2025年九年级数学中考复习 三角形综合解答题 考前冲刺训练

2025年春九年级数学中考复习《三角形综合解答题》考前冲刺专题训练(附答案)

1.如图，乙MON=90°,正方形ABCD的顶点4、B分别在。M、ON上，AB=10,OB=6,

E为ZC上一点，且BC平分NEBN,直线DE与。N交于点F.

(1)求证：BE=DE；

(2)判断DF与ON的位置关系，并说明理由；

(3)ABEF的周长为.

2.如图，已知正方形4BCD的边长为2,点P、。分别在边力。、CD上，PB^^APQ.

⑴求证;乙PBQ=45°；

(2)当4P=PD,X是PQ的中点时，求的长；

⑶点尸、。分别在边力D、CD上运动时，直接写出ABPQ面积的取值范围.

3.如图，在AABC和AaDE中，AB=AC,AD=AE,ABAC=ADAE,连接BD,CE.

(1)如图1,当点E恰好在BC边延长线上时，若BC=4,BD=2,求BE的长；

(2)如图2,当点C恰在边DE上，若DBJ.AB,BD=2,求DE的长；

(3)如图3,若DB14B,DE交直线BC于点F,试判断OF与EF的数量关系，并说明理由.

4.如图1直线y=kx+k交x轴于A,交y轴于8,若SA^OB=1.

(1)求A点的坐标;

(2)如图2,若C为直线A8上一点，BC=AB,以8C为腰作等腰Rt△BCD,连接求直线

BD的解析式;

(3)如图3,直线y=久-5交x轴于E,点M(2,m)是直线y=x-5上一点，若尸是线段力E上

的动点，过E作EH1PM于H,且点尸在MP的延长线上，FH=EH,连接4F,当P在4E上

运动时，求乙4FP的度数.

5.如图，在RtAABC中，AACB=90°,BD平分N28C,AD=AB,延长BC使得CE=2D,

连接。£

⑴判断四边形力CED的形状，并说明理由；

⑵如图，过2作力F1BD交BD于点F,点G在BD上，AG平分NC4B,过G作力G1GH交DE的

延长线于点H.

①求证：FA=FC；

②试探究：GD,GF,GH的数量关系，并证明.

6.如图1,在回A8CD中，点。是边4。的中点，连接B0并延长，交CD的延长线于点E,连接

BD、AE.

mimz

⑴求证：四边形4EDB是平行四边形；

(2)如图2,若BE=BC,判断四边形2EDB的形状，并说明理由；

⑶在(2)的条件下，若BD=3,BC=5,动点P从点E出发，以每秒1个单位的速度沿EC向

终点C运动，设点P运动的时间为t(t>0)秒.若点Q为直线48上的一点，当P运动时间t为何

值时，以8、C、P、Q构成的四边形是菱形？

7.综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法.

(1)如图1,4D是AABC的中线，AB=8,AC=5,求4D的取值范围；

(2)如图2,AB=AE,AC=AF,4BAE=/.CAF=90°,。为BC的中点，求证，EF=2XD；

(3)如图3,在四边形4BCD中，对角线AC,BD相交于点E,尸是BC的中点，乙CEF=UDB,

/.BAC+Z.BAD=180°,试探究BD与EF的数量关系，并说明理由.

8.已知一次函数%=1+2与反比例函数丫2=珍40)的图象交于4(2,爪)、B两点，交y轴

于点C.

(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；

⑵若点4关于原点的对称点为4,求444'B的面积；

⑶探究：在y轴上是否存在一点P,使得△力8P为等腰直角三角形，且直角顶点为点P,若存

在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由.

9.在RtAABC中，/.ABC=90°,AB=BC,过点A作AEIBA,连接BE,CE,M为平面

内一动点.

⑴如图1,点M在BE上，连接CM,CM1BE,过点A作AF1BE于点尸，。为4c中点，连

接FD并延长，交CM于点H.求证：MF=MH.

（2）如图2,连接BM,EM,过点2作BM，1BM于点B,且满足BAT=BM,连接AM'MM',

过点B作BG1CE于点G,若SMBC=36,EM=6,BG=8,请求出线段AM'的取值范围.

10.综合与实践.

【基本模型】学习正方形时，老师和同学们一起探究了课本中以下这道题的证明方法：

如图1,四边形4BCD是正方形，G为8c上的任意一点，。石146于点£,BF14G于点?

求证：AF-BF=EF.

【问题解决】（I）同学们分组讨论后，通过证明AAED三ABFA解决了问题.请你写出证明

过程.

【问题研究】（2）如图2,正方形ABCD中，点G为BC延长线上的任意一点，AE1DG^GD

延长线于点E.CF1DG于点孔试探索4E,CF,EF之间的数量关系，并给出证明.

【问题拓展】（3）如图3,四边形4BCD是正方形，点G为BC上的一点，BF14G于点孔

连接DF,若NB4G=30。，BF=2,请求出ATlDF的面积.

11.综合与实践

如图1,在EL4BCD中，点E,F分另U在直线AB和4D上，直线C&BF相交于点G,NFGC=^DAB,

某数学兴趣小组在探究CE,BF,AB,4D四条线段的比例关系时，经历了如下过程：

【特例感知】

(1)①如图2,当N4=90。,48=4。时,若EC=V5,求BF；

②如图3当乙4=90。时，若黑=|，求祟

【猜想证明】

（2）猜想BF,CE,4B,4D四条线段的比例关系，并结合图1进行证明.（备注：从图1中的

①或②选择一个证明即可）

12.在正方形4BCD中，点E在对角线4c上，AEBF=90°,BE=BF.

⑴如图1,求证:AE=CF,CF1AC；

（2）作NE8F的平分线交4C于点G.

①如图2,当4E=1,CG=2时，求线段EG的长；

②如图3,延长8G交CD于点X,连接EH,判断线段BE与线段EH的关系，并说明理由.

13.已知ATIBC为等边三角形，D,E分别为线段2C,48上一点，AE=CD,CE与BD交于

点、F.

图1图2

(1)如图1,求证△AEC=ACDB-,

(2)如图1,若NABD=3NACE,BF=1+V3,求EF的长；

⑶如图2,H为射线BC上一点，连接HF,将线段绕点f逆时针旋转120。得GF,连接BG,

若乙GBD=60°,求证：BG=BF+2CF.

14.【基础巩固】（1）如图1,在AZBC与ATlDE中，AB=AC,AD=2E,^BAC=ADAE,

求证：^AEC^AADB；

【尝试应用】（2）如图2,在△ABC与△力DE中，力B=2C,AD=4E,Z.BAC=^DAE=90°,

B、D、E三点在一条直线上，2C与BE交于点R若点尸为4C中点,

①求NBEC的大小;

②CE=2,求AACE的面积;

【拓展提高】（3）如图3,△AB-DE中，AB=AC,DA=DE,ABAC=^ADE=90°,

BE与CA交于点F,DC=DF,CD1DF,ABCF的面积为18,求4F的长.

15.如图，在RtA4BC中，/.BAC=90°,AB=AC,点E为AC上一点，连接BE,过点C作

CD1BE,交BE延长线于点D,连接4D,过点力作4G14。交BE于点G.

⑴求证：AG=AD-.

⑵如图2,连接CG,取CG中点H,连接4"并延长4H至点K,使得HK=AH,连接CK,求证：

BD=2AH；

⑶如图3,将AABE沿BE折叠至A&BE,连接CA,将C4绕点C逆时针旋转45。至CM,连接

力M交48所在直线于点F,当力M取得最小值时，直接写出乙4'FM的度数.

16.【发现结论】

（1）如图1,△ABC中，AC=BC,乙ACB=90。.点。既是斜边4B上的中点，又是Rt△OEF

的直角顶点，RtAOEF绕点。转动的过程中，0E交"于点。广交BC于点N,连接MN,

CO.以下结论正确的有.（多选）

①NMOC=NNOB；②4Moe三4NOB；（3）MN2AM2+BN2.

【类比迁移】

（2）如图2,边长为8的正方形2C8D的对角线AB,CD交于点O,点。又是正方形2/iG。

的一个顶点，正方形&B1Q。绕点。转动的过程中，。41交4C于点M,0cl交BC于点N,连

接MN.在旋转的过程中，四边形MCN。的面积是否发生改变？若不发生改变，请求出四边

形MCN。的面积；若发生改变，请说明理由.

【拓展探究】

（3）如图3,矩形4CBD的对角线AB,CD交于点。，点。又是矩形2/1的。的一个顶点，

矩形4/iG。绕点。转动过程中,。4交4c于点M,0氢交BC于点N,连接MN.MN?=AM2+

BN?是否成立？若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由.

17.探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究，在Rt△4BC中,

AACB=90°,N4BC=45。，AB=V10,。为线段4B上一点.

图1图2图3

【初步感知】

（1）如图1,连接CD,将CD绕点C逆时针旋转90。至CE.连接求NB4E的度数；

【深入探究】

（2）如图2,将4力CD沿CD折叠至△ECD.射线CD与射线BE交于点F.若FE=3EB,求^CEF

的面积；

【拓展应用】

（3）如图3,BD=BC,连接CD.G为线段AC上一点，作点G关于直线CD的对称点X,

点G绕8顺时针旋转45。至点K,连接HK,HB,请问CD和HK存在何种关系？并说明理

由.

18.【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1,在正方形ABCD中，E是8C的

中点，AELEP,EP与正方形的外角NDCG的平分线交于点P.试猜想2E与EP的数量关系，

并加以证明；

【思考尝试】（1）同学们发现，取4B的中点R连接EF可以解决这个问题.请在图1中补

全图形，解答老师提出的问题；

【实践探究】（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2,

在正方形4BCD中，E为8C边上一动点（点不重合），AZEP是等腰直角三角形，乙4EP=

90°,连接CP,可以求出NDCP的大小，请你思考并解答这个问题；

【拓展迁移】（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点；

如图3,在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点£、8不重合），AdEP是等腰直角三角

形，乙4EP=90。，连接DP.知道正方形的边长时，可以求出△力DP周长c的取值范围.当

AB=4时，请你求出△ADP周长c的取值范围.

19.如图1,以AABC的边4B、4C为边向外作正方形ABDE和正方形4CFG,连接EG.

⑴如图2,若NB4C=90°,则SMBC______S&AEG（填"<"或

(2)如图1,若NB2C<90°,则(1)中AABC与ATIEG的面积关系是否还成立？请说明理由.

(3)如图3,若N4CB=90。，AB=10,AC=8,AH_LEG于点H,则AH的长为.

⑷如图4,若NB4C<90。，AB=10,AC=8,CE=16,求△AEG的面积.

20.在综合实践活动中，"类比探究"是一种常用方法，我们可以先尝试研究某个位置情况下

的结论，然后再类比到其他情况去探究结论.

已知，正方形4BCD和它的外接圆。。.

【问题初探】如图1,若点E在弧2B上，尸是DE上的一点，且DF=BE,过点A作AM1DE.试

【类比探究】如图2,若点E在弧AD上，过点A作4M1BE,试探究此时线段BE、DE、AM

之间的关系.请写出你的结论并证明;

【拓展应用】如图3,在正方形A8CD中，CD=2A/2,若点P满足PD=2,且/BPD=90。,

请直接写出点A至！LBP的距离为

参考答案

1.(1)证明：回四边形4BCD是正方形，

SBC=DC,4BCE=乙DCE=45°,

在ABCE和ADCE中，

-BC=DC

乙BCE=/.DCE

.CE=CE

0ABCFSADCE(SAS),

OBE=DE；

(2)解：。尸与。N的位置关系是：DF1ON,理由如下:

如图1所示：

卜B0

图1

由（1）可知：&BCEm4DCE,

团43=Z4,

田BC平分乙EBN,

回乙4=乙CBF,

团乙3=乙CBF,

回四边形ZBCD是正方形，

^Z.BCD=90°,

回41+乙3=90°,

团乙3=42,

团乙2+乙CBF=90°,

团乙DFB=90°,

^DF1ON；

(3)解：过点C作CG1ON于点G,过点。作。“1CG,交GC的延长线于点”，如图2所示,

图2

由(2)可知：DF1ON,

回N”=4HGF=4DFG=90°,

回四边形DHGF是矩形，

0DF=HG,GF=HD,

回NMON=90°,

0A40B是直角三角形，

在RtAAOB中，AB=10,OB=6,

由勾股定理得：AO=7AB2-OB2=8,

回四边形4BCD是正方形，

^ABC=乙MON=90°,AB=BC,

^OBA+乙CBG=90°,Z.OBA+ABAO=90°

^/.BAO=/-CBG,

在MOB和△BGC中，

AAOB=乙BGC=90°

Z-BAO=乙CBG,

、AB=BC

回△ZOB三△BGC(AAS),

团4。=BG=8,OB=GC=6,

同理可证明：△DC"wzXCBG(AAS),

团C”=BG=8,HD=GC=6,

WG=C”+GC=8+6=14,GF=HD=6,

瓯F=BG-GF=8-6=2,DF=HG=14,

由(1)可知：BE=DE,

团BE+EF=DE+EF=DF=14,

BEF的周长为：BE+EF+BF=14+2=16.

2.(1)证明：如图，在PQ上取点E,使得P4=PE,

•・•四边形Z8C0是正方形,

・•.AB=BC,乙4=/.ABC=4。=90°,

•・•PB平分乙4PQ,

・••乙APB=乙EPB,

在△ZBP和AEB「中，

(PA=PE

\^APB=乙EPB,

(BP=BP

/.△ABP=AEBP(SAS),

・••乙ABP=乙EBP,NA=乙BEP=90°,AB=EB,

・•.BE=BC,ZC=乙BEQ=90°,

又・・•BQ=BQ,

/.△BEQ三△BCQ(HL),

•••Z-EBQ=乙CBQ,

・•・乙PBQ=乙EBP+乙EBQ="ABC=45°；

(2)解：如图，连接BH,

I

.・.AP=PD=-AD=1,

2

设。Q=x,贝UCQ=CD-DQ=2-x,

由(1)可知，AABP三AEBP,ABEQ=ABCQ,

AP=PE=1,CQ=EQ,BE=AB=2,乙BEP==90°,

・•.PQ=PE+EQ=AP+CQ=l+2—x=3—%,

在Rt^PDQ中，DP?+DQ2=PQ2,

•••l2+x2=(3—x)2,

解得：％=%

...PQ=3-x=I，

•・•»是PQ的中点，

PH=-PQ=-,

2y6

■.EH=PE-PH=16--=6-,

在RtABEH中，22；

•••BH=y/BE+EH=6—

(3)解：由(1)可知，4ABpm4EBP,

BE=AB=2,乙BEP=zX=90°,

■■■S^BPQ=IPQ-BE=PQ,

:点p、。分别在边a。、CD上运动,

・•・当点P与点D重合，点Q与点c重合时，PQ有最大值为2,

如图，当PQ1B。时，PQ有最小值,

•••四边形ABCD是正方形,

•••/.ADB=乙CDB=/.ABD=乙CBD=45°,

：・△。用「和4DMQ是等腰直角三角形，

PM=DM=MQ,DP=DQ=V2PM,

BD垂直平分PQ,

•••BP=BQ,

1

•••4PBD=乙QBD=:乙PBQ=22.5°,

•••/.ABP=22.5°=乙PBD,

■：PA1AB,PM1BD,

PA=PM,

：.AD=PA+DP=PM+y[2PM=(&+1)PM=2,

PM=2V2-2,

•••PQ=2PM=4V2-4,

综上可知，△BPQ面积的取值范围为4或-4<SABPQ<2.

3.(1)解：；4BAC=Z.DAE,

Z-BAC—乙CAD=Z-DAE-Z-CAD,

•••乙BAD=Z-CAE,

XvAB=AC,AD=AE,

/.△ABD三△ACE(SAS),

BD=CE,

•・•BC=4,BD=2,

・•.BE=BC+CE=BC+BD=6；

(2)解：同(1)理可证，△ABD2Zk/CE(SAS),

DB1AB,BD=2,

・••/-ACE=Z-ABD=90°,CE=BD=2,

AD=AE,AC1DE,

CD=CE=2,

・•.DE=4；

(3)解：DF=EF,理由如下：

如图，过点。作。于点M,过点E作EN1BF延长线于点N,

・••乙ABD=90°,

・•・乙ABC+乙CBD=90°,

同(1)理可证，△ABDNZkACE(SAS),

・•・/,ACE=乙ABD=90°,BD=CE,

・•・乙ACB+乙ECN=90°,

•••AB=AC9

•••乙ABC=Z-ACB,

・•・乙CBD=乙ECN,

在△BMD和△(?可£中，

乙DBM=Z.ECN

Z-BMD=乙ENC=90°,

BD=CE

/.△BMD三△CNE(AAS),

・•.DM=EN,

又•・•"MF=乙ENF=90°,乙DFM=乙EFN,

DMF=△ENF(AAS),

・•.DF=EF.

4.(1)解：回直线y=k%+k交x轴于A,

团令y=0，即：0=kx+kf解得：x=—1,

(2)解：团S”0B=1，

^AO-BO=1,即：OB=2,

0B(O,2),

作CE1y轴于E,作DF1CE于F,

EIBC=AB,以8c为腰作等腰RtABCD,

0ZFCD=90°,

回NBCE+乙DCF=90°,

^ECB+乙EBC=乙FCD+乙FDC=90°,

团乙EBC=Z-FCD,

团在△^。后和^CD/7中，

乙BEC=Z.F

乙EBC=乙FCD,

、BC=DC

BCE=△CDF(AAS),

团EC=FD,

^\BC—AB,

在△45。和4CBE中，

NAOB=乙CEB

乙ABO=Z.EBC,

.AB=BC

回△ZB。=△CBE(AAS),

团EC=AO=1,EB=BO=2,

团D(3,3),

团设直线80的解析式为：y=k%+b(kH0),

将8(0,2)和。(3,3)代入得：

「上72,解得：卜=《，

13k+b=3kb=2

回直线BD的解析式为：y=|x+2；

(3)解：连接AM,作ANIMP于N,

回点M(2,m)是直线y=%-5上一点,

0m=—3,

团M(2,-3),

团直线y=x—5交x轴于E,

团令y=0,即：x=5,

呵5,0),

071(-1,0),

团AM=ME=3VL

团4E=6,

^AM2+ME2=6=AE,

团4M1ME,

团EH1PM,

团/AMN=乙MEH=90°-乙HME,

在△AMN和△ME”中，

NANM=乙NHE

乙AMN=乙MEH,

AM=ME

AMN三△MEH(AAS),

团MN=EH,AN=MH,

MH=EH,

团F”=MN,

MN=MH=AN,

^AFP=45°.

5.(1)解：四边形/CEO是矩形，理由如下:

8。平分/ABC,

•••乙ABD=Z-DBE,

AD=AB,

・••Z-ADB=乙ABD,

Z-DBE=Z-ADB,

・•・AD||EB,

•・•CE=AD,

二四边形4CE0是平行四边形，

乙ACB=90°=/-ACE,

四边形4CED是矩形；

(2)解：①证明：连接EF,

1

.・.DF=FB=-BD,

2

乙DEB=90°,

・•・EF=-BD

2f

・•.DF=EF,

•••z.1=z2,

•••z.3=z_4,

由。F=Z3=Z4,DA=EC,得△AD尸三△CEF(SAS),

FA=FC,

②GH=&(DG-FG),

理由：过G作GQIIAC,交FA延长线于Q,连接DQ,

11

・•・z3=z2=zl=-/.CBA,

22

1i

z4=zl+z3=-zCXB=45°,

22

又乙4FG=90°,

・•.△F/G是等腰直角三角形，

・•・FA=FG,

设42=43=a,则41=45°-a,

•・•GQ||AC,

Z.7=z2=a,

z5=90°-zl-z2-z3=45°-a,

・•・z6=z.5=45°—a,

•••zl=z.6,

由zl=z6,Z-AFG=Z.AFG,FA=FG,

得AFAB三△FGQ(AAS),

.•・FQ=FB=FD,

・•・△FDQ为等腰直角三角形，

・•・Z8=45°,

Z8+Z6+Z7+Z.AGH=45。+45。-a+a+90°=180°,

・•・DQ||GH,

・•・四边形。QGH是平行四边形，

・•・GH=DQ=y[2DF=a(DG-FG)；

6.(1)证明：回四边形/BCD是平行四边形，

团48||CD,

团乙48。=Z-DEO,

团点。是边的中点，

固4。=DO,

在44。3和4DOE中，

Z.AOB=(DOE

Z.ABO=乙DEO,

AO=DO

团△408三△DOE(AAS),

WO=EO,

团四边形AEDB是平行四边形.

（2）解：回四边形4EDB是平行四边形

团48=CD

回△AOB=LDOE

团48=DE

WE=CD

回BE=BC

团1CE

^BDE=90°

团四边形ZEDB是矩形

(3)解：^BDC=90°,BD=3,BC=5,

团CD=y/BC2-DC2=V52-32=4,

团四边形AEDB和四边形ABC。都是平行四边形，

WE=AB=DC=4,

0CE=2DE—8,

0FP=t,

团PC=8-3

如图2,以8、C、P、Q构成的四边形是菱形，且点P与点Q在直线BC同侧，则PC=BC,

08—t=5,

解得t=3；

如图3,以8、。、。、＜2构成的四边形是菱形,且点「与点(2在直线8(7异侧，则/58=PC=8-t,

图3

SBD2+PD2=PB2,5.PD=t-4,

032+(t-4)2=(8-t)2,

解得”?，

o

综上所述，当运动时间t为3秒或个秒时，以B、C、P、Q构成的四边形是菱形.

O

7.(1)解：延长力D到点E.使=连接BE,

'、；

炉

回AD是△48C的中线，

ECD=BD,又乙ADC=LEDB,

S^ADC=AEDB(SAS),

ELBE=AC=5,

回在△力BE中，AB-BE<AE<AB+BE,

03<XE<13,

0DF=AD,

SAE=2AD,

03<2AD<13,解得1.5<AD<6.5,

故答案为：1.5<AD<6.5；

(2)证明：延长AD至G,使DG=4D,连接BG,贝!]AG=240

回点。为8c的中点,

团CD=BD,

在△4。。和4GDB中

AD=DG

Z-ADC=Z-GDB,

CD=BD

回△ZDC=△GDB(SAS),

乙

团AC=BG9Z-C—GBD,

团4c=AF,

团BG=AF,

^BAE=^CAF=90°,

^EAF+ABAC=180°,

^ABG=乙ABC+ZC=180°-^BAC=^EAF,

在△瓦4F和"BG中

AE=AB

LEAF=乙ABG，

.AF=BG

回△ZBG=AEi4F(SAS),

团EF=AG=2AD.

(3)证明：如图，延长EF至！JG,使得EF=FG,连接CG,延长CA到“，使得/

连接B”，

团点方是边的中点，

团=CF,

^EFB=乙CFG,

0ABEF=△CGF(SAS),

团BE=CG,Z.G=乙BEF,

回CG||BE,

^\Z-BEH=Z-GCE,

^BAC+乙BAD=180°,ABAC+乙BAH=180°

^BAH=乙BAD,

的4=BA,

团△BA”=△84。(SAS).

国BD=BH,乙H=(ADB,

^ADB=乙CEF,

团乙H=Z.ADB=乙CEF,

fUAHBE=△EGC(AAS),

回=EG=BD=2EF.

8.(1)解：•••一次函数为=^x+2图象过点4

m=-x2+2=3,

2

••.A(2,3),

・••反比例函数%=:的图象过点4(2,3),'

••・k=2x3=6,

・••反比例函数的表达式为%=*

(11c

y=-x+2

由26,

V=-

B点的坐标为(-6,-1)；

•••点力关于原点的对称点为力'的坐标为(-2,-3),

把％=-2代入yi=|x+2,

可得Yi=1，

・•・叭一2,1),

・•・MA'=4,

・'^LAA'B=^LA'BM+^LAA'M=]X4X(2+6)=16；

(3)解：如图，过点/作/Ely轴于E,8。1丫轴于。,

・•・△ABP为等腰直角三角形，

・•.BP=AP,乙APB=90°=Z,AEP=乙BDP,

・•.Z,APE+2BPD=90°=Z.APE+^PAE,

・•・(BPD=乙PAE,

/.△BPD=AP^E(AAS),

.・.BD=PE=6,

•・•E(0,3),

••・点P(0,-3).

9.(1)解：CM1BE,AF1BE,

^AFB=乙BMC=Z.FMC=90°,

^ABF+ABAF=90°,

^ABC=90°,

^ABF+/.CBM=90°,

^\Z-BAF=乙CBM,

团48=BC,

回△ABF=△BCM,

团BF=MC,AF=BM,

^AFB=Z.FMC=90°,

^AF||CM,

^FAC=乙HCD,

团。为4c中点，

团4。=CD,

0ZFDX=乙HDC,

回CHD,

BAF=CH,

WM=CH,

团BF=CM

国BF-BM=CM-CH

团MF=MH.

(2)解：连接CM,

AE

团BM'IBM,/.ABC=90°,

回乙ABC=乙MBM'=90°,

团4M'BA=4CBM,

团48=BC,BM'=BM,

0AABM'CBM,

团AM'=CM,

^\AE1BA,Z.ABC=90°,

^ABC+/.BAE=180°,

团4EIIBC,

回SAZBC—S»BEC=36,

团BG1CE,BG=8,

回S^BEC=3义ECx8=36,

团EC=9,

在4ECM中，EM=6,

则9-6WCMW9+6,

03<CM<15,

03<AM'<15.

10.(1)证明：回四边形4BCD是正方形,

BGC^BAD=90°,AB=AD,

：./.BAG+/.DAE=90°,

DE1AG,

・•・乙AED=90°.

・•・/-DAE+AADE=90°,

•••Z.ADE=Z-BAG.

•・•BFLAG.

・•.AAFB=ADEA=90°,

：.^ADE三△BAF(AAS).

・•.BF=AE.

.・.AF-BF=AF-AE=EF；

(2)解：AE+CF=EF,理由如下：

回四边形/BCD是正方形

・•.AD=CD,乙ADC=90°

・•・^LADE+乙CDF=90°,

•••AE1DG,

・•・^AED=90°

・•・^ADE+乙DAE=90°.

•••Z-DAE=Z.CDF,

•・•CF1DGf

・・・乙CFD=90°,

:.Z-E=Z-CFD,

：^ADE^ADCF（AAS）.

・・・4E=DFfDE=CF.

・•.AE+CF=DF+DE=EF；

（3）解：如图，作DE，AF交4F于点E,

BGORtAABF中，/.BAG=30°,BF=2,

AB=2BF=4,

由勾股定理得4F=7AB2—BF2=V42-22=2®

由（1）得：AE=BF=2,DE=AF=2®

•••SAADF=~AF•DE=|x2V3x2V3=6.

11.解：［特例感知］

①当NBA。=90。,AB=4。时，平行四边形2BCD是正方形，如图所示,

^BAF=/.CBE=90°,AB=BC,

0ZFGC=/.DAB

国/FGC=N£L4B=90°,BPCE1BF,

EI4EBG+乙GBC=Z.GBC+/.BCG=90°,

^ABF=乙BCE,

2BAF=UBE=90°

在△48尸和△BCE中，AB=BC

、4ABF=乙BCE

ABF三△BCE(ASA),

团BF=CE=居,

故答案为：V5；

②当乙4=90。时，如图所示,

团四边形ZBCD是矩形,

团=/-ABC=90°=/.FGC,AD=BC,

团CE1BF,

^ABF+A.AFB=4ABF+乙BEG=90°

^AFB=乙BEC,

[?]△ABFs'BCE,

^ABBF

回--——

BCCE

回一二3即anA——B=3

AD2BC2

3

回--——

CE2

3

故答案为:2；

［猜想证明］（2）喘=给理由如下,

ADCE

点E,尸在线段48,4。上,

回四边形4BCD是平行四边形,

^AB=CD,AD=BCfAB||CD,AD||BC,

回NZ+Z,ABC=180°,

^FGC+乙CGB=180°,乙人=乙FGC,

^\Z-CGB=乙EBC,且Z_BCG=乙ECB,

[?]△BCGfECB,

噂=需乙CBG=AEB,

^\AF\\BC,

^\Z-AFB=乙CBG,

^AFB=ABEG,&^EBG=/-FBA,

[?]△BEGs匕BFA,

「BEBG

回--=---

BFAB

ABBG

回---=----

BFBE

「BCAB

团---=----

CEBF

BF

"回-B-=---

BCCE

团4。=BC,

^ABBF

团--——;

ADCE

点瓦F在直线ZB,上,

同理，四边形ABC。是平行四边形,

^AB=CD,AD=BC,AB||CD,AD||BC,

团乙028+Z,ABC=180°,

团4FGC+乙CGB=180°,/-DAB=4FGC,

^\Z-CGB=Z.EBCf且Z_8CG=(ECB,

BCGECB,

曜=祟MBG=MEB,

团4FIIBC,

^\Z-AFB=Z-CBG,

^AFB=/.BEG,且NEBG=4FBA,

0ABEG—△BFAf

回「-B-E=-B-G

BFAB

^ABBG

回------

BFBE

^回A-B-=-B-F

BCCE

^\AD=BC,

AB_BF

综上所述，凡四条线段的比例关系为:

BCEMSADAD-CE

12.(1)证明：团四边形ABC。是正方形,

^\AB=BC,AABC=90°,ABAC=^ACB=45°.

^EBF=90°,

^\Z-ABC-Z-EBC=Z-EBF-Z-EBC,

^AABE=乙CBF.

团BE=BF,

[?]△ABE=△CBF.

团AE=CF,乙BCF=4BAE=45°.

^ACF=AACB+^BCF=90°.

^CF1AC.

(2)解：①如图2,连接FG.

由（1）可知中，^ACF=90°,CF^AE=1,

0FG=y/CF2+CG2=Vl2+22=V5.

MG平分NEBF,

^\Z-EBG=Z-FBG,

^\BE—BF,BG—BGf

0AEBG=△FBG.

0FG=FG=V5.

②BE1EH,BE=EH.

理由：如图3,连接F"，作“MlAC于点M,

作FN1交HM延长线于点N.

则NEM"=乙CMN=ACMH=NN=乙FCM=90°.

回四边形MNFC是矩形.

0CM=FN.

回四边形ABC。是正方形，

团乙4cH=45°.

回乙4cH=4CHM=45°.

WM=CM=FN.

B\BE=BF,乙EBH=LFBH=45°,BH=BH,

[?]△EBH=△FBH.

^\EH=FH,乙EHB=LFHB.

团Rt△EMH=Rt△HNF.

^EHM=乙HFN.

^EHF=乙EHM+乙FHN=乙HFN+乙FHN=90°.

国乙EHB=乙FHB=45°.

©乙EBH=LEHB,/-BEH=90°.

0BE1EH,BE=EH.

13.（1）证明：在等边三角形△ABC中，AC=BC,/_A=^ACB=AABC=60°,

在△血1和4CDB中，

AE=CD

NA=乙ACB=60°

AC=BC

•­•AAECdCOB（SAS）；

（2）解：过点E作EG1BD,如图所示：

由（1）可矢口AaEC三△CDB,

Z.ACE=Z.CBD,

设乙4CE=乙CBD=a,贝/BD=3〃CE=3a,

4a=60°,解得a=15°,

.•.在RtABGE中，乙EGB=90°,4EBG=45°,贝UNBEG=45°,

乙BEF=42+^ACE=75°,

乙GEF=30°,

在RtAEFG中，设FG=x,贝!]EF=2x,由勾股定理可得EG=7EF2一FG2=岳,

•••BG=EG=V3x,

BF=1+V3=V3x+x,解得x=1,则£T=2尤=2；

(3)证明：延长CE交BG于/,在GB上取G/=FC,如图所示:

由（1）AAEC=ACDB,

•••Z.ACE=Z.CBD,

•・•乙FCB是△FC”的一个外角，

・••Z.FCB=ZH+乙HFC,

•・•乙FCB+/.ACE=60°=ZH+Z.HFC+/.ACE,N”+4G+乙GBH=乙HFG=120°,即

N"+NG+乙GBD+乙CBD=120°

又回RGB。=60°,则N”+NG+/.ACE=60°,

・•・乙HFC=乙G,

•・•将线段”F绕点F逆时针旋转120。得GF,

・•.FH=FG,乙HFC+乙GFE=60°,

在和△—；/中，

FH=FG

乙HFC=ZG

.GI=FC

/.AHFC三△FG/(SAS),

・•・乙GFI=(H,

由4"FC+4GFE=60。知，^HFC+^GFI+Z.JFI=60°,贝!+N”+N/F/=60。，

•・•乙H+乙HFC+AACE=60°,

々FI=^ACE,BPZ/F/=ACBD,

・・•乙FJB是△F〃的一个外角，

・•・乙FJB=々FI+Z-JIF=Z.JFI+4G+Z.GFI=60°,

•••ABFJ^尸8。的一个外角，

・•・乙BFJ=乙FCB+Z.CBD=60°,

BF/是等边三角形，则BF=FJ=BJ,

•・•Z//F=4G+乙GFI,Z.FCB=4”+HFC,

・•.Z.JIF=乙FCB,

在4和中，

«JIF=乙FCB

乙JFI=乙FBC

.BF=F]

JFI=AFBC(AAS),

/.JI=FC,

・•.BG=BJ+JI+IF=BF+2CF；

14.解：(1)vZ.BAC=^DAEf

Z-BAC-Z-BAE=乙DAE—Z.BAE,

^Z.CAE=4BAD,

在△AEC和△ADB中，

AC=AB

Z-CAE=Z-BAD，

.AE=AD

.*.△AEC三△ADB(SAS)；

(2)@-：AD=AE,ZDXF=9O°,

•••^.ADE=^AED=45°,

•••Z.ADB=180°-/.ADE=180°-45°=135°,

同(1)得：AAECmAaDBlSAS),

•••^AEC=4ADB=135°,

•••乙BEC=/.AEC-^.AED=135°-45°=90°；

②如图2,过点A作AGIDE于点G,

图2

贝IUFGA=90°,

由①可知，NFEC=90。，

Z.FGA=Z.FEC,

•・•点/为/C中点，

・•.AF=CF,

又•・•^AFG=乙CFE,

AGF=△CEF(AAS),

.'.AG=CE=2,GF=EF,

vAD=AE,/DAE=90。，

DG=EG=AG=2,

.・.GF=EF=-EG=1,

2

SRACE~2sACEF=2x-CE-EF=2x1=2；

(3)解：如图3,连接CE,

EC

同(2)得：△CDEmziFDA(SAS),

・•.CE=AF,乙DCE=Z.DFA=135°,

・•・/,ACE=乙DCE一4ACB=135°-45°=90°,

在△ACE和△BAF中，

AC=AB

/-ACE=Z.BAF=90°，

CE=AF

ACE三△8”(SAS),

，•S〉ACE=^^BAF9

Z-ACE=Z-BAC,

回CE||g

^LABE~^LABC=3"♦48=5"2，

S^ZBC+S^ACE-^LABE-S〉CEF=LBCF'

1cl1cl

-AC2+-AC-CE--AC2--CE-CF=18,

2222

・•・AC-AF-AF-CF=36,

・••AF^AC-CF)=36,

・•・AF2=36,

・•・29=演=6负值舍去，

即AF的长为6.

15.(1)证明：回AG1AD,LBAC=90°,

团乙O/G=Z.BAC=90°,

回乙BAG+^CAG=/.CAD+Z.CAG=90°,

团乙BAG=Z-CAD,

回CD1BE,

^BAE=(CDE=90°,

又回=Z.CED,

^\Z-ABE=Z-DCE,

即乙4BG="CD,

团48=AC,

[?]△ABG=△AC。(ASA),

团4G=AD；

(2)证明：团CG中点是H,

回G”=CH,

在△AG”与△KC”中，

GH=CH

乙AHG=乙KHC,

、AH=KH

团△ZG”三AKCH(SAS),

团AG=CK,^GAH=乙CKH,

团4G||CK,

^GAC+AACK=180°,

^DAG=乙BAC=90°,

团/DAG+乙BAC=180°,

即4G/C+^DAC+^BAC=180°,

艮114GAe+4BAD=180°,

回/ACK=乙BAD,

团4G=AD,

回CK=40,

在△ACK与△84。中，

AC=AB

/-ACK=4BAD，

CK=AD

团△ACK三△BAD(SAS),

团=AK=2AH,

即=2AH；

(3)解：如图，过点C作CT1AC,并且使C7=BC,连接力T,MT,

0ZF4C=90°,AB=AC,

回△ABC是等腰直角三角形，

回乙4cB=45°,

0ZTCB=/.ACT-/-ACB=45°,

由旋转知CM=C4,^A'CM=45°,

0ZTCB=/.A'CM,

^TCB-ABCM=^A'CM一4BCM,

回"CM=NBCA,

在ATCM与△BC4中，

-TC=BC

乙TCM=ABCA',

.CM=CA'

0ATCMmABCa'lSAS),

STM=BA',

由翻折知B力=BA',

可知B4是定值，

由RtAACT中，AC,乙4CT,CT=BC是定值，

则斜边47是定值，

由三角形三边关系可知AM>AT-TM,当且仅当4、M、7依次共线时，4M取得最小值4T-

TM,此时如图，连接CF,

0ATCM=ABCA',

回/TMC=Z.BA'C,

回N7MC+NFMC=180°,

^z.BA'C+乙FMC=180°,

E1ZFMC+ZFCM+/.CFM+^A'FC+^A'CF+/.CA'F=180°+180°,

0(zFMC+NCAF)+(NFCM+NA'CF)+(乙CFM+乙4'FC)=360°,

回180°+/.A'CM+/.A'FM=360°,

0180°+45°+^A'FM=360°,

解得:/.A'FM=135°.

16.解：(1)EL4C=BC,AACB=90°,点。是4B的中点，

•••AO=CO=BO/ACO=NB=45°,NCOB=90°=乙MON,

：.4MOC=乙NOB,

•­.AMOC=△WOB(ASA),

BN=CM,

•••AC=BC,

AM=CN,

•••MN2=CM2+CN2,

：.MN2=AM2+BN2,

故答案为：①②③；

(2)不发生改变，S四边形MCNO=16，

理由如下：

团四边形ACBD是正方形，

.・.AO=BO=COf^ACO=乙ABC=45。,乙4OC=乙=90°,

・•.ZMOC=乙BON=90°-乙CON,

团在△MOC和ANOB中，

2MCO=乙NBO

/.MOC=Z.NOB,

CO=BO

.♦.△MOC三△NOB(AAS),

•••S^MOC=S^BON'

,,,S四边形CNOM=S^NOC+S&MOC=S^NOC+S^NOB=S^BOC=qS&ABC

11

=-x-x8x8

22

=16.

(3)MN2=AM2+BN2成立，

理由如下：

如图3,延长M。交。B于瓦连接EN,

团四边形ACBO是矩形，

・•・AO=BO,AC\\BDfZ.CBD=90°,

・•・/.MAO=乙EBO,乙AMO=乙BEO,

在△4M。和△BE。中

2M4。=乙EBO

LAMO=乙BEO,

AO=BO

团△ZM。三△BEO(AAS),

・•・AM=BE,MO=EO,

•••(MON=90。,M。=EO,

・•・MN=NE,

团在Rt2kBEN中，乙NBE=9。。,

・・・NE2=BE2+BN2,

即MN2