2025年九年级数学中考三轮冲刺训练：圆中相似三角形综合训练（含解析）

2025年九年级数学中考三轮冲刺训练圆中相似三角形综合训练

1.如图，在△ABC中，AB^AC,以AB为直径的分别交BC,AC于点。，E,连结E8,

交OD于点F.

(1)求证：ODLBE；

(2)若AB^10,求AE的长；

(3)若△(7£)£的面积是面积的求区■的值.

6AC

2.如图，在RtZkABC中，/C=90°,。在A3上，以。为圆心，以长为半径的圆分

别与AC,A3交于点。，E,直线2。与O。相切于点D.

(1)求证：NCBD=/A；

(2)若AC=6,AD；BC=L页.

①求线段20的长；

②求O。的面积.

3.如图，四边形ABC。为正方形，取A3中点。，以A3为直径，。圆心作圆.

(1)如图1,取C。的中点P,连接2尸交。。于。，连接。。并延长交A8的延长线于

E,求证：QE1=BE'AE-,

(2)如图2,连接C。并延长交O。于M点，求tanM的值.

4.如图，四边形ABCD内接于O。，直径AC与弦8。的交点为E,0B//CD,BH±AC,

垂足为X,且NBFA=NDBC.

(1)求证：BF是。。的切线；

(2)若BH=3,求的长度；

(3)若sinZZ)AC=A,求△QB”的面积与四边形OBCD的面积之比.

7

5.如图1,在△ABC中，/是内心，AB=AC,。是AB边上一点，以点。为圆心，。2为半

径的O。经过点I.

(1)求证：4/是。。的切线；

(2)如图2,连接C/交A8于点E,交。。于点F,若tan//8C=2，求理.

2AE

图1图2

6.如图，以AB为直径的O。交NR4。的平分线于点C,交AD于点R过点C作COLA。

于£>,交AB的延长线于点E.

Cl)求证：C£>为。。的切线；

(2)若型=工，求C0S/D4B的值.

AD2

7.如图，已知是。。的直径，C2L4B,。为圆上一点，KAD//OC,连接CO,AC,

BD,AC与BD交于点、M.

(1)求证：CD为。0的切线；

(2)若求力的值.

8.如图，A。是△ABC的外接圆。。的直径，点尸在BC延长线上，且满足NE4C=NB.

(1)求证：外是O。的切线；

(2)弦CE_LA。交A8于点R若A>AB=12,求AC的长.

9.如图，在△ABC中，ZC=90°,AE平分NBAC交于点E,。是A8上一点，经过A,

E两点的O。交AB于点。，连接。E,作NOEA的平分线EP交。。于点R连接AF.

(1)求证：BC是O。的切线.

(2)若sin/EE4=&,AF=5&,求线段AC的长.

5

10.如图所示，。。的半径为4,点A是。。上一点，直线/过点A；尸是。。上的一个动

点(不与点A重合)，过点尸作尸8，/于点2,交。。于点E,直径尸。延长线交直线/

于点R点A是金的中点.

(1)求证：直线/是O。的切线;

(2)若B4=6,求PB的长.

11.如图，为。。的直径，C为。。上一点，。为A4延长线上一点，NACD=/B.

(1)求证：DC为00的切线；

(2)线段。/分别交AC,BC于点、E,/且/CEF=45°,。。的半径为5,sinB=—,

5

求C尸的长.

C

B

12.如图，P是。。外的一点，PA.是O。的两条切线，A、B是切点，P0交AB于点F,

延长2。交O。于点C,交出的延长交于点0,连结AC.

(1)求证：AC//PO；

(2)设。为尸8的中点，。。交于点E,若。。的半径为3,CQ=2,求胆的值.

13.如图，CD是。。的切线，点C在直径A8的延长线上.

(1)求证：NCAD=NBDC；

(2)若8O=2A。，AC=3,求CD的长.

3

D

14.已知：如图，在△ABC中，A2=AC,点尸是底边BC上一点且满足出=尸3,。。是

△B48的外接圆，过点尸作PO〃48交AC于点O.

(1)求证：尸。是。。的切线；

(2)若BC=8,tan/ABC=Y2,求。。的半径.

2

参考答案

1.【解答】解：⑴连接AD,

是OO直径，

ZAEB=ZADB^90°,

'：AB^AC,

.1.BD=ED.

：.OD±BE；

(2)VZAEB=9Q°,

：.ZBEC=90°,

■:BD=CD,

:・BC=2DE=2V15，

•・•四边形A5OE内接于O。，

/.ZBAC+ZBDE=180°,

VZCDE+ZBDE=180°,

:・/CDE=NBAC,

,.・NC=NC,

.•.△CDEsACAB,

・CEDE日口CEv'To

••———,区口—,—--------,

CBAB2d1510

：.CE=2,

：.AE=AC-CE=AB-CE=8；

⑶:SMDE莫,

^AOBF6

:・设，S^CDE=5k，S/\OBF=6ki

，：BD=CD,

••SACDE=SABDE=5k,

■:BD=CD,AO=BO,

：.OD//AC,

■:△OBFSAABE,

.SAOBFZOBs21

••二r।二■,

SAABE福4

:.SAABE=4SM)BF,

S^ABE=4S^OBF=24kf

SACAB=SACDE+SABDE+S△ABE=34k,

VACDE^ACAB,

.SACDErCD、25

•・百FW

.CDV5V170

••——,—----------，

CAV3434

•：BC=2CD,

.BCV170

••—=-----•

AC17

2.【解答】解：(1)证明：连接OD

・・,直线BD与。O相切于点D,

：.ZBDO=90°,

ZBDC+ZODA=90°,

VZC=90°，

：.ZCBD+ZBDC^90°,

：00=04,

J.ZODA^ZOAD,

：.ZBDC+ZOAD^90°,

J.ZCBD^ZA-,

(2)①；/C=NC,/CBD=/A,

：.△ACBs^BCD,

.BC=CD

,,ACBC，_

：AC=6,AD；BC=1：

.,.设A£)=尤，BC—y[2)c,

•V2x_6~x

6&x

解得：x=3.

:.BC=36,CD^AC-AD^3

根据勾股定理得，2。=3«；

②由①可知BC=3脏.

又：/C=90°,AC=6,

...在RtzMBC中，由勾股定理得：2+62=3近,

设0A=。。=.，贝！]08=3近-r,

...在中，由勾股定理得：?+(3^3)2=(3^6-r)2.

解得：「=辿,

4

x(乎)2=等

Q0的面积为:7T

3.【解答】(1)证明：如图1中，连接0。，0Q,设AQ交0。于K.

•・•四边形A5CD是正方形，

:・CD=AB,CD//AB,

：.DP=^CD,0B=^ABf

22

:・DP=0B,

・•・四边形PDOB是平行四边形,

：.0D//PB,

9：AB是直径，

ZAQB=90°,

ZAKO=ZAQB=90°,

VOK//BQ,A0=0B,

：.AK=KQf

・・・0。垂直平分线段AQ,

：.DA=DQ,

,：0D=0D,OA=OQ,

：./\ODA^AODQ(SSS),

：.ZDQO=ZDAO=90°,

：.ZEQO=90°,

：.ZEQB+Z0QB=9Q°,

OQ=OB,

：.ZOQB=ZOBQf

'：ZQAB+ZABQ=9Q°,

：.ZEQB=ZEAQ,

*/NE=ZE,

：.AEQB^/\EAQ,

.EQ=EB

**EA而'

：・EG=EA・EB.

(2)解：如图2中，作5T_LCM于T.设AB=BC=2Q.

•・•四边形ABC。是正方形，

.,.ZOBC=90°,

•：OB=OA=a,BC=2a,

OC=7oB2+BC2=Va2+(2a)2=^'

'：SOBC=—'OB-BC=—'OC-BT,

A22____________

2222=

：,BT=^^-a,OT=^/QB-BT=<Ja-(-^y^-a),

：.MT=OM+OT=a+^-a,

5

2娓

54=返_]

tanMBT

MT玉2

4.【解答】解：(1)证明：♦；NBFA=NBDC,/BDC=/DAC,

：.ZDAC=ZBFA.

•：OB〃CD,

：.ZBOF=ZACD,

••,AC是。。的直径，

ZADC=90°,

：.ZDAC+ZACD=9Q°,

：.ZBOF+ZF=9Q°,

：.ZOBF=90°,

：.OB±BF,

・・・5尸是。。的切线；

(2)VBH±AC,

：.ZOHB=90°,

〈AC是。。的直径，

ZADC=90°,

NADC=NOHB,

；/BOC=NACD,

：.AACD^ABOH,

.ADAC

••---------7n^

BHBO

,:BH=3,

：.AD=6；

⑶•：△ACDMBOH,

：.ZDAC=ZOBH,

VsinZZ)AC=^=A,

AC7

：.smZOBH=-^,设0H=4a,OB=7a,

7

：.AC=2OB=14a,

.\DC=Sa,

••BH=J0B2_0H2=，

过。作CM_L03于M,

•：OB=OC,

:.CM=BH=^^a,

，：OB〃CD,CMLOB,

：.CMLCD,

AS四边形OBCD=SAOCD+SAOCB

=AcZ)«CM+^OB'CM

22

_15V33a2

2

SAOBH=-xa/X8H=，x4aXJ^a=2痴/,

22

.SAQBH4

S四边形OBCD15

答：△O8H的面积与四边形OBCD的面积之比为二.

15

5.【解答】(1)证明：延长4交BC于。，连接。/.

:/是△ABC的内心，

.,.BI^^-ZABC,AI^ZBAC.

.•.Z1=Z3,

'：AB^AC,

C.ADLBC.

又,：OB=OI,

；.N3=N2.

・・・N1=N2.

：・OI〃BD,

：.OI±AI.

・・・A/为。。的切线；

（2）解：连接过8作尸于M

由（1）得AO垂直平分3C,

：.BI=CL

・・・N1=N4

故Nl=N2=N3=N4=a,

：.ZBOI=ISO°-2a,

尸/8。/=90°-a,

2

.,.ZF+Z4=90°,

：.ZFBC^ZADC^90°,

：.BF//AD,

：.LAEI〜ABEF,

•.B•-E--B-F-.

AEAI

,:DI〃BF,BD=CD,

：.CI=FL

：.BF=2ID,

故里上吗图2

AEAI

设ID=a,

•tan/1二，

ABD=CD=2a,BI=IC^/5a,

由面积法：BM=BC.D二%a，

IM=VBI2-BM2=^-a）

又/MIB=2N1=NABD,

tanZMIB=tan/ABD,

•.•-B-M--A-D---4-,

MIBD3

g图1

•*,ADfa，

o

.5

***AI=ADTD-ya'

o

,BE=2ID=2a=6

"AE=AI

百a

6.【解答】（1）证明：连接。C,如图，

：AC平分NBA。，

ZDAC=NEAC,

9：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

：.ZDAC=ZOCA,

：.AD//OC,

'：AD±DE,

：.OCLDE,

・・・C。为。。的切线；

(2)解：作。"_LA。于从如图，则

易得四边形OCQH为矩形，

：.OH=CD,OC=DH,

・・CD=1

*AD2，

・••设CD=x,则AD=2x,

设。。的半径为r,

.\AH=2x-r,OA=r,

在RtZXOAH中，/+(2x-r)2=r1,解得

5

：.AH=^-r,

5

3

—r

在中，cosNHAO=&^=至一=3.

OAr5

7•【解答】(1)证明：连接0。，设0C交BD于K.

,：AB是直径，

ZADB=90°,

：.AD±BD,

OC//AD,

：.OC.LBD,

:・DK=KB,

：.CD=CB,

°：OD=OB,OC=OC,CD=CB,

:.△ODCQXOBCCSSS),

：.ZODC=ZOBC,

VCBXAB,

：.ZOBC=90°,

：.ZODC=90°,

：.OD±CDf

・・・CZ)是。。的切线.

(2)解：,:CD=y[^AD,

・••可以假设AZ)=〃，CD=皿a,设KC=b.

•：DK=KB,AO=OB,

/.OK=^AD=^a,

22

,：ZDCK^ZDCO,/CKD=/CDO=90°,

：./\CDK<^ACOD,

.CD=CK

"OCCD，

..”V2a_方b

整理得：2（工）2+（电）-4=0,

aa

解得a=</-1或-库-1（舍弃）,

a44

'：CK//AD.

.CM=CK=b=遂-1

**AMAD7-4一•

8.【解答】（1）・・・AZ）是。0的直径

ZACD=90°；

：.ZCAD+ZD=90°

,：ZPAC=ZPBA,ND=NPBA,

：.ZCAD+ZPAC=90°,

.'.ZB4D=90°,

AB4XAZ）,

・・•点A在。。上，

・・・B4是OO的切线

（2）VCF±AD,

：.ZACF+ZCAD=9Q°,

9：ZCAD+ZD=9Q°,

：.ZD=ZACFf

：.ZB=ZACF,

'：ZBAC=ZCAFf

：.AABC^AACF,

•・•—AF=—AC,

ACAB

：.AC2=AF'AB

VAFMB=12,

：.AC2=12,

:.AC=2M.

9.【解答】证明：（1）连接。E,

：OE=OA,

：./OEA=/OAE,

:AE平分/54C,

J.ZOAE^ZCAE,

J.ZCAE^ZOEA,

J.OE//AC,

；./BEO=NC=90°,

.•.2。是0。的切线；

(2)过A作于0

中，sin/E"=烟底，

AF5

,:AF=5M，

:.AH=4叵,

「AD是。。的直径，

?.ZAEZ)=90°,

；EF平分/AED,

：.ZA£F=45°,

•••AA£H是等腰直角三角形，

:.AE=、&H=8,

smZEFA=sinZADE=—=-^-,

5AD

：.AD=10,

VZDAE^ZEAC,ZDEA^ZECA=90°,

：.LAEDsAACE,

•.•-A-B-二AD,

ACAE

•.•-8--二10,

AC8

：.AC=6A.

10.【解答】(1)证明：连接。E,OA.

;尸。是直径，

：.ZDEP=90°,

9：PB±FB,

，/DEP=/FBP,

：.DE//BF,

AD=AE>

：.OA±DE,

：.OA±BF,

・,•直线/是。。的切线.

(2)解：作0"_1_必于".

•・Q=。尸，OHLPA,

：.AH=PH=3,

•：OA〃PB,

：.ZOAH=NAPB,

VZAHO=ZABP=90°,

・•・△AOHs^PAB,

B

0A=AH

PAPB

1=_3_

?PB'

Q

2

11.【解答】(1)证明：连接oc,

,：AB为O。的直径，

AZACB=ZBCO+ZOCA=90°,

"：OB=OC,

:"B=NBCO,

ZACD^ZB,

：.ZACD^ZBCO,

：.ZACD+ZOCA^90°,即NOC£)=90°,

.••OC为O。的切线；

(2)解：RtZXACB中，AB=10,

.3AC

sinDB=—

5AB

；.AC=6,BC=8,

VZACD^ZB,/ADC=/CDB,

：./\CAD^/\BCD,

•.•-A-C=-A-D---6---3-,

BCCD84

设AO=3尤，CD=4.r,

「△OCD中，od+crP^ob1,

52+(4x)2=(5+3x)2,

x=0(舍)或毁，

7

VZC£F=45°,ZACB=90°,

：.CE=CF,

设CF=a,

ZCEF=ZACD+ZCDE,

ZCFE=ZB+ZBDF,

:.NCDE=NBDF,

ZACD^ZB,

:.丛CEDs丛BFD,

.CEBF

••—f

CDBD

a8-a

a^24

4X平10+3X与

：.CF=^.

7

12.【解答】（1）证明：：出、尸8是。。的两条切线，A、B是切点,

C.PA^PB,且尸。平分

C.POLAB.

,：BC是直径，

AZCAB=90°,

：.AC±AB,

J.AC//PO-,

(2)解：连结。1、DF,如图，

：孙、尸3是O。的两条切线，A、B是切点，

：.ZOAQ^ZPBQ^9Q°.

在RtZ\OA0中，OA=OC=3,；.OQ=5.

由Q42+OA2=OQ2,得@=4.

在RtZ\PB。中，PA=PB,。3=0。+。2=8,

由QB1+PB1