2025年九年级中考数学三轮冲刺训练：圆中线段的计算与证明综合训练（含解析）

2025年九年级中考数学三轮冲刺训练圆中线段的计算与证明综合训练

1.如图，AB是。。的直径，AC为弦，NBAC的平分线交。。于点D,过点D的

切线交AC的延长线于点E.

求证:(1)DEXAE；

(2)AE+CE=AB.

2.如图，AB是。0的直径，ED切。0于点C,AD交。0于点F,AC平分NBAD,

连接BF.

(1)求证：AD1ED；

(2)若CD=4,AF=2,求。0的半径.

3.如图，BE是0的直径，点A和点D是。。上的两点，过点A作。。的切线交

BE延长线于点C.

(1)若NADE=25。，求NC的度数；

(2)若AB=AC,CE=2,求。。半径的长.

4.如图，AB是。。的直径，过。。外一点P作。。的两条切线PC,PD,切点分

别为C,D,连接OP,CD.

(1)求证：OPLCD；

(2)连接AD,BC,若NDAB=50。，ZCBA=70°,0A=2,求OP的长.

5.如图，AB是。。的直径，DOLAB于点0,连接DA交。。于点C,过点C作

©0的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.

(1)求证：CE=EF；

(2)连接AF并延长，交。。于点G.填空：/

①当ND的度数为_______时，四边形ECFG为菱形；/

②当ND的度数为时，四边形ECOG为正方形./I

6.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以斜边AB上的中线CD为直径作。0,分

别与AC、BC交于点M、N.

(1)过点N作。0的切线NE与AB相交于点E,求证：NEXAB；

(2)连接MD,求证：MD=NB.

7.如图，AB是。0的直径，点C为。。上一点，CN为。。的切线，0MLAB于

点0,分别交AC、CN于D、M两点.

(1)求证：MD=MC；

(2)若。。的半径为5,AC=4在，求MC的长.

8.如图，AD是。。的直径，AB为。0的弦，OPLAD,0P与AB的延长线交于

点P,过B点的切线交0P于点C.

(1)求证：ZCBP=ZADB.

(2)若0A=2,AB=1,求线段BP的长.

9.如图，AB是。。的直径，直线CD与。。相切于点C,且与AB的延长线交于

点E,点C是命的中点.

(1)求证：ADXCD；

(2)若NCAD=30。，©0的半径为3,一只蚂蚁从点B出发，沿着BE-EC-合爬

回至点B,求蚂蚁爬过的路程(71^3.14,正心1.73,结果保留一位小数).

10.如图，已知三角形ABC的边AB是。。的切线，切点为B.AC经过圆心。并

与圆相交于点D、C,过C作直线CE_LAB,交AB的延长线于点E.

(1)求证：CB平分NACE；

(2)若BE=3,CE=4,求。。的半径.

11.如图，已知AB是。。的直径，C,D是。。上的点，0C/7BD,交AD于点E,

连结BC.

(1)求证：AE=ED；

(2)若AB=10,NCBD=36。，求众的长.

12.如图，D是aABC外接圆上的动点，且B,D位于AC的两侧，DE±AB,垂

足为E,DE的延长线交此圆于点F.BG±AD,垂足为G,BG交DE于点H,

DC,FB的延长线交于点P,且PC=PB.

(1)求证：BG〃CD；

(2)设AABC外接圆的圆心为0,若AB=「DH,ZOHD=80°,求NBDE的大小.

备用图

13.如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的。。交BC于点D,过点D作。

0的切线DE,交AC于点E,AC的反向延长线交。。于点F.

(1)求证：DEXAC；

(2)若DE+EA=8,。。的半径为10,求AF的长度.

14.如图AB是。。的直径，PA与。。相切于点A,BP与。。相交于点D,C为

。。上的一点，分别连接CB、CD,ZBCD=60°.

(1)求NABD的度数;

(2)若AB=6,求PD的长度.

15.如图，在4ABC中，AB=BC,以AB为直径的。。交BC于点D,交AC于点F,

过点C作CE〃AB,与过点A的切线相交于点E,连接AD.

(1)求证：AD=AE；

(2)若AB=6,AC=4,求AE的长.

参考答案

1•【解答】证明：（1）连接0D,如图1所示.

VOA=OD,AD平分NBAC,

AZOAD=ZODA,ZCAD=ZOAD,

，NCAD=NODA,

，AE〃OD.

VDE是。。的切线，

AZODE=90°,

.\OD±DE,

ADEXAE.

(2)过点D作DM，AB于点M,连接CD、DB,如图2所示.

：AD平分NBAC,DE±AE,DM±AB,

，DE=DM.E

fDE=DM

在^DAE和△DAM中，ZAED=ZAMD=90°，

AD=AD

AADAEVADAM(SAS),

.\AE=AM.

VZEAD=ZMAD,

•••而=俞，

，CD=BD.

在RtADEC和RtADMB中，IDE=DM,

lCD=BD

RtADEC^RtADMB(HL),

.♦.CE=BM,

AAE+CE=AM+BM=AB.

图2

2.【解答】(1)证明：连接OC,如图，

VAC平分NBAD,

AZ1=Z2,

VOA=OC,

AZ1=Z3,

N2=N3,

.,.OC//AD,

VED切。。于点C,

AOCXDE,

AAD±ED；

(2)解：OC交BF于H,如图，

VAB为直径，

.•.ZAFB=90",

易得四边形CDFH为矩形，

，FH=CD=4,NCHF=90°,

AOHXBF,

，BH=FH=4,

.\BF=8,

在RtAABF中，AB=^AF2+BF2=Ay22+82=2.717,

.,.©0的半径为五不

3.【解答】解：(1)连接0A,

•..AC是。。的切线，0A是。。的半径，

AOAXAC,

AZOAC=90°,

VAE=AE，ZADE=25°,

AZAOE=2ZADE=50°,

ZC=90°-ZAOE=90°-50°=40°；

(2)VAB=AC,

AZB=ZC,

VAE=AE，

AZA0C=2ZB,

AZA0C=2ZC,

VZOAC=90°,

AZAOC+ZC=90°,

.*.3ZC=90°,

AZC=30°,

/.0A=10C,

2

设。0的半径为r,

VCE=2,

r=y(r+2)，

解得：r=2,

.,.©0的半径为2.

4.【解答】解：(1)连接OC,0D,

，OC=OD,

VPD,PC是。。的切线,

VZODP=ZOCP=90°,

在RQODP和Rt^OCP中，1°D=OC,

10P=0P

...RtAODP^RtAOCP,

AZDOP=ZCOP,

VOD=OC,

AOP±CD；

(2)如图，连接OD,OC,

.,.0A=0D=0C=0B=2,

AZADO=ZDAO=50°,ZBCO=ZCBO=70°,

AZAOD=80°,ZBOC=40°,

AZCOD=60°,

VOD=OC,

••.△COD是等边三角形，

由(1)知，ZDOP=ZCOP=30",

在RtAODP中，OP=—迎—

cos303

5.【解答】(1)证明：连接0C,如图，

VCE为切线,

AOCXCE,

AZOCE=90°,即Nl+N4=90°,

：DOLAB,

N3+NB=90°,

而N2=N3,

AZ2+ZB=90°,

而OB=OC,

N4=NB,

/.Z1=Z2,

；.CE=FE；

(2)解：①当ND=30。时,ZDAO=60",

而AB为直径，

AZACB=90",

AZB=30°,

AZ3=Z2=60°,

而CE=FE,

/.△CEF为等边三角形，

，CE=CF=EF,

同理可得NGFE=60°,

利用对称得FG=FC,

VFG=EF,

/.△FEG为等边三角形，

；.EG=FG,

，EF=FG=GE=CE,

・•・四边形ECFG为菱形；

②当ND=22.5°时，ZDAO=67.5°,

而OA=OC,

AZOCA=ZOAC=67.5°,

ZAOC=180°-67.5°-67.5°=45°,

ZAOC=45",

AZCOE=45°,

利用对称得NEOG=45°,

AZCOG=90°,

易得△OEC法△OEG,

AZOGE=ZOCE=90°,

・••四边形ECOG为矩形，

而OC=OG,

四边形ECOG为正方形.

故答案为30°,22.5°.

6•【解答】证明：（1）连接ON,如图，

VCD为斜边AB上的中线，

.\CD=AD=DB,

AZ1=ZB,

VOC=ON,

，N1=N2,

；.N2=NB,

，ON〃DB,

VNE为切线，

AON±NE,

/.NE±AB；

（2）连接DN,如图，

VCD为直径，

AZCMD=ZCND=90",

而NMCB=90°,

四边形CMDN为矩形，

，DM=CN,

VDN±BC,Z1=ZB,

.♦.CN=BN,

.".MD=NB.

7.【解答】解：（1）连接OC,

VCN为。O的切线，

.*.OC±CM,ZOCA+ZACM=90°,

VOM±AB,

/.ZOAC+ZODA=90°,

VOA=OC,

/.ZOAC=ZOCA,

NACM=NODA=NCDM,

.*.MD=MC；

（2）由题意可知AB=5X2=10,AC=4泥,

VAB是。0的直径，

，NACB=90°,

*',BC=7102-（W5）2-2VsJ

VZAOD=ZACB,ZA=ZA,

.,.△AOD^AACB,

・0D_A0,OP_5

*BC-Ac'275"WB'

可得:OD=2.5,

设MC=MD=x,在RtaOCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52,

解得：x-舁

即MC=^-.

4

8.【解答】（1）证明：连接0B,如图,

VAD是。0的直径，

AZABD=90°,

，NA+NADB=90°,

BC为切线，

.\OB±BC,

AZOBC=90°,

AZOBA+ZCBP=90°,

而OA=OB,

AZA=ZOBA,

AZCBP=ZADB；

(2)解：VOP±AD,

AZPOA=90°,

NP+NA=90°,

NP=ND,

.,.△AOP^AABD,

•AP-AQ即1+BP_2

ADAB，-4―丁

.\BP=7.

9.【解答】（1）证明：连接OC,

•.•直线CD与。O相切，

AOCXCD,

:点c是前的中点，

AZDAC=ZEAC,

VOA=OC,

AZOCA=ZEAC,

AZDAC=ZOCA,

.•.OC〃AD,

AAD±CD；

(2)解：VZCAD=30°,

ZCAE=ZCAD=30°,

由圆周角定理得，NCOE=60。,

.".OE=2OC=6,EC=«OC=3«,BC=6QKX3=n>

180

蚂蚁爬过的路程=3+3遂+TI心11.3.

10•【解答】(1)证明：如图1,连接OB,

VAB是。0的切线,

AOBXAB,

VCEJLAB,

.•.OB〃CE,

.*.Z1=Z3,

VOB=OC,

.*.Z1=Z2

，N2=N3,

，CB平分NACE；

(2)如图2,连接BD,

VCE±AB,

AZE=90°,

BC=VBE2+CE2=V32+42=5)

：CD是。0的直径，

，NDBC=90°,

AZE=ZDBC,

AADBC^ACBE,

•CDBC

••ZZ9

BCCE

BC2=CD»CE,

.•.CD=$=至，

44

.\OC=-^-CD=-^-,

Zo

.,.©o的半径=空.

8

11•【解答】证明：（1）•「AB是。。的直径,

AZADB=90°,

VOC//BD,

AZAEO=ZADB=90°,

即OC±AD,

，AE=ED；

(2)-AD,

；•AC=CD>

AZABC=ZCBD=36°,

ZAOC=2ZABC=2X36°=72°,

.-72兀X5

••AC^^=2兀.

12.【解答】(1)证明：如图1,：PC=PB,

，NPCB=NPBC,

・••四边形ABCD内接于圆，

AZBAD+ZBCD=180°,

VZBCD+ZPCB=180",

NBAD=NPCB,

VZBAD=ZBFD,

AZBFD=ZPCB=ZPBC,

BC//DF,

VDE±AB,

，NDEB=90°,

NABC=90。，

，AC是。O的直径，

AZADC=90°,

BG±AD,

AZAGB=90°,

NADC=NAGB,

BG〃CD；

(2)由(1)得：B(:〃DF,BG〃CD,

...四边形BCDH是平行四边形，

，BC=DH,

在RtAABC中，AB=«DH,

tanZACB=

NACB=60°,NBAC=30°,

NADB=60°,BC=1AC,

2

，DH」AC,

2

①当点。在DE的左侧时，如图2,作直径DM,连接AM、OH,则NDAM=90。,

NAMD+NADM=90°

VDE±AB,

，NBED=90°,

NBDE+NABD=90°,

VZAMD=ZABD,

NADM=NBDE,

•.•DH」AC,

2

；.DH=OD,

NDOH=NOHD=80°,

AZODH=20°

VZADB=60",

AZADM+ZBDE=40°,

AZBDE=ZADM=20°,

②当点。在DE的右侧时，如图3,作直径DN,连接BN,

由①得：NADE=NBDN=20。，ZODH=20°,

,NBDE=NBDN+/ODH=40°,

综上所述，ZBDE的度数为20。或40°.

DDD

图2

图1图3

13.【解答】(1)证明:VOB=OD,

，NABC=NODB,

VAB=AC,

NABC=NACB,

AZODB=ZACB,

.,.0D/7AC.

,；DE是。。的切线，OD是半径，

ADEXOD,

ADEXAC；

(2)如图,过点。作OHLAF于点H,则NODE=NDEH=NOHE=90。,

•••四边形ODEH是矩形，

.\OD=EH,OH=DE.

设AH=x.

：DE+AE=8,OD=10,

.*.AE=10-x,OH=DE=8-(10-x)=x-2.

在Rt^AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2,BPx2+(x-2)2=102,

解得Xi=8,X2=-6(不合题意，舍去).

，AH=8.

VOH±AF,

/.AH=FH=1AF,

2

/.AF=2AH=2X8=16.

14.【解答】解：(1)方法一：如图