2025年九年级数学中考二轮复习：圆中切线的证明 练习（含解析）

2025年九年级数学中考二轮专题复习圆中切线的证明练习

1.如图，是。。的直径，直线。与AB的延长线交于点E,点C是命的中

点.

(1)求证：直线与。。相切于点C;

(2)若/C4D=30°,O。的半径为3,一只蚂蚁从B点出发，沿着BE-EC-合爬回

至点、B,求蚂蚁爬过的路程(n-3.14,加比1.73,结果保留一位小数).

2.如图，△ABC为等边三角形，。为BC的中点，作。。与AC相切于点。.

(1)求证：与。。相切；

(2)延长AC到E,使得CE=AC,连接3E交。。与点足M,若AB=4,求的长.

3.如图，。是O。上一点，点C在直径区4的延长线上，且C。是O。的切线，OEHQ

交CD的延长线于点E,连结班.

(1)求证：EB是。0的切线.

(2)若AC=2,AQ=2返，求。。的半径.

3

4.如图，△ABC中，AB=AC,以AC为直径的O。交BC于点D,点£为C延长线上一点,

且/COE=L/BAC.

2

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)若A2=3B。，CE=2,求OO的半径.

5.如图，。。与△ABC的AC边相切于点C,与AB、BC边分别交于点。、E,DE//OA,

CE是。。的直径.

(1)求证：A8是O。的切线；

(2)若BD=4,EC=6,求AC的长.

6.如图，四边形ABC。内接于O。，AB=AD,连接BO,过A点作交CD的延长

线于E.

(1)求证：AE为O。的切线；

(2)若A2〃C。，AB=8,CD=6,求。。半径的长.

7.如图，AB为O。的直径，点。在。。外，NA4D的平分线与O。交于点C,连接BC、

CD,且/。=90°.

Cl)求证：C£＞是。。的切线；

(2)若/。。4=60°，BC=3,求BC的长.

8.如图，菱形ABC。，A2=4,以A3为直径作OO,交AC于点E,过点E作跖，AD于

点、F.

(1)求证：所是O。的切线；

(2)连接。/，若/BAD=60°,求。尸的长.

9.如图，在△ABC中，AB=BC,以BC为直径作O。交AC于点E,过点E作的垂线

交AB于点R交CB的延长线于点G.

(1)求证：EG是。。的切线；

(2)若BG=OB,AC=6,求8P的长.

10.如图，42是。。的直径，点C是弧BE中点，AELC。于点。，延长。C,AB交于点R

己知AZ)=4,FC=4^FB.

(1)求证：CD是O。的切线.

(2)求线段FC的长.

11.如图，△ABC内接于O。，AB^AC,8。的延长线交AC于点。，S.ZDOC=ZDCO,

E是弧AC上的一点，过点C作CFLAE交AE的延长线于点尸，连接。4

(1)求证：AOXBC；

(2)若3/CAP=2NABC,求证：CB是O。的切线；

(3)若。。的半径为1,求8的长.

12.如图，点A、B、C、。是。。上的四个点，AC是。。的直径，ZDAC^2ZBAC,过点

2的直线与AC的延长线、。。的延长线分别相交于点E、F,且EB=CF.

(1)求证：BE是。0的切线；

(2)若。。的半径为5,CE=3,求C。的长.

13.如图，在△ABC中，E■是AC边上的一点，5.AE^AB,/BAC=2/CBE,以AB为直

径作O。交AC于点。，交BE于点、工

(1)求证：EF=BF；

(2)求证：8C是O。的切线.

(3)若A2=4,BC=3,求。E的长,

14.如图，直线/与。。相离，于点A,与。。相交于点P,0A=5.C是直线/上一

点，连结CP并延长交O。于另一点8,且AB=AC.

(1)求证：A3是O。的切线；

(2)若。。的半径为3,求线段2尸的长.

15.如图1,AB为半圆的直径，点。为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CO〃

AB交AP于点。，连接BC.

(1)连接。。，若BC〃OD,求证：C。是半圆的切线；

(2)如图2,当线段CD与半圆交于点E时，连接AE,AC,判断NAEZ)和/AC。的数

量关系，并证明你的结论.

参考答案

1.【解答】(1)证明：连接0C,

：OA=OC,

J.ZOAC^ZOCA,

,：ZOAC^ZDAC,

J.ZOCA^ZDAC,

J.OC//AD,

"JADLCD,

：.CD±OC,

.•.CD为O。的切线，

，直线co与o。相切于点c；

（2）解：-：ZCAD=3Q°,

：.ZCAE^ZCAD^30°,

由圆周角定理得，NCOE=60°,

；.O£=2OC=6,EC=M"=3M，

前的长为：60KX3=TT,

180

.•.蚂蚁爬过的路程=3+3+Tt-lL3.

2.【解答】（1）证明：连接。。，作0GLA8于如图1所示:

则NOGB=90°,

:△ABC为等边三角形，

ZOCD^ZOBG^ZABC=60°,

：。为2C的中点，

：.OB=OC,

；O。与AC相切于点。，

：.AC±OD,

：.ZODC^9Q°=NOGB,

'N0BG=N0CD

在AOBG和△OCZ）中，，Z0GB=Z0DC，

OB=OC

:.AOBG当LOCD（44S）,

AOG^OD,.，.人台与O。相切；

（2）解：连接。4、OM,作OH_LFM于H,如图2所示:

则/OHB=90°,FH=MH,

VCE^AC,AC=BC,

:.CE=BC,

：.ZCBE=ZCEB=ZACS=30°,

2

/ABE=ZABC+ZCBE=90°,

VZOGB=90°,

四边形OHBG是矩形，

：.OH=BG,

•.•△ABC是等边三角形，。为BC的中点，

：.OB=^BC=^-AB=2,

22

；/BOG=90°-60°=30°,

：.OH=BG=^OB=1,OG=V3«G=V3，

在RtZXOAffi■中，OM=OG=M，OH=1,

MH=VOM2-OH2=«'

：.FM=2MH=2®

3.【解答】(1)证明：连接0,如图所示：

是O。的切线，

J.0DLCD,

：.N0DE=90°,

'：0E//AD,

:.NB0E=N0AD,NAD0=/D0E,

\'OA^OD,

：.ZADO^ZOAD,

:.NB0E=ND0E,

rOB=OD

在△OBE和△ODE中，，ZBOE=ZDOE，E

OE=OE

:.AOBE义40DE(SAS),

；.N0BE=N0DE=90°,

：.EBLOB,

：OB是O。的半径，

.,•班是。。的切线.

(2)解：连接如图2所示：

设O。的半径为r,

是O。的直径，

ZADB=90°,

2―

在RtZXADB中，cosZBA£>=—=—^―=2/3

AB2r3r

在RtZXOOE中，cos/®_=工，

OE0E

；NBAD=ND0E,

•V3_r

.与OE)

：.0E=M2,

'：0E//AD,

：.ACAD^/\C0E,

2V3

.CA_AD即2一3

-，-,

,■COOE2+F^r2

整理得：3r-r-2=0,

解得：r=l,或「=-三(舍去)，

3

.••。0的半径为1.

4.【解答】解：(1)如图，连接0。，AD,

〈AC是直径，

ZAZ)C=90°,

：.AD±BC,

'：AB=AC,

：.ZCAD=ZBAD=^ZBACf

2

9：ZCDE=—ZBAC.

2

：.ZCDE=ZCAD,

,.,O4=0。，

：.ZCAD=ZADO,

VZADO+ZODC=90°,

：.ZODC+ZCDE=90°

：.ZODE=90°

又・・・。。是。0的半径

・・・DE是。。的切线；

(2)解：VAB=AC,ADLBC,

：.BD=CD,

'：AB=3BD,

：.AC=3DCf

设Z)C=x,则AC=3x,

*'eAD=VAC2-DC2=2心,

•：NCDE=NCAD,ZDEC=AAED,

・•.△CDEs^DAE,

・CE_DC_DE即2=x=DE

DEADAEDE2A/2x3x+2

:・DE=4®尸学

：.AC=3x=14,

・・・OO的半径为7.

5.【解答】(1)证明：连接0。、CD,

〈CE是OO的直径，

：.ZEDC=90°,

9

：DE//0Af

：・OAA_CD,

・・・。4垂直平分CO,

/.OD=OC,

：.OD=OE,

：・/OED=/ODE,

,:DE〃ON,

：.ZODE=ZAOD,ZDEO=ZAOC,

：.ZAOD=ZAOC,

:AC是切线，

ZACB=90°,

在△40。和△AOC中

rOD=OC

<ZA0D=ZA0C

0A=0A

/.AAOD^AAOC(SAS),

ZADO=ZACB=90°,

是半径，

是O。的切线；

(2)解：连接OD,CD,

是O。切线，

：.ZODB=90°,

：.ZBDE+ZODE=90°,

；CE是。。的直径，

：.ZCDE=9Q°,

：.ZODC+ZODE^9Q°,

；./BDE=NODC,

\'OC^OD,

：.ZOCD=ZODC,

：./BDE=/OCD,

:/B=NB,

:.△BDEs^BCD,

.BDBE

••----=-----

BCBD

:.BD2=BE*BC,

设VBZ)=4,EC=6,

.*.42=%(x+6),

解得x=2或％=-8(舍去)，

:・BE=2,

；・BC=BE+EC=8,

9：AD.AC是。。的切线，

：.AD=AC,

设AO=AC=y,

在RtZ\A8C中，AB2=AC2+BC2,

(4+y)2=y2+82,

解得y=6,

.,.AC=6,

故AC的长为6.

6.【解答】(1)证明：如图，连接。4,

'：AB=AD,

：.ZABD=ZADB,

'：AB=AD,OB=OD

：.ZBAO=ZDAO

：.ZOAD+ZADB=90°

9

：AE//BDf

：.ZDAE=ZADB9

：.ZOAD+ZEAD=90°,

即AE±OA,

・・•点A在。。上，

・・・AE是。。的切线.

(2)解：如图，延长AO交8。于点尸，连接05,

'JAE//BD,AB//CD,

・•・四边形ABDE为平行四边形，

：.AB=AD=DE=8,

：.ZBAO=ZABO

・.,AE为。0的切线，AZDAE+ZDAF=90°,

VZAZ)F+ZZ)AF=90°,

：.ZDAE=ZADFf

'：ZABD=NADF,

・•・ZDAE=ZABD=ZACD,

ZE=ZE,

：.AADE^ACAE,

・AEDE

••—=—

CEAE

：.AEr=DE-CE,

：.AER8X14,

:.AE=4E

；.BD=4行，

；.BF=2近，

AF=7AB2-BF2=6,

由(1)知OA±BD,

：.在RtABOF中，OB2=OF2+BF1,

设OB=x,则0F=6-尤，

X2=(2V7)2+(6-X)2,

解得：x=ll.

3

即OO的半径为生.

3

7.【解答】解：(1)证明：连接。C,

:AC是NBA。的平分线，

：.ZCAD^ZBAC,

又；。4=0C,

J.ZOAC^ZOCA,

：.ZOCA=ZCAD,

：.OC//AD,

：.ZOCD=ZD=90°,

・・・CD是。。的切线；

（2）解：VZACD=60°,

：.ZOCA=30°,

〈AB为。。的直径，

ZACB=90°,

：.ZOCB=60°,

OC=OB,

•••△OCB是等边三角形，

：,OB=OC=BC=3,NCOB=60°,

・••立的长：6°兀*=1T.

180

8.【解答】（1）证明：连接OE

•・•四边形A5CD是菱形，

：.ZCAD=ZCAB,

u

：OA=OEf

：.ZOEA=ZCAB9

：.ZCAD=ZOEA,

：.OE//AD,

VEF±AZ）,

/.ZAFE=90°,

：.ZCAD+ZAEF=90°,

：.ZOEA+ZAEF=90°,即NOEb=90°,

又是OO半径，

・•・斯是OO的切线；

（2）解：连接BE,

〈AB是。。的直径，

・•・ZAEB=90°

9：ZBAD=60°,

：.ZCAD=ZCAB=30°,

在RtAABE中，AE=AB*cos30°=2V3,

在Rt^A跖中，EF=AE*sin30°=V3,

在RtZXOEF中，OE—；肘=2,

・•・OF=7OE2+EF2=V22+（V3）2=V7-

9.【解答】证明（1）如图：连接OE,BE

'：AB=BC,

：.ZC=ZA

•・・5C是直径

.•.ZCEB=90°,S.AB=BC

：.CE^AE,且CO=OB

OE//AB

'：GE±AB

J.EGLOE,且OE是半径

是O。的切线

(2)解：,:BG=OB,OE±EG,

：.BE=^OG=OB=OC,

2

.♦.△OBE是等边三角形，

：.ZCBE=60°,

VAC=6,

:.CE=3,BE=——=«,

tan60

：.OE=M，

•：OB=BG,OE//AB,

：.BF=—OE=^.

22

10.【解答】(1)证明：连接oc.

:C是赢的中点，

；.AC平分NDA8,

：.ZDAC=ZOAC,

'：OA=OC,

：.ZOCA=ZOAC,

J.ZDAC^ZOCA,

J.DA//OC,

'：AD±DC,

：.ZADC=90°,

：.ZOCD=9Q°,

即OCA.DC,

,：OC为半径，

为O。的切线；

(2),:FC=4^FB,

.,.设8尸=尤，贝1|3=小，

是O。的切线，

：.CF2=BF'AF,

设OA=OC=OB=r,

.'.2x1=x(尤+2r),

・・x=2r,

:.BF=2r,

OC//AD,

:.AOCFsAADF,

.OCOF

'*AD=AF，

•.•-r_-3-r-，

44r

r=3,

:.BF=6,

：.FC=4^FB=6近.

11.【解答】(1)证明：

在△AOB和△AOC,

'A0=A0

"BO=CO

AB=AC

AAOB^AAOC(SSS),

J.ZBAO^ZCAO,

：.AO±BC；

(2)证明：-：AO^BO^CO,ZBAO^ZCAO,

：.ZABO=ZBAO=ZCAO=ZACO,ZOBC=ZOCB,

,：ZDOC=ZDCO,ZDOC=2ZOBC,

：./ABO=2/OBC,

：.ZABO=~ZABC,

3

,：3ZCAF=2ZABC,

：.ZCAF=^-ZABC,

3

J.ZCAF^ZABO,

J.ZCAF^ZOCA,

C.AF//OC,

•/CFLAF,

：.CF±OC；

(3)解：VZAOD=2ZBAO,ZADO=2ZACO,

：.ZAOD=ZADO,

，A£)=AO=OC=1,

/DOC=ZDCO=ZCAO,

：.XCODsXCAO,

.OC=CD

"ACC0，

:.OC2=CD-AC,

设CD=x,则AC=x+l,

.*.x(x+1)=1,

解得尤l=1+'&X2=A5

22

，cr)=.-l+述.

2

12.【解答】解：(1)连接05.贝ljN30C=2NBAC

'：ZDAC=2ZBAC,

：.ZB0C=ZDACf

'：EF=CF,

：.ZFEC=ZFCE,

VZFCE=ZACD,

：.ZFEC=ZACD,

〈AC是OO的直径，

ZAZ)C=90°,

：.ZDAC+ZACD=90°,

：.ZBOC+ZACD=90°,

：.ZOBE=180°-QBOE+/FEC)=90°,

：.BE±OBf

・・・BE是。。的切线；

(2)在Rt△OBE中，

2222;

BE=7OE-OB=78-5=V39E

由(1)知，NBOE=/DAC,ZOBE=Z/7ADC,

：.△ADCs△OBE,(/V

AAC_CD；A\^'7B

OE-BE

8~V39

DC^p/39-

13.【解答】(1)证明：

.,.△ABE是等腰三角形，

'：AB为。O的直径，

：.AF±BE,

：.EF=BF；

(2)证明：'：AE=AB,

.,.△ABE是等腰三角形，

J.ZABE^^-(180°-/BAC=)=90°-^ZBAC,

：.ZCBE=^ZBAC,

2

；.NABC=/ABE+/CBE=(90°-^-ZBAC)+^ZBAC=90°,

即ABLBC,

是。。的切线;

(3)解:连接B£),

,：AB是O。的直径,

AZADB=90°,

VZABC=90°,

・•・ZADB=ZABC,

・・•NA=NA,

・・・AABD^AACB,

,ADAB

••—=—，

ABAC

,在R