2025年山东中考数学复习讲义 第四章 章末综合评价卷（四） 几何初步与三角形

章末综合评价卷（四）几何初步与三角形

（时间：120分钟满分：120分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符

合题目要求）

1.（2024•广西）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（）

A.20°B.40°

C.60°D.80°

C[2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是2><30。=60。.故选C.]

2.下列命题中，属于假命题的是（）

A.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等

B.在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直

C.同旁内角互补，两直线平行

D.对顶角相等

B[在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.故选B.]

3.（2024•四川德阳）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中

AB//CD,DE±BC,NA3C=70。，则NEDC等于（）

A.10°B.20°

C.30°D.40°

B['：AB//CD,

：.ZC=ZB=1Q°,

■:DEIBC,

：.ZCED=90°,

ZEDC=90°-70°=20°.

故选B.]

4.[跨学科]如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直

线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AC=15,则线段A3的长是()

A.5B.4

C.3D.10

D「.•五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成，

.AB_2AB_2

••-----.「I’--------.

AC3153

解得A3=10,

故选D.]

5.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AD是高，BE是中线，CT是NAC3的平

分线，CR交AD于点G,交BE于点、H,给出以下结论：®BF=AF-,②NARG

=ZAGF；®ZFAG=2ZACF；④SMBE=SABCE；⑤BH=CH.其中结论正确的有

()

A.2个B.3个

C.4个D.5个

B「「BE是△ABC的中线，

••SAABE=SABCE.

故④正确，符合题意；

是NAC3的平分线，

ZACF=ZBCF,

'JADLBC,：.ZBCF+ZCGD=9Q°,

,：NA4c=90°,

ZACF+ZAFG=90°,

：.ZCGD=ZAFG,

'：ZCGD=ZAGF,

：.ZAGF=ZAFG.

故②正确，符合题意；

'JADLBC,NR4c=90。，

ZFAG=ZACB=2ZACF.

故③正确，符合题意；

由已知条件不能确定NHBC=NHC3,

与CH的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意；

是NAC3平分线，NB4c=90。，

：.BF^AF,

故①错误，不符合题意.

综上，符合题意的有3个.

故选B.]

6.(2024•浙江)如图，在平面直角坐标系中，/XABC与是位似图形，位

似中心为点。.若点A(—3,1)的对应点为A，(—6,2),则点3(—2,4)的对应点

3'的坐标为()

(—4,8)B.(8,-4)

(—8,4)D.(4,-8)

A「.♦△ABC与△A®C是位似图形，位似中心为点。，点4(-3,1)的对应点

为4(-6,2),

...△ABC与的相似比为1：2,

•点3的坐标为(-2,4),

.•.点B的对应点夕的坐标为(一2X2,4X2),

即(—4,8).

故选A.]

2

7.在△ABC中，若卜in4—1+(9—cosB)=0,则NC的度数是()

A.120°B.105°

C.75°D.45°

2

A[V|sin?l-1|+(y-cosB)=0,

*••sinA——=0,~~-cosB=0,

・•A1

・・smA=-，cosr>B=V3—.

AZA=30°,ZB=30°,

，ZC=180。—NA—ZB=120°.

故选A.]

8.(2024•湖南)如图，在△ABC中，点D,E分别为边A3,AC的中点.下列结

论中，错误的是()

A.DE//BC

B.AADEsAABC

C.BC=2DE

1

D.SAADE=-SAABC

D「.•点D,E分别为边A3,AC的中点,

...DE是△ABC的中位线，

：.DE//BC,BC=2DE.

故A,C选项不符合题意.

,JDE//BC,

：.AADE^AABC.

故B选项不符合题意.

^ADE^AABC,

...S"DE_,=1

S^ABC\BC)4

1

贝US^ADE=S^ABC.

4

故D选项符合题意.

故选D.]

9.（2024•浙江）如图，正方形A3CD由四个全等的直角三角形（ZkABE,ABCF,

△CDG,△D4功和中间一个小正方形ERGH组成，连接DE.若AE=4,BE=

3,贝UDE=()

A.5B.2V6

C.V17D.4

C[RtADAH^RtAABE,

：.DH=AE=4,AH=BE=3,

：.EH=AE~AH=4-3=1,

,/四边形EFGH是正方形，

ZDHE=90°,

：.DE=y/DH2+EH2-V42+l2=V17,

故选C.]

10.[新定义问题]（2024•四川泸州）宽与长的比是厚的矩形叫做黄金矩形，黄金

矩形给我们以协调、匀称的美感.如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折,

点3落在点夕处，A股交CD于点E,则sinNZME的值为（）

A.渔

5

c.-D

5-V

A[由题知，

令AD=BC=^V5—l)a,AB=CD=2a,

由翻折可知，

ZEAC=ZBAC.

•四边形A3CD是矩形,

：.AB//CD,

：.ZDCA=ZBAC,

：.ZDCA=ZEAC,

：.AE=EC.

令DE=x,

则AE=EC=2ci—x,

在RtAADE中，

[(V5-1)a]12+x2=(2a~x)2,

解得x=与二a,

•八厂_V5-1j-,_V5—1_5—V5

••DE------CL.AAE-o2CL----------CL-----------(

222

在RtADAE中，

故选A.]

二、填空题（本大题共6小题，满分18分.只要求填写最后结果，每小题填对得

3分）

11.比较大小：cos45°cos55。.（用“>”或填空）

>[V45°<55°,Acos45°>cos55°.]

12.（2024•江苏盐城）两个相似多边形的相似比为1：2,则它们的周长的比为

1：2厂.•两个相似多边形的相似比为1：2,

...两个相似多边形周长的比等于1：2.]

13.（2024•青海）如图，线段AC、BD交于点O,请你添加一个条件：

使△AOBs^con

DC

AB

（答案不唯一）「.•NA03=NC0。（对顶角相等），

，只要NQ43=NOCD,ZODC=ZOBA,AB〃CD等，其中一项符合即可，答

案不唯一.]

14.（2024•山东）如图，已知NMAN,以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分

别与AM,AN相交于点3,C,分别以3,C为圆心，以大于匏C的长为半径作

弧，两弧在NAMN内部相交于点P,作射线AP.分别以A,3为圆心，以大于

的长为半径作弧，两弧相交于点。，E,作直线DE分别与AB,AP相交于

点、F,Q.若A3=4,ZPQE=61.5°,则R到AN的距离为.

V2[如图，过口作FH1AC于点H,

由作图可得：ZBAP=ZCAP,DELAB,AF=BF=^AB=2,

,：ZPQE=61.5°,

：.NAQR=67.5。，

/.ZBAP=NC4P=90。一67.5。=22.5。，

：.ZFAH=45°,

：.AH=FH=—AF=V2,

2

.,.R到AN的距离为四.]

15.如图，已知A3LCD于点3,A3与水平线/相交于点。，OEM.若BC=4

dm,0B=12dm,N3OE=60。,则点C到水平线l的距离CF为dm.

(结果用含根号的式子表示)

6-2V3［延长DC交/于点连接。C,

在中，ZBOH=90°-60°=30°,OB=12dm,

12Xtan30°=4A/3(dm),OH=843dm,

SAOBH=SAOCH+SAOBC,

：111

.-20B•BH=2-OH•CF+2-OB•BC,

.\jx4A/3x12=jx8A/3xCF+^X12X4,

.,.CF=(6-2V3)dm.］

16.［规律探究题］(2024•黑龙江齐齐哈尔)如图，数学活动小组在用几何画板绘

制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形03C置于

平面直角坐标系中，点。的坐标为(0,0),点3的坐标为(1,0),点C在第一象

限，ZOBC=120°.将△03C沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x

轴重合，第一次滚动后，点。的对应点为。，点C的对应点为C,0c与OC

的交点为Ai,称点Ai为第一个“花朵”的花心，点A2为第二个“花朵”的花

心；……；按此规律，△03C滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的

花心的坐标为

1349+674V3,司［连接43.由题知,

ZCOB=ZO'C'B=30°,BO=BC,

：.AxO=AxC,

.•.点4在OC的垂直平分线上.

•点3的坐标为（1,0）,.*.05=1,

在RtAAiOB中,

.•.点4的坐标为（1,y）.

依次类推，

点A2的坐标为（3+g,y）,

点A3的坐标为（5+2g,y）,

・•.点An的坐标为（2n-1+（n-1）V3,，）（〃为正整数）.

又•.•每滚动三次，出现下一个花心，

.•.2024+3=674......2,

则674+1=675,

滚动2024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心对应的点为点475.

当〃=675时，

点A675的坐标为（349+674圆•，

即滚动2024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心的坐标为（1349+674V3,

务1

三'解答题（本大题共5小题，满分72分.解答应写出必要的文字说明、证明过

程或推演步骤）

17.（10分）（2024•四川宜宾）如图，点。，E分别是等边三角形A3C边BC,AC

上的点，且BE与AD交于点F.求证：AD=BE.

A

［证明］..♦△ABC为等边三角形，

AZABD=ZC=6Q°,AB=BC,

(AB=BC,

在△ABD和ABCE中,{z.ABD=^C,

\BD=CE,

，AABD^△BCE(SAS),

：.AD=BE.

18.(12分)［情境题］如图，在笔直的公路A3旁有一座山，从山另一边的C处到

公路上的停靠站A的距离为AC=15km,与公路上另一停靠站B的距离为BC=

20km,停靠站A,3之间的距离为A3=25km,为方便运输货物现要从公路A3

上的。处开凿隧道修通一条公路到C处，且CDLAB.

(1)请判断△ABC的形状.

(2)求修建的公路CD的长.

［解］(l)ZkABC是直角三角形.

VAC=15km,BC=20km,AB=25km,

152+202=252,

:.AC2+BC2=AB2,

：.ZACB=9Q°,

：.AABC是直角三角形.

(2)'：CD±AB,

11

：.S^ABC=1AB•CD=|AC•BC,

.nAAC•BC15X20、

..CD=--------=-------=12(km).

AB25''

答：修建的公路CD的长是12km.

19.(16分)［探究题］(2024•黑龙江龙东)已知AABC是等腰三角形，AB=AC,

ZMAN=^ZBAC,NMAN在NR4c的内部，点M,N在3c上，点航在点N的

左侧，探究线段NC,MN之间的数量关系.

(1)如图］当NA4C=90。时，探究如下：

由NA4c=90。，A3=AC可知，将△ACN绕点A顺时针旋转90。，得到△ABP,

则CN=3P且NP3Af=90°,连接PM,易证△AMP四/XAMN,可得MP=AfN,

在中，BM2+BP2=MP2,则有3M2+NC2=MN2.

(2)当NA4c=60。时，如图2；当NA4c=120。时，如图3,分别写出线段

NC,MN之间的数量关系，并选择图2或图3进行证明.

［解］(2)图2的结论是即庐+刈^+即八刈7="严.

证明：'：AB=AC,

ZBAC=60°,

，△ABC是等边三角形，

ZABC=ZACB=60°,

以点B为顶点在△ABC外作NA3K=60。，在BK上截取BQ=CN,连接QA,

QM,过点。作QHLBC,垂足为

'：AB=AC,/C=/ABQ,CN=BQ,

：.XACN空△ABQ(SAS),

：.AN=AQ,ZCAN=ZQAB.

又：ZCAN+ZBAM=30°,

ZBAM+ZQAB=3Q°,

即NQAM=NMAN,

又

△AQM等AAW(SAS),

：.MN=QM.

VZABQ=6Q°,ZABC=6Q°,

：.ZQBH=6Q°,

：./BQH=30。,

，BH三BQ,QH=^-BQ,

-1

在中，可得：QH2+HM2=QM2,

即GBQ,+(BM+TBQ)2=QM2,

整理得BM2-\-BQ2+BM•BQ=QM2.

：.BM2+NC2+BM•NC=MN1.

图3的结论是：BM2+NC2-BM•NC=MN2.

证明：以点B为顶点在△ABC外作NA3K=30。，在BK上截取BQ=CN,连接

QA,QM,过点。作QHL3C,垂足为H,

'：AB=AC,ZC=ZABQ,CN=BQ,

：.AACN/△ABQ(SAS),

：.AN=AQ,ZCAN=ZQAB,

又ZCAN+ZBAM=60°,

ZBAM+ZQAB=60°,即ZQAM=ZMAN,

又

△AQM注△ANM(SAS),

：.MN=QM,

在中，ZQBH=60°,/BQH=30°,

:.BH三BQ,QH=^-BQ,

HM=BM-BH=BM~^BQ,

在中，可得：。82+”“2=°”2,

即gBQ,+（BM-|BQ）2=Q〃2,

整理得BM2+BQ2-BM•BQ=QM1.

：.BM2+NC2~BM•NC=MN1.

（选择一个证明即可）

20.（17分）［项目式学习试题］（2024•贵州）综合与实践：小星学习解直角三角形

知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习.

【实验操作】

第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底

部3处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为NA；

第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水.（直线为法

线，A。为入射光线，。。为折射光线）

【测量数据】

如图，点A,B,C,D,E,F,O,N,V在同一平面内，测得AC=20cm,NA

=45°,折射角NDON=32。.

【问题解决】

根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：

（1）求3c的长；

（2）求3,。之间的距离（结果精确到0.1cm）.

（参考数据：sin32°^0.52,cos32°^0.84,tan32°^0.62）

［解］（1）在RtZXABC中，ZA=45°,

/.ZB=45°,：.BC=AC=2Qcm.

（2）由题意可知ON=EC=IC=10cm,

：.NB=ON=10cm.

又：ZDON=32°,

：.DN=ON•tanZDON=10•tan32°^10X0.62=6.2（cm）,

：.BD=BN~DN=10-6.2=3.8（cm）.

21.（17分）［探究题］（2024•内蒙古赤峰）数学课上，老师给出以下条件，请同学们

经过小组讨论，提出探究问题.如图1,在△ABC中，AB=AC,点。是AC上

的一个动点，过点。作DE,3c于点E,延长ED交B4延长线于点F.

请你解决下面各组提出的问题:

⑴求证：AD=AF；

⑵探究器与器的关系：

DEDC

某小组探究发现，当第=9时，下=|;

DC3DE3

请你继续探究：

①当照=9寸，直接写出差的值；

DC6DE

②当*时，猜想会的值（用含机，〃的式子表示），并证明；

DCTlDE

⑶拓展应用：在图1中，过点R作b，AC,垂足为点P,连接CE得到图2,

当点。运动到使乙4中=乙4/时，若,=:,直接写出黑的值（用含机，〃的

式子表不）.

［解］（1）证明：•.♦ABnAC,

ZB=ZC,

'：DE±BC,

：.ZBEF=ZCED=90°,

：.ZF=9Q°-ZB,ZCDE=9Q°~ZC,