2025年人教版八年级数学下册期中易错题压轴题复习（考试范围：第16~18章）【24大题型】

期中易错题压轴题专项复习【24大题型】

（考试范围：第16~18章）

【人教版】

＞题型梳理

【易错篇】......................................................................................2

【考点1二次根式】............................................................................2

【考点2根据二次根式的性质化简】.............................................................2

【考点3二次根式的乘除】.....................................................................2

【考点4二次根式的加减】.....................................................................3

【考点5勾股定理与网格】.....................................................................3

【考点6利用勾股定理求值】...................................................................5

【考点7赵爽弦图】............................................................................6

【考点8勾股定理逆定理的应用】...............................................................8

【考点9勾股定理的应用】.....................................................................9

【考点10与平行四边形有关的证明与计算】......................................................10

【考点11与矩形有关的证明与计算】............................................................11

【考点12与菱形有关的证明与计算】...........................................................12

【考点13与正方形有关的证明与计算】..........................................................14

【考点14与直角三角形斜边的中线有关的证明与计算】...........................................15

【考点15与三角形中位线有关的证明与计算】...................................................16

【压轴篇】.....................................................................................18

【考点16化简含字母的二次根式】.............................................................18

【考点17求立体图形的最短路径问题】..........................................................18

【考点18几何动点问题】......................................................................19

【考点19几何最值问题】......................................................................21

【考点20几何探究问题】......................................................................23

【考点21多结论类问题】......................................................................25

【考点22新定义类问题】......................................................................26

【考点23规律类问题】........................................................................28

【考点24阅读理解类问题】....................................................................30

1

►举一反三

【易错篇】

【考点1二次根式】

【例1】（24-25八年级•福建莆田•期中）己知”是正整数，夜而是整数，则〃的最小值是（）

A.0B.2C.3D.7

【变式1-1]（24-25八年级•广东河源•期中）若二次根式区陋在实数范围内有意义，贝卜的取值范围是（）

X

A.x>2024B.x>2024C.x<2024D.x<2024

【变式1-2]（24-25八年级•浙江舟山•期中）当x=—l时，二次根式后F的值为.

【变式1-3]（24-25八年级•河南洛阳•阶段练习）已知丫=/三=1+71T^+2,那么xy=.

【考点2根据二次根式的性质化简】

【例21（24-25八年级•北京顺义・期中）如果-2）（久2一4）=（2-x）S彳2那么尤的取值范围_________.

【变式2-1]（24-25八年级•甘肃兰州•期中）适合2j（a-32=6-2a的正整数a的所有值的平方和为（）

A.13B.14C.15D.16

【变式2-2]（24-25八年级•四川成都•期中）实数a、6在数轴上的位置如图所示，化简：后+府+

J（a-6）2=.

ab

----1-•-----1-----

-101

【变式2-3]（24-25八年级•上海•期中）将x口根号外的因式移到根号内得.

yx

【考点3二次根式的乘除】

【例3】（24-25八年级•山东烟台•期末）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵

横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等.类比幻方，我们给

出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值4+B+C+

2

V210D

【变式3-1】（24-25八年级・山东烟台•期中）计算（百+或）2°24（次—四『°23的结果为.

【变式3-2】（24-25八年级•河北唐山・期中）二次根式V12,V30,7K+2,t40/,尸7j亍中最简

二次根式是.

【变式3-3]（24-25八年级•江西吉安・期末）学习了后=⑷后，数学老师出了一道化简题：a+

J（l-疗①>1）.下面是小亮和小芳的解答过程.

小亮：解：原式=a+l—a=l；

小芳：解：原式=a+|l—a|,

a>1,.•.原式=a+a—l=2a—1,

（1）的解法是不正确的；

（2）化简：卜—反其中a<0,b<0.

【考点4二次根式的加减】

[例4]（24-25八年级•江西萍乡・期末）若a=V1003+V997.b=V1001+V999,c=2V1001,贝！Ja，b,c

的大小关系用“〈”号排列为.

【变式4-1]（24-25八年级•河北唐山•期末）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式是（）

A.V3B.V6C.V18D.V24

【变式4-2]（24-25八年级•江苏南京•期末）己知x=后，则代数式产―2x+3的值为.

【变式4-3]（24-25八年级•湖北武汉•期末）已知xy=2,x+y=4,则.

【考点5勾股定理与网格】

【例5】（24-25八年级•江苏淮安・期末）某班学生在劳动实践基地用一块正方形试验田种植苹果树，同学们

将试验田分成7x7的正方形网格田，每个小正方形网格田的边长为1米，如图所示，为了布局美观及苹果

树的健康成长，同学们要把苹果树种植在格点处（每个小正方形的顶点叫格点），且每两棵苹果树之间的

距离都要大于2米，则这块试验田鬟多可种植____棵苹果树.

3

【变式5-1](24-25八年级・山西临汾•期末)如图，在6x6的网格图中，每个小方格的边长为1,请在给定

的网格中按下列要求画出图形.

(1)画一个三边长分别为4,V5,g的三角形;

(2)画一个腰长为VIU的等腰直角三角形.

【变式5-2](24-25八年级•河南驻马店•期末)如图，在边长为1的小正方形网格中，若△力BC和ABCD的

顶点都在小正方形网格的格点上，贝吐4CB+NDBC=()

A.45°B.75°C.120°D.135°

【变式5-3](24-25八年级•安徽安庆・期末)如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点力，B,

C均在格点上.若AD1BC于点D,则线段力D的长为

4

【考点6利用勾股定理求值】

【例6】（24-25八年级•浙江绍兴・期末）如图，在长方形A8CD中，AB=3,BC=4,将△力BC沿2C折叠,

点2落在B'处，AD与B工交于E,则CE的长为（）

【变式6-1]（24-25八年级•江苏苏州•期末）勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠.被誉为清代“历算第一名家”

的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅毂成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种

勾股定理的证法.其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的.在△ABC中，入4cB=90。，

四边形2BDE,ACFG,8CH/均为正方形，阳与2E相交于点J,可以证明点。在直线上.若△/!/〃，△DE/的

面积分别为2和6,则直角边AC的长为（）

【变式6-2]（24-25八年级•陕西西安•期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂

美"四边形力BCD,对角线力C,BD交于点0.若力D=1,BC=4,贝必炉+CD?=.

D

B

5

【变式6-3］（24-25八年级•四川达州•期末）如图，在四边形2BCD中，ZB=90°,BC=4,AE1CD,垂足

为E,AE=CE,连接2C,若DE=5,AD=V61.求：

⑴"的长；

⑵四边形力BCD的面积.

【考点7赵爽弦图】

【例7】（24-25八年级•江苏宿迁•期末）综合实践

我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”.他用几何图形的截、害I、拼、补来证明代数恒

等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范.在一节八上

数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究.

（1）类比“弦图”，证明定理

小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1）,证明勾股定理.

因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为（6-a）的小正方形组成，即面积表示为：4x

lab+{b-a）2a2+b2,即a2+。2=©2,进而勾股定理得到了验证.

善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2）,聪明的他发现用不同的方法计算梯形力BCD的面

积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明.

（2）利用“弦图”，割拼图形

如图3,老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个

6

无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图.

（3）构造“弦图”，应用计算

如图4,在等腰直角三角形4BC中，N4CB=90。,4。=BC,点。是BC中点，过点C作CE14D,垂足为点尸,

交2B于点E,若BE=3,求的长.

【变式7-1］（24-25八年级•江苏南京•期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽

弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形28CD.连接AQ、BP、

CN、DM.若正方形4BCD的面积为2a,阴影部分的面积为2b.贝必N的长度为（）

A.a+bB.a2+b2C.>Ja+bD.Va2+ft2

【变式7-2］（24-25八年级•四川成都•期末）如图1,将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形A8EC,然

后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2,该正方形的面积为5；再将其四个全等的直

角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为4+4V5,则图1中的点C至的距离为.

【变式7-3］（24-25八年级•浙江金华・期末）图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长DK交

AB.力C分别于点M、N,延长交于点P（如图2）.

图1图2

7

（1）若RtA4BF的面积为5,小正方形尸GHK的面积为9,贝必8=；

CC

（2）如图2,若四边形宙HN=鼠则四边WGHK=____________（用含k的代数式表示）.

S四边形BMHP$四边形BCNK

【考点8勾股定理逆定理的应用】

【例8】（24-25八年级•黑龙江双鸭山•期末）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海

里，两个小时后，两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东46。，则乙船的航向为（）

A.南偏东44。B.北偏西44。C.南偏东44。或北偏西44。D.无法确定

【变式8-1］（24-25八年级•黑龙江大庆•期末）笔直的河流一侧有一旅游地C,河边有两个漂流点A,B.其

中由于某种原因，由C到A的路现在己经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点XG4,

8在同一直线上），并新修一条路CH,测得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米.则原路线4C=千

米.

【变式8-2］（24-25八年级•辽宁鞍山•期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地48CD,测得=

9m,BC=12m,CD=8m,AD=17m,且NABC=90°,这块菜地的面积是（）

A.48m2B.114m2C.122m2D.158m2

【变式8-3］（24-25八年级•吉林四平•期末）如图①是超市的儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图.测

得支架4C=24cm,CB=18cm,两轮中心的距离AB=30cm.

（1）连接48,贝UAaBC是__________三角形，请写出推理过程.

8

⑵点C至!MB的距离是cm.

【考点9勾股定理的应用】

【例9】（24-25八年级•四川成都•期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一,

也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称.现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干

渠某处A向C地、。地、8地分流（点C,D,2位于同一条直线上），修三条笔直的支渠AC,AD,AB,

且2C1BC；再从。地修了一条笔直的水渠D”与支渠AB在点H处连接，且水渠。”和支渠AB互相垂直，已

矢口4C=6km,AB=10km,BD=5km.

（1）求支渠AD的长度.（结果保留根号）

（2）若修水渠每千米的费用是0.7万元，那么修完水渠需要多少万元？

【变式9-1］（24-25八年级•福建福州•期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中

央，出水一尺.引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到

达池边的水面，求芦苇的长度.（1丈=10尺）

（1）示意图中，线段的长为尺，线段EP的长为尺；

（2）求芦苇的长度.

【变式9-2］（24-25八年级•安徽阜阳•期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一.上周末，小聪等三位同

学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路/的距离为100m的点P处.这时，一辆轿

车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得乙4PO=60。，ZBPO=45°.

9

ABO

⑴求AB的距离，（追取1.73）

（2）试判断此车是否超过了80km/h的限制速度？

【变式9-3]（24-25八年级•安徽安庆・单元测试）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图

所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，己知48=4米，BC=13米，两棵树的株距（两棵树的水平

距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度.

【考点10与平行四边形有关的证明与计算】

【例10】（24-25八年级•黑龙江哈尔滨•期中）如图，四边形力BCD的对角线47和相交于点。，下列不能

判定四边形A8CD为平行四边形的条件是（）

A.AO=OC,OB=ODB./.ABC=^ADC,AD\\BC

C.AB=DC,AD\\BCD.AB=DC,AD=BC

【变式10-1]（24-25八年级•河南商丘・期中）如图1,ABWCD,P为AC的中点，点E为射线4B上的任意一

点（不与点A重合），连接EP,并使EP的延长线交射线CD于点?

10

BEBE

图1

(1)求证：4APE»CPF；

(2)如图2,连接EC、AF,是否有ECII4F,如不是，请说明理由，如果是，请证明.

【变式10-2](24-25八年级•西藏拉萨•期中)如图，在平行四边形ABC。中，NC=40。，过点。作CB的垂线,

交AB于点E,交CB的延长线于点E贝UNBEF的度数为

【变式10-3](24-25八年级•河南漠河•期中)如图，△ABC中，。是48边上任意一点，尸是4C中点，过点C

作CEII4B交DF的延长线于点E,连接力E,CD.

(1)求证：四边形4DCE是平行四边形；

(2)若NB=30。，ACAB=45°,AC=V6,求4B的长.

【考点11与矩形有关的证明与计算】

【例11】(24-25八年级・天津西青•期中)如图，在△4BC中，4B=AC,4D是中线，4V是△ABC的外角“AM

的平分线，CE1AN,垂足为E.

(1)求证：四边形4DCE是矩形;

11

（2）DF与4B之间的关系是什么？请说明理由.

【变式H-1］（24-25八年级•山西运城・期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6,对角线4c与BD相交于点O,

AE1BD,垂足为E.若贝l|2E的长为（）

A.3B.4C.3A/3D.6

【变式11-2］（24-25八年级•辽宁鞍山•期中）已知：如图，点P为矩形4BCD的边4D上一点，连接BP,将矩

形4BCD的一部分DPBC沿BP翻折180。得DPBC，，且点C'落在的延长线上.

（1）求证：C'B=CP；

（2）若BC=10,DC=6,求折痕BP的长.

【变式11-3］（24-25八年级•海南海口•期中）如图，折叠矩形的一边4D,使点。落在BC边的点E处，己知

AB=6cm,BC=10cm,则CF=cm,—=.

【考点12与菱形有关的证明与计算】

【例12】（24-25八年级•陕西西安・期中）如图，团4BCD的对角线"、BD相交于点O,4C平分NB4D,过点

。作。PII4C,过点C作CPIIBD,DP、CP交于点P,连接。P.

12

AD

(1)求证：四边形48CD是菱形；

(2)若4c=12,BD=16,求OP的长.

【变式12-1](24-25八年级•陕西西安•期中)如图，在菱形A8CD中摆放了一副三角板，等腰直角三角板DEF

的一条直角边DE在菱形边4。上，直角顶点E为AD的中点，含30。角的直角三角板的斜边G8在菱形4BCD的

边48上.连接AC,若DF=4,则4C的长为()

A.8B.4V2C.8V2D.4V6

【变式12-2](24-25八年级•广东梅州•期中)如图，矩形A8CD和矩形2ECF有公共顶点A和C,CD=CE,

AE与8c相交于点G,4。与CF相交于点H.

(1)求证：四边形4GCH是菱形.

(2)连接AC,GH,若AC=10,GH=4,求四边形2GCH的面积.

【变式12-3](24-25八年级•湖北武汉•期中)菱形4BCD的边长为2,乙4=60。，点G为4B的中点，以BG为

边作菱形BEFG,其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，贝=()

13

B.V3

【考点13与正方形有关的证明与计算】

【例13】（24-25八年级・四川泸州・期中）如图所示，四边形28CD是正方形，M是48延长线上一点.直角三

角尺的一条直角边经过点且直角顶点E在边上滑动（点E不与点42重合），另一直角边与NC8M的

平分线BF相交于点F.

EB

（1）如图1,当点E在48边的中点位置时，若=连接点E与2。边的中点N,请猜想NE与BF的数量

关系，并加以证明.

（2）如图2,当点E在4B边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明你的猜想.

【变式13-1］（24-25八年级•河北张家口•期中）如图，已知正方形纸片A8CD,M、N分别是力D、BC的中点,

把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则NP8Q的度数为（）

AMD

B.25°C.30°D.60°

【变式13-2］（24-25八年级•河南郑州•期中）如图，在边长为4的正方形4BCD中，点民F分别是边CD,2。的

中点，连接4E,BF,点G,“分别是4E,BF的中点，连接GH,贝的长为.

14

【变式13-3]（24-25八年级•宁夏银川•期中）如图1,在正方形2BCD中，点E为8c上一点，连接DE,把△DEC

沿DE折叠得到△DEF,延长EF交4B于点G,连接DG.

（1）求证△ADG三AFDG；

（2）如图2,若正方形边长为6,点E为BC的中点，连接BF,求线段4G的长;

（3）在（2）的条件下求出ABEF的面积.

【考点14与直角三角形斜边的中线有关的证明与计算】

【例14】（24-25八年级•广东梅州•期中）在正方形力BCD中，AD=2,E,尸分别为边DC,CB上的点,且始

终保持OE=CF,连接2E和DF交于点P,则线段CP的最小值为（）

A.V5-1B.V5V5D.V2

2

【变式14-1]（24-25八年级•浙江绍兴•期中）如图，△ABC中，。为中点，E在"上，且BE1AC.若DE=5,

AE=8,EC=47,贝118c的长度是

15

【变式14-2]（24-25八年级•山西运城・期中）如图，在四边形2BCD中，乙ABC="DC=90°,kBAD=130°,

点E为对角线AC的中点，连接DE,BE,BD,贝此D8E的度数为（）

A.50°B.40°C.30°D.25°

【变式14-3]（24-25八年级•江苏盐城•期中）如图，已知锐角AABC中，CD、BE分另U是4B、4C边上的高,

M.N分别是线段BC、DE的中点.

⑴证：MN1DE；

（2）若44BC=75°,/.ACB=40°,连接DM、ME,求NOME的度数.

【考点15与三角形中位线有关的证明与计算】

【例15】（24-25八年级•陕西咸阳•期末）如图，在四边形4BCD中，点E,F,G,H分别是边4B,BC,C0,ZM的

中点，那么添加下列条件一定能判定四边形EFGH是正方形的是（）

A.AC=BDS.AB=ADB.AC1BD且AC和BD互相平分

C.乙BAD=/.ABCKAC=BDD.AC=BDS.AC1BD

【变式15-11(24-25八年级•甘肃兰州・期末)如图，在菱形4BC0中，LE1BC于点E,BE=EC,AC=2,

则菱形4BCD的周长是()

16

AD

BEC

C.10D.12

【变式15-2](24-25八年级•辽宁鞍山•期中)如图，菱形A8CD对角线AC、BD交于点。，点E为。。的中点,

连接力E并延长至点F使EF=4E,连接FD、FC,试判断四边形OCFD的形状并说明理由.

BC

【变式15-3](24-25八年级•山东潍坊・期末)【观察与发现】

如图1,我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形.

同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形.操作如下：如图2,沿着过对边

中点的两条线段EG和HF剪开，将四边形4BCD分成四部分.通过旋转或移动，使点8,C,3与A重合，可

以得到，新四边形。ZX/是平行四边形.

【类比与探究】

(1)类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形.

①图3是将△ABC剪开拼成矩形BC/%的一种方法的一种方法.

依据图中呈现的操作方法，可知：DE与8c的数量关系为；与DE的位置关系为；

②如图4,请你再设计一种将AABC剪开拼成与其面积相等的矩形的方法.仿照图3用虚线在左图中画出剪

切线，简单说明剪切线满足的条件，在右图画出拼成的简图.

【实践与应用】

(2)请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方

案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形.

17

【压轴篇】

【考点16化简含字母的二次根式】

【例16】（24-25八年级•上海静安•期中）已知孙＜0,化简二次根式咛星的值是（）.

A.y[xB.-y/~xC.y/~—xD.-V—x

【变式16-1]（24-25八年级・湖北黄石•期中）已知avo,则二次根式化简后的结果为（）.

A.aVbB.aV—C.—ay/bD.-aV—

【变式16-2]（24-25八年级•上海•期中）已知a＞0,那么看可化简为（）

A.by/—ccbB.—7ccbC.—V—ctbD.-V—ctb

bbb

【变式16-3]（24-25八年级•北京顺义・期末）当根＜0时，化简二次根式”z，结果正确的是（）

n

A.n'mnB.—n7mnC.-y/mnD.—~y/mn

nn

【考点17求立体图形的最短路径问题】

【例17】（24-25八年级•四川达州•期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为10cm,

底面周长为12cm,在盒子外壁离上沿2cm的点/处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部4cm的点8处有一滴

蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点8处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（）

A.12cmB.2V3cmC.675cmD.10cm

18

【变式17-1］（24-25八年级•河南周口・期末）如图①所示的正方体木块的棱长为&cm,沿其相邻三个面的

对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点力爬行到

顶点B的最短距离为（）

A.(V2+l)cmB.(V2+V3)cmC.V3cmD.(V3+l)cm

【变式17-21（24-25八年级•河南南阳•期末）如图，教室墙面4DEF与地面2BCD垂直，点P在墙面上，若P4=

米，48=2米，点「到49的距离是3米，一只蚂蚁要从点P爬到点B,它的最短行程是（）米

C.V13D.3

【变式17-3］（24-25八年级•陕西西安・期末）如图，一只蚂蚁从长为5cm、宽为3cm、高为10cm的长方体纸

箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是cm.

【考点18几何动点问题】

【例18］（24-25八年级•江苏扬州•期中）如图，在△ABC中，48=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动

点PE1AB于E,「尸14（?于F，”为EF中点，当点P从点B运动到点C,点M运动的路径长为（）

C.2.4D.2.5

19

【变式18-1](24-25八年级•贵州遵义•期中)如图，在四边形4BCD中，AD||BC,£B=90°,且AD=12cm,

AB=8cm,DC=10cm,若动点？从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段4D向点。运动；动点。从C点

出发以每秒2cm的速度沿CB向8点运动，当。点到达8点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出

发，并运动了/秒，回答下列问题：

(1)BC=_cm；

(2)当t=_秒时，四边形PQB4成为矩形.

⑶当f为多少时，PQIICD2

(4)是否存在f,使得ADQC是等腰三角形？若存在，请求出f的值；若不存在，说明理由.

【变式18-2](24-25八年级•福建厦门•期中)如图，在菱形4BCD中，ADAB=60°,对角线相，BD相交于

点0,P为线段OB上一点，连接CP,将线段CP绕点P顺时针旋转，交力B延长线于点Q.

(1)求证：AP=PQ；

(2)在P点运动过程中，NCPQ的大小是否发生变化？请说明理由；

(3)判断线段DP与线段BQ的数量关系，并证明.

【变式18-3](24-25八年级•山东日照•期中)如图1,已知在正方形ZBCD中，点E、尸分别在边BC、DC上

运动.

20

A

图3

【尝试探究】

(1)如图1,当点E、厂分别在边BC、DC上运动，4区4尸=45。时，探究DF、BE和EF的数量关系，并说明

理由;

【模型建立】

(2)如图2,当点E、F分别在射线CB、DC上运动，NE4F=45。时，(1)中的结论是否成立？若成立请加

以说明；若不成立，请写出它们的数量关系并加以说明;

【模型应用】

(3)如图3,已知AABC是边长为5的等边三角形，BD=CD,ABDC=120°,以。为顶点作一个60。角,

使其角的两边分别交边48、4C于点£、F,连接EF,求的周长.

【考点19几何最值问题】

【例19】(24-25八年级•吉林长春•期中)如图1.在四边形力BCD中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到

的四边形EFG”叫做四边形力BCD的中点四边形.利用三角形中位线的相关知识解决下列问题：

图1图2

(1)求证：四边形A8CD是平行四边形；

(2)当AC1BD时，四边形EFGH是；

(3)如图2.四边形4BCD中，AC和8。互相垂直，2C=6、BD=10.则力D+BC的最小值为.

【变式19-1](24-25八年级•四川成都・期末)如图，已知菱形4BCD的边长为5,面积为15,点E是对角线AC

上的动点(不与点A重合)，以4B为对角线作平行四边形4EBF,贝UEF的最小值为.

21

【变式19-2］（24-25八年级•河南洛阳・期中）综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动,

将边长为旧的正方形ABC。。与边长为遍的正方形2EFG按图1位置放置，4。与2E在同一直线上，4B与4G

在同一直线上.连接DG,BE,易得DG=BE且DG1BE（不需要说明理由）.

（1）如下图，小明将正方形A8CD绕点A逆时针旋转，旋转角为葭15。＜戊＜165。）.

①连接DG,BE,判断DG与BE的数量关系和位置关系，并说明理由；

②在旋转过程中，如下图，连接BG,GE,ED,DB,求四边形BGED面积的最大值.

（2）如下图，分别取BG,GE,ED,DB的中点M,N,P,Q,连接MN,NP,PQ,QM,则四边形MNPQ的

形状为,四边形MNPQ面积的最大值是.

22

D

【变式19-3](24-25八年级・广东广州•期中)如图1,在矩形纸片ABCD中，AB=6,AD=10,折叠纸片使

B点落在边上的点E处，折痕为尸。.过点E作所〃交尸。于凡连接BE

(1)求证：四边形P8EE为菱形；

(2)当点E在边上移动时，折痕的端点P、。也随之移动.

①当点。与点C重合时(如图2),求菱形P2FE的边长；

②若限定P、。分别在边胡、8C上移动，菱形网也的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填“无”.最

大值为;最小值为.

【考点20几何探究问题】

【例20】(24-25八年级•陕西汉中•期末)在四边形4BCD中，对角线2C,BD相交于点。，过点。的两条直线

EF,GH分另U交边力B,CD,AD,BC于点E,F,G,H.

【问题发现】

⑴如图1,若四边形4BCD是正方形，且4G=BE=CH=。尸，则S四边形独℃=____S正方形神°；

【问题探究】

(2)如图2,若四边形4BCD是矩形，且满足S四边形AEOG=[S矩形.CD，设4B=a,AD=b,BE=m,求力G的

长(用含a,b,机的代数式表示)；

【问题解决】

(3)如图3,张大伯有一块平行四边形4BCD菜地，且4B=6米，AD=10米，点E处是一口水井，且BE=2

米，EF是原先就有的一条沟渠，且经过平行四边形A8CD菜地的对角线的交点0,张大伯准备再修建一条经

过点。的沟渠GH,将该菜地分成四个面积相等的部分，并分别种上四种不同的蔬菜，试确定点G的位置.

23

【变式20-1](24-25八年级•广东阳江・期末)【探究与证明】

【问题情境】如图1,点E为正方形4BCD内一点，4E=2,BE=4,UEB=90°,将直角三角形4BE绕点4逆

时针方向旋转a度(0WaW180。)点B、E的对应点分别为点夕、E'.

【问题解决】

(1)如图2,在旋转的过程中，点9落在了AC上，求此时C8,的长；

(2)若a=90。,如图3,得到△4D?(此时"与。重合)，延长BE交QE'于点F,

①试判断四边形4EFE，的形状，并说明理由；

②连接CE,求CE的长.

【变式20-2](24-25八年级•甘肃庆阳•期末)【背景】在菱形2BCD中,1弓=60。，作的Q=34P,2Q分

别交边BC,CD于点P,Q.

图1图2图3

⑴【感知】如图1,若P是边BC的中点，则线段力P与4Q之间的数量关系是；

(2)【探究】如图2,若P为边BC上任意一点，贝U(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由.

(3)【应用】在如图3所示的菱形纸片4BCD中，AABC=60°,AB=6,在边BC上取一点P,连接4P,在菱

形内部作NPAQ=60°,AQ交CD于点Q,当2P=2近时，求线段CQ的长.

【变式20-3](24-25八年级•辽宁大连・期末)【问题情景】

24

如图1,在菱形力BCD中=2V5,点N为菱形4BCD外部一点，连接力N交对角线BD于点M,且满足N4MD+

乙ANC=180°.

【初步探究】

(1)求证：AM=MN；

备用图

【解决问题】

(2)如图2,连接DN,当力M=履，CN=6时，

①求线段BM的长；

②求NBDN的度数；

【类比探究】

(3)如图3,在菱形48CD中，当NBCD=90。时，AN交CD于点、E,连接BE,DN,并延长BE交。N于点F.若

【考点21多结论类问题】

【例21](24-25八年级•浙江杭州•阶段练习)如图，四边形ABCD,对角线BD148,且平分乙4DC,O为BD

的中点.在4D上取一点G,使CG1BD,E为垂足，取4C中点?连接BF.下列五句判断：①4。=2B。；

②EFII4D；③4G=2BF；④连接DF,则四边形8CDF是平行四边形；⑤FB=2GE.其中判断正确的是()

A.①③④B.③④⑤C.②④⑤D.②③④

【变式21-1X24-25八年级•内蒙古鄂尔多斯•期末)如图，点P是正方形2BCD的对角线上一个动点,PE1BC

25

于点E,PF1CD于点F,连接EF,有下列5个结论：①AP=EF；②力P1EF；③AAPD一定是等腰三角

形；④乙PFE=4BAP；⑤EF的最小值等于其中正确结论的序号是

【变式21-2］（24-25八年级•安徽•期末）如图，矩形4BCD中，£为8C边的中点，沿。E对折矩形，使点C落

在。处，折痕为DE,延长DC，交力B于点E连接8C，并延长交4D于点G,连接CC，.给出以下结论：①四边

形BEDG为平行四边形；②乙EC'C=乙BC'F；③GC'=GD；④C'为BG的中点.其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式21-3X24-25八年级•吉林长春・期末）知图,在菱形ABCD中,对角线4C、BD交于点0,AC=8,BD=6,

点、E、产分别在边力B、CD上（点E不与A、B重合）.S.DEWBF,