2025年人教版八年级数学下册 第17章 勾股定理 章节重点梳理（6个知识点+10类题型突破）

第十七章勾股定理

01思维导图

知识点01勾股定理知识点04勾股数

知识点02勾股定理证明勾股定理知识点05勾股定理的应用

知识点03勾股定理逆定理知识点06平面展开图-最短路径问题

02知识速记

知识点01勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

如图:直角三角形ABC的两直角边长分别为。，b,斜边长为c,那么/.

注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可

以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

(3)理解勾股定理的一些变式：cT=c2-b~,b2=c2-a2,c2=(a+b)'-lab.

运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边;

2.用于解决带有平方关系的证明问题；

3.利用勾股定理，作出长为册的线段

知识点02勾股定理证明

（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

1

图（1）中==J7」成，所以/+/=1.

（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图（2）中-必4-：必，所以1=«*+川.

（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

4s3=---------=2x-fl6+-<7,所以a-r

知识点03勾股定理逆定理

1.定义：如果三角形的三条边长。，b,c,满足/+尸=02,那么这个三角形是直角三角形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

2.如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）首先确定最大边（如。）.

（2）验证。2与/+〃是否具有相等关系.若「2=/+〃，则△ABC是/c=90°的直角三角形；若

则△ABC不是直角三角形.

注意：当片+〃<02时，此三角形为钝角三角形；当a2+〃>c2时，此三角形为锐角三角形，其中C为

三角形的最大边.

知识点04勾股数

像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.

勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数

知识点05勾股定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在

具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第

三边的平方比较而得到错误的结论.

知识点06平面展开图-最短路径问题

几何体中最短路径基本模型如下:

圆柱阶梯问题长方体

基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用

2

勾股定理求解

03题型归纳

题型一已知直角三角形的两边，求第三边长

例题：（23-24八年级上.福建泉州•期末）一直角三角形的两直角边长分别为5和12,则斜边的长是.

巩固训练

1.（23-24八年级下•吉林松原•期中）如图，原来从A村到8村，需要沿路AfC-B（ZC=90°）绕过两

地间的一片湖，在A、8间建好桥后，就可直接从A村到8村.若AC=5km,8C=12km,那么建好桥后从

A村至ijB村比原来减少的路程为km.

2.（23-24八年级下•河南新乡•期中）在直角一ABC中，AB=8,AC=6,则3C的长为

3.（23-24七年级下•安徽马鞍山•期中）若一个直角三角形的两边长为9和12,则这个三角形的斜边长为.

题型二以直角三角形三边为边长的图形面积

例题：（23-24八年级下•湖南湘西•期中）如图所示，如果正方形A的面积为625,正方形2的面积为400,

巩固训练

1.（23-24七年级下•黑龙江大庆•期中）如图，正方形ABC的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形A,B

的边长分别为4和8,则正方形C的面积为.

3

2.（23-24八年级下•黑龙江大庆・期中）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,分别以AB、BC、AC为直径作

半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”.当AB=13,8c=5时，则阴影部分的面积为一.

3.（2024・四川成都.二模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方

形A、B、。的面积依次为5、13、30,则正方形C的面积为

题型三利用等面积法求直接斜边上的高问题

例题：（23-24八年级下•湖北武汉•期中）在如图的网格中，小正方形的边长均为1,A、B、C三点均在正方

形格点上，则点A到直线的距离是.

巩固训练

1.（23-24八年级下.黑龙江哈尔滨.阶段练习）如图，的顶点AB,C在边长为1的正方形网格的格点

上，SLAB于点。.则CD的长为.

4

2.（23-24八年级下.浙江金华.阶段练习）如图，在6x6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,

B,C都在格点上，求8C边上的高长=.

3.（23-24七年级上•山东泰安.期末）如图所示，一ABC的顶点48、C在边长为1的正方形网格的格点上,

BD，AC于点D,则BD的长为.

B

题型四勾股数的判断

例题：（23-24八年级下.广东湛江•阶段练习）下列四组数中，是勾股数的是（）

A.5,12,13B.4,5,6C.2,5,6D.1,2,3

巩固训练

1.（23-24七年级下•陕西西安•阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的

数学著作《周髀算经》中.下列各组数中，是“勾股数”的是（）

A.7,8,9B.5,12,13C.4,5,6D.2,3,4

2.（23-24八年级下•广西来宾•期中）下列各组数是勾股数的是（）

A.13,14,15B.4,5,6C.0.3,0.4,0.5D.9,40,41

3.（23-24八年级下.江西新余•期中）下列各组数中，为勾股数的是（）

35

A.9,40,41B.5,6,7C.―,2,—D.

题型五判断能否构成直角三角形

5

例题：（23-24八年级下,安徽淮北.期中）在工ABC中，/A,NB,/C的对边分别是。，b,c.下列条件不

能说明一ABC是直角三角形的是（)

A.ZA=ZC-ZBB.〃：Z?:c=5:12:13

2

C.(b+c)(b-c)=aD.a=3+kfb=4+k,c=5+k(k>0)

巩固训练

1.⑵-24八年级上•四川成都•期中）满足下列条件的，ABC,其中是直角三角形的为（

A.ZAZB:ZC=3：4：5B.AB：BC：AC=3：4：5

C.AB=195C=4,AC=5D.ZA=30°,ZB=75°

2.（23-24八年级下•云南昭通・期中）下列条件中,不能判断JBC为直角三角形的是（）

A.a2=2b2=3fc1-5B.〃：Z?:c=5:12:13

C.ZA+NB=NCD.ZA:ZB:ZC=3:4:5

3.（23-24八年级下.内蒙古呼和浩特•期中）ABC中，/A、ZB.NC的对边分别为“、b、c,下列条件

中，不能判定二ABC是直角三角形的是（

A.ZA:ZB:ZC=3:4:5B.(«+Z?)(tz-Z?)=c2

C.ZA+NB=NCD.a:b:c=]：括:2

题型六在网格中判断直角三角形

例题：（23-24八年级下•云南昭通・期中）如图，.ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格

点上，下列结论不正确的是（）

A.BC=5B.的面积为5

。.点A到BC的距离为g

C.NA=90。

巩固训练

1.（2024八年级下.全国.专题练习）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角

形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（）

6

2.(23-24八年级下.辽宁鞍山•期中)如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1.

⑴求一ABC的周长；

(2)若点P为直线AC上任意一点，则线段8尸的最小值为.

3.(23-24八年级下•广东珠海•期中)如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都

⑴求四边形ABCD的面积；

(2)判断线段8C和CD的位置关系，并说明理由.

题型七利用勾股定理的逆定理求解

例题：(23-24八年级下•江西吉安•阶段练习)在四边形ABCD中，已知AB=AT>=8,ZA=60°,BC=10,

CD=6.

(1)连接30,试判断△ABD的形状，并说明理由;

⑵求一ADC的度数.

巩固训练

7

1.(23-24八年级下.云南昭通・期中)如图，在一ABC中，ADJ.BC,垂足为。,8。=9,40=12,。=16.

(1)求AC的长；

(2)判断的形状，并说明理由.

2.(23-24八年级下•重庆长寿・期中)如图，在四边形ABCD中，已知？890?,NACB=30。，AB=3,AD=10,

CD=8.

(D求线段2C的长；

(2)求证：ACD是直角三角形.

3.(23-24八年级下.湖北黄石•期中)如图，四边形ABCD中，?B90?,AC为对角线，DE1AC于E,

AB=S,BC=6,CD=2岳,AD=2M.

(1)确定/ADC的度数;

(2)求线段。E的长.

题型八勾股定理逆定理的实际应用

例题：(23-24八年级下•广东湛江•阶段练习)如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个

取水点A,B,由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取

水点H(A,H,B)在同一条直线上)，并新修一条路CH,测得C3=L5千米，3=1.2千米，HB=0.9

千米.问”是否为从村庄C到河边最近的路？请说明理由.

8

巩固训练

1.（23-24八年级下•陕西西安•期中）如图，阳光中学有一块四边形的空地ABCQ,为了绿化环境，学校计划

在空地上种植草皮.经测量NA=90。，AB=9m,DA=l2m,BC=8m,CD=17m,若每平方米草皮需要100

元，种植这块草皮需要投入多少资金？（其他费用不计）

2.（23-24八年级下.广东广州•期中）如图，在笔直的公路A2旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停

靠站A的距离为AC=15km,与公路上另一停靠站8的距离为BC=20km,停靠站A,8之间的距离为

AB=25km,为方便运输货物现要从公路AB上的。处开凿隧道修通一条公路到C处，且CDLAB.

⑴求证：ZACB=90°；

（2）求修建的公路CO的长.

3.（23-24八年级下•河北衡水•阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地ABCD,AB=15m,CD=8m,

AD=17m.从点A修了一条垂直的小路AE（垂足为E）,E恰好是8C的中点，且AE=12m.

⑴求边的长;

9

(2)连接AC,判断△ADC的形状;

(3)求这块空地的面积.

题型九应用勾股定理解决汽车是否超速与受影响问题

例题：(23-24八年级下•广东广州•期中)某段公路限速是27m/s.“流动测速小组”的小王在距离此公路400m

的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从C处行驶10s后到达

B处,测得A5=500m,若AC/3c.求出速度并判断可疑汽车是否超速？

1.(23-24八年级下•广西玉林•期中)某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过75km/h,

如图，一辆小汽车在该笔直路段/上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30m的点C

处，2s后小汽车行驶到点2处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为50m,ZACB=90°.

车速检测仪

⑴求的长.

(2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由.

2.(2024.湖南永州•模拟预测)如图某货船以20海里/力的速度将一批重要的物资由A处运往正西方向的B处,

经16〃的航行到达，到达后必须立即卸货.此时，接到气象部门的通知，一台风中心、以40海里/〃的速度

由A处向北偏西60。方向移动，距台风中心200海里以内的圆形区域会受到影响.(退。1.73)问:

北

(1)8处是否会受到台风的影响？请说明理由.

(2)如果B处受到台风影响，那么求出影响的时间.

10

3.（23-24八年级下•云南昭通•期中）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如

图，台风“烟花”中心沿东西方向A3由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B

的距离分别为AC=300km,=400km,又AB=500km,经测量，距离台风中心260km及以内的地区会

受到影响.

C

/

AB

（1）海港C受台风影响吗?为什么？

（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？

题型十应用勾股定理解决选扯距离相离问题

例题：（23-24八年级下•广东珠海•期中）如图，在笔直的铁路上A、8两点相距7km,C,。为两村庄，

/"=31011,。3=41011,/"_143于4于艮现要在A3上建一个中转站E,使得C,。两村到E站

的距离相等，求AE的长.

AEB

□/\□

/\

//'、\

D\

''C

巩固训练

1.（23-24八年级下•湖北荆州•阶段练习）如图，直线/为一条公路，4。两处各有一个村庄，于点

B,OC，/于点C,AB=4千米，BC=8千米，CD=6千米.现需要在BC上建立一个物资调运站E,使得

E到A,。两个村庄距离相等，请求出E到C的距离.

2.（23-24八年级下.重庆开州.阶段练习）如图，开州大道上A,2两点相距14km,C,。为两商场，于

4,（2，48于8.己知。4=8km,CB=6km.现在要在公路AB上建一个土特产产品收购站E,使得两

商场到E站的距离相等，

11

D

C

(1)求E站应建在离A点多少km处？

(2)若某人从商场。以5km/h的速度匀速步行到收购站E,需要多少小时？

3.(23-24七年级上•山东淄博•期中)为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某

地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、。、B三地修了三条笔直的公路AC、AD和A3,C

地、。地、8地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从。地修了一条笔直的公路与公

路在8处连接，且公路O"和公路AB互相垂直，已知AC=9千米，AB=15千米，3。=5千米.

A

DB

(1)求公路CD的长度;

(2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路由的总费用.

12

第十七章勾股定理

01思维导图

知识点01勾股定理知识点04勾股数

知识点02勾股定理证明勾股定理知识点05勾股定理的应用

知识点03勾股定理逆定理知识点06平面展开图-最短路径问题

02知识速记

知识点01勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为a,b,斜边长为c，那么片+〃2=。2.

注意：(1)勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

(2)利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可

以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

(3)理解勾股定理的一些变式：a~=c2-b2,lr=c1-a1,c1=(a+b^-lab.

运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

2.用于解决带有平方关系的证明问题；

3.利用勾股定理，作出长为人的线段

知识点02勾股定理证明

D

Bb

(1)邹元治证法(内弦图)：将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形.

13

图（1）中3芦有5=（a—方"=/+4,所以

（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图0）中线刀45=1=（£a『+4x;汕，所以1=/+儿

（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

03+仁】AI3匚ur、I.oo

SIUKD=-----2-----=2x-a6+-<;,所以/+/=/.

知识点03勾股定理逆定理

1.定义：如果三角形的三条边长a,b,C,满足。2+〃=02,那么这个三角形是直角三角形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

2.如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）首先确定最大边（如C）.

（2）验证02与/+〃是否具有相等关系.若02=4+〃，则△ABC是/c=90°的直角三角形；若

c2^a2+b2,则△ABC不是直角三角形.

注意：当/+。2<o2时，此三角形为钝角三角形；当片+〃>°2时，此三角形为锐角三角形，其中。为三

角形的最大边.

知识点04勾股数

像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.

勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数

知识点05勾股定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在

具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第

三边的平方比较而得到错误的结论.

知识点06平面展开图-最短路径问题

几何体中最短路径基本模型如下:

阶梯问题长方体

基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线,构造直角三角形，利用

14

勾股定理求解

03题型归纳

题型一已知直角三角形的两边，求第三边长

例题：（23-24八年级上.福建泉州•期末）一直角三角形的两直角边长分别为5和12,则斜边的长是.

【答案】13

【分析】本题主要考查了勾股定理，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方进行求解即可.

【详解】解：：一直角三角形的两直角边长分别为5和12,

,该直角三角形的斜边长为疹工层=13，

故答案为：13.

巩固训练

1.（23-24八年级下•吉林松原•期中）如图，原来从A村到8村，需要沿路AfC-B（ZC=90°）绕过两

地间的一片湖，在A、8间建好桥后，就可直接从A村到8村.若AC=5km,BC=12km,那么建好桥后从

A村到B村比原来减少的路程为km.

【答案】4

【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键.

根据勾股定理求出A3的长，再和以前的距离作比较即可得出答案.

【详解】解：由勾股定理得，

AB=y/AC2+BC2=V52+122=13（km）

建好桥后从A村至I]B村比原来减少的路程为（5+12）-13=4（km）,

故答案为4.

2.（23-24八年级下.河南新乡•期中）在直角ABC中，AB=8,AC=6,则3C的长为

【答案】10或2近

【分析】本题考查了勾股定理.分AB=8是直角边或AB=8是斜边两种情况讨论，利用勾股定理求解即可.

15

【详解】解：当AB=8是直角边时,

贝1BC=A/62+82=10-

当AB=8是斜边时，

则BC=M-&=2近,

故答案为：10或26.

3.（23-24七年级下•安徽马鞍山•期中）若一个直角三角形的两边长为9和12,则这个三角形的斜边长为.

【答案】12或15

【分析】本题考查了勾股定理.注意12可能是直角边，也可能是斜边，所以得分两种情况讨论.

【详解】解：当9和12都是直角边时，

斜边=,9?+122=15；

当9是直角边，12是斜边时，

斜边为12.

故答案为：12或15.

题型二以直角三角形三边为边长的图形面积

例题：（23-24八年级下.湖南湘西.期中）如图所示，如果正方形A的面积为625,正方形8的面积为400,

则正方形C的边长为.

【答案】15

【分析】设A的边长为。，B的边长为b,C的边长为c,根据题意，得标=625,〃=400,c^c^-b1,

计算即可.

本题考查了勾股定理，正确理解定理是解题的关键.

【详解】解：设A的边长为。，8的边长为b,C的边长为c,

根据题意，得/=625,b2=400,c2^a2-b2,

c2=625-400=225.

解得c=15.

16

故答案为：15.

巩固训练

1.（23-24七年级下•黑龙江大庆•期中）如图，正方形4B,C的边长分别为直角三角形的三边长,若正方形A,B

的边长分别为4和8,则正方形C的面积为.

【分析】本题考查勾股定理的应用.由正方形的边长分别为4和8可得中间的直角三角形的一直角边

和斜边分别是4和8,再用勾股定理可求另一直角边，即可得出答案.

正方形A,2的边长分别为4和8,

/.PN=4,MN=8

：是直角三角形，

7W2=ACV2-W2=64-16-48

正方形C的面积=可2=48.

故答案为：48.

2.（23-24八年级下•黑龙江大庆•期中）如图，在中，NC=90。，分别以AB、BC、AC为直径作

半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”.当AB=13,BC=5时，则阴影部分的面积为一.

【答案】30

【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键.

17

首先根据勾股定理求出AC=TAB。了=13,然后根据阴影部分面积等于以AC,BC为直径的2个半圆的面

积加上sABC减去AB为半径的半圆面积即sABC，然后代数求解即可.

【详解】解：在RtAABC中，ZC=90°,

AC2+BC2=AB2

AB=13,BC=5

AC=yjAB2-BC2=13

22

1111

*'S阴影部分=-AC-BC+-TIX\-ACI+-TIX|-BCx

22222I-r

,咽旧(……)

=-ACBC

2

=-xl2x5

2

=30.

故答案为：30.

3.（2024・四川成都・二模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方

形A、B、。的面积依次为5、13、30,则正方形。的面积为.

【答案】12

【分析】本题主要考查了正方形和勾股定理，解题关键是勾股定理的正确应用.

由所有阴影部分的四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,根据勾股定理得以+品=sE=sD-sc,

由正方形A、B、O的面积依次为5、13、30,得5+13=30-Sc，故正方形C的面积为12.

【详解】解：由所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，根据勾股定理得

SA+$B=SE=SD-SC,

由正方形A、B、。的面积依次为5、13、30,得5+13=3。-S。，

故正方形。的面积为12.

18

故答案为：12.

题型三利用等面积法求直接斜边上的高问题

例题：（23-24八年级下•湖北武汉•期中）在如图的网格中，小正方形的边长均为1,A、B、C三点均在正方

形格点上，则点A到直线BC的距离是.

【答案】2

【分析】本题考查了网格图的问题，解题关键是正确应用勾股定理.用割补法求出ABC的面积，用勾股定

理求出的长，然后利用面积法求解即可.

【详解】解：ABC面积=4x4-Lxlx2-Lx2x4-、3x4=5,

222

由勾股定理得3C=疗寿=5，

设点4到直线3c的距离是d,

得』x5xd=5,

2

解得d-2.

故答案为：2.

巩固训练

1.（23-24八年级下.黑龙江哈尔滨.阶段练习）如图，的顶点AB,C在边长为1的正方形网格的格点

上，CDLAB于点D.则CD的长为.

19

A

D

C

13

【答案】y

【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，利用勾股定理求出A3的长，利用网格求出，ABC的面积，再根

据面积法即可求出8的长，利用割补法求出一ABC的面积是解题的关键.

【详解】解：由勾股定理可得，A3=向百=5，

1

由网格可得，SABC=4x4-^x4xl-lx3xl-lx3x4=^,

2222

CDLAB,

：.S=-ABCD=-x5xCD=-CD,

口ARr222

：.-CD=—,

22

CD=y,

13

故答案为：—■

2.（23-24八年级下•浙江金华•阶段练习）如图，在6x6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,

B,C都在格点上，求边上的高长=.

【答案】2H

【分析】本题主要考查三角形面积公式，运用分割法求出一ABC的面积，运用勾股定理求出3c的长，再运

用等积法即可求出BC边上的高

111253

【详解】解：SV*M=5X6——x2x6--x5x5一一xlx3=30-6------=10；

22222

由勾股定理得，3C=FV=50,

20

所以，BC边上的高长=诺=20,

故答案为：2&.

3.（23-24七年级上•山东泰安・期末）如图所示，ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上,

8DLAC于点。，则2。的长为.

BC

【答案】3

【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是。，b,斜边长为。，那么

a2+b2=c2.根据题意求出.ABC的面积，根据勾股定理求出AC,根据三角形的面积公式计算，得到答案.

【详解】解：由图形可知，BC=5,8C边上的高为3,

.•.ABC的面积=1X5X3=M，

22

由勾股定理得，AC=V32+42=5>

贝l］；x5x8D=J,

解得，BD=3,

故答案为：3

题型四勾股数的判断

例题：（23-24八年级下•广东湛江•阶段练习）下列四组数中，是勾股数的是（）

A.5,12,13B.4,5,6C.2,5,6D.1,2,3

【答案】A

【分析】本题考查了勾股数.解题的关键是理解勾股数的定义：有a,b,c三个正整数，满足/+〃=°2,

称为勾股数.想要判定是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两条较短边的平方和是否

等于最长边的平方.

【详解】解：A.52+122=169=132,能构成勾股数，故该选项正确；

B.42+52=41^62,不能构成勾股数，故该选项错误；

C.22+52=29^62,不能构成勾股数，故该选项错误；

D.F+2?=5K32,不能构成勾股数，故该选项错误.

21

故选A.

巩固训练

1.（23-24七年级下.陕西西安.阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的

数学著作《周髀算经》中.下列各组数中，是“勾股数”的是（）

A.7,8,9B.5,12,13C.4,5,6D.2,3,4

【答案】B

【分析】本题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若三个正整数。、b、c满足〃+62=C2,则

称。、6、C为勾股数.根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解.

【详解】解：A、72+82^92,不是“勾股数”，不符合题意；

B、52+122=132,是“勾股数”,符合题意;

C、42+52^62,不是“勾股数”，不符合题意；

D、22+32^42,不是“勾股数”，不符合题意；

故选:B.

2.（23-24八年级下•广西来宾•期中）下列各组数是勾股数的是（）

A.13,14,15B.4,5,6C.0.3,0.4,0.5D.9,40,41

【答案】D

【分析】本题考查勾股数，根据勾股数是满足片+62=02的三个正整数逐项判断即可.

【详解】解：4：132+142/152,.•.13,14,15不是勾股数，不符合题意；

B•.•42+52=62,•••4,5,6不是勾股数,不符合题意；

C、•••0.3,0.4,0.5都不是整数，.•.0.3,0.4,0.5不是勾股数，不符合题意；

。、♦.•92+402=412,.♦.9,40,41是勾股数，符合题意；

故选：D.

3.（23-24八年级下•江西新余•期中）下列各组数中，为勾股数的是（）

3S

A.9,40,41B.5,6,7C.2,-D百，“，&

【答案】A

【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数

的定义逐项判断即可.

【详解】解：A、Q92+402=81+1600=1681=412,-9,40,41是勾股数，故此选项符合题意；

B、Q52+62=25+36^72,.'.5,6,7不是勾股数，故此选项不符合题意；

22

C、:3，:5不是正整数，，3：，2,51•不是勾股数，故此选项不符合题意；

2222

D、百，飙,君不是正整数，，百，衣，石不是勾股数，故此选项不符合题意；

故选：A.

题型五判断能否构成直角三角形

例题：(23-24八年级下•安徽淮北•期中)在,MC中，NA,ZB,/C的对边分别是a,b,c.下列条件不

能说明一ABC是直角三角形的是()

A.ZA=ZC-ZBB.a:b:c=5:12:13

C.(b+c)(b-c)=a2D.a-3+k,b-4+k,c=5+k(k>0)

【答案】。

【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，正确理解勾股定理的逆定理是解题的关键.判

断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.

【详解】A、ZA=ZC-ZB,

:.ZA+ZB=ZC,

ZA+ZB+ZC=180°,

\2?C180?,

.-.zc=90°,

二ABC是直角三角形，

故此选项正确，不符合题意；

B、设a=5x,贝U6=12x,c=13x,

\a2+b2=(5x)2+Q2X)2_i69x?=c2,

.二ABC是直角三角形，

故此选项正确，不符合题意；

C、,(£>+c)(b-c)=a2,

b2-c2=a2,

:.a2+c2=b2,

ABC是直角三角形，

故此选项正确，不符合题意；

D、a=3+k,b-4+k,c=5+k(k>0),

23

:.a2+b2

ABC不是直角三角形，

故此选项错误，符合题意.

故选

巩固训练

1.（23-24八年级上•四川成都•期中）满足下列条件的其中是直角三角形的为（）

A.ZA：ZB:ZC=3：4：5B.AB：BC-.AC=3：4：5

C.AB=\,3C=4,AC=5D.ZA=30°,ZB=75°

【答案】B

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题

的关键.

根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可.

【详解】解：4、ZA：NB：NC=3:4:5,ZC+ZB+ZA=18O°,

•••最大角为/。=丁二'180。=75。，

ABC不是直角三角形，

故该选项不符合题意；

B、设AB、BC、AC分别为3左,4后5左，

（3左）2+（44）2=25左2=（5左）2,

.-.AB2+BC2=AC2,

：.ABC是直角三角形，

故本选项符合题意；

C、AB=1,BC=4,AC=5,1+4=5,

二不符合三角形三边关系，

故本选项不符合题意；

D、ZA=30°,ZB=75°,ZC+ZB+ZA=180°,

.•."=75°,

不是直角三角形,

故该选项不符合题意；

故选：B.

24

2.（23-24八年级下•云南昭通•期中）下列条件中，不能判断..ABC为直角三角形的是（）

A./=2,b2=3,c2=5B.a:/?:c=5:12:13

C.ZA+NB=NCD.ZA:ZB:ZC=3:4:5

【答案】。

【分析】本题主要考查勾股定理和三角形内角和定理，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，

4根据勾股定理的逆定理进行判定即可，

2、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状，

C、根据三角形的内角和为180度，即可计算出NC的值，

D,根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状.

【详解】A、当“2=1,b2=2,c2=3,

,-.a2+b2=5=c2,故ABC是直角三角形；

B、当a:b:c=5:12:13时，设a=5x,b=Ylx,c=13x,

则"+=（5x）2+（12尤）2=03x）2=02,故3Ase是直角三角形，

C、当NA+NB=NC时，

ZA+ZB+ZC=180°,

ZC+ZC=180°,则NC=90。，故是直角三角形，

。、当NA:N3:NC=3:4:5时，

ZA+ZB+ZC=180°,

则最大角为NC=18（Tx:=75。,故不是直角三角形，

故选：£».

3.（23-24八年级下.内蒙古呼和浩特.期中）ABC中，/&、/B、NC的对边分别为“、b、c,下列条件

中，不能判定，ABC是直角三角形的是（）

A.ZA:N3:NC=3:4:5B.（a+b）（a-b）=c2

C.ZA+ZB=ZCD.a:b:c=l:A/3:2

【答案】A

【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，根据三角形内角和定理即可判断A、C；

如果三角形的三边长。，b,c满足4+62=。2,那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断8、D.

【详解】解：A、VZA+ZB+ZC=180°,ZA:ZB:NC=3:4:5,

25

345

AZA=180°x----------=45°,ZA=180°x-----------=60°,ZA=180°x-----------=75°,

3+4+53+4+53+4+5

・•...ABC不是直角三角形，符合题意；

B、•；（a+6）（a—b）=c~,

a2-b2=c2,

a2=c2+b2>

,ABC是直角三角形，不符合题意；

C、VZA+ZB=ZC,且ZA+/3+NC=180°,

ZC=90°,

是直角三角形，不符合题意；

D、a:b:c=l:g:2,

.,.设a=x,=y/ix,c=2x,且x?+=x2+3x2=4x2=（2x）",

“ABC是直角三角形，不符合题意；

故选：A.

题型六在网格中判断直角三角形

例题：（23-24八年级下.云南昭通・期中）如图，.ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格

点上，下列结论不正确的是（）

A.BC=5B.*ABC的面积为5

C.ZA=90°。.点A到BC的距离为!■

2

【答案】D

【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离.熟练掌握

勾股定理及其逆定理是解题的关键.

利用勾股定理求出BC长可判定A,利用网格图计算三角形的面积可判定8,利用勾股定理及其逆定理判定

C；利用面积公式求出，ABC边BC的高，即可利用点到直线的距离判定D

26

【详解】解：A.VBC2=32+42=25,

ABC=5,本选项结论正确，不符合题意；

B.5ABC=4x4-1xlx2-1x2x4-|x3x4=5,本选项结论正确，不符合题意；

C.AC2=l2+22=5,AB2=22+42=20,BC2=32+42=25，

AC2+AB2=BC2,

ABAC=90°,本选项结论正确，不符合题意；

。.点A到BC的距离=25^+g=2、5+5=2,本选项结论错误，符合题意；

故答案为：。

巩固训练

1.（2024八年级下•全国・专题练习）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角

形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（）

【答案】A

【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长。，b,。满足片+尸=02,那么这

个三角形就是直角三角形是解答此题的关键.

根据勾股定理及其逆定理对各选项进行逐一判断即可.

【详解】解：A、如图:

AC2=12+32=10,BC2=l2+22=5,AB2=12+42=17,

「ABC不是直角三角形，故本选项符合题意;

B、如图:

AC2=22+42=20,BC