2025年上海高考数学二轮复习：大题模拟卷04（原卷版+解析）

大题仿真卷04（A组+B组+C组）

（模式：5道解答题满分：78分限时：70分钟）

*---------A组.巩固提升----------♦>

一、解答题

1.如图，四棱锥尸―ABCD中，B4_L平面ABCD,AB//CD,PA=AB=AD=2,CD=1,ZADC=90°,

⑴求证：CE〃平面PAD；

（2）求点B到平面PCF的距离.

2.已知数歹!J{%}满足log2%+i=l+bg2。"，且4=2.

⑴求生。的值；

⑵若数歹|{4+4}为严格增数列，其中％是常数，求2的取值范围.

an

3.我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x（单位:

dm）与遥测雨量》（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：

样本号，12345678910

人工测雨量占5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23

遥测雨量为5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49

Xf0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26

101010_

并计算得2X=353.6,Xy；=361.7,=357.3,是葭33.62，亍-34.42，孙^34.02.

i=lz=li=l

（1）求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量尤的样本相关系数（精确到0.01）,并判断它们是否具有线性相关

关系；

（2）规定:数组（4％）满足归-引<0.1为“I类误差”；满足%|<0.3为“n类误差”;满足

为“ni类误差”.为进一步研究，该地区水文研究人员从“I类误差”、“n类误差”中随机抽取3组数据与“in类

误差”数据进行对比，记抽到“I类误差”的数据的组数为X,求X的概率分布与数学期望.

£(%-可(》-9)

附：相关系数r=I「,，7304.5«17.4.

位(%一可苣(乂一寸

Vz=li=l

4.己知双曲线「三-f=1,居，尸2分别为其左、右焦点.

45

⑴求耳，F2的坐标和双曲线r的渐近线方程；

(2)如图，尸是双曲线「右支在第一象限内一点，圆c是APK鸟的内切圆，设圆与尸月，PF2,耳月分别切

于点。，E,F,当圆C的面积为4兀时，求直线尸工的斜率；

(3)是否存在过点F?的直线/与双曲线E的左右两支分别交于A,8两点，且使得/£48=/百助，若存在,

求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

5.已知尤>0,记〃x)=e*,g(x)=x*,h(x)=Ing(x).

⑴试将y=/(x)、y=g(x)、y=M尤)中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复合函数；

⑵借助(1)的结果，求函数y=g(2x)的导函数和最小值；

(3)记〃(尤)="X)-'⑴+4+匹。是实常数,函数y=H(x)的导函数是y'=4'(x).已知函数y="(无)(元)

有三个不相同的零点玉、%、X3.求证：xrx2-x3<1.

O----------------B组•能力强化----------♦>

一、解答题

1.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖席.如图，已知四面体尸-ABC中，PAL

平面ABC,PA=BC=1.

(1)若AB=1,PC=6求证：四面体尸-ABC是鳖席，并求该四面体的体积;

(2)若四面体尸-ABC是鳖膈，当AC=a(a>l)时，求二面角A—3C-P的平面角的大小.

2.已知｛4｝是公差为d的等差数列，前九项和为S”,%的平均值为4,%，/，%，/的平均值为12.

2

⑴求证:Sn=n；

⑵是否存在实数使得包对任意

4T<1“eN*恒成立，若存在，求出♦的取值范围，若不存在，请说明

%

理由.

3.烧烤是某地的特色美食，今年春季一场始于烟火、归于真诚的邂逅，让无数人前往“赶烤”.当地某烧烤店

推出150元的烧烤套餐，调研发现，烧烤店成本y（单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设

备损耗等各类成本）与每天卖出套餐数x（单位：份）的关系如下：

X13467

y56.577.58

y与x可用回归方程y=&lgx+g（其中&卷为常数）进行模拟.

参考数据与公式：设/=1改，则

55

Ty之(--9)

«=1i-i

6.8

£日-□(〉厂9)_

线性回归直线y=中，G=J-----------------,b=y-at.

Z=1

O4080120160200箱数

（1）填写表格中的三个数据，并预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元.（利润=售价-成本，结果精确

到1元）

（2）据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增.4月份的连续16天中某品牌饮料每天为该地配送的箱数的频

率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.供货商拟购置“辆小货车专门运输该品牌饮料，一

辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该饮料，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆

车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.若〃=3或4,请从每天的利润期望角度给

出你的建议.

4.已知椭圆C：E+」=1仅＞0),A(0,6),B(0,-&).椭圆C内部的一点过点T作直线AT

交椭圆于M,作直线BT交椭圆于N.M、N是不同的两点.

(1)若椭圆C的离心率是无，求6的值；

2

(2)设的面积是岳，2WW的面积是$2,若餐=5,8=1时，求才的值；

⑶若点。(x“,y“)，满足怎且乂＞%,则称点U在点V的左上方.求证：当■时，点N在点M

的左上方.

5.定义：若曲线G和曲线C?有公共点P,且曲线G在点p处的切线与曲线g在点尸处的切线重合，则称

G与c?在点尸处“一线切，，.

⑴已知圆(*-。)2+/=/(『＞0)与曲线＞=/在点(1,1)处“一线切”，求实数a的值;

(2)设/(x)=\+2x+a,g(x)=ln(尤+1),若曲线，=f(x)与曲线y=g(x)在点尸处“一线切”,求实数。的值;

(3)定义在R上的函数y=/(x)的图象为连续曲线，函数y=/(x)的导函数为y=/'(x),对任意的尤eR,都

Jr(刈州(刈

成立.是否存在点尸使得曲线＞=/(x)sinx和曲线y=1在点尸处“一线切”？若存在,请求

]/(x)|<A/2

出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.

0------c组•高分突破-----------O

一、解答题

1.如图，四边形ABCO是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，E是AC与

的交点，AB=AD,=60°.

A

V,

⑴记圆柱的体积为xT7,四棱锥尸-ABCD的体积为匕，求才；

V2

⑵设点厂在线段”上，PA=4PF,PC=4CE,求二面角尸-CD-夕的余弦值.

2.已知向量a=(2cosx,l),Z?=|-cos|x+/],—1,%£0,—.

⑴若％=求4电；

⑵记”无)=。/，若对于任意和马€0卷，,(占)-/(々)归2恒成立，求力的最小值.

3.为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体

内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组，绘制频

率分布直方图如图所示.实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，这160只小白鼠中的该项指标值不小

于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.

A频率

0.025.............T~।

oO875

7

.SOO0X5

OO6Z5

.O

20406080100指标数

指标值

抗体合计

小于60不小于60

有抗体

没有抗体

合计

(1)填写上面的2x2歹।联表，并根据表中数据及£=005的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产

生抗体与指标值不小于60有关；(单位：只)

(2)为检验疫苗两次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫

苗，结果又有20只小白鼠产生抗体用频率估计概率，记一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率是P,

并以。作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人注射2次疫苗后产生抗

体的数量为随机变量X.求P的值，并求随机变量X的方差.

参考公式：%=(4+b)(c+d)(a+c)S+d)(其中+d为样本谷星)

0.500.400.250.150.1000.0500.025

k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024

22

4.设A,8是双曲线H：会-云=1(。＞0,6＞0)上的两点.直线/与双曲线”的交点为P,。两点.

⑴若双曲线”的离心率是白，且点在双曲线”上，求双曲线H的方程；

22

(2)设A、8分别是双曲线H：*-==1(。＞0力＞0)的左、右顶点，直线/平行于y轴.求直线A尸与8Q

cib

斜率的乘积，并求直线4尸与2。的交点M的轨迹方程；

⑶设双曲线Mx2-y2=l,其中凡一也1),可①1),点M是抛物线C：/=2y上不同于点A、B的动

点，且直线MA与双曲线H相交于另一点尸，直线M2与双曲线H相交于另一点。，问：直线PQ是否恒过

某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由.

5.已知数列｛%｝满足|令-0+1|〈|生+1-令+2](，=1,2,,,"-2).

⑴若数列｛〃“｝的前4项分别为4,2,a3,1,求生的取值范围；

⑵已知数列｛为｝中各项互不相同.令以=|%-。局(加=1,2,求证：数列｛%｝是等差数列的充要条件

是数列也“｝是常数列；

阳一1

(3)已知数列｛%｝是根(机EN且加23)个连续正整数1,2,加的一个排歹(J.若/-=m+2,求

k=l

m的所有取值.

大题仿真卷04（A组+B组+C组）

（模式：5道解答题满分：78分限时：70分钟）

♦>-------A组•巩固提升----------O

一、解答题

1.如图，四棱锥尸—ABCD中，PA_L平面ABC。，ABHCD,R4=A5=AD=2,CD=1,ZADC=90°,

E,尸分别为的中点.

P

⑴求证：CE〃平面PAD；

⑵求点B到平面PCF的距离.

【答案】（1）证明见解析

（2）乎

【分析】（1）设G是E4的中点，连接GE,DG,证明四边形COGE是平行四边形，可得CE//DG,再根据

线面平行的判定定理即可得证；

（2）先证明CFLPb,再利用等体积法求解即可.

【解析】（1）证明：取上4中点G,连接GE、GD,

由于E是尸B的中点，则GE〃/LB,GE=^-AB,

2

由于CD〃AB,CD=-AB=1,所以GEHCD,GE=CD,

2

所以四边形CDGE是平行四边形，所以CE//GD,

由于CEtzPAD上，OGu平面PAD,

所以CE//平面PAD

（2）设点8到平面PCR的距离为〃，

因为R4J_平面A5a）,CPu平面ABCZ）,所以PA_LCF,

由于CD//AF,CD=AF,所以四边形ADCF是平行四边形，

由于NADC=90。，所以CF_LAB,

由于ABPA=A,A3,A4u平面R4B,

所以CP_L平面

又PPu平面所以CFLP产，

在RtAR4/中，PF=d*+f=5所以黑叽=:中"/=石，又S^cF-CF-BF=1.

2

由Vp-BCF=%—PCF得;$△BCF•*孔PCF'h,

Q.P41X2_2A/5

^h=BCF

S.PCF

所以/Z=R1,即点3到平面PCF的距离为其I.

55

2.已知数歹!){/}满足log2%+i=l+log2"“，且4=2.

(1)求旬)的值；

(2)若数列｛。“+4｝为严格增数列，其中4是常数，求2的取值范围.

an

【答案】⑴％。=1024

(2)2<8

【分析】(1)根据对数运算性质可得%+i=2a“，即可判断｛%｝为等比数列，即可根据等比数列的通项求解,

(2)利用作差法可得2<2?向对正整数"恒成立，即可求解.

a,

【解析】(1)log«„=l+loga„,得log?。"]=log2(2a")，故%何=2%,即4=2.

2+12an

又q=2*0,故数列他“｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

从而，0T=2".所以为)=1024.

(2)设数列｛2｝满足b”=a”+—=2"+9，

an2

因为数列｛么｝为严格增数列，

故bn+1-bn=(2向+券)-(2"+§>0对正整数〃恒成立，

即/1<22"M对正整数〃恒成立，

当”=1时，22用取到最小值8.所以4<8.

3.我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量尤（单位:

dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：

样本号i12345678910

人工测雨量为5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23

遥测雨量为5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49

升一,0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26

101010_

并计算得=353.6,^y.=361.7,工％%=357.3,£-33.62-~34,42>xy~34.02.

i=li=li=l

（1）求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量尤的样本相关系数（精确到0.01）,并判断它们是否具有线性相关

关系；

（2）规定：数组满足X-y|<0.1为“I类误差”；满足0」<,—引<。3为“II类误差”；满足1%-引之0.3

为“HI类误差”.为进一步研究，该地区水文研究人员从“I类误差”、“U类误差”中随机抽取3组数据与“皿类

误差”数据进行对比，记抽到“I类误差”的数据的组数为X,求X的概率分布与数学期望.

€（%一可（》一引

附：相关系数厂=/“，7304.5«17.4.

J》—）苣5-W

Vi=li=l

【答案】（1）0.98,汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系；

（2）分布列见解析，号.

O

【分析】（1）根据参考公式和数据，代入求相关系数，即可判断相关性强或弱;

（2）根据条件可知X的所有可能取值为0,1,2,3,再根据超几何分别求分布列和数学期望.

10

2（%-丁）（乂-歹）

［解析］（1）因为'=.

店（%-元）比（%-刃2

V/=1i=l

代入已知数据，

357.3-10x34.0217.13

得r=-［=-1®0.98

^（353.6-10x33.62）x（361.7-10x34.42）V304.5

（2）依题意，“i类误差”有5组，“n类误差”有3组，“in类误差”有2组.

若从"I类误差”和"II类误差”数据中抽取3组，

抽到“I类误差”的组数X的所有可能取值为0,1,2,3.

则…)=lH，P(X=1)爷15

56

尸(X=2)=等C2cl15尸(X=3)=汾105

562855628

所以X的概率分布为

X0123

115155

P

56562828

所以X的数学期望E(X)=lxm+2x冬+3'三==.

5628288

另解：因为X~"(3,5,8),所以E(x)=W=^.

OO

4.已知双曲线「三-反=1,片，尸2分别为其左、右焦点.

45

(1)求乙，尸2的坐标和双曲线「的渐近线方程；

(2)如图，P是双曲线r右支在第一象限内一点，圆c是APK鸟的内切圆，设圆与Pfj,PF2,4居分别切于

点。，E,F,当圆C的面积为4兀时，求直线尸瑞的斜率；

⑶是否存在过点F2的直线/与双曲线E的左右两支分别交于A,8两点，且使得/443=/片氏4,若存在，

求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴月(-3,0),8(3,0),y=土1x

(2)1;

(3)存在，y=±^-(x-3).

【分析】(1)直接根据题干给的双曲线的标准方程求得答案；

(2)由双曲线的定义以及切线的性质可得圆的半径r=2,再借助于点到直线的距离公式求直线尸工的斜率；

(3)假设存在直线I,由"B="BA得由A|=山内，取45的中点M，则也心=-1,进而得需+4=9；

又利用:2得4y：=5焉-15不，于是联立方程组可得〃的坐标，从而得到直线/的斜率并得出直线/

五一互=1

,45

的方程.

22

【解析】(1)因为双曲线厂土-匕=1,所以片=4万=5,所以c=3,

45

即耳(—3,0),其(3,0),

所以双曲线「的渐近线方程是y=±@x;

2

(2)由题意可知|尸。1=1PEI,1)|=|耳尸|,\F1F\=\F1E\,

所以1尸耳191=(1尸0+］。用-(1尸©+|%|)4期|-|%目?用-|房|=2〃=4,

二尸(2,0),即尸是椭圆右顶点

设圆C的半径为厂(厂＞。)，因为圆C的面积为4兀，贝!］兀r=4兀，即r=2,

CFIF^,

...设直线尸工的斜率为上,则直线尸弱的方程为＞=MX-3),^kx-y-3k=0,

由圆心C到直线尸工的距离等于圆的半径,

\2k-2-3k\

可得=2,

J/+1

4

解得直线尸居的斜率为k=g

(3)假设存在过点F2的直线/与双曲线E的左右两支分别交于A,8两点，且使得/々AB/F】BA,

设B(x2,y2),A3中点为M5,%),又月(-3,0),苞(3,0),

由Nf;A3=Nf;R4,可知AKAB为等腰三角形，|丹川=|片3|,且直线/不与无轴重合,

于是耳M_LA8,即片

上.人=一1

因此左F［M'—1，¥+y：=9(i),点A,B在双曲线r上,

玉)+3XQ—3

T=i①

4

所以2

2

尤2上=1②

.45

%M%_5

①一②化简整理得:%%=5

xx-x4

玉+%2%一%24012

则讨就《可得登己［，化=5"15/(11),

|婷+叶=944»旅

联立(I)(II)得2=3君-5%-12=0,得无()=一］或%=3(舍)，所以M—•)--------

14%2=5X0-15X033

由服/=：，得鼬=士等，所以直线/的方程为好士等。-3).

【点睛】关键点点睛：针对类似于/片48=/片胡的角度问题，一般情况下会转化垂直问题，再结合垂直

时的斜率之积为-1即可解决问题.

5.已知尤>0,记〃尤)=e*,g(x)=x1,/z(x)=Ing(尤).

⑴试将y=/(x)、y=g(x)、y=中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复合函数；

⑵借助(1)的结果，求函数y=g(2x)的导函数和最小值；

(3)记H(x)="无)一"⑴+J+”，。是实常数,函数y=H(x)的导函数是y'=H'(x).已知函数y="(无)•〃'(尤)

X

有三个不相同的零点玉、马、F.求证：%•3•马<1.

【答案】(l)g(x)=/(Mx))

(2)g'(2x)=2(2x)”(ln2x+l),最小值为

(3)见解析.

【分析】⑴直接计算>="x))=V=g(x)即可；

(2)利用复合函数求导法则得，(2x)=2(2x)2Xln2x+l),再结合导数和函数最值的关系即可得到答案；

(3)首先求出“，(x)=(e'+,(xT),求出其单调性，假设4=1,再利用函数K(x)=H(x)的单调

性即可证明.

［解析］(1)y=f(/i(x))=e,,(x)=e~=elnx，=**=□=g(x)

(2)利用复合函数的求导法则可求得g'(2x)=2(2x)2，(ln2x+l),

令g'(2x)=2(2%)2l(ln2x+l)=0，可求得：

令g'(2尤)=0,x>0,/.(2x)2x>0,所以ln2x+l=0,

解得2x=J,当0<2x</时，g'(2x)<0,此时g(2x)单调递减，

当2元时，g'(2x)>0,此时g(2x)单调递增，

1

所以函数y=g(2x)的最小值为估下.

(3)H(x)-----------------F尤+〃=---1nx+%+a

XX

由/r(x)=^^」+i/(i)jx+x2=3+犬卜一1),

XXX尤

,x>0,.\ev+x>0,

令”(x)>0,解得尤>1,此时H(x)单调递增，

令a'(x)<0,解得x<l,此时“(%)单调递减，

因为函数>="。>"'。)有三个不相同的零点和马飞.

而3=〃'(尤)的零点为1,不妨设鼻=1,则，=印》的零点为八,尤2.

不妨设占〈尤2,则°<尤1<1<%,>1，*(%)=»(%)=0.

玉

令K(x)=8(x)-

11112.(1)

令p(x)=e'+尤一xej，则(x)=e"+1-e-7=e'+1+,

所以当xe(0,1)时,p，(x)>0,所以当xe(0,1)吐p(x)是严格单调递增的，

所以当无e(0,1)时,p(x)<p(l)=0,

所以当xe((U)吐K'(x)>0,

则K(x)=H(x)-H(J在(0,1)上单调递增，

所以在(0,1)上，K(x)=8(x)-X]£]<K⑴=0,所以理为)-〃\<0.

(1、

又〃(%)="(苍)=0,所以8优)一方-<0,

I石J

即

又函数y=H(x)在(1,+8)上单调递增，所以％<J,

即xtx2<1.

综上,芯马龙3<1.

【点睛】关键点睛：本题第三问的关键需要求出函数"(X)的单调性，再得到其导函数的零点，从而得到三

个零点中的一个具体值，再假设W=l,则题目转化为证明尤2再次构造函数K(x)="(x)-利

用导函数得到其单调性，从而证明不等式成立.

*>-------------B组•能力强化----------O

一、解答题

1.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈.如图，已知四面体尸-ABC中，PAL

平面ABC,PA=BC=1.

(1)若AB=1,PC=V3,求证：四面体P-ABC是鳖膈，并求该四面体的体积；

(2)若四面体尸-ABC是鳖膈，当47=。(。>1)时，求二面角A—3C-P的平面角的大小.

【答案】⑴证明见解析，VP_ABC=1

6

(2)arctan———-或arctan—

a2-la

【分析】(1)借助线面垂直证明面面垂直，结合题目所给长度，运用勾股定理证明四面全为直角三角形即

可，体积借助体积公式计算即可得；

TTTT

(2)根据题意，会出现两种情况，即=x或44圆=彳，分类讨论计算即可得.

22

【解析】(1)平面ABC,AB.ACu平面ABC,

:.PA±AB>PA±AC,

:.APAC,为直角三角形，

在直角，己4c中，|的=叫=及,

在直角中，|产耳=JPA2+PB2=血,

.,.在VABC中，有|AC「=|AB『+|BC「，

.-.AB1BC,故VABC为直角三角形，

在△_?3c中，有|PC『=|P3『+|BC「，

故PBL3C,故△P3C为直角三角形,

故四面体P-ABC四个面都是直角三角形，即四面体P-ABC是鳖膈，

VP-ABC=3^.ABC•I尸H=§X5Xlxlx1=];

（2）Q4_L平面A5C,5Cu平面ABC,

.\PA±BCf

由AC=a>l=AB,

故一朋C不可能是直角，

TT

若NA8C=],则有AB_LBC,

又PA_LBC,PA.ABu平面PAAB=A,

故BC_L平面F4B,又尸3u平面P4B,

故3cl.P3,

，//郎是二面角人一台^^-2的平面角，

2

QAC=a,BC=1,AB=Va-1>..tanZPBA=^J_;

所以二面角A-3C-P的平面角的大小为arctan四三.

a2-l

若ZAC3=],

同理可得ZACP是二面角A-BC-P的平面角，

Ap1

所以tanZACP==；=一,

ACa

所以二面角的平面角的大小为arctan-,

a

综上所述，二面角A-BC-P的平面角的大小为诋3旺I或arctanl.

a2-la

2.已知｛〃〃｝是公差为d的等差数列，前〃项和为5“,％,%,。3，。4的平均值为4,%,〃6，%，。8的平均值为12.

2

⑴求证：Sn=n；

⑵是否存在实数上使得4包T<1对任意〃eN*恒成立，若存在，求出t的取值范围，若不存在，请说明

an

理由.

【答案】（1）证明过程见解析；

（2）不存在，理由见解析

【分析】（1）由等差数列通项公式基本量计算得到公差为2,首项为1,从而得到前n项和；

（2）假设存在/,使3—<1对任意"CN*恒成立，变形为二</<二+2对任意“eN*恒成立，结

an2几-12n-\

2

合当〃EN*时，0<------<2,求出，>2且,42,因此符合题意得，不存在.

2n-l

【解析】（1）由题意得：■+%+%+%—q+电+/+。4=44=8,解得：d=2,

44

由q+〃2+/+4=4%+6d=16,解得：%=1,

c〃（九一1）,

所以——--d=n+n9-n=n9；

（2）假设存在t,使4包T<1对任意〃eN*恒成立，

an

则一1</一[1+2]<1对任意〃€N*恒成立，

Ian）

22

即<t<---+2对任意N*恒成立，

2n-l2n-lne

2

当〃eN*时，0<；^W2,

2”一1

所以r>2且芯2,因此符合题意得/不存在，证毕.

3.烧烤是某地的特色美食，今年春季一场始于烟火、归于真诚的邂逅，让无数人前往“赶烤”.当地某烧烤店

推出150元的烧烤套餐，调研发现，烧烤店成本y（单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设

备损耗等各类成本）与每天卖出套餐数无（单位：份）的关系如下：

Xi3467

y56.577.58

,与x可用回归方程y=&lg尤+B（其中白花为常数）进行模拟.

参考数据与公式：设;Igx,则

TyZ&-7）（%-歹）

Z=1i=l

6.8

七（-）（%-歹）_

线性回归直线y=〃+5中，&=「----------f-正.

su-n2

i=\

O4080120160200箱数

（1）填写表格中的三个数据，并预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元.（利润=售价-成本，结果精确

到1元）

（2）据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增.4月份的连续16天中某品牌饮料每天为该地配送的箱数的频

率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.供货商拟购置九辆小货车专门运输该品牌饮料，一

辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该饮料，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆

车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.若〃=3或4,请从每天的利润期望角度给

出你的建议.

【答案】（1）表格见解析，3236（元）

（2）建议购买3辆车

【分析】（1）根据表格与参考公式计算数据补全空并求出回归方程、估计成本即可；

（2）由频率分布直方图得出送货箱数的概率，再由离散型随机变量的分布列与期望公式得出购3辆车和购

4辆车时每天的利润的分布列，比较期望大小即可.

【解析】（1）由表格及公式通过计算器可计算得彳=坨1+33++坨6+坨7=段要-0.54

补全填空如下:

5

£5包一亍）（歹）2

7yy-za-n

Z=1Z=1

0.546.81.530.45

5

根据题意，&=口----------S,

su-n2

Z=1

所以成=歹一应彳=6.8—3.4x0.54=4.964

所以y=3.4+4.964,

又t=lgx,所以y=3.41gx+4.964,

所以x=100时，y=6.8+4.964=11.764（千元）,

即卖出100份的成本为11764元，

故利润15000—11764=3236（元）.

(2)根据频率分布直方图，可知送货箱数的概率分布表为:

箱数[40,80）[80,120）[120,160）[160,200]

11£

P

8428

设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为几B元,

则乂的可能取值为1500,800,100,其分布列为：

X1500800100

511

P

848

feE（y,）=|xl500+^x800+|xl00=1150,

右的可能取值为2000,1300,600,-100,其分布列为:

20001300600-100

111

P

8248

^E（K）=-x2000+-xl300+-x600+1ix（-100）=1037.5<E（1；）,

8248

即购置3辆小货车的利润更高，建议购买3辆车.

4.已知椭圆C：E+上=1仅>0),4(0,6),3(0,询.椭圆C内部的一点H«>0),过点T作直线AT

交椭圆于M,作直线BT交椭圆于N.M、N是不同的两点.

(1)若椭圆C的离心率是无，求6的值；

2

(2)设△BT河的面积是航，AA77V的面积是S2,若曾=5,8=1时，求，的值；

(3)若点U(x“,y")，V(%,%)满足工“<%且为>»,,则称点U在点V的左上方.求证：当■时，点N在点M

的左上方.

【答案】(1)6的值为1或4

(2)1

(3)证明见解析

【分析】(1)分0<6<2,2两种情况结合离心率计算式可得答案；

(2)联立直线AM的方程与椭圆方程可得与，联立直线珈的方程与椭圆方程可得结合图形可得

q-\TB\\TM\sinZBTMq2Q

誉=]-----------------，后结合NB7M+ZA77V=兀，及弦长公式可得f=/,即可得答案;

»^\TA\-\TN\-sinZATN»1+1

(3)联立直线与椭圆方程可得尤M，XN,后结合在椭圆内部可得“,大小，又由题意可得为,W大

小，即可证明结论.

【解析】⑴因为椭圆C的离心率是g

当。<b<2时，乐苧’得i

当b>2时，旦二炉N,得6=4；

2b

所以6的值为1或4；

(2)由题意，直线A4的斜率幻”存在，直线的斜率上皿存在,

k上」,直线AM的方程尸-白+1,设MM%).

A"t2t

2

t+124?

则早=0=>无M

11r+1

y二一五况+i

尢上一上,3

直线BN的方程1五-I，设NQN，%).

丫2

T+^=1

t2+923XN_12?

则~=^^XN=

3]t2+9

k五Xi

^\TB\-\TM\-sinZBTM

由图,

||L4|-|7W|-sinZA77V

注意到ZBTM+ZATN=£，则sinZ.BTM=sinZATN.

2

又健+

附=H+=博-4|>\TM\=J1+="一XM

4r/-3t

2

klt+i7TT*+9

5=/=1

IK4I-I7NI-|x-xjx-x|ntt3-3t7TT

rrwt---5----

klr+9产+9

(3)由题意，直线AM的斜率心”存在，直线的斜率%v存在,

二一〃1-2〃

,_2_-2b,直线AM的方程y=fx+。，设M(天”，加).

一1-26

y=2t而+(l-2b]2+b2t2246(1-26)4b(2b-1)t

则22------------7i-----^+―一工=0n无M

迎+也=1tt

、4b2~

_；+”l+2b,直线BN的方程y=?x-b,设NGNQN).

“丁一丁2t

2(

(I+2&)+&¥246(1+26)4b2b+1)t

则72*N/=°n/

(i+2冲2+甘干

又根据题意知后＞；,；＞为,所以%＞1＞为.所以当•时，点N在点M的左上方.

【点睛】关键点睛：本题涉及由离心率求参数，椭圆中的面积问题，及椭圆新定义，难度极大.(1)因不知

焦点位置，故需分情况讨论；(2)问关键是用得到f关于l的表达式；(3)类似于(2),可得知，赤，后

d2

利用作差法即可比较大小.

5.定义：若曲线G和曲线G有公共点p且曲线3在点p处的切线与曲线。2在点尸处的切线重合，则称

G与c?在点尸处“一线切”.

⑴已知圆(*-。)2+丁=/&＞0)与曲线,=/在点(1,1)处“一线切”，求实数。的值;

⑵设/(x)=V+2x+a,g(x)=ln(x+l),若曲线y=/(x)与曲线y=g(x)在点尸处“一线切”，求实数a的值;

(3)定义在R上的函数y=/(x)的图象为连续曲线，函数y=/(x)的导函数为y=f(x),对任意的xeR,都

!/(刈邛(刈

成立.是否存在点尸使得曲线＞=