2025年辽宁省丹东市高考数学质检试卷（一）+答案解析

2025年辽宁省丹东市高考数学质检试卷（一）

一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合a={剑/—2c—3=0},B—{x\\x\3},则4nB=（）

A.{-1,-3}B.{1,-3}C.{1,3}D.{-1,3}

2.已知向量才=（通,3）,了=（1,—通），则才与了的夹角为（）

7T汗27r57r

A.—

6B-3CTDT

3.圆C：/+92+2/一45=0关于;（：轴对称的圆的圆心坐标为（）

A.(-1,-2)B.(1,2)C.(-1,2)D.(1,-2)

4.已知随机变量X〜3(4,p),且P(X21)=m，则P(X=3)=()

B.iC.iD.。

A;484

5.已知函数/（工）=|（2，T<1

I',在R上单调递增，且/（2Q—1）</（Q+3）,则实数。的取值范围

log3I+Q,I21

为()

A.(-oo,4)B.[1,4)C.[2,4)D.(1,4)

6.已知尸1，员是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且/FiP%=90°,|「分|=通用三|，则C的离

心率为（）

A.^/3+1B.2^3-2C.273D.2

7.已知sin（a+0）=A，tana=2tan。，则sin（a—0）=（）

9

1111

A-27B--27C-9D-§

8.已知圆台的上，下底面的直径分别为2和6,母线与下底面所成角为60°，则圆台的外接球表面积为（）

2087r1127T567r287r

A.------B.------C.——D.—

3333

二、多选题：本题共3小题，共9分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得3分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知复数z,则下列说法正确的是（）

A.若⑶=1,则2=±1B.若z2〉0,则zeR

C.若z—icR,则z的虚部为iD.若|z|=L则l4|z+2*43

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10.已知函数/3)=2由11("2+8)(3〉0,阿<9,其中相邻的两条对称轴间的距离为%且经过点

(0,-\/3),则()

7F7F

A.(^=--B./⑶在区间(0,司)上单调递增

0J

C./(一①)=f(^~+x)D.f(c)=sini在［0,2?r］上有4个解

11.设正实数X,y满足力+g=2,则()

A.xy有最大值为1B.«+娟有最小值为4

C.?+:有最小值为5D.g+3++4有最大值为3^2

三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。

12.已知实数0,6满足4。=3，36=2>贝I2就=.

13.将5个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的排法有种.(用数字作答)

22

14.已知用，同为椭圆。：1=l(a>6>0)的左右焦点，直线/：/+沙=加与。相切于点？(点尸

在第一象限)，过后，凡作月马山，F2P2豆，垂足分别为Pl，P2,。为坐标原点，|。马|=旧刊=2,

贝!1|耳凡|=,C的方程为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

为调查居民购车倾向与性别的关系，对某地区随机抽查了200名居民进行调查，得到如下表格：

购买倾向

合计

新能源车燃油车

男6436100

女性4654t

合计S90200

⑴求s,/；

(2)根据小概率值a=0.050的独立性检验，能否认为居民的购车倾向与性别有关？

(3)从倾向燃油车的90人中按性别分层抽样抽取5人，再从这5人中任选2人，求选中男性的人数的分布列

和期望.

附.丫2=..一儿)2

'"一(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)

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P（、2》砧0.050.0100.001

ko3.8416.63510.828

16.(本小题12分)

已知函数/⑵=(In立+2y_ln(c+1).

（1）求/（乃在x=l处的切线方程；

力

⑵证明：当出〉1时，21nx--^y+4>0;

⑶若/（乃在［士+oo）上单调递增，求整数n的最大值.

ea

17.（本小题12分）

记S八为数列｛«„｝的前〃项和,an=^,a2=5

nz6

（1）求的；

（2）求证:数列｛n（n+l）厮｝是常数列;

2九

（3）设机=——，求数列｛5｝的前"项和

ncLn

18.（本小题12分）

如图，在三棱锥P—48。，点G是边长为2通的等边△48。的重心，PA=PC=3,=g，点。

在棱尸C上，且。O=2P。，£是2C的中点.

（1）求证：DG〃平面P4B；

（2）设过点G,D,E的平面为a,a与此三棱锥的面相交，交线围成一个多边形.

⑴请在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由），并求出。将三棱锥分成两部分的几何体体积之比；

（行）求a与平面PAC所成角的正弦值.

19.（本小题12分）

记。为坐标原点，点/在抛物线r=2℃防>0）上，/在第一象限，B,C两点位于y轴上，已知圆M：

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(/—p)2+/=4经过点。，且圆M内切于△ABC.

(1)求抛物线的准线方程；

(2)若/ABC=120°,求点/的坐标及/C的长；

(3)求△48。面积的最小值.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由题意，集合A={3,—1},B={x\-3^x^3],

则ACB={T3}.

故选：D.

由一元二次方程和不等式解出集合，再求交集即可.

本题考查集合的运算，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：根据题意可知，向量/=(\&,3),方=(L—通)，

一下、言•号\/3x1-3x一2通1

cos(d.b/=-------——,------/一—-=——,

1^1.161\/3T¥x71T34遮2

又〈死了)e[0,%],贝！J(死了)=

O

故选：C.

由向量夹角坐标公式可得答案.

本题考查了向量夹角坐标公式，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：圆C：x2+y2+2x—4：y=0,

则(x+I)2+仅一2)2=5,圆心坐标为(-1,2),

若题干所求圆与圆C关于x轴对称，则所求圆的圆心也与圆C的圆心关于x轴对称，

故所求圆心坐标为(一1,—2).

故选：A.

首先将圆C化为标准方程，得到圆C圆心坐标，由题意可知所求圆的圆心与圆C圆心关于X轴对称，由此

得到所求圆的圆心坐标.

本题主要考查圆的性质，属于基础题.

4.【答案】B

15

【解析】解：因为随机变量X〜8(4,p),且P(X21)=”，

16

151

所以p(x=0)=1—P(X》1)=1—%=主，

1616

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所以(1—p)4=2，

lo

解得p=;,

所以P(X=3)=四$4=；.

故选：B.

由二项分布的概率公式计算即可.

本题主要考查了二项分布的概率公式，属于基础题.

5.【答案】C

2XT<1

I:、［在R上单调递增，

logI+Q,6》1

{3

则有2i4log31+a，解可得a22,

又/(2a-l)</(a+3),则有2a—l<a+3,解可得a<4,

则有2Wa<4,即。的取值范围为［2,4).

故选：C.

由分段函数的单调性结合指数和对数函数的单调性求出。，再由单调性解不等式，即可得答案.

本题考查函数单调性的性质和应用，涉及不等式的解法，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：设双曲线C的实半轴、虚半轴、半焦距分别为a,b,c,

由双曲线的定义可知|PFi|一卢已|=2a,又|P/|=V^\PF2\,

解得|PFi|=(x/3+3)a,\PF2\=(通+l)a,

在焦点三角形PF1F2中，己知N6P%=90°,|乃卫|=2的

22

由勾股定理可得［(A/3+3)司2+［.+i)a］=(2c),

解得e=g+1.

故选：A.

由双曲线的定义结合题干条件可解得|PFi|,|PE|的长度，再利用勾股定理即可算出离心率.

本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线离心率的求法，是基础题.

7.【答案】A

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【解析】解：由于tana=2tan0,

又sin(a+0)=；,

sin(a+0)—3sin(a—0)=(sinacos户+sin0cosa)—3(sinacos0—sin0cosa)

=4sin°cosa—2sinacos0=2cosacos0(2tan(3—tanQ)=0,

故sin(a+0)=3sin(a—0).

从而sin(a-/?)=：sin(CE+/?)=白.

o//

故选：A.

由两角正弦的和差公式可得答案.

本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题.

8.【答案】B

设圆台的上下底面的圆心分别为O1，。，半径分别为。Mi=ri，O2A2=r2,

则T1=1,-2=3,由乙4p46=60°,母线为=高为=

因为圆台的上，下底面的直径分别为2和6,母线与下底面所成角为60°，

所以「1=1,「2=3,Z-A1AB=60°,

因为4B=72—71=3—1=2,

所以母线长为'=*=4,高JABtan60。=2血,

设圆台外接球的半径为七球心到下底面的距离为出,

则有《f岳=6+忧=32+忧

「辛舍去）

若球心位于下底面的下面，解得力

[R2=r1+(h+hi)2=I2+(2\/3+hi)2

解得।

则有《\=w+忧=32+忧

若球心位于上下底面之间，1Y

[屈=好+d_/『=12+已通,e2'

28112TT

所以所求为4元屈=4TTx-=----

故选：B.

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首先根据题干条件求出圆台的母线和高，再分类讨论外接球的球心位于下底面之下还是上下底面之间，算

出外接球的半径即可得圆台外接球的表面积.

本题考查圆台的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题.

9.【答案】BD

【解析】解：取2满足⑶=1,故/错误；

设复数z=a+瓦，其中a,beA，z•为虚数单位，

则z2—(a+bi)2—a2—b2+2abi,若z?〉0，

则]解得(优,

[2ab=01b=0

此时z=a+bi=aER^故5正确；

z—i=a+(b—若z—iGR,则QeR,b—1=0,

解得QGR,b=1，止匕时n=a+板=Q+3虚部为1,故。错误;

由⑶=1,可知在复平面内复数Z对应的点的集合为圆心在坐标原点的单位圆，

而|z+2外表示该单位圆的点到点(0,2)的距离，

可知单位圆上的点到点(0,2)的距离最小为1,最大为3,得lW|z+2"W3,故。正确.

故选：BD.

举例说明/错误；设复数z=a+〃，根据复数的乘方运算，实部虚部，几何意义等知识逐个对从C、D

分析即可得答案.

本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

10.【答案】BCD

【解析】解：根据题意可知，函数/Q)=2sin(3z+8)(3>0,IW<J)，

T-7F27r

则T=7T=—,即G=2,

22CJ

此时f⑸=2sin(2/+⑼,

又f(0)=2sin。=一\/3,则sin(p~'

7T7T

因为阳<5，所以8=—可，故N错误；

则/(2)=2sin(2a;—勺，

O

小不、.八7T/7T7T\

当力e(0,可)时，2x--e-),

oooo

,7F7T、

因为函数沙=sine在(―短可)上单调递增，

OO

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7T

所以函数/（2）在区间（0,可）上单调递增，故8正确;

O

由f(x)=2sin(2c-刍，得/(-X)=2sin(-2a:一勺=—2sin(2z+刍,

OOO

而/(粤+2)=2sin[2(^+为一口=2sin(2a;+：+7)=-2sin(2z+1)，

bb333

所以/（—工）=/（k+乃，故C正确;

0

画出函数/（立）和4=sina;在［0,2对上的图象,

由图可知，函数/（2）和"=sine在［0,2万］上有4个交点,

所以/3）=51110；在［0,2司上有4个解，故。正确.

故选：BCD.

正弦函数的性质先求出/（乃=2sin（24—勺，即可判断，;

O

结合正弦函数的单调性可判断B,

结合诱导公式可判断C;

结合图象可判断O.

本题考查了正弦函数的性质，属于中档题.

11.【答案】ACD

【解析】解：对于/,因为正实数x,»满足c+g=2,由基本不等式可得2=4+〃》2V/方，可得或/41,

当且仅当力=沙=1时取等号，故N正确；

对于瓦因为业!_3±<="二更》0，

244

可得/+才）依土更=当=2,即最小值为2,当且仅当/=。=1时取等号，故8错误；

22

对于C,因为正实数%,»满足6+g=2

可得，%+2=电+/=%+三+1）2、叶+1=5,当且仅当电=匕

xy工y工y\xyxV

42

则7=2y，即/=：沙=：时取等号，故C正确；

OO

对于D,（y/x+3+S/+4/二/+沙+7+2,（力+3）®+4）=9+2,（优+3）（。+4），

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又(z+3)H+4)W("+；+7)=?，则、当且仅当3+3)=仅+4),即工=*沙=3时取等号，则

(遥+3++4yW18，即入+3++4有最大值为3\/2.

故选：ACD.

由基本不等式结合题意可判断选项正误.

本题考查基本不等式的性质的应用，属于中档题.

12.【答案】1

【解析】解：因为4。=3，3°=2，

由4a=3,得(40)6=3。=2,

化简得22ab=2，可知2ab=1.

故答案为：1.

对一个等式两边取b次塞，由指数的运算法则和指数函数的单调性即可得出答案.

本题主要考查了指数运算性质的应用，属于基础题.

13.【答案】15

【解析】解：采用插空法，5个1有六个空，将两个0插入其中可得第=15,

即2个0不相邻的排法有15种.

故答案为：15.

采用插空法计算即可.

本题主要考查了排列组合知识，属于基础题.

22

14.【答案】2V2亍+与=1

【解析】解：如图，

因为RIRL,F2P2n,

因为直线/：x+y=m,所以可设/Pi方程为沙=c+c,

所以由｛(;;士〉,可得打(号，”萨)，

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-削+cm—c.

同理可得马(>—，F-)，

因为用马=2,即j(诙——诙ry+(丫—诙”=2,

得。2=2今c=5,所以IF1F2I=2c=2A/2；

又|。马|=2,即口=即62+°2=8,①

(x2y2_

联立曲线和直线/:4+。=m方程可得(添+京=1,

x+y=m

消去x可得(a2+庐)去-2771b2+b2m2-a2b2=0,

因为直线与椭圆相切，所以△=4m2b4-4储+b2)(b2m2-a2b2)=0,

化简可得a2+b2=m2由①得Q2+肥=6，

又由椭圆的性质可得Q2—庐=2,所以〃2=4，/=2，

22

所以椭圆方程为Z+外=1.

42

22

故答案为：2\/2;亍+与=1，

由两直线垂直斜率关系设为丹方程，联立直线/方程，解出Pi，马坐标，利用两点间距离公式表示|马丹|=2

可得焦距；再联立直线/和曲线方程由判别式等于零可得02+昭=m2,然后结合椭圆的°,b,。关系可得

椭圆方程.

本题主要考查求椭圆的方程，直线与椭圆的综合，属于中档题.

15.【答案】s=110,t=100；

认为居民的购车倾向与性别有关；

4

分布列见解析，

5

【解析】解：(1)由表格数据可算得s=64+46=HO,i=46+54=100；

(2)零假设HQ：居民的购车倾向与性别无关联,

200x(64x54-36x46)2〜

计算可得2

x110x90x100x100-x6.545>3.841，

根据小概率值a=0.050的独立性检验，可知零假设不成立,

即可以认为居民的购车倾向与性别有关；

(3)从倾向燃油车的90人中按性别分层抽样抽取5人，则男性有5x群=2人,

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女性有5x3=3人，设选中男性的人数为X,则X的所有可能取值为0,1,2,

所以P(X=0)=4

P(X=2)

io'Rx—1)—可一十Cl_10

则随机变量X的分布列如下表所示:

3314

所以8(*)=0*诃+1*工+2乂布=9

1UO1U0

(1)直接由表格数据可计算得S,

⑵根据2x2列联表中的数据算出、2,若X?〉3.841,说明没有充分证据推断假设不成立，即可以认为居

民的购车倾向与性别有关，否则与性别无关;

(3)根据分层随机抽样算出抽到的男性和女性人数，则男性人数的分布符合超几何分布,

利用组合数即可算得男性的人数的分布列，从而算得数学期望.

本题主要考查独立性检验，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】7x—2y+1—2In2=0；

证明见解析；

1.

【解析】解：(1)因为f⑺=(Inre+2)2—In(力+1),

则/(工)=2(足/+2)——匚,

X/+1

7

所以/(乃在/=1处的切线的斜率为/'⑴=；,且/⑴=4—ln2,

7

则/(2)在2=1处的切线方程为沙一4+In2=一1),即72—2沙+1—2In2=0；

力1

(2)证明：因为21nl------+4=21nlH-----+3(力〉1),

力+1力+1

令g(x)=2Inx-\--gy+3(1>1),

Q'ix\—2—]_2/+3a:+2_2(-+/+g0在0,+oo)上恒成立，

以)一工(/+1)2—小+产—g+l)2>U

7

即。(乃在(l,+oo)上单调递增，所以以乃>g⑴=]>0,

力

即出〉1时，21nl-----+4>0成立；

x+1

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1T11

(3)由f(x)=一[2(ln7+2)---------]=-(21nrcH--------+3),

XX+1Xx+1

由(2)可知,当“e(0,+oo)时，g\x)>0,则g(c)在(0,+oo)上单调递增,

由零点存在定理可知e(白,白，使得1(，0)=0,

则/(2)在(0,3)上单调递减，在(3,+00)上单调递增，

因为九ez,满足!》匕即功<1,所以整数”的最大值为1.

ene

(1)直接求导得导数数，算出/(I),f⑴,利用点斜式即可求得切线方程；

力

(2)根据题干条件构造函数g(z)=21nx+4,利用导数求得g(z)的单调性和最值，从而证得所求不

等式;

⑶由⑵可知则g⑺在(0,+8)上单调递增,注意到,)>0,心)<0,

由零点存在定理可知mge([,：),使得/(处)=0,所以从而得出整数〃的最大值为1.

本题主要考查了导数几何意义在切线方程求解中的应用，不等式恒成立证明，零点存在定理的应用，属于

中档题.

17.【答案】ai=1；

证明见解析；

n+1

Tn=nx2.

Q1

【解析】解：⑴因为Sn为数列｛厮｝的前〃项和，an=^,a2=~,

所以当几=2时，$2=4。2=Q1+1，所以Ql=1；

62

⑵证明：因为S"为数列｛Qj的前〃项和,Qn="、Q2=；,

nz6

2

所以当口22时,an=Sn—Sn-i=n2a九—(n—l)an-p

22

所以(n—1)Q九=(n—l)an-p

所以(几+l)an=(n—l)an-lf

所以n(n+l)an=n(n-l)an-i，

所以n(n+l)an=n(n—l)an_i=—・=2X1XQI=1,

所以数列仞S+1)。"是常数列；

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(3)由⑵知n(n+l)an=1,

所以斯=(］所以机=(九+1)2%

IL\fL|_L)

所以4=2x2i+3x22+4x23+・..+S+l)x2n①，

所以27；=2x22+3x23+...+nx2n+(n+l)x2"+i②，

①-②可得—7；=2x21+22+23+.-+2"-(九+1)x2"+1=2+2乂［2)_⑺+助工2n+1,

1—2

所以4=nx2n+i.

(1)由&=旬，结合题意可得答案；

⑵由Sn-Sn_i=恤，冗22结合题意可得(冗+1)%=(冗一1)册_1，然后可完成证明；

(3)由(2)结合错位相减法可得答案.

本题考查数列的综合应用，错位相减法的应用，属中档题.

18.【答案】证明见解析；(i)作图见解析，1：2；(ii)g.

【解析】解：(1)证明：因为点G是等边△ABC的重心，连接CG并延长交于点凡

所以厂是48的中点，连接PR

在中，济嚅=2,

所以DGUPF,

DGC平面P/B,PFU平面P4B,

所以。G〃平面P4B.

(2)(i是等边三角形，G为重心，E是8C的中点,

所以/,G,E三点共线，连接AD,

所以△4DE的三边是a与三棱锥的面的交线，

则两部分的几何体分别为三棱锥A-CDE和四棱锥4—BPDE,

设％=L.CDE，V=VA-pBc，三棱锥4—P8C的高为肌

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则％=：XSACDEx%：X：x-CPx\cBxsinZPCBxh=—CPxCBxsinZPCBxh,

3323218

V=-xS"BCxh=-x-xCPxCBxh=-CPxCBxh,

3326

所以三棱锥4—CDE的体积与四棱锥4—BPDE的体积之比为1：2.

（"）取/。的中点〃，连接38,PH,AC1BH，AC1PH，BHCPH=H，BH,PHU平面PBH,

所以47,平面尸8”,ACU平面N3C,则平面平面尸5",

以77为坐标原点，百刃的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系8-2上，

可知z轴在平面■内.

A(O,-A0),C(0,V3,0),B(3,0,0),G(l,0,0)，设P(x,0,z),

［叱=(-3)2+/=3J/=2

P由=/+Z2=6'解得3s

所以「（2,0,逝），

由标=港,得呜？¥）,

因为前=&W，竿），前=（1，饵°），就=（°，2通，0）R=⑵通，叵），

OOO

设平面4DG的法向量南=（xi,yi,zi）,

(44732A/20

则*，由m二;可得(社1+可见+丁?1=°,

［叼+V3yi=0

可取南=(-73,1,0),

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设平面尸/C的法向量讨=(此，%？2)，

则1%子,由(力=0,可得(2何2二0

、n.LAP、7?•AP=0I212+v3?/2+v2^2=0

可取方=(1,0,-72),

所以c°s<礼方〉=晶=十二一；,

设平面a与平面PAC所成角为e，

则sin0=\/1—cos2<nt,7?>=

所以a与平面尸NC所成角的正弦值为迎.

2

(1)由线段成立比得到。G〃PR,再由线面平行的判定定理证明即