2025年上海高考数学二轮复习：热点题型1 空间向量与立体几何（原卷版+解析）

热点题型•解答题攻略

专题01空间向量与立体几何

♦>----------题型归纳•定方向-----------*>

题型01直接求线面角...........................................................................2

题型02根据条件求线面角.......................................................................3

题型03根据条件求线线角.......................................................................5

题型04直接求二面角...........................................................................5

题型05根据条件求面面角.......................................................................6

题型06空间中的距离问题.......................................................................8

题型07存在性问题.............................................................................9

题型08其他问题..............................................................................10

♦>----------题型探析・明规律----------*>

【解题规律•提分快招】

1、求空间几何体的体积的常用方法

公式法规则几何体的体积，直接利用公式

把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则

割补法

的几何体

等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积

2、求空间几何体的表面积方法归纳：

(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.

(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和.

(3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理.

3、证明平行关系的常用方法

熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键.面面

平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法.

4、(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.

(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质

进行推理论证.

5、(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点

的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).

(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.

题型01直接求线面角

JT

【典例1-1].（2024•上海•三模）如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面丛8,平面ABC。，AD//BC,ZABC=-,

2

PA=PB=3,BC=1,AB=2,AD=3,点。是AB的中点.

⑴求证：POVCD-,

（2）求直线CP与平面POD所成角的正弦值.

【典例1-21.（2022•上海•模拟预测）如图所示三棱锥P-A3C,底面为等边三角形A3C,。为AC边中点,

（1）求三棱锥P-A8C的体积；

（2）若/为BC中点，求与平面刑C所成角大小（结果用反三角数值表示）.

【变式1-1].（2024•上海徐汇.二模）如图，D为圆锥的顶点，。是圆锥底面圆的圆心，AE为圆。的直径,

S.AE=AD=4,VA3C是底面圆。的内接正三角形，P为线段。。上一点，且DO=®O.

（2）求直线PB与平面PCE所成角的正弦值.

【变式1-2].（2023•上海普陀・三模）如图，在四棱锥C-ASED中，正方形A5ED的边长为2,平面ABED,

平面ABC,且3C_LAC,AC=石，点G,F分别是线段EC,BD的中点.

⑴求证：直线Gb〃平面ABC；

（2）求直线GF与平面由汨所成角的大小.

【变式1-31.（2023•上海虹口•三模）已知圆锥的顶点为S,底面圆心为O,半径为2,母线SA^SB的长为2及，

NAO3=90。且M为线段A8的中点.

A

⑴证明：平面SOM1平面SAB；

⑵求直线SM与平面SQ4所成角的大小.

题型02根据条件求线面角

【典例2-1].（2024・上海虹口二模）如图,在三棱柱48<7-4瓦。1中，CA^CB,。为AB的中点，CA=CB=2,

cq=3.

⑵若CG，平面ABC,点尸在棱AA上，且如，平面2（。，求直线CP与平面耳⑦所成角的正弦值.

【典例2-2].（2024.上海.模拟预测）如图为正四棱锥P-ABCD,。为底面ABCD的中心.

（1）若AP=5,A。=3应，求cPQ4绕PO旋转一周形成的几何体的体积；

⑵若AP=AD,E为PB的中点，求直线即与平面AEC所成角的大小.

【变式2-1].（2024.上海奉贤.三模）如图，四棱锥P-ABCD的底面是梯形，AD//BC,AB±BC,AB=BC=1,

PA_L平面ABC。，CDLPC.

⑴求证：CD,平面P4C

jr

（2）若二面角P-CD-A的大小为w，求与平面PAC所成的角的大小.（结果用反三角函数值表示）

【变式2-21.（2024高三下.上海.专题练习）如图，在圆柱中，底面直径A3等于母线AD,点E在底面的

（1）求证：AF1DB；

（2）若圆柱与三棱锥D-4狙的体积的比等于3万，求直线DE与平面所成角的大小.

【变式2-3].（2024•上海.模拟预测）如图，多面体ABCDEF是由一个正四棱锥A-3CDE与一个三棱锥

F-ADE拼接而成，正四棱锥A-3CDE的所有棱长均为3&，且AR//CD.

（1）在棱DE上找一点G,使得平面ABC,平面A/G,并给出证明；

⑵若AF=^CD,求直线与平面ABC所成角的正弦值.

题型03根据条件求线线角

【典例3-1].（2024高三.上海.专题练习）如图，在四棱锥尸-ABCD中，已知底面ABCD为矩形，侧面尸4）

是正三角形，侧面上4£>_L底面ABCRM是棱的中点，AD=2.

B

（1）证明：AM_L平面尸CD

7T

（2）若二面角M-8C-O为:，求异面直线AB与PC所成角的正切值.

【变式3-1】.（2024•上海宝山・二模）如图，已知点尸在圆柱。。।的底面圆。的圆周上，为圆。的直径.

(1)求证：BP1\P.

（2）若Q4=2,/BOP=60°,圆柱的体积为16信，求异面直线AP与入出所成角的大小.

题型04直接求二面角

【典例4-1].（2024・上海•一模）三棱柱A8C-A与C中，平面ABC,AAB=BC=1,

朋=2,NABC=90。。为CG中点.

B

⑴求四面体A-ABO的体积：

⑵求平面ABD与ACB,所成锐二面角的余弦值.

【变式4-1】.（2024•上海金山・二模）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABC。（及其内部）以A3

边所在直线为旋转轴旋转120。得到的，点G是。尸的中点，点、P在CEE异面直线族与AD所成的角是30。.

⑵若AB=3,AD=2,求二面角E-AG-C的大小.

题型05根据条件求二面角

【典例5-1].（2024•上海•模拟预测）如图，PA.PB、PC为圆锥三条母线，AB=AC.

（1）证明:R4_L3C；

⑵若圆锥侧面积为百为底面直径，BC=2,求二面角3-R4-C的大小

【典例5-2】.（2024•上海•三模）如图，在三棱锥尸—ABC中，AB=BC=3瓜R4=P3=PC=AC=6,

点。是AC的中点.

⑴证明：POJ_平面ABC；

⑵点M在棱BC上，且求二面角"-丛-C的大小.

【变式5-11（2024高三・上海•专题练习）如图,在三棱柱ABC-44G中，平面ACC^，平面ABC,ABLBC,

四边形ACC,A是边长为2的正方形.

B

⑴证明：BC_L平面AB耳4；

(2)若直线AC与平面山珥A所成的角为30。，求二面角8-4C-A的余弦值.

【变式5-2】.(2024高三・上海・专题练习)小红同学利用计算机动画演示圆柱的形成过程，将正方形ABC。

绕直线A3逆时针旋转与弧度时,。到达EF的位置,得到如图所示的几何体.

B

(1)求证：平面ACF_L平面瓦汨；

(2)若M是。尸的中点，求二面角C-AM-E的正弦值.

【变式5-3].(2023•上海浦东新•模拟预测)如图，直三棱柱ABC-ABC内接于圆柱，AB=AAl=BC=2,

平面ABC，平面A41g出

B,

⑴证明：AC是圆柱下底面的直径;

⑵若〃为AG中点，N为CG中点，求平面A8C与平面所成二面角的正弦值.

【变式5-4】.(2023・上海奉贤•一模)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈.如

图，已知四面体P-ABC中，PA_L平面ABC,PA=BC=1.

p

（1）若AB=1,PC=6,求证：四面体P-ABC是鳖膈，并求该四面体的体积;

（2）若四面体尸-ABC是鳖膈，当AC=a（a>l）时，求二面角A—3C-P的平面角的大小.

【变式5-5].（2024•上海黄浦.二模）如图，在四棱锥尸-ABCZ）中，底面A2CD为矩形，点E是棱尸。上

的一点，依〃平面AEC.

⑴求证：点E是棱的中点；

⑵若PAL平面A2CD,AP=2,AD=2日PC与平面所成角的正切值为g,求二面角D-AE-C的

大小.

题型06空间中的距离问题

【典例6-1].（2023・上海崇明•一模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA_L平面ABC。，AB//CD,

PA=AB=AD^2,CD=\,ZADC=90°,E,尸分别为PB,AB的中点.

⑴求证：CE〃平面尸AD；

⑵求点B到平面PCF的距离.

【变式6-11.（2023•上海杨浦•一模）如图所示，在四棱锥尸-MCD中，上4,平面ABC。，底面ABC。是

正方形.

Q

(2)设AB=2,若四棱锥尸-ABCD的体积为求点A到平面尸3D的距离.

题型07存在性问题

【典例7-1].(2024•全国•模拟预测)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,

E4_L平面ABC。，E£>_L平面ABC。，AB=FA=2ED=2.

F

(1)在线段m上是否存在一点G,使得平面即G〃平面CEF?若存在，确定点G的位置；若不存在，请说

明理由.

(2)求二面角B-CF-E的余弦值.

【典例7-1].(2023•上海长宁•三模)已知VABC和V/WE所在的平面互相垂直，ADA.AE,AB=2,AC=4,

NA4c=120。，。是线段3c的中点，AD=y/3.

⑴求证：ADVBE-,

(2)设AE=2,在线段AE上是否存在点尸(异于点A),使得二面角A-M-C的大小为45。.

【变式7-1】.(2024高三.上海・专题练习)如图，在四面体ABCD中，平面ABC,点”为AB中点,

且A8=AC=2,BC=272>AD=2.

⑵求平面与平面CDM夹角的余弦值；

（3）在直线8D上是否存在点P,使得直线PC与平面CZ泌所成角的正弦值为）？若存在；求空的值；若不

6BD

存在，请说明理由.

题型08其他问题

【典例8-1].（2023.上海普陀・二模）如图，在直三棱柱ABC-A用G中，AC=4,3c=3,AB=5.

⑴求证：AC±BQ；

⑵设AG与底面ABC所成角的大小为60。，求三棱锥C-A8G的体积.

【典例8-2].（2023•上海闵行•二模）已知正方体A2CD-A瓦G2,点E为AA中点，直线与&交平面CDE

于点

（1）证明：点尸为8。的中点；

⑵若点.为棱A再上一点，且直线MF与平面CDE所成角的正弦值为等,求箸的直

TT

【变式8-1].（2023•上海普陀•一模）图1所示的是等腰梯形ABC。，AB//DC,AB=2DC=4,ZABC=~,

Jr

（2）若直线PE与平面EBCD所成的角为w，求二面角P-3C-E的大小.

【变式8-2】.（2023・上海嘉定•一模）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验.房梁为柱体，或取整根

树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示.

材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数w来刻画梁的承重能力.对于

两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好.三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下

表所列，

圆形截面正方形截面矩形截面

条件r为圆半径“为正方形边长介为矩形的长，6为矩形的宽，h>b

叱=91

抗弯截面系数W=-r3叱=泮9

i14

(1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；

(2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点.考虑梁取材于

圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数。，如下图所示，请问〃：6为何值时，其抗弯截面系数取

得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理.

o-----------题型通关•冲高考-----------♦>

一、解答题

1.(2023•上海•模拟预测)在直四棱柱中，AB//CD,ABLAD,AB=2,AO=3,DC=4

⑴求证：42〃平面Dec.；

(2)若四棱柱ABCD-AAG2体积为36,求二面角\-BD-A大小.

2.（2024.上海杨浦.二模）如图，P为圆锥顶点，0为底面中心，A,B,C均在底面圆周上，且VABC为

等边三角形.

（1）求证：平面PQ4_L平面尸BC；

⑵若圆锥底面半径为2,高为2后，求点A到平面PBC的距离.

3.（2024•上海闵行•二模）如图，已知ABC。为等腰梯形，AD//BC,/B4D=120。，平面ABC。,

AB=AD=AP=2.

（1）求证：尸CLAB；

⑵求二面角C-3P—A的大小.

4.（2024・上海松江.二模）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为菱形，PDL平面ABC。，E为PD的

中点.

⑴设平面与直线PC相交于点尸，求证：EF//CD-,

⑵若AB=2,DAB=60°,尸。=40，求直线BE与平面PAD所成角的大小.

5.（2024・上海嘉定.模拟预测）如图，在正四棱锥尸-ABCD中，|B4|=|AB|=20,E、歹分别为尸2、的

中点，平面AEF与棱PC的交点为G

p

(1)求平面AEGF与平面ABC。所成锐二面角的大小；

(2)若「G=XPC，求力的值.

6.(2023・上海宝山•一模)如图，在直三棱柱A3C-A4G中，AB=BC=BAC=AAI=2,且。、E分别

(1)证明：AC±BE；

(2)求三棱锥O-ABE的体积；

(3)求直线5。与平面山洱所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)

7.(2024・上海静安•二模)如图1所示，ABC。是水平放置的矩形，AB=2也,BC=2.如图2所示，将

沿矩形的对角线8。向上翻折，使得平面平面BCD.

(1)求四面体ABCD的体积V；

(2)试判断与证明以下两个问题：

①在平面BCD上是否存在经过点C的直线/,使得/LAD?

②在平面3CD上是否存在经过点C的直线/,使得"/AD?

8.(2024・上海奉贤.一模)如图为正四棱锥尸-ABCD,。为底面ABCD的中心.

⑴图⑵图

⑴求证：CD//平面RV,平面PAC_L平面PSD；

2

⑵设E为尸8上的一点，BE=-BP.

在下面两间中选一个，

①若A£>=AP=3后，求直线比与平面BED所成角的大小.

②已知平面ECD与平面A3CD所成锐二面角的大小为arctan受，若4。=30，求AP的长.

2

热点题型•解答题攻略

专题01空间向量与立体几何

♦>----------题型归纳•定方向-----------<>

题型01直接求线面角...........................................................................2

题型02根据条件求线面角.......................................................................8

题型03根据条件求线线角......................................................................14

题型04直接求二面角..........................................................................16

题型05根据条件求面面角......................................................................20

题型06空间中的距离问题......................................................................32

题型07存在性问题............................................................................34

题型08其他问题..............................................................................39

舱-----------题型探析・明规律-----------«>

【解题规律•提分快招】

1、求空间几何体的体积的常用方法

公式法规则几何体的体积，直接利用公式

把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则

割补法

的几何体

等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积

3、求空间几何体的表面积方法归纳：

(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.

(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和.

(3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理.

3、证明平行关系的常用方法

熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键.面面

平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法.

4、(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.

(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质

进行推理论证.

5、(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点

的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素）.

（2）向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.

题型01直接求线面角

TT

【典例1-1].（2024・上海.三模）如图,在四棱锥尸-458中，平面巳钻_1平面筋8,AD//BC,ZABC=-,

PA=PB=3,BC=\,AB=2,AD=3,点。是AB的中点.

BC

⑴求证：POYCD-,

（2）求直线CP与平面POD所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）i

【分析】（1）利用面面垂直的性质可得尸OJ■平面ABCD,即得尸O_LCD；

（2）根据（1）的结论，利用题设建系，依次写出各相关点的坐标，求出平面尸OD的一个法向量，利用空

间向量夹角的坐标公式计算即得.

【解析】（1）因上4=尸3,点。是A3的中点，则POLAB,

因平面PAB_L平面且平面PABC平面=POu平面P4B,故尸O_L平面A2CD,

又CDu平面ABCD,故PO_LCD.

（2）

如图，取CD中点E,连接OE,由（1）知尸O_L平面ABCZ）,AD//BC,可得OE/ABC,

因/A2C=],故OELAB,则可分别以加,OE,O尸为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.

又PA=PB=3,BC=1,AB=2,AD=3,则(7(1,1,0),尸(。,0,2"),0(-1,3,0),

于是，CP=(-1,-1,20),。尸=(0,0,272),OD=(-1,3,0),

.OP-n=2A/2Z=0

设平面POD的一个法向量为"=(%,y,z),贝叫，故可取”=(3,1,0),

OD-n=-x+3y=0

\CP-n\|-3-l|_2

设直线CP与平面POD所成角为0,贝Usin，=|cos<CP,ri）|=

\CP\-\nCy/10xyfi0~5

2

即直线CP与平面POD所成角的正弦值为

【典例1-2】.（2022•上海.模拟预测）如图所示三棱锥P4BC,底面为等边三角形ABC,。为AC边中点,

且尸O_L底面ABC,AP=AC=2

B

（1）求三棱锥P-ABC的体积；

⑵若M为8c中点，求PM与平面也C所成角大小（结果用反三角数值表示）.

【答案】（1）1;

(2)0=arcsin—

4

【分析】（1）由棱锥体积公式计算；

（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法二面角.

【解析】（1）底面ABC,ACu底面ABC,则PO_LAC,连接B。，同理

又AO=；AC=1,PA=2,二./O=,22—F=6，

而%ABC=-^x2x2xsin60°=A/3,

所以ABC=gPO.S,ABC=；X^xG=l;

(2)由已知BO_LAC,分别以OB,OC,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,

由己知BO=+,

则尸(0,0,8),B/,0,0),C(0,l,0),,

PM=（当,;，-6）,易知平面PAC的一个法向量是=（1,0,0）,

2

m-PM广2_百r

cos(m,PM)=-T，

y^PM1XK1+3

V44

设PM与平面B4c所成角大小为。，则sin0=3,6e[0,7t],0=arcsin

44

【变式1-11.（2024•上海徐汇・二模）如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面圆的圆心，AE为圆。的直径,

S.AE=AD=4,VABC是底面圆。的内接正三角形，尸为线段。。上一点，且。0=通尸0.

（2）求直线尸3与平面PCE所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）由勾股定理可得R4JLPC,PAYPB，由此即可证明;

（2）方法一：建立空间直角坐标系，求解以及平面尸CE的法向量为“，利用向量的坐标运算得线面夹

角即可；方法二：利用体积相等求解点B到平面PCE的距离，即可得P8与平面PCE所成角.

【解析】（1）证明：由题意得G4=OF=OC=2,AB=BC=AC=26,

DO=VZM2-6M2=2A/3，P。=~~~DO=V2，

o

PA=PB=PC=-JPO2+AO2=V6,

在,以C中，P^+PC2=AC2,得姑_LPC,

同理可得尸3,又PBPC=P,PB,PCu平面P3C,故平面尸3C.

（2）（方法一）如图所示，以0为坐标原点，OE、OD为y、z轴正方向建立空间直角坐标系，

则点8（后1,0）,C（一招,1,0）,尸（0,0,应）,E（0,2,0）,故馥=（后1,0）,CP=（73,-1,72）,BP=（-栏,-1,也）,

设平面PCE的法向量为n=（%,%z）,

n-CE=y/3x+y=0y=-J3x__

则n<I—,令X=1,可得〃=（1,,

nCP=y/3x-y+V2z=0z=，2y

因此直线网与平面PCE所成角的正弦值"

5

（方法二）PE=>JPO2+OE2BE=CE=dAE，-AC2=2,

则SgcE=百，SPCE=^B.

记点B到平面PCE的距离为d,因为力一BCE=yB-PCE，

所以1则”=回，

3BCE3RE5

设直线依与平面尸CE所成角为e,sine」力,

PB5

因此，直线尸3与平面PCE所成角的正弦值为好.

5

【变式1-2].（2023•上海普陀•三模）如图，在四棱锥C-ABED中，正方形ABED的边长为2,平面ABE。，

平面ABC,且3C，AC,AC=JL点G,尸分别是线段EC,3。的中点.

⑴求证：直线G/〃平面ABC；

（2）求直线GF与平面瓦汨所成角的大小.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）连接AE可得G尸为AC的中位线，再利用线面平行的判定定理即可得出证明；

（2）利用四棱锥C-ABEO的结构特征以及线面垂直的判定定理，建立以B为坐标原点的空间直角坐标系,

利用空间向量和线面角的位置关系，即可求得直线GF与平面所成角的大小为;.

0

【解析】（1）根据题意可知，连接AE,则AE交3。与尸；如下图所示：

在八4位中，尸为AE的中点，又点G是线段EC的中点,

所以Gf7/AC,

又GF<z平面ABC,ACu平面ABC,

所以直线Gb〃平面ABC；

（2）由平面ABED_L平面ABC,且平面ABED、平面ABC=AB,

又四边形ABED是正方形，所以又3Eu平面

所以BE,平面A3C；

过点B作直线y平行于AC,又BCLAC,

所以以8为坐标原点，分别以直线BC,直线，，直线BE为x，y，z轴建立空间直角坐标系；如下图所示:

由正方形A5E。的边长为2,BC±AC,AC=6可得，BC=1；

所以B（0,0,0）,C（l,0,0）,E（0,0,2）,r>（l,6,2）；

=（0,0,2）,£D=（1,73,0）；

又点G,/分别是线段ECBO的中点，所以6[3,0,1）,尸[3，#,1

即GF=0*,0

设平面CDE的一个法向量为〃=（x,y,z）；

n•BE=2z=0_

所以，可得z=o,令％=解得y=—i；

n•ED=x+Jr3y=0

设直线G厂与平面所成的角为仇问0卷,则

nGF

sin^=cos(«,GF解得。=J;

2，0

IT

所以直线G尸与平面由汨所成角的大小为七.

0

【变式1-31.（2023•上海虹口•三模）已知圆锥的顶点为S,底面圆心为O,半径为2,母线SA、S8的长为2忘,

4403=90。且M为线段A8的中点.

⑴证明：平面平面SA&

⑵求直线SM与平面SQ4所成角的大小.

【答案】（1）证明见解析

（2）arctan

【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直再由面面垂直判定定理证明即可;

（2）由线面角定义求线面角求正切再求角即可.

【解析】（1）因为40=5。,M为A3中点，所以

因为SOI•平面AOB,ABu平面AOB,

所以且OMSO=O,OMu平面SOM,SOu平面SOM,

所以AB_L平面SOM,

又因为ABu平面5AB,所以平面SAB_L平面SOM.

s

设AO的中点为N,连接MN、SN,则肱V〃03,

因为OA_LO3,所以。4_LMV,

因为SO_L底面AOB,所以SO_LMN,SOu平面SQ4,OAu平面SQ4,OAOS=O,

所以的V_L平面SQ4,

所以ZMSN即是直线SN与平面SCM所成角.

因为圆锥的底面半径为2,母线长为20，所以高SO=2,

得SNf,MN=l.

因为SNLMN,

所以tan/A«N=g^=好，

SN5

所以/MSN=arctan~

5

题型02根据条件求线面角

【典例2-1].（2024・上海虹口•二模）如图，在三棱柱A2C-A用G中，CA^CB,。为AB的中点，CA=CB=2,

⑴求证：AC1〃平面

⑵若CC1,平面ABC,点尸在棱AA上，且阳，平面BC。，求直线CP与平面瓦⑦所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）连接BG，交BC于点E,连接OE,即可得到ACJ/DE,从而得证；

（2）建立空间直角坐标系，设点P的坐标为（2,0,f）（0WfW3）,由阳，平面耳CO,则DPOg=0即可求

出"从而确定尸点坐标，再由空间向量法计算可得.

【解析】（1）连接8G，交用C于点E,连接OE,

。为A3的中点，在平行四边形BB&C中E为BG的中点,

:.DE是ABC的中位线，可得ACJ/DE,

（^人6也平面片。，。石（=平面8。。，

.­.AG〃平面片CD；

(2)因为CG，平面ABC,AC,BCu平面ABC,所以CG^AC,CC,1BC,XC4±CB,

故以点C为坐标原点，直线C4,CB,CG分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

则C(0,0,0),A(2,0,0),2(0,2,0),£>(1,1,0),A(2,0,3),B,(0,2,3),C,(0,0,3).

设点尸的坐标为(2,0j)(0W),则DP=(1,-1,r),DR=(-1,1,3),

因为P£>_L平面与CD,平面耳CD,所以尸O_LZ>31,

2

所以DPD4=lx(—l)+lx(-l)+3r=3t-2=0,解得/=§,经检验符合题意.

所以尸卜,。?],则CP=[2,0,11,

又CD=(l,l,0),CB,=(0,2,3),

设平面与。£)的一个法向量为〃二(元,y,z)，

x=-y

n-CD=x+y=0

则,即2，取y=-3得”=(3,-3,2),

n•CB]=2y+3z=0z=­y

3

设直线CP与平面B}CD所成的角为巴

77

则sin"I°sCiP"M=Fv^二J元55,

故直线CP与平面B/D所成角的正弦值为噜.

【典例2-2].（2024.上海.模拟预测）如图为正四棱锥P-ABCD,。为底面A3。的中心.

p

(1)若AP=5,A。=30,求,POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积;

(2)若AP=AD,E为PB的中点，求直线与平面AEC所成角的大小.

【答案】(1)12兀

【分析】(1)根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形PQ4的边长，然后求圆锥的体积；

(2)连接班,EO,EC,可先证BE，平面ACE,根据线面角的定义得出所求角为/BOE,然后结合题目数

量关系求解.

【解析】(1)正四棱锥满足且PO_L平面ABCD,由AOu平面ABCD,则PO_LAO,

又正四棱锥底面A58是正方形，由A£)=3正可得，49=3,

故尸O=JPA=-AO2=4,

根据圆锥的定义，PQ4绕尸。旋转一周形成的几何体是以尸0为轴，40为底面半径的圆锥，

即圆锥的高为尸0=4,底面半径为49=3,

根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是gx兀x3?x4=12兀

(2)连接所,EO,EC,由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，

由E是尸8中点，则尸3,又AE'CE=E,AE,CEu平面ACE,

故尸3L平面ACE,即8E_L平面ACE,又BD平面ACE=O,

于是直线3。与平面AEC所成角的大小即为/30E,

不妨设AP=AD=6,则8。=3鱼,BE=3,sinZBOE=—==—,

3V22

TT

又线面角的范围是0,-,

TT

故/BOE=：.即为所求.

4

【变式2-1].（2024•上海奉贤•三模）如图，四棱锥尸-ABCZ）的底面是梯形，AD//BC,AB±BC,AB=BC=1,

PA_L平面ABC。，CDLPC.

P

⑴求证：CD平面PAC

冗

（2）若二面角P-CD-A的大小为求PO与平面PAC所成的角的大小.（结果用反三角函数值表示）

【答案】（1）证明见解析；

（2）arctan；.

【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理即得.

（2）由已知及（1）确定二面角的平面角及线面角，再结合数量关系求出线面角的正切.

【解析】（1）在四棱锥尸-ABCD中，连接AC,由PA_L平面A5CD,CDu平面ABCZ）,

得CD_LR4,而CD工PC,PAPC=尸,P4,PCu平面PAC,

所以CD_L平面PAC.

P

（2）在梯形ABCD中，由ABL3C,AB=BC=1,得AC=0,又ADIIBC,

TT

则NCAr>=4BCA=-,由（1）知，CD_L平面PAC,ACu平面PAC,得CD_LAC,

4

则CO=AC=夜，/DPC是尸£>与平面PAC所成的角，/PC4是二面角P-CD—A的平面角,

jr

即/PCA=§,在RtZXPAC中，PA±AC,于是PC=2AC=20,

因此tanZDPC=密=；,所以P£）与平面PAC所成角的大小为arctan1.

【变式2-2].（2024高三下.上海.专题练习）如图，在圆柱中，底面直径48等于母线AD,点E在底面的

圆周上，且AF1DE,尸是垂足.

E

(1)求证：AFLDB；

(2)若圆柱与三棱锥O-ABE的体积的比等于3万，求直线DE与平面ABD所成角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)arctan

【分析】(1)根据题意，证得EB_L平面ZME,得到结合AF_LDE,证得AF_L平面由，进而

证得AF_LZJB；

(2)过点E作即_LAB,证得EH平面ABD,得到ZED”是DE与平面ABD所成的角，设圆柱的底面

半径为R,求得心力一.=3兀，进而求得NEDH的值.

【解析】(1)证明：根据圆柱性质，ZM_L平面W,

因为EBu平面W,所以D4J.EB,

又因为AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，所以

因为>1£^加=4且4瓦》1匚平面1)/场，所以EB_L平面DAE,

又因为AFu平面ZME,所以EB_LAF,

因为AF1DE,且EBIDE=E,且E8,OEu平面DEB,所以AF_L平面DEB,

又因为£>Bu平面ZJEB,所以AF_L£>B.

(2)解：过点E作E"LAB,//是垂足，连接

根据圆柱性质，平面ABD_L平面ABE,且平面ABDc平面ABE=M,

且EHu平面ABE,所以JL平面ABD,

因为DHu平面A3D,所以DH是即在平面ABD上的射影，

从而ZEDH是DE与平面ABD所成的角，

设圆柱的底面半径为R,则04=43=27?,

1OR2

所以圆柱的体积为丫=2兀g,且VD_ABE=-AD-SABE=--EH,

由V：%-A8E=3兀，可得EH=R,可知H是圆柱底面的圆心，且AH=R,

S.DH=y/DA2+AH2=小R,

在直角「EQ”中，可得tan/EZ汨=黑=r，所以NEDF/=arctang.

【变式2-3】.(2024•上海•模拟预测)如图，多面体ABCDEF是由一个正四棱锥A-3CDE与一个三棱锥

歹-ADE拼接而成，正四棱锥A-BCDE的所有棱长均为3〃，且AR//CD.

(1)在棱OE上找一点G,使得平面ABC,平面A/G,并给出证明；

(2)若=求直线。尸与平面ABC所成角的正弦值.

【答案】(1)点G为DE的中点，证明见解析

0、2痴

⑵'

【分析】(1)当点G为DE中点时，平面ABC,平面AFG,依题意可得AGLDE,从而得到AGL3C,再

由AF/8C,即可证明平面A尸G,从而得证；

(2)建立合适的空间直角坐标系，利用线面角的空间向量求法即可.

【解析】(1)当点G为DE中点时，平面ABC,平面APG,

证明如下：因为四棱锥A-BCDE是正四棱锥，所以A£>=AE,所以AG_LDE.

在正方形BCZ)E中，DE//BC,所以AG_L_BC,

在正方形3CZJE中，CD1.BC,因为Af7/CD,所以

因为A尸cAG=A,A£AGu面AfG,

所以BC_L平面AFG,

因为BCu平面ABC,所以平面ABCL平面A/G.

(2)因为四棱锥A-BCDE是正四棱锥且所有棱长均为3夜，设CEcBD=O,

则OC,OD,Q4两两垂直，

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,3),B(0,-3,0),C(3,0,0),0(0,3,0),则CD=(-3,3,0),

设歹(a,b,c),则AF=(q,瓦c-3),因为Af7/CZ),AF=|cD,

a=；x(-3)

a——\

所以Ab=ga>,贝卜b=gx3,解得，

b=l,所以b(—1,1,3),