2025年九年级数学中考复习 圆综合压轴题 考前冲刺训练

2025年春九年级数学中考复习《圆综合压轴题》考前冲刺专题训练(附答案)

1.如图，28为。。的直径，COLAB,弦CD交48于点点尸为直径B4延长线上一点,

连接FD,S.FE=FD.

D

(1)求证：FD为。。的切线；

(2)连接BO,若见)=警，tanB=求4F的长.

54

2.在。。中，点48、C、。为圆周的四等分点，4E为切线，连接ED并延长交。。于点尸,

连接B尸交4C于点G.

(1)求皿1E的度数；

⑵求证：AE=AG；

⑶若4E=3,AG=3GC,贝!Jtan/CBF的值为一.

3.如图，在△ABC中，以BC为直径的。。交4c于点E,过点E作EF14B于点尸，延长EF交

的延长线于点G,且乙48G=2NC.

⑴求证：EF是。。的切线；

⑵若sinNEGC=£。。的半径是3,求图中阴影部分的面积.(sin36°=|)

4.如图，在AABC中，AB=AC,^BAC=90°,以4B为直径的回。交BC于点尸，连接。C,

过点B作BDIIOC交回O于点D.连接4D交。C于点E.

(1)求证：BD=AE.

⑵若回。的半径为5,求。E的长.

⑶连结DF,在(2)的条件下，求DF的值.

5.如图，O。是以BC为直径的^ABC的外接圆，点M为AABC的内心，连接4M并延长交。0

(2)求证：DM=DC-,

⑶连接OM,若AM=2①OM=居,求AC的长.

6.如图，在OC中，ED为直径，点4为直径ED延长线上一点，点3为回C上一点，连接4B,

且力B为OC切线，连接8。，BE.

⑵如图2,若tanNB4E=?,作NB4E的平分线AF,且与BE交于点/；若4F=2,求OC的

4

半径.

7.如图，A4BC是等腰三角形，AB=AC,以AC为直径的。。与BC交于点D,DE1AB,垂

足为E,的延长线与AC的延长线交于点F.

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)若。。的半径为2,BE=1,求乙4的度数；

⑶在(2)的条件下，求图形中阴影部分的面积.

8.如图，已知CE是圆。的直径，点B在圆。上，且BD=BC,过点B作弦CD的平行线与CE的

延长线交于点4.

(1)若圆。的半径为2,且点。为弧EC的中点时，求线段CD的长度；

⑵在(1)的条件下，当NCBD=45。，DF=a时，求线段BD的长度；(答案用含a的代数式

表示)

⑶若4B=3AE,且CD=12,求△BCD的面积.

9.如图，抛物线y=a/+bx+c的图象与x轴交于点力(―1,0)、B(3,0)与了轴交于点C,顶

点为D.以4B为直径在x轴上方画半圆交＞轴于点E,圆心为/,尸是半圆上一动点，连接DP,

点。为PD的中点.

⑴试用含。的代数式表示c；

(2)若/Q1PD恒成立，求出此时该抛物线解析式；

⑶在(2)的条件下，当点尸沿半圆从点8运动至点/时，点。的运动轨迹是什么，试求出

它的路径长.

10.如图1,已知。。外一点P向。。作切线P4点4为切点，连接P。并延长交。。于点B,

连接4。并延长交O。于点C,过点C作CDLP8,分别交PB于点E,交O。于点D,连接4D.

图1图2

(1)求证：A/IP。〜△DC4；

(2)如图2,当4。=4。时，

①求”的度数；

②连接4B,若点2关于直线AC的对称点为。，连接CQ,PQ.请直接写出翳的值.

11.已知，在AABC中，N4C8=90。,8c=6,以BC为直径的o。与4B交于点H,将△力沿

射线4C平移得到4DEF,连接BE.

图1图2

(1)如图1,0E与。。相切于点G.

①求证：BE=EG；

②则BE-CD=.

(2)如图2,延长H。与。。交于点K,将△DEF沿DE折叠，点

的对称点尸'恰好落在射线8K上.

①求证：HK||EF'；

②若KF，=3,求2C的长.

12.如图，AB是。。的直径，弦CD14B于点E,G是弧4C上一点，AG,DC的延长线交于

点、F,连结4D,已知力E=CD,BE=2

⑴求。。的半径长；

(2)若点G是4尸的中点，连结DG,求4G的长；

⑶在(2)的条件下，连结GC,求ACDG与AADG的面积之比.

13.如图1,已知△48C是。。的内接三角形，力8是。。的直径，CD是。。的弦，连接

(1)求证：4CEB=^ABD+乙CDB；

(2)如图2,连接。E、AD,若。EII4D,且4B=10,BD=8,求BC的长.

14.如图1,AB为半圆。的直径，点C在半径。8上，射线CD14B,交半圆于点。,BE

交力D的延长线于点E,已知BC=2,CD=4.P为CD延长线上任意一点，设PD=x.

(1)求半圆。的半径.

⑵当A/ICD与以点尸，D,£为顶点的三角形相似时，求x的值.

⑶连接我.

①如图2,P4交半圆于点。，当x=2时，求PQ的长.

②如图3,作点E关于P4的对称点？，且2,D,三点在同一直线上，PA交BE'于点、R.求

△PDR的面积.

15.已知：△ABC内接于O。，48为。。的直径，直径4B垂直于弦CD于点77,连接4。，过

点D作。。的切线交C力延长线于点E.

(1)如图1,求证：^ADE=ZXBC；

⑵如图2,点尸在BC上，连接4F交CD于点G,若2乙CGF=3乙EAD,求证：AE=AG-,

(3)如图3,在(2)的条件下，点P在BC上，作PQ14B垂足为点Q,PB=AF,AB=6亚,

PQ=2V5,求GF的长.

16.如图，N2为。。的直径，C为O。上一点，。为弧3c的中点，连接40、2c相交于E,

过点B作。。的切线交AD的延长线于F；

图1

(1)求证：/.CBF=24BAF；

⑵过点。作D"14B,垂足为“，求证:BC=2DH；

⑶延长交。。于G,连接CG,交/。于N,CN=3,GN=8,求。。的半径.

17.如图1,已知△ABC内接于O。，4B为O。的直径，AB=5,tan^ABC=点。是半

4

圆上的一个动点，过点。作DE||4C交直径4B于点£.

ccc

EOFEOFEO

ABABAB

D

DD

图1图2图3

⑴求证：乙ADE=ACBD；

(2)如图2,连接CD交力B于点尸，若乙4DC=NEDB,求COSNCBD；

(3)如图3,连接CD交4B于点尸，^CD=2AE,

①求4。的长；

②直接写出第的值为.

18.如图1,在RtAABC中，NC=90。.动点。从点/向点2运动，动点E从点C向/运

动,两点同时出发，当点。到达点2时，点£正好到达点工.作AADE的外接圆O,直线BE

交圆。于另一点足连结力F.记4D=x,AE=y,满足y=—，x+4.

(1)求AC,4B的长.

⑵如图2,连结FD,当乙4FD+NFEA=90。时.

①求证：AFADS&BCE.

②求圆。的半径.

⑶在运动过程中，若直线B。经过AAEF一边的中点，求x的值.

19.已知：力B是。。的直径，弦CD交力B于点£,且弧BC=MBD.

⑴如图1,求证：CE=DE；

(2)如图2,连接力C,点尸为4C上的一点，连接BF,过点C作CH1BF,垂足为点G,若点

〃为弧力B的中点，求NCFB的度数；

⑶如图3,在(2)的条件下，连接FH交48于点N,若4F=AN,FG=4,求O。的半径.

20.如图，已知圆。是四边形4BCD的外接圆，BD是直径.连接AC交BD于点£.

(1)如图1,。是弧4C的中点，当"4。=25。，求的度数；

(2)如图2,48=2。，将AaCD绕点/顺时针旋转90。至△28L,其中力D与4B重合，求证：

AB2=AC2-BC-BC；

(3)如图3,AB=AD,尸是4。的中点，连接BF,过。点作DM1AD交4C于点当BF1AC

时，求器的值.

参考答案

1.(1)证明：连接。D,如图:

DF=EF,

•••Z.FDE=乙FED,

•••0C=0D,

・,.Z.C=乙ODE,

•••0C1AB,

・•・乙COE=90°,

・•.Z.OEC+"=90°,

乙FED=Z-OEC,

/.Z.ODE+^FDE=90°,即：OD1DF,

•••。。是。。的半径，

・•••OF是O。的切线.

(2)解：连接ZM,如图：

••4B是。。的直径,

•••^ADB=90°,

在RtAABD中，BD=―,tanB=m,

54

•••AD=tanfi.BD=£,4B=VAD2+BD2=14,

・•・DF是。。的切线，

•••ODIDF,即：/.ODF=90°,

•••AADF+AODA=90°,

OA—OD,

・•.z_OAD=Z.ODA,

•••Z-B+乙BAD=90°,

Z-B=Z.ADF,

Z-F—Z-F,

•••△ADFDBF,

••AF—DF—AD―-tanB=3)

DFBFBD4

设DF=3x,贝UBF=4%,AF=4x-14,

2

DF=FA-FB,即：(3x)2=(4x_14)x4x,

解得：%=8或x=0(舍去)，

XF=4X8-14=18.

2.(1)证明：回点N,B,C,。为圆周的四等分点,

回&=CB,4c为直径,

^z.BAC=/.DAC=/.ACB=45°,

回4E为切线，

团4c1AE,

团4C4E=90°,

^DAE=45°

(2)证明：^ABF+^ADF=180°,^ADE+^ADF=180°,

团乙ADE=匕ABF,

团AD=AB，

比4。=AB

在△AOE和△ABG中，

/.ADE=乙48G

AD=AB，

Z-DAE=Z-BAG

团△ZDE三△ABG(SAS),

团4E=AG；

(3)解：过G点G”IBC于7/点，如图,

0AADE=△ABG,

团4G=AE=3,

^\AG=3CG,

MG=1,AC=4,

回/C为直径，

^Z.ABC=90°,

^ACB=45°,

^\BC=—AC=2V2,

2

在RtACGH中，CH=GH=^CG=y,

SBHBC-CH=2y[2

22

V2

团tan/CBF=—=-^=i,

BH迥3

2

故答案为：

3.(1)解：⑴如图，连接E。，贝UOE=OC,

•••Z-ABG=2/-C

•••乙EOG=Z.ABG

・•.AB//EO

EF1AB

••・EF1OE

又回E。是。。的半径，

团E尸是O。的切线；

(2)Z.ABG=2Z-C,Z-ABG=乙C+Z.A

•••Z-A=Z-C

，BA=BC=6

在RtAOEG中，VsinzEGO=—,

OG

OE3

•••OG=--------=于=5

sin乙EGO3

5

BG=OG-OB=2

在Rt△FGB中，•・•sin4EG。=—,

BG

：.BF=BGsinNEG。=2x-=-,

55

624

AF=AB-BF=6--=—.

55

在R"OEG中，vEG2=OG2-OE2

・•.EG=yJOG2-OE2=泗2-32=4

11

SROEG=2OE-EG=—x3x4=6

在RtAFGB中FG2=BG2-BF2

在Rt△OEG中

33

vsin36°=-sinzEGC=-

55

・•・乙EGC=36°

・•・(EOG=90°-乙EGO=90°-36°=54°

54_54_27

•••S扇形。EB=荻“=^X3”而兀

_2427_12627

6-7r-

・••S阴影=S^OEG-S〉FGB-S扇形OER=^5一万=~2S20^

故阴影部分的面积为等-弱小

4.(1)证明：MB是直径，

・・・乙4。8=90。，

团BOIIOC,

团4AEO=/.ADB=90°,

^OAC=90°,

国乙OAE+Z.AOC=90%Z.AOC+乙ACO=90°,

^1Z-BAD=Z.ACE,

^AB=AC,2LADB=乙AEC=90°,

0AADB=△CEA(AAS),

团4E=BD.

(2)解：由(1)知，Z.AEO=90°,

WELAD,

^\AE=DE,

回OE为△43。的中位线，

WD=2OE,由(1)知，BD=AE,

^\AE=2OE,

在内△ZOE中，

OE2+AE2=OA2,OA=5,

团。£2+4。产=42,

团。E=V5.

(3)团OEIIBD,AO=OB,

回AAOE〜AABD

"OAE1

，

0—AB=—AD=-2

-'-AE=ED,

团=2OE=2V5,

^AE=BD=DE=2V5,

团△408m△CEA,

0FC=AD=4V5,

设AD交BC于K.

2

-

回OK3V5

2

^\BK=(|V5)+(2A/5)23=yV2,

^ABK=乙FDK,乙AKB=乙FKD,

[HAAKB—△FKD9

团^D--F=-D-K，

ABBK

2V5

^DF丁

%=返

3

0DF=V10.

5.(1)证明：连接BD,

回点M为X4BC的内心，

回4。平分ABAC,贝ikB4D=N&W,

0BD=CD,

回BC为直径，

0ZFDC=ZBXC=90°,

SAB2+AC2=BD2+CD2=BC2,

SAB2+AC2=2CD2.

A

D

(2)连接CM,

团点"为△ZBC的内心，

^Z-BAD=Z.CAD,/-ACM=乙BCM,

^BAD=乙BCD,

^CAD=乙BCD,

^DMC=ACAD+/.ACM,乙DCM=^BCD+乙BCM,

^1Z-DMC=(DCM,

^\DM=DC.

(3)过点〃作MEIZB,MFIAC,MGIBC,垂足分别为点E,F,G,

团BC为直径，

瓦血4c=90°,

团ME1AB,MF1AC,

团四边形/EMF为矩形，

团点M为工的内心，

^\ME=MF=MG,

团四边形ZEMF为正方形，

^MAF=45°,

团4M=2V2,

0i4F=AM•cos45°=2,

团AE=AF=ME=MF=MG=2,

0MG=2,OM=V5,

在RtAOMG中，根据勾股定理可得：OG=VOM2-MG2=1,

设。。半径为r，

回B。=CO=r,

团BC=2r,BG=7+1,CG=r—1,

团点M为工ZBC的内心，

回BE=BG=r+1,CF=CG=r—1,

^\AB=BE+AE=厂+3,AC=CF+AF=r+1,

在中，根据勾股定理可得：AB2+AC2=BC2,

即(r+3)2+(r+l)2=(2r)2,

解得：7=5或丁=一1(舍)，

6.(1)解：・.TB为OC切线，

Z.ABD=乙E,

•・•Z.A=Z.A,

・•・△ABD-△AEB,

AB：AE=AD：AB,

vAB=8,DE=12,

・•・8:(40+12)=AD:8,

解得4。=4,4。=-16(负值舍去)，

•••AE=AD+DE=16.

(2)如图，连接BC,过点。作DHLAB于点〃,

则BCim

・••DHWBC.

3

・•・tanZ-BAE=

4

设AB=4%,则BC=3%,则AC=5%,

CD=CB=3%,

・•.AD=AC-CD=2x,

•・,DHWBC,

.AD_HD_AH

*'AC-BC~AB'

.2x_HD_AH

5x3x4x*

DH=-x,AH^-x.

55

12

・•.BH=AB-AH=yx,

6

在RtABHD中，tan4HBD=-=^-=~.

HByX2

•・•Z-ABD=乙E,

tanE=tanzHBjD=

2

如图，过点尸作FM1CE于M,

AE=AC~\~CE—8x.

•••AF是的平分线,

BF_AB_4x_1

EF~AE―8x~2

2

・•・FE=-BE.

3

在RtZkBDE中，tanE=-=

BE2

则BE=2BD.

■-BD2+BE2=DE2,

•••B£)2+(2BD)2=(6久尸.

6yf5

BnDn=——x,

5

BE=2BD=—x.

5

厂厂8V5

.・.FE=——X.

5

在RtABDE中，tan£=—=i,则ME=2MF.

ME2

FM2+ME2^FE2,

FM2+(2MF)2=(W%)2.

•••FM=-x.

5

ME=2FM=^x,

•••AM=AE-ME==yx.

在RtAAFM中,

•••AM2+FM2=AF2,

•••(如2+(")2=42.

解得：X=±乎(负数不合题意，舍去)•

Vio

x=——

・•・oC的半径CE=3久=上.

4

7.(1)证明：如图，连接4D、0D,

F

・・•AC是直径，

・•・AD1BC,

•••AB=AC,

・・.。是BC的中点，

又・・・。是AC的中点,

・•・DOWAB,

DE1AB,

・••DO1DE,

又•.•点。在。。上，

•••DE是。。的切线；

(2)解：由(1)知OOIIAE,

\FODs\FAE,

.FO_DO

,•=,

FAAE

.FC+OC_DO

•・FC+AC-AB-BE9

.FC+2_2

•・FC+4-4-1'

解得：FC=2,

AF=6,

・•・4=60°；

(3)解：如上图，连接。M,

vAB=AC,Z,A=60°,

・•.△ABC是等边三角形，OF=。。+CF=2+2=4,

同理可得：0M是A48C的中位线，

.•.四边形。DBM是平行四边形，

4F0D=60°,乙MOD=60°,

•••ZCOM=120°,DF=OFsin60°=4xf=2百，

S^DOF=,DF=|X2X2V3=2V3,

•；DB^-BC=-AC=2,

22

DE=DB-sin600=2x—=V3,S成正=—TT-22=-TT,

2扇形COM3603

•••平行四边形。DBM的面积=DO-DE=2x43=2V3,

44

S阴影=2V3+2V3——7T=4V3——7T

8.(1)解回如图，过。作。HlCD于H,连接DE,贝!]CD=2CH,

回CE是圆。的直径，

0ZEDC=90°,

回点。为弧EC的中点，

EMED=弧。。，

回£7)=CD,

国匕OCH=45°,

^HOC="CH=45°,

回。”=CH,

团圆。的半径为2,即。C=2,

回。”=CH=42,

0CD=2CH=2近；

(2)解：0ZFCD=45°,ZDSC=45°,

0ZFCD=/.DBC,

回乙。=乙D,

[?]△CDFfBDC,

LFDCD

回--=---

CDBD

由(1)可知CD=2企,

aa

(3)解：如图，连接BE,BO,DO,并延长8。至H点,

I3CE是圆。的直径，

0ZEBC=90°,

回=BC,OD=OC,

国垂直平分CD,

^BHC=90°,

又财B||CD,

团乙48。=(DHO=90°=乙EBC,

团乙4BE=Z.OBC=Z.OCB,

又回乙/=Z-A,

0AABEACB,

0—=—BPXB2=AE-AC,

ABAC

设AE=%,则48=3%,

比4c=9%,EC=8x,

团。E=OB=OC=4%,OA=5%,

团CD=12,

团CH=6,

团48||CH,

^OAB=^.OCH,Z.OBA=Z.OHC,

回△408八C0H,

A0BOABa5x3x

—=——即n一=—

COHOCH4x6

解x=|,OH=8,OB=10,

SBH=BO+OH=18,

0ABCD的面积=|X18X12=108.

9.(1)解：回抛物线y=a/+6%+c的图象与x轴交于点4(—1,0)、B(3,0),

回该函数的解析式为y=a(%+1)(久-3)=ax2-2ax-3a,

0c=—3a.

(2)解:连接皿,

SP是半圆上一点，点。为PD的中点，且/Q1PD,

回点。在上，

1-1

回“=#3=炉[3—(-1)]=2,

回该抛物线的对称轴为直线久=于2=1，

0D(l,-2),

把。(1,—2)代入y=ax2—2ax—3a得：-2=a—2a—3a,

解得：a=3，

回该抛物线解析式为：y=|x2—%—I；

(3)解：回/QLPD,

团乙IQD=90°,

团点0在以川为直径的圆上运动，

财(一1,0)、8(3,0),。(1,—2),

团当点尸与点8重合时，Q1(祟，£)，即Q1(2,—1),

当点尸与点/重合时，Q2(U—＞即Q2(O，-D，

团Q1Q2II%轴，Q1Q2=2,

团点0在以皿中点为圆心的半圆上运动,

10.解：（1）如图1,回P4切。。于点A,ZC是。。的直径,

图1

^PAO=Z.CDA=90°,

团CD1PB,

^CEP=90°,

团4CEP=4CDA,

团PBII4D,

团NPOA=Z-CAD,

回△ZP。一△DCA.

(2)如图2,连接OD,

图2

①回AD=4。，OD=710,

IHA是等边二角形，

^OAD=60°,

团PBII4D,

团NP04=Z-OAD=60°,

^PAO=90°,

回乙尸=90°一4POA=90°-60°=30°.

②存在.如图2,过点8作BQ1/C交。。于Q,连接PQ,BC,CQ,

由①得：2LP0A=60°,/-PAO=90°,

^BOC=Z.POA=60°,

WB=OC,

团乙4cB=60°,

团/BQC=ABAC=30°,

团BQLAC,

团CQ=BC,

团BC=OB=OA,

[?]△CBQ=△OBA,

团BQ=AB,

^OBA=4OPA=30°,

团48=AP,

团BQ=AP,

团尸/1AC,

回BQIIZP,

团四边形ZBQ尸是平行四边形，

^AB=AP,

团四边形48QP是菱形，

团PQ=AB,

0—=—=tan^ACB=tan60°=V3.

CQBC

11.(1)①回将△ABC沿射线AC平移得至!!△DEF,

・•.AC||BE,

•••^ACB=90°,

•••/.ACB=乙OBE=90°,

aDE与。。相切于点G,

如图1所示：连接。E,OG,

图1

•*.OG_LED,

・•・乙OGE=90。，

在Rt△BOE和Rt△GOE中，

..(OE=OE

•=OG'

Rt△BOE=RtAGOE(HL),

BE=EG,

②如图2所示：过点D作。M1BE交BE于点M,

图2

•••乙DME=90°,

根据切线长定理可知：EB=EG,DC=DG,

设BE=x,CD=y,贝！JEM=x—y,ED=汽+y,

在中，DM2+ME2=DE2,

•・•BC=6,DM=BC,

••・62+(x-y)2=(x+y)2,

22

•••36+%—2xy+y2=%2+2%y+yf

•••xy=9,

即BE-CD=9.

（2）①如图3所示：延长HK交BE于点Q,

设乙OBH=a,

•••OB=OH,

•••乙OBH=乙OHB,

•••(BOQ=2a,

Z.OQB=90°—2a,

ABC沿射线ZC平移得至！］△DEF,

・•・Z-DEF=Z.ABC=a,

团将△DEF沿。E折叠得至DEF',

•••Z-DEF=乙DEF'=a,

•••乙BEF=90。，

・•・乙BEP=90°-2a,

•・•(OQB=乙BEF=90°-2a,

・•・HK||EF'.

②如图4所示：连接FF',交ED于点N,

图4

0ADEF沿DE折叠，点尸的对称点F什合好落在射线BK上,

1

•••ED1FF'.FN=-FF,,

•••HK是O。的直径,

•••4HBK=90°,

BC=EF,BC=HK,EF=EF',

•••HK=EF',

在RtAHBK和Rt△ENF'中，

NHBK=乙ENF'

乙BHK=乙NEF',

.HK=EF'

•••RtAHBK=RtAENF'(AAS),

BK=NF',

设BK=x,

BK=NF'=NF=x,

•••KF'=3,

BF=3x+3,

•••^OBA+乙4=9Q。,乙OHB+乙HKB=90°,

又乙OBA=/.OHB,

：.zX=AHKB,

■■乙HBK=乙FCB

•••RtAHBK-RtAFCB,

BK_HK

"~BC=~BF'

x6

"6-3x+3'

*'•久i-3,%2■—4(舍去)，

■■HK=6,

•••乙BHK=30°,

•••AABC=30°,

在RtAABC中，

V3广

AC=BC-tan30°=6x—=2v3.

即AC的长为2百.

12.(1)解：连接。D,

A

设。。的半径为r,则48=2厂，

U：AE=CD,BE=2,

CD=AE=2r—2,

VCD1AB,

：.DE=-CD=r-l,

2

•••。标=OE2+DE2,

Ar2=(r—2)24-(r—l)2,

r=5,r=1(不合题意，舍去),

・・・。。的半径长为5；

(2)解：连接BG

••ZB是。。的直径，

：.^AGB=90°

・"BAG+N8=90°

VCDLAB

・・・484G+4F=90°

乙B=乙F

LB=/-ADG

：.Z.ADG=乙F

V^DAG=2LFAD,

△ADG^△AFD,

,ADAG

••——,

AFAD

：.AD2=AG»AF,

;DE=4,AE=8,

：.AD=>JDE2+AE2=4V5,

•••点G是4F的中点，

：.AF=2AG

：.2AG2=80

：.AG=2V10

(3)解：：NGCF=ND4F,4F=KF,

：.KFCGs4FAD,

•,F•G-=—FC,

FDFA

：.FG•FA=FC・FD,

•.•点G是AF的中点，

•'AG=FG,S-DG=S^DGF，

：.AD2=FC・FD,

\'AD=4V5,

.*.80=DF(DF-8),

ADF=4+4V6(负值舍去)，

276-2

,',■^ACDG:^A/IDG=SACDG：SADGF=CD:DF=8:(4+4V6)

5,

13.(1)证明：・••Z.BAC,NCDB都是BC所对的圆周角，

Z.BAC=/.CDB,

•••/.CEB=乙ABD+Z.BAC,

乙CEB=Z.ABD+乙CDB；

(2)解：OEWAD,点。为4B的中点，

•••OE为△力DB的中位线，

•••DE=BE=-BD=4,

2

「4B为直径，

•••乙ADB=90°,N4CB=90°,

AD=y]AB2-BD2=V102-82=6,

•••AE=yjAD2+DE2=A/62+42=2V13,

设BC=x,EC=y,

在RtAABC和RtABCE中，

2=AC2+BC2102=(2V13+y)2+x2

2=BC2+CE2，M1

42=%2+y2

22

整理得:%+y+4V13y—48=0

12+y2=16

16+4V13y-48=0,

解得：y=潟，

264

/.V=——

/13

.•・/+*16,

12-713.12713

解得:X=----:.或无=—(舍去),

1313

:的长为誓

14.(1)解：(1)连结OD.设半圆。的半径为

则。B=OD=R,OC=R-2.

SCD1AB，

0OC2+CD2=OD2,

0(/?-2)2+42=R2,

解得R=5,

回半圆。的半径是5；

(2)EL4c=5+3=8,

•••CD=VXC2+CD2=V82+42=4V5,

0CD1AB,BE14B,

回BE||CD,

「DEBC

回一=—

ADAC

2

8

0DF=V5,

如图1,

（备用图）

若AACD〜APED,则把=",

0%=5,

综上所述，x的值是1或5；

（图2）

当x=2时，PC=4+2=6,

•••PA=yjAC2+PC2=V82+62=10,

n.AC84

・••CQSZ-PAC=—=—=一，

PA105

4

AF=OA-cos乙PAC=5x-=4,

AQ=2AF=8,

・・.PQ=P4-/Q=10-8=2,

②连结4E,作RM14E于点/，设4P交半圆于点0,连结BQ,

(图3)

则乙4Q8=90°,

团点E,£关于P力对称，

EL4E'=AE=4V5+V5=5V5,

回4力DE=Z.ADB=90°,

WE=ylAE'2-AD2=J(5V5)2-(4V5)2=3V5,

回NPAE=/-PAE',

BIRD=RM,

•••S岳RM+4乘RD=3V5x4V5,

SRD=—,

3

团AE'=5V5=BE1

^£.EAB==乙E'BA,

国匕DBQ=Z-DAQ=乙E'AQ,

^QAB=/-QBA=45°,

^APC=^PAC=45°,

PC=AC=8,PD=8-4=4,

团SMQR=SNDA-S^RDA=|x8x4-|x4^5x手=:

15.(1)证明：如图，连接。D.

回ED是。。的切线，

团。。1ED,

回乙ODE=90°,

设=a,

则=90°-a,

团。Z=OD,

回=Z.ODA=90°-a,

团ZB为。。的直径，

团乙4cB=90°,

团481CD,

团BC=BD,

^CAB=£.DAB=90°-a,

^\Z-ABC=a,

团NADE=/.ABC；

(2)证明：如图，

图2

0X51CD,

回AC=AD，AC=AD,

^Z-ACD=乙ADC=乙ABC=a,

^EAD=2a,

02ZCGF=3zEi4D,

0ZCGF=3a,

^\Z-CAG—Z-DAE—2a,

回入4CG=Z-ADE,AC=AD,

回△ACG=△ADE,

团4G=AE；

(3)解：如图，延长/C到点N,使4V=AF,连接NF并延长交于点M,过点/作ZR，NF

垂足为点R.

N

团4cAF=2a,AN=AF,

团乙4NF=Z-AFN=90°-a,

团匕CFN=乙MFB=z_B=a,

团4R1NF,

回4NZR=Z.FAR=a

回PQ1AB

^PQB=4ARF=90°

^\Z-RAF=Z-QBP—a,PB=AF

0ARAF=△QBP

回RF=PQ=2遍

^Z-MFB—乙MBF=a

0FM=MB

团/NMZ=2a

团/MAN=AMNA=90°-a

回/M=MN

团48=AM+MB=NM+FM=NF+2FM

团RF=RN=2V5,即NF=4V5

MM=MB=小

团RM=3V5,AM=5通，AR=4^5

在Rt△RAF^tanZ-RAF=tana=|

在RtAACB中AC=6,BC=12,DH=CH=：遮，OH=1V5,

在Rt△。//。中tan/Jf。。=tan2a=-

在内△%"中AF=10

解△AGC可得AG=|^

团FG=—.

11

16.(1)证明：连接4C,

・・・48为。。的直径，

・•・乙ACB=90°,

・••乙ABC+Z.CAB=90°,

・••切。。于点8口

••・FB1AB,

・•・4ABF=90°

Z.CBF+乙ABC=90°,

Z.CBF=Z.BAC,

r-\

•,CD=BD，

・•.Z.CAD=Z.BAF=-^BAC,

2

•••Z.BAC=2/.BAF,

・•・乙CBF=2乙BAF.

(2)证明：连接OC,OD交BC于点、M,

vCD=BD，

Z.COD=Z.BOD,

•・•OB=OC,

・••OM1BC

・•・乙BMO=90°

••・CM=BM,

•・•DHLAB.

・•・(DHO=匕0MB=90°

(Z-DHO=40MB

在Rt△和Rt△BOM中，\^DOH=/_BOM

、OD=OB

・•.△DOH=△BOM,

.・.DH=BM=CM,

・•.BC=2DH.

(3)解：连接4C、AG.DC,作APIDC的延长线于尸

,•CD=BD，

•••Z-CGD—Z-BAD=Z-CAD,

・•.UNG=AAHG,

•・•直径AB1DG,

・•.UNG=AAHG=90°,

・•.DH=GH.

•••AD=AG,

•••Z-ACG=Z.ADG=Z.AGD.

•・•Z.AGD+AACD=180°,AACP+£.ACD=180°.

•••Z-ACP=Z.AGD.

•••Z.ACP=Z-ACG.

Z.APC=乙ANC

・••在Rt△ACP和Rt△ACN中，^PCA=乙NCA

、AC=AC

ACN=AACP.

.・.CP=CN=3.

•・・UNG=AAHG=90°,4ADP=^AGC

Z.APD=^ANG

在RtZkADP和RtZkAGN中，\AADP=Z.AGN

、AD=AG

ADP三△ZGN,

•••DP=GN=8,

DC=DP-CP=8-3=5.

・•・在Rt△DNC中，DN=y/DC2-CN2=V52-32=4.

ri\jR

•・•tan乙4BC=tan^ADC=—=

DN4

AP_3

t—―,

DP4

AP=6,

•••AC=<AP2+PC2=3V5,—

BC4

・•.BC=4V5,

AB=5A/5,

■■-OA=OB=^

故答案为：当

17.(1)证明：如图所示，延长DE交。。于点尸,

0DFWAC,

r-\

0AD=CP，

r-\

0DC=AP，

^\Z-ADE=Z.CBD；

(2)解：如图所示，连接4P,PB,

回AB为。。的直径，AB=5,tan^ABC=

4

^ACB=90°,设AC=3kBC=4fc,贝脑8=5/c,

玳=1,

团4c=3,BC=4,

^\Z-ADC=Z.EDB,

团AC=PB，

t^AP=BC，

团PB=/C=3,AP=BC=4,

团AD=CP，

^ABD=乙CBP,

0ZCBD=（ABC+Z.CBP="BP,

团AP=BC，

团4ABp=/-CAB,

^Z-CBD=Z-CAB,

3

^\cosZ-CBD=cosZ-CAB=-；

（3）解：①由（1）可知N2DE=NCBD,

0BD=BD，

团ZJD/E=Z-DCB,

[?]△DAE〜△BCD,

^ADAE

回一=—,

BCCD

团CD=2AE,

团BC=2AD,

由（2）得：BC=4,

团4。=2；

②回AD=2,AB=5,

EIBD=y/AB2-AD2=VH,

回晶=靛）,

WMF=乙DCB,

r'\

团AC=AC，

^ADF=（ABC,

0ADAF—△BCF,

0—=—=2,

DFAD

国BF=2DF

^Z-ACD=Z-ABD,乙CAB=Z-CDB,

ACF-△DBF,

^ACAF

回--=--，

DBDF

「3S-BF

回而=中

2

解得：8尸=竺葭至，

04F=年，

^BF2A/21

团一=---；

AF3

18.(1)解：团当点。到达点2时，点£正好到达点工,

团当点E正好到达点/时，4E=y=0,AD=AB,

团当4E=y=0时，0=一±久+4,

解得久=5,

SAB——5,

当月。=x=0时，AE=ac=y=%

04C=4,AB=5；

(2)①证明：^AFD+Z.FEA=90°,AAFD=AAED,

^AED+Z.FEA=90°,

0ZFED=90°,

团FO为圆。的直径，

^FAD=90°,

^\AFAD=Zf

团4CEB=Z.FEA,Z.ADF=/-FEA,

^\Z-ADF=乙CEB,

[HAFADs&BCE、

②EL4D=x,满足4E=—：x+4,

HEC=XC-X£=4-(-1x+4)=|x

HAFAD—△BCE,

「BCEC

回一=—,

AFAD

WC=^JAB2-AC2=3.

团二=J

AFx

团4尸=—,

4

22

团=(羊)2+%2,eb2=g%)+9>/7^2=^+25,

国匕DEB=Z.FAD=90°,Z.FBA=乙DBE,

[?]△