S>ABC=,b•sinC.

即：S△力BC=qb・c•sinA=•c•sinB=•b•sinC…①.

由以上推理得结论①：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半.

又•・,abcW0,将等式鼻•c-sinA=ia-c-sinB=ia-h-sinC两边同除以5abe得，，包竺=

2222a

sinB_sinC伪

b~c

由以上推理得结论②：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等.

【理解应用】请你学习上述阅读材料解答以下问题：

如图，甲船以24海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于4处时，乙船位于甲船的南偏西75。

方向的B处，且乙船从B处沿北偏东15。方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达。处时，乙船航

行到甲船的南偏西60。方向的C处，此时两船相距8海里.

（2）求乙船航行的路程是多少海里（结果保留根号）.

阅卷人

得分

61.如图，以AD为直径的半圆。经过RtAABC斜边AB的两个端点，半圆。与直角边力C交于点E,且

B,E两点是半圆弧的三等分点.

C

A

D0ADOA

ffll1也

（1）在图1中，请仅用无刻度的直尺,按要求完成下列作图（作图过程用虚线，作图结果用实线

）.

①画一条和BC平行的弦；②画BE的中点M.

（2）如图2,已知。。的半径为4,求图中两个阴影部分面积的和.

62.如图，正六边形4BCDEF,请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）.

（1）在图1的正六边形ABCDEF内部作一点M,连接4M,使得aBAM=60°.

（2）在图2的正六边形ABCDE/内部作一点N,连接4N,使得tan/BAN=*.

63.图①、图②、图③均是3X3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段4B的端点和

点P均在格点上.请按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹.

（1）在图①中画一条以P为端点的射线PC,使其平分线段4B,点C在线段ZB上；

（2）在图②中画一条以P为端点的射线PD,使其分线段4B为1：3两部分，点D在线段2B

上；

（3）在图③中画一条以P为端点的射线PE,使tan/PEB=1,点E在线段4B上.

64.图①、图②、图③均是3X3的正方形网格，每个小正方B、P、Q均在格点上.请按要求完成作

图，保留作图痕迹.

（1）在线段AB上找一点C,使其平分线段AB；

（2）在线段AB上找一点D,使其分线段AB为1：3两部分;

（3）在线段AB上找一点E,使tan/PEB=l.

65.如图是由36个边长为1的小正方形组成的9X4的网格，△ABC的顶点即是网格的顶点.

(1)求tanzABC；

(2)在图中找一个格点D,利用AABD和AZBC说明“有两条边和一个角相等的两个三角形全等

是假命题.

阅卷人

得分

66.如图，矩形。4BC的顶点A、C分别在％、y轴的正半轴上，点。为对角线08的中点，点

E(4,n)在边A3上，反比例函数y=[(k。0)在第一象限内的图象经过点。、E,且tan/BCU4.

(1)①直接写出边A3的长为-4^.

②求反比例函数的解析式.

(2)若反比例函数的图象与矩形的边3C交于点R将矩形折叠，使点O与点尸重合，折痕分别

与x、y轴正半轴交于点H、G,求线段OG的长.

67.R3A5C中，/ACB=90。，点。在AC上，以OC为半径的圆交A3于点。，交AC于点E,且

BD=BC.

(2)连接08交。。于点产，若AD=百，AE=1,求弧C歹的长.

68.图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC

与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直量得胳膊MN=28cm,MB=42cm,肘关节

M与枪身端点4之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA=8.5cm.

G

图2

图1

（1）求乙4BC的度数；

（2）测温时规定枪身端点/与额头距离范围为3~5cm.在图2中，若测得ZBMN=68,6。，小红与

测温员之间距离为50cm问此时枪身端点2与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由.（结果

保留小数点后一位）

（参考数据：sin66.4°«0.92,cos66.4°=0.40,sin23.6°«0.40,V2«1.414）

69.如图，。。是△ABC的外接圆，4。是。。的直径，F是4。延长线上一点，连接CD,CF,且

乙DCF=乙CAD.

%

Q

I)

\//

\\//

FC

(1)求证：CF是。。的切线；

⑵若cosB=|,求器的值.

70.如图，。。上有4B,C三点，AC是直径，点。是初的中点，连接CD交AB于点E,点尸在AB延

长线上，且FC=FE.

（2）求证：CF是。。的切线；

（3）若sinFjBE=6,求。E的值.

71.麦积山位于甘肃省天水市麦积区，是小陇山中的一座孤峰，因山形酷似麦垛而得名.麦积山石

窟始建于384-417年，存有221座洞窟、10632身泥塑石雕、1300余平方米壁画，以其精美的泥塑

艺术闻名世界，被誉为东方雕塑艺术陈列馆.某学习小组把测量本城市麦积山（图②）最高点离地

面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：

课题测量麦积山最高点离地面的高度

B

示意

图

cEA

图1

图2

如图2,麦积山的最高点B到地面的高度为B4在测点C用仪器测得点B的仰角为a,

说明前进一段距离到达测点E,再用该仪器测得点B的仰角为口，且点A,B,C,D,E,F

均在同一竖直平面内，点A,C,E在同一条直线上.

CE

的

a的度数6的度数仪器CD（EF）的高度

测量长

数据度

24

38°42°1.5米

米

请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出麦积山最高点离地面的高度（结果保留一位小

数）.（参考数据：sin38°«0.62,cos38°«0.77,tan38°«0.78,sin42°«0.67,cos42°«0.74,

tan42°〜0.90)

72.已知：如图，AO是。O的半径，AC为。O的弦，点F为的中点，OF交AC于点E,AC=10,

EF=3-

（1）求AO的长；

（2）过点C作CDJ