2025年鲁教版五四制九年级数学上册第二章综合检测试卷及答案

第二章综合素质评价

一、选择题（每题3分，共30分）

1.cos30°的值为（）

1

AV3RcV3D

22-3

2.在△/回中，ZC=90°,若sin4=；,则cos8的值为（）

1A/2A/3

A-B.^~C.2D.TT

3.如图，在由边长相等的小正方形组成的网格中,点、A,B,C,D,£都在网格的格点上,

则的正弦值为（

4.如图，一艘海轮位于灯塔夕的北偏东55°方向上距离灯塔夕6海里的/处，若海轮沿正南

方向航行到灯塔尸的正东方向，则海轮航行的路线/刀的长是（）

A.6海里B.6cos55°海里C.6sin55°海里D.6tan55°海里

5.如图，ZACB=45°,ZPRQ=125°,AC=PR=3,△/以底边6。上的高为A,△时?底边

上的高为演则有（

A.h、=hz

B.hKhz

C.h;h?

D.以上都有可能

6.如图，窗子高AB=mm,窗子外面上方0.2m的点。处安装水平遮阳板CD,且5=1m,

当太阳光线与水平线夹角。=60°时，光线刚好不能直接射入室内，，则勿的值是

（）C,_

V

1mm/

[/

A.^3+0.8B.73+0.2

C.—0.2D.—0.8

7.如图，一架飞机在点/处测得水平地面上一个标志物P的俯角为a,水平飞行/千米后到

达点8处，又测得标志物刀的俯角为£,那么此时飞机离地面的高度为（）

ManQtanJ3一、,

A.-——----千米r

tanP一tana

ManQtanB▼、“

B------;——^千米

tanci—tanP

c-------%一^千米

tana—tanP

D-一总-----千米

tanP—tana

（第74）（第8题）

8.如图，利用四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”中，小正方形的面积是1,大正方

形的面积是25,直角三角形中较大的锐角为£,则tan£的值为（）

9.如图，在平面直角坐标系中，点N,6分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点。在加上,

OCOB=13,连接NC,过点。作冰〃"交"'的延长线于点夕.若点夕的坐标为（1,

1）,则tanN月CO的值是（）

11

A.-B.3C.-D.2

O乙

2

10.[2025•潍坊诸城市模拟]如图，将菱形纸片力皿沿过点。的直线折叠，使点。落在射线

。上的点£处，折痕。5交”于点夕.若N"C=30°,小=4,贝I]以=()

A.册一书B.2y[6-2y[2D.2班+2*

二、填空题(每题3分，共18分)

11.在△A56'中，若个sin/一1十(tan2?-1)2=0,则NC=.

60

12.如图，点—(12,a)在反比例函数y=—(x〉0)的图象上，方_Lx轴于点〃，连接冰，则tan

X

N/W的值为.

13.如图，在RtZkZ■中，ZACB=9Q°,〃是的中点，过〃点作/方的垂线交/C于点名

4

AC=16,cosA=~,则4F的长为.

5

14.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2仍米，则这

个坡面的坡度为.

15.如图，某建筑物的顶部有一块标识牌5，小明在斜坡上的8处测得标识牌顶部。的仰角

为45°,沿斜坡走下来在地面上的/处测得标识牌底部。的仰角为60°,已知斜坡47的

坡角为30°,AB=AB=IQm,则标识牌切的高度是.

3

b

(第16M)

16.已知三条平行线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行

线上的三角形称为格线三角形.如图，已知等腰直角三角形NW为格线三角形，且N&C

=90°,那么直线笈与直线c所夹锐角a的正切值为.

三、解答题(17〜19题每题8分，20题10分，21,22题每题12分，23题14分，共72分)

17.计算：

(1)cos45°—|tan30°sin600+cos230°；

(2)(sin30°)1X(sin60°—cos45°)一^\J(1—tan60°)2.

18.[2025•泰安校级月考]根据下列条件解直角三角形.

(1)在低△力8。中，ZC=90°,6=5,c=10；

(2)在中，ZC=90°,N力=30°,SAABC=20y[3.

4

3

19.如图，在中，回心5,sinZ^=-

(1)求a'的长；

⑵龙是力。边上的高，请补全图形，并求应'的长.

20.山东夏津黄河故道的古桑树群因其在防沙治沙、生物多样性保护、生物资源利用和农业景

观维持等方面具有多功能价值，被联合国粮农组织收录为“全球重要农业文化遗产”，如

今以古桑树群为核心不断滋养和丰富着夏津的文化成果和农业发展.五一期间，刘老师带

领数学兴趣小组的同学们对其中一棵桑树的高度进行了相关测量.如图，他们先在地面上

的4处测得桑树树顶。点的仰角为34°,然后向桑树的正下方前进6米后到达6处，测得

桑树树顶。点的仰角为45°,已知测角仪的高度为1米，请你根据相关数据计算出桑树的

高度.（结果精确到1m.参考数据：sin34°^0.56,cos34°^0.83,tan34°^0.67）

5

21.[2025•潍坊潍城区月考]如图，某公园中的四个景点铺设了游览步道（步道可以骑行），组

成一个四边形/灰〃为了方便，在景点。的正东方向设置了休息区弘其中休息区〃在景

点/的南偏西30°方向1600米处，景点力在景点8的北偏东75°方向，景点8和休息

区〃相距100端米（N力跳90°）,景点。分别在休息区欣景点力的正东方向和正南方

向.

（1）求步道AB的长度（结果保留根号）；

⑵小明和小莹骑共享单车到景点/游玩，他们同时从休息区〃出发，小明沿人方一/路线,

速度为每分钟300米；小莹沿尸。一/路线，速度为每分钟200米.请通过计算说明，小

明和小莹谁先到达景点4（参考数据：隹q1.4,gl.7）

北

22.【知识再现】如图①，在忒△/以中,ZC=90°,ZJ,ZB,NC的对边分别为a,b,c.

abab.ab

VsinA=isinB=—,Ac=----

ccsinAsinE•,sinAsinB

6

【拓展探究】如图②，在锐角三角形/以中，ZJ,/B,NC的对边分别为a,b,c.

请探究一三，一」二7之间的关系，并写出探究过程.

sinAsinbsinC

【解决问题】如图③，为测量点/到河对岸点6的距离，选取与点/在河岸同一侧的点C,

测得月C=120m,ZA=75°,NC=60°.请用拓展探究中的结论，求点/到点8的距离.

7

23.根据以下素材，探索完成任务.

探究纸伞中的数学问题

我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图

素①，NP是伞柄，伞骨且

材AE=~AB,AF=^:AC,〃为伞圈，DE

OO

11

=DF.伞完全张开时N&C=120°

伞圈。能沿着伞柄滑动，如图②是A

素完全收拢时伞骨的示意图,此时伞如)

材圈〃滑动到)的位置，且N,E,疗

2D'三点共线，测得=50cm,P

力£=20cm(参考数据：勺24.5)

学习小组的同学经过研究发现:雨

往往是斜打的，且都是平行的.如

图③，某一天，雨线阴与地面的小C

B

夹角为70°,小明站在完全张开

素H

的伞的伞圈。的正下方G处，记为P

材

GH,此时，发现身上被雨淋湿，测

3

得阴=180C^BNLMN)(参考数产

据：tan70°^2.747,sin70°fGM

③

^0.940,cos70°^0.342,y

1.732)

问题解决

任

(1)求证：NP是N&C的平分

务判断NP的位置

线；

1

任

(2)当伞从完全张开到完全收

务探究伞圈移动的距离

拢时，求伞圈。移动的距离；

2

8

(3)求伞至少向下移动多少厘

任

米，才能使小明站在G处时身

务拟定撑伞方案

上不被雨淋湿.(直接写出答

3

案，结果精确到0.1cm)

9

答案

、LA2.A3.D4.B

B【点拨】如图，分别作出两个三角形的高4,A.

§：

125"一上

R

O

'：ZACB=4：5,AC=5,：.h,=AC*sin450=5sin45°.VZW=125°,PR=5,：.h2

=PR-sin(180°-125°)=5sin55°.Vsin55°>sin45°,:.h〉h«

7.A【点拨】作心"交居于点C,...gE,BC=—,：,m=AC-BC=-

8.A【点拨】由题意知，小正方形的边长为1,大正方形的边长为5.设直角三角形中较短直

角边的长为x,则有（l+x）2+f=25.解得x=3（负值不合题意，已舍去），较长直角边

4

的长为x+1=4,tan=-

o

i句、OCCPOC1CP1,

9.B【点拨】'：OP//AB,.•.,=”：％：的=1：3，不过点刀作轴

DbACDUZACN

于点0,易知。。〃尸0,：.0Q\AO=CP\AC=1：2,ZACO=ZAPQ.VP（1,1）,：.PQ=OQ=

AQ

1,A0=20Q=2,.,.AQ=3,tanZAPQ=~^=3,tanXACO=tanXAPQ=3.

10.D【点拨】作"，"于E：四边形力皿是菱形，ZABC=30°,：.ZD=30°,AD=CD,

180°—/D

:./DAC=/DCA=---------=75°.由折叠的性质可知，/£=/〃=30°,:./APE=/

物c—N£=45°,...易得/尸=抨=/。・cos45°=2*,：.EF=~~~：.PE=

PF+BF=2y[2+2^6.

10

。5251

一、11.10512.-13.-14.—

15.(15—5m)m【点拨】过点8作〃人必交班的延长线于点弘过点8作冽U2于点儿

由题意知庞，力£,.•.四边形砌卯为矩形，：.BN=ME,9三飒在中，49=10m,

ZBAM=30°,：.AM=AB*cosZBAM=5\[3m,BM=AB-sin/BAM=5m.在Rt△力庞中，

AE=10m,/DAE=60°,:.DE=AE•tanN%£=

10mm.在中，BN=ME=AE+AM=(10+5A/3)m,Z6W=45°,：.CN=BN-tan

Z6W=(10+5-\/3)m.,：EN=BM=^m,...5庞=10+5^+5—10函=(15—

5^/3)m.

16.|【点拨】

I/

c_

如图，过点8作废La于点E,延长旗交直线c于点F,过点。作々aa于点D,则N如

=//座=90°.设平行线a,6间的距离为，由a〃6〃c,相邻两条平行线间的距离相等，

易知"CD=2d,BE=BF=d.,：ZCAB=90°,N如=90°,：.ZDCA+ZDAC=90°,

jZDCA=NEAB,

ZEAB+ZDAC=90°,I.N2O=N£46.在△曲和△力破中，｛NCDA=NAE8,:.XCDA

VAC=AB,

手△力幽(AAS)./.AE=CD=2d,AD=BE=4.,.易得CF=DE=AE+AD=2d+d=3d.'：BF=d,

BFd1

'an0=清犷亍

11

18.【解】⑴根据勾股定理可得对二m=54，

a5mA。

VsinA=-=^~=^~/3,：.ZA=6Q°,

c102

.•.N£=180°-ZC-ZJ=180°-90°-60°=30°.

(2)'：ZC=9Q°,N力=30°,.•.N6=180°-ZC-ZA=180°-90°—30°=60°

tan8=tan60°=~=^3,b=-\[3a.

*.*S^ABc=^ab=~a•-^3a=20\[3,

a=2^/10,b=-\/3a=2'\[3Q,

c=.a?+A=4，I3.

19.【解】(1)如图，过点/作4aBe于点〃

一Aq3

在Rt△力劭中，'：AB=5,sir\ZABC=~,

5

3

'.AD=AB,sinNA5C=5X『=3,

5

.•.劭=占=？=4.

'：AB=AC,ADLBC,：.BC=2BD=8.

⑵补全图形如图所示.

'：AB=AC,：.AACB=AABC,

3

sin^ACB=sinAABC=~.

5

324

:.BE=BC•sinZ^C®=8X-=—

55

12

20.【解】连接）并延长交功于点瓶由题易得，EMLCD,AB=EF=6米,BF=DM=1米,

设QUx米，

VZW=45°,:.FM=CM=x米.

,砂=6米，.•.^^（x+6）米.

.,。CMx

在A中，/CEM=34°,.*.tanZ6W^tan34°o=—67,

MEx+6

，ml2.2,即2米，

/.CD=CM+MD^\2.2+1心13（米）.

答：桑树的高度约为13米.

21.【解】（1）由题意得，ZDAM=30°,ZBAD=75°,ZD=90°,441600米，BM=\000^2

米，

:./BAM=/BAD—/DAM=73°-30°=45°.

过点〃作磔，N8于〃则=/嬲仁90°,

：.ZAMH=18Q°-90°-45°=45°=ZBAM,

：.AH=MH=AM*sin45°=1600X坐=800镜（米），

/.=N（］000的—（80球产=600陋（米）,

/.AB=AH+BH=80（h/2+600-72=140球（米）.

答：步道N8的长度为1400明米.

（2）'：AM=\600米，ZDAM=30°,N〃=90°,

：.DM=^AM=8QQ^z,AD=AM>cos30°=1600X平=800第（米），

路线M-D-A的路程为MD+AD=（800+800m）米，

•••小莹到达景点4所用的时间为（800+80。45）+200=4+4*40.8（分钟）.

•路线―6—N的路程为姐+"=1000^2+140（h/2=2400镜（米），

・•.小明到达景点/所用的时间为2400^2+300=8/=11.2（分钟）.

V10,8<11.2,

13

・•.小莹先到达景点4

22.【解】【拓展探究】作切，”于点〃4£，比■于点£

AEAE

在低△/庞中,B=^=-

CDCDCDCDAEAE

同理,sin=­，sinZ^4C=~=~,sinZBCA=~T^=~T.

bCaACbACb

/.AE=csinB,CD=asinB,CD=bsin/BAC,AE=Z?sinNBCA,

/.csinB=bsinXBCA,asinB=bsinXBAC.

bcab

sinBsinABCA9sinABACsinB

.abc

,sinABACsinBsinABCA

【解决问题】在△/■中，Z^=180°-ZA-Z