2025年九年级数学中考二轮复习：全等三角形解答题 提升训练（含解析）

2025年九年级数学中考二轮复习全等三角形解答题专题提升训

练

1.如图，点A、B、C、。在一条直线上，AE〃/加且=户，AB=CD.求证:

(l)AAEB^ADFC；

(2)四边形BECF是平行四边形.

2.如图，在平行四边形ABCD中，点E,尸为对角线AC上的两点，且AE=CF.

(1)求证：LADFm4CBE；

⑵若N3CE=30。，ZAfD=80°,求/CBE的度数.

3.如图，C是/M4N的角平分线上一点，CE±AN,CF±AM,垂足分别为E,F.过

点C作切〃4V,交AM于点。，在射线EN上取一点8,使—CBE=2-DC4.

M

(1)求证：CF=CE；

⑵求证：DF=BE.

4.如图，在VABC中，点。在BC边上，ZBAD=100°,/WC的平分线交AC于点E,

过点E作垂足为b，且NA£F=50。，连接BE.

F

⑴求的度数；

⑵求证：BE平分ZABC；

⑶若40=6,8=10,三角形ACD的面积是16,求的长.

5.如图，AQ为VABC的角平分线，DEJ.AB于点E,DP1AC于点凡连接EF交AD于

点0.

A

(1)求证：垂直平分跖；

(2)若/朋C=60。，DO=2,求AO的长度.

6.如图，在四边形ABCD中，8。所在的直线垂直平分线段AC,过点A作交CD

于F延长ARDC交于点E.

A

⑴求证：AC平分NE4F；

⑵求证：NFAD=ZE；

(3)若/皿＞=90。,4£=5,△?!£右的面积为"，求CF的长.

7.如图在VA5c中，点。在BC边上，440=40。，/ABC的平分线交AC于点E,过点E

作交班的延长线于点E且NAEF=20。，连接OE.

(2)若AB=6,AD=5,CD=7,且5.48=12,求_43£■的面积.

8.如图，在，ABCD中，BE、DG分别平分/ABC、^ADC,交AC于点E、G.

(1)求证：△AGgACEB；

(2)过点E作所，AB,垂足为若平行四边形ABCD的周长为48,EF=8,求ABC。的

面积.

9.如图，DE/AB于E,DblAC于E若BD=CD,AD平分NA4C；

(1)求证：BE=CF；

⑵已知AC=20,BE=4,DF=8,求四边形ABDC的面积.

10.如图，点A,8分别在NMON的边ON,ON上,NMON的平分线OC与48的垂直平

分线C。交于点C,CELOM于点E,CF1ON于点、F.

⑴求证：AE=BF；

(2)若08=8,OE=6,求。4的长.

11.如图，在Rt^ABC中，ZACB=9Q°,D是边AC上的一点，过点A作交BD

的延长线于点E,过点E作砂，AC于点孔过点。作DGL4B于点G,若AG=EF.

(1)试判断VADE的形状，并说明理由.

⑵若CD=2,求AF的长.

12.如图，在VABC中，点。在BC边上，NBAO=100。,NABC的平分线交AC于点E,过

点石分别作^^凡^欣^人2即,台0垂足分别为尸，G,H,且NAEF=50。，连接OE.

(2)若A8=7,AD=4,C£>=8,且548=15,求ABE的面积.

13.如图，在VABC中，点。在BC边上，ZBAD=U0°,BE平分工ABC交AC于点E,

过点E作跖，AB交84的延长线于点E且NAEF=55。，连接DE.

F

A

E

⑴求NC4D的度数；

⑵求证：OE平分4OC；

⑶若AD=4,CD=8,且SACO=15,求跖的长.

14.如图，在梯形ABCD中，ZA=ZB=90°,点E为AB的中点，OE平分/ADC.

(1)求证：CE平分NBCD；

(2)求证：AD+BC^CD.

15.如图，已知VABC中BC边上的垂直平分线OE与1A4c的平分线交于点E,EF±AB

交AB的延长线于点孔£^，4。交于点3.

A

(1)求证：BF=CG.

(2)求证：AG=1(AB+AC).

16.如图，在VABC中，PE垂直平分边2C,交BC于点、E,AP平分ZBAC的外角/BAD,

PGLAD,垂足为点G,PHLAB,垂足为点H.

(1)求证：ZPBH=ZPCG；

(2)若N3AC=90。，求证：BC=2PE.

17.已知：如图，四边形A3CD中，AB//CD,E是线段8C上一点，EA,ED分别平分

和NADC,AE的延长线与DC延长线相交于点

DCF

(1)求证AE=FE；

(2)若AB=9,CD=3,的面积为S1,△AED的面积为S2,求号的值.

18.如图，点C为线段A3上任意一点(不与点A、B重合)，分别以AC、BC为一腰在A3

的同侧作等腰ACD和等腰BCE,C4=CD,CB=CE,/ACD与/BCE都是锐角，且

ZACD=NBCE,连接AE交CD于点连接8。交CE于点N,AE与相交于点尸，

连接PC.

CB

求证：

(1)ACEgDCB；

Q)ZAPC=/BPC.

19.如图，在四边形ABC。中，过点。作CE1AB于点区并且CD=CB,

ZCBE+ZAZ)C=180°.

A

ER

⑴求证：AC平分/AD；

(2)若AB=5,BE=1,求AD的长；

(3)若VABC和.ACD的面积分别为28和16,贝山3CE的面积为

20.已知：如图，VABC中，ZC=90°,过点A作ZM4B=NC4B,分别在AC、AM上取点

。、E,使BD=BE,过点8作垂足为G.

⑴求证：DC=GE；

⑵若/C4M=70。，求的度数；

(3)连接OE,过点C作交DE于点、F.求证：点尸为DE的中点.

《2025年九年级数学中考二轮复习全等三角形解答题专题提升训练》参考答案

L(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题关键是掌握全等三

角形的判定与性质及平行四边形的判定方法.

(1)根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等“得NA="，再结合已知条件并根据全

等三角形判定(边角边)，得AAEB公ADFC；

(2)根据(1)得AAEB且ADFC,由全等三角形的性质得跖=CF,ZABE=/DCF,

进一步根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”得鹿〃CF,再根据平行四边形的判

定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可证得结论.

【详解】(1)证明：〃81,

:.ZA=ZD,

在.和△加C中，

AE=DF

<ZA=ZD,

AB=CD

:..AEB^,DFC(SAS),

(2)证明：由(1)得△AEB咨ADFC,

:.BE=CF,ZABE=NDCF,

：.l800-ZABE=180。—ZDCF

即NCBE=NBCF

:.BE//CF,

四边形班EC是平行四边形.

2.(1)见解析

(2)70°

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角

形的内角和定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键.

(1)由平行四边形的性质可得AD=BC,AD〃C3,则Z£MF=ZBCE,再根据线段的和差

可得AF=CE,最后根据SAS即可证明结论；

(2)由全等三角形的性质可得/3£C=NAFD=80。，然后根据三角形内角和定理即可解答.

【详解】(1)证明：•••平行四边形ABC，

AD=BC,AD//CB,

：.ZDAF=NBCE,

•/AE=CF,

：.EF+AE^EF+FC,即AF=CE,

四△CBE(SAS).

(2)解:,；4ADF"ACBE,NATO=80°,

，NBEC=ZAFD=80。,

•/NBCE=30°,

：.NCBE=180。—NBEC-ZBCE=70°.

3.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，平行线性质，解题的关键在于

熟练掌握全等三角形性质和判定.

(1)结合角平分线定义，证明ZsAb四△ACE,结合全等三角形性质即可证明CF=CE；

(2)结合平行线性质，证明△CEDgACEF,结合全等三角形性质即可证明。尸=BE.

【详解】(1)证明：C是/肠W的角平分线上一点，

.•./3=/4=/5=90,

在△ACF和ZVICE中，

Z3=Z4

Z1=Z2,

AC=AC

ACF^ACE(AAS),

:.CF=CE；

(2)证明：CD//AN,

又：Z1=Z2,

:.N6=2N］，

又•,ZCBE=2ZDCA,即NCBE=2/7,

:./6=NCBE,

在△CTO和CEB中，

26=NCBE

<Z3=Z5,

CF=CE

CFD^C£B(AAS),

:.DF=BE.

4.(1)40°

(2)见解析

⑶2

【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟

练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键.

(1)根据垂直得到NAFE=90。，利用三角形外角的性质得到？BAE140?,再根据

ZBAE=ZBAD+ZCAD,即可求出NCAD的度数；

(2)过点E作根据角平分线的性质得到所=EG,EG=即，进而得

到EF=£H,再根据角平分线的判定定理即可证明结论；

(3)根据三角形的面积公式求出团=2,再根据(2)中结论即可求解.

【详解】(1)解：•・•EF上AB,

.・ZF=90°,

ZAEF=50°,

.•.Z^4E=ZF+ZAEF=900+50°=140°,

QNBAE=/BAD+/CAD,/BAD=100°,

ZCAD=ZBAE-ZBAD=140°-100°=40°,BPZZME=40°.

(2)证明：过点E作£6，仞交入。于点6,E“，氏7交5。于点”,

QZF=90°,ZAEF=50°f

/.ZEAF=90°-50°=40°,

由(1)可知，ZC4T>=40°,

,\ZEAF=ZCAD=40°,

.:AE平分NEW,

QEF±AF,EG1AD,

:.EF=EG,

DE平分ZADC,EG_LAD,EHIBC,

:.EG=EH,

:.EF=EH

QEF1.BF,EHLBC,

...36平分/ABC.

(3)解：QSVACD=16,

,,SvADE+SycDE=16,

:.-ADEG+-CDEH=16,

22

QAD=6,CD=10,EG=EH,

/,-x6xEH+-xl0xEH=16,

22

:.EH=2,

:.EF=2.

5.⑴见解析

(2)6

【分析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质与判

定，含30。角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是证明AE=AF和=尸；证

明AD=2DE和DE=2OO.

(1)由AD为VABC的角平分线，得到。石二小，推出NAEF=NAFE,得至1］钻=诙，从

而可以得到AO垂直平分EF；

(2)由已知推出ZEAD=30。，得到AD=2DE,在DEO中，由ZDEO=30。推出DE=2DO,

即可得到答案.

【详解】(1)证明：：AD为VA5C的角平分线，DE±AB,DFJ.AC,

：,DE=DF,ZAED=ZAFD=90°,

ZDEF=ZDFE,

ZDEA-NDEF=ZDFA-Z.DFE,

即NAEF=N/aE,

AE=AF,

■：DE=DF,AE=AF,

.•.点A、。都在EF的垂直平分线上，

，AD垂直平分班'；

(2)解：VZBAC=60°,AD平分，8AC,

ZEAD=30°,

AAD=2DE,NEDA=60°,

•/AD^EF,

：.ZEOD=90°,

ZDEO=30°,

DE=2DO,

：.AD^ADO,

：.DO=-AD,

4

OA=3OD=6.

6.(1)见解析

Q)见解析

【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到朋=3C,根据等腰三角形的性质得到

ABAC=NBCA,根据平行线的性质得到ZCAF=ZBCA,等量代换证明结论；

(2)根据线段垂直平分线的性质得到A4=DC,根据等腰三角形的性质得到

ZDAC=ZDCA,再根据三角形的外角性质证明即可；

(3)首先推导出CFLAF,过点C作CMLAE,垂足为依据的面积为经，求

4

33

得CM=Z，结合AC平分44尸，CM.LAE,CF±AF从而得到。尸=CM=大.

2f2

【详解】(1)证明：・・•在四边形A3CD中，所在的直线垂直平分线段AC,

:.BA=BC,

:・/BAC=ZBCA,

•・•过点A作交CD于尸，

・•・ZCAF=ZBCA,

：.ZCAF=ZBACf

即AC平分/ELF；

(2)证明：•・•在四边形ABCD中，50所在的直线垂直平分线段4C,

・•・DA=DC,

：.ZDAC=ZDCAf

・・・ZDCA是△ACE的一个外角，

:・/DCA=/E+/EAC,

：.NE+ZE4C=NEW+NG4F,

NCAF=NEAC,

・•・ZFAD=ZE；

(3)解：过点。作CMLAE,垂足为M,如图，

NEW=90。，

AZE+ZADE=90°,

又•；FAD=ZE,

・•・ZFAD+ZADE=90°,

・•・ZAFD=90°f

CF±AFf

V△短（?的面积为二，

4

：.-AE-CM=^-,

24

又：AE=5,

3

/.CM=-,

2

,：AC平分/E4F,CMLAE,CF1AF,

3

CF=CM=-.

2

【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，平行线的性质，等边对等角，三角形外角的

性质，等面积法求高，角平分线的性质定理等知识的综合运用，掌握线段垂直平分线的性质，

等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，数形结合分析是关键.

7.⑴证明见解析；

（2）SAABE=6.

【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题

的关键.

（1）过点E作EG_LAD于点G,EH1BC于点H,由BE是ZABC的平分线,得到EF=EH,

再证明AE是/E4G的平分线，得到£F=EG,进而得到EG=E",即可得出结论；

（2）由S,ACD=12,得到gc£>ZH+gAD-EG=12,求出EF=EH=EG=2,即可求解.

【详解】（1）证明：过点E作£3,4。于点6,EH上BC于点、H,如图：

：8E是/ABC1的平分线，EF±AB,EH1BC,

/.EF=EH,

'：ZAEF=20°,"=90°,

AZfAE,=90°-20°=70°,

ZGAE=180°-ZFAE-ZBAD=70°,

ZGAE=ZFAE,

，AE是/E4G的平分线，

又：EGLAD,EFLAB,

：.EF=EG,

：.EG=EH,

又：EG_LAD,EHIBC,

DE平分NADC；

(2)解：如图：

：.-CDEH+-ADEG=12,

22

VAD=5,CD=1,EH=EG,

-x7xEG+-x5xEG=12,

22

解得：EH=EG=2,

EF=EH=2,

S^ABE=-^AB-EF=^X6X2=6.

8.(1)见解析

(2)192

【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，熟悉

掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

(1)利用平行四边形的性质和角平分线的性质证明即可；

(2)过点E作团13c于点利用角平分线的性质得到E"=£F=8,利用三角形面积

公式列式运算即可.

【详解】（1）证明：石，DG分别平分/ABC,ZADC,交AC于点石、G,

・・・ZADG=-ZADC,/CBE=-ZABC,

22

•・•四边形ABCD是平行四边形，

AZADC=ZABCfAD//CB,AD=CB,

：・ZADG=/CBE,/DAG=/BCE,

在△AG。和二CEB中，

ZADG=ZCBE

<AD=CB,

NDAG=/BCE

・••二AGgC班(ASA)；

(2)解：过点石作于点H,如图所示:

THE分别平分/ABC,EF_LAB于点产，

：.EH=EF=8,

9：AB=CD,BC=DA,且平行四边形ABCD的周长为48,

・•・2AB+2BC=48,

・・・AB+BC=24,

SABC=S筋七+SCBE=gABxEF+gBCxEH=gx8(AB+BC)=gx8x24=96,

在VABC和CDA中，

AB=CD

<BC=DA,

AC=CA

・・・.，ABC^AQM(SSS),

1"SAABC=SACDA=96,

SABCD=^AABC+S&CDA=96+96=192,

ABCD的面积是192.

9.⑴见解析

(2)128

【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定：

(1)根据角平分线的性质得出小尸，再由直角三角形全等的判定和性质即可证明；

(2)先求出5AAs=80,SMED=16,再由全等三角形的性质得到S△幽,=入陋,=16,证明

RtAADE^RtAADF,得到5。小==64,则5小此=-=48,即可得到

S四边形ABOC=^AABD+5徵8=128.

【详解】(1)证明：：DE工A5,DF1AC,4£)平分NBAC,

,DE=DF,ABED=NCFD=90°,

BD=CD,

/.RtBEI注RtCFD(HL),

：.BE=CF；

(2)解：由(1)得DE=DF=8,NBED=NDFA=90。,

,：AC=20,BE=4,DF=8,

•••S。。=JAC.DP=80，SmED=*DE=16,

NBED^CFD,

••SgED=S^CFD=16，

•,^AAZ>F=S^ACD-S^CDF~/\ACD~^ABED=64,

又AD=AT>,

RtAADE^RtAADF(HL),

,,S4ADE=^/\ADF=64,

,•^/\ABD=^AADE—/\BDE=48,

,•S四边形ABDC=S&ABD+,^AACD=128.

10.（1）见解析

（2）OA=4

【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，

解题的关键是掌握相关知识.

（1）连接AC,BC,由线段垂直平分线的性质可得AC=3C,根据角平分线的性质可得

CE=CF,NCE4=NCFB=90。，证明RtCEA^RtCEB,根据全等三角形的性质即可得证；

（2）根据角平分线的性质可得CE=CF,ZCEO=ZCFO=90°,证明Rt-CEgRtCFO,得

到OE=O歹=6,推出BF=2,结合AE=BF=2,

即可求解.

【详解】（1）证明：连接AC,BC,

C£）垂直平分AB,

AC=BC,

CELOM,CFVON,OC平分NMON,

CE=CF,ZCEA=ZCFB=90°,

Rt_CE4^Rt..CFB（HL）,

AE=BF；

(2).CELOM,CF1,ON,OC平分AMON,

：.CE=CF,ZCEO=ZCFO=90°,

oc=oc,

：.Rt_CEO^Rt_CFO(HL),

OE=OF=6,

ABF=OB—OF=8—6=2,

由（1）知，AE=BF=2,

OA=OE—AE=6—2=4.

11.(l)4ADP是等腰三角形，理由见解析

(2)2

【分析】本题考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练

掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键.

(1)根据等角的余角相等可得ZADG=ZEAF,证明AEF乌DAG(AAS)得AE=AD,从

而可证是等腰三角形；

(2)由余角的性质证明=由角平方线的判定方法得CD=DG=2,由

AEF=_DAG得AF=DG,进而可得AF=CD=2.

【详解】(1)解：AE±AB,

:.ZEAB=90°f

：.ZEAF+ZDAG=90°,

丁DGLAB,

・•・ZAGD=9Q°

：.ZADG+ZDAG=90°,

：.ZADG=ZEAF,

•・・EF1AC,

：.NAFF=90。，

：.ZAFE=ZAGD=90°f

AG=EF,

：..AEF^.ZMG(AAS),

***AE=AD9

是等腰三角形；

(2)解：AE=AD,

ZADE=ZAED,

■:ZADE=ZBDC,

:.ZAED=NBDC,

VZEAB=90°,

：.ZAED+ZABD=90°

,/ZACB=90°,

：./CBD+ZBDC=90。,

：.ZCBD=ZABD,

DGLAB,ZACB=90°f

：.CD=DG=2.

■:-AEFMDAG,

AF=DG,

：.AF=CD=2.

12.(1)见解析

35

⑵了

【分析】(1)根据BE平分^ABC得到EF=EH,根据AE平分ZDAF得到EF=EG即可得证；

(2)设EG=x.由(1),得EF=EH=EG=x.利用已知建立方程解答即可.

本题考查了角的平分线的性质，三角形的面积，解方程，熟练掌握角的平分线的性质是解题

的关键.

【详解】(1)证明：：跖ZAEF=50°,

：.ZFAE=90°-ZAEF=40°.

,?ZBAD=100°,

ZCAD=ISQ°-ZBAD-ZFAE=4Q°,

：.ZFAE=ACAD即AE为ZDAF的平分线.

又；EF上AB,EGLAD,

：.EF=EG.

：BE是一ABC的平分线，EFLAB,EHLBC,

：.EF=EH,

・•・EG=EH.

(2)解：设石G=x.

由(1),^EF=EH=EG=x.

SMCD=15,AD=4,CD=8,

・・・-AD-EG+-CD-EH=15

22f

即4x+8x=30,

解得尤=:,

2

EF=x=~,

2

/.S,RF=-AB-EF=-x7x-=—.

即E2224

13.(1)35°

(2)见解析

(3)i

【分析】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理,

三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解

题关键.

⑴根据垂直得到NAFB=90。，利用三角形外角的性质得到/BAE=145。，再根据

ZBAE=ZBAD+ZCAD,即可求出NCAD的度数；

⑵过点E作EG_LAD,EH1BC,根据角平分线的性质得到EF=EG,EF=EH,进而得

到EG=即，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；

(3)根据三角形的面积公式求出硝=|,再根据角平分线的性质即可求得答案.

【详解】(1)解：EFLAB,

/.ZF=90°,

ZAEF=55°,

ZBAE=ZF+ZAEF=90°+55°=145°,

QZBAE=ZBAD+ZCADfZBAD=11Q°,

ZCAD=ZBAE-ZBAD=145°-110°=35°；

(2)证明：过点E作交AD于点G,EH，BC交BC于点、H,

F

A

ZF=90°,ZAEF=55°,

B

DH

.-.ZEAF=90°-55°=35°,

由⑴可知，ZEAF=ZCAD=35°,

.:AE■平分NEW,

EF±AF,EGLAD,

：.EF=EG,

BE平分/ABC,EF1BF,EHIBC,

:.EF=EH,

:.EG=EH,

EGLAD,EHIBC,

..DE平分4r>C;

（3）解：-SAS=15,

,,SyADE+^VCDE=15,

AD-EG+-CD-EH=15,

22

AD=4,8=8,EG=EH,

.•.-x4-£H+-x8-£H=15,

22

5

EH=—

62

EF=-

2

14.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，根据角平分线这

个条件添加辅助线是解题的关键.

(1)作石加，CD,垂足为先根据角平分线性质定理得到钻=,再等量代换EM=EB,

根据角平分线判定即可证明;

(2)证明RtDE4^RtDEM(HL)和RtBEC^RtMEC(HL)即可.

【详解】(1)证明：作EM_LCD,垂足为M,如图所示：

(2)证明：由(1)得N£MC=NB=NA=90。，DE=DE,AE=EM,

/.RtDEA^SXDEM(HL),

/.DA=DM,

同理可证：RtBEC空RtMEC(HL),

：.CB=CM,

:CD=DM+MC,

：.CD^AD+BC.

15.⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质的

应用，能综合运用性质进行推理是解题的关键.

(1)根据线段垂直平分线的性质求出师=CE,根据角平分线性质求出所=GE,即可证

明RtZXBFE乡Rt^CGE,即可得出答案；

(2)证明.AFE丝AGE,推出”=AG,即可得出答案.

【详解】(1)证明：连接BE和CE,

B.

丁。石是5C的垂直平分线，

・•・BE=CE,

〈A石平分/HAC,EF±AB,EG.LAC,

：.Z.BFE=ZEGC=90°,EF=EG,

在RtABfE和RtACGE中，

[BE=CE

[EF=EG'

RtCGE(HL),

:.BF=CG；

(2)证明：TA石平分/R4C,EFLAB,EG.LAC,

：.ZAFE=ZAGE=90°,ZFAE=ZGAE,

在ZiAFE和AGE中，

/FAE=/GAE

<ZAFE=ZAGE,

AE=AE

：.AGE(AAS),

：.AF=AG,

•:BF=CG,

.,.1(AB+AC)=|(AF-BF+AG+CG)

=1(AF+AF)

=AF,

即AG=1(AB+AC).

16.⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质:

(1)通过HL证明丝PGC,即可求证；

(2)证明为等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，得到

PE=BE=-BC即可得证.

2

【详解】(1)证明：•••/>_£垂直平分边BC,

,PB=PC,

：AP平分/A4c的外角2PG±AD,PH±AB,

：.PH=PG,NPHB=NPGC=90。,

一PHBMPGC(HL),

NPBH=NPCG；

(2),?ZPBH=ZPCG,Z1=ZPBH+ZBPC=Z.PCG+ZBAC,

：.ZBPC=ZBAC=90°,

,:PB=PC,

：.ZPBC=ZPCE=45°,

,/PE垂直平分边BC,

BE=CE=-BC,NPEB=90°,

2

A△BEP为等腰直角三角形，

PE=BE=-BC,

2

BC=2PE.

17.(1)证明见解析

【分析】(1)由平行线的性质结合角平分线的有关计算可得NADE+NZME=90。,

ZDAE^ZF,由三角形的内角和定理及等角对等边可得4>EA=90。，AD=DF,然后由

三线合一即可得证；

(2)过E点作于点A/,ENLAD干点、N,由角平分线的性质可得=

利用A&4可证得AEB-FEC,于是可得CF=AB=9,由(1)可得=D/，进而可得

DA=DF=U,利用三角形的面积公式分别表示出岳，S2,即可得解.

【详解】(1)证明：：AB〃CZ),

ZCDA+ZDAB=180°,ZBAE=NF,

VEA,皮)分别平分N7MB和-4DC,

ZADE=-ZCDA,NDAE=ZBAE=-NDAB,

22

NADE+NDAE=|(ZCDA+ZDAB)=1xl80°=90°,ZDAE=ZF,

ZDEA=180°-(ZADE+ZDAE)=180°-90°=90°,AD=DF,

DE±AF,

AE=FE;

(2)解：如图，过E点作于点M,硒_LAD于点N,

•/E4平分

EM=EN,

由(1)可得：AE=FE,ZBAE=ZF,

即：NEAB=NEFC,

在4_A£B和EEC中，

ZAEB=ZFEC

<AE=FE,

ZEAB=ZEFC

：.AEB^FEC(ASA),

：.CF=AB=99

由(1)可得：DA=DF,

・・・DA=DF=DC+CF=3+9=12,

191

・、=

,.SiSARF=—2ABEM=—2EM,Sz?=SAtFjLD)=—2ADEN=6EN,

9

0-EM二

AA=2=』.

S26EN4

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的有关计算,

三角形的内角和定理，等角对等边，三线合一，角平分线的性质，线段的和与差，三角形的

面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键.

18.(1)见解析;

(2)见解析.

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角的平分线定理及其逆

定理.

⑴根据ZACD=/BCE可证ZACE=/DCB,利用SAS可证ACE^,DCB(SAS)；

(2)过点C作C""LAE于H,。6,3。于6,因为.ACE四<OCB,所以SACE=S%B，所

以!因为所以可得CH=CG,根据到角两边距离相等的点

22

在角的平分线上，可得点C在NAPS的平分线上，从而可得/4PC=/3PC.

【详解】(1)证明：ZACD=NBCE,

ZACD+ZDCE=ZDCE+ZBCE,

:.ZACE=ZDCB,

CA=CD

在.ACE和DCB中<NACE=ZDCB,

CE=CB

ACE组OCB(SAS)；

(2)证明：如下图所示，分别过点C作CBLAE于H,CG，JBZ)于G,

D

E

ACB

由⑴知：ACE^DCB,

:.AE=BD，sACE=sDCB，

:.-AECH=-BDCG,

22

AE=BD,

：.CH=CG,

点C在ZAPB的平分线上，

:.ZAPC=ZBPC.

19.(1)见解析

(2)1

(3)6

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性

质与判定是解题的关键.

(1)过点C作C尸，AD于点/，证明△(7/)尸/△CBE,得出b=CE,即可证明AC是

的角平分线，即可得证；

(2)证明△ACF0△ACE得出AF=AE=4,进而根据AD=瓶-DP,即可求解；

==

(3)根据全等三角形的性质，得出入CDFS^CBE，SACF-SMC，则可得2sBCES.ABC