2025年上海高考数学二轮复习：热点题型3 三角函数与解三角形（十一大题型）原卷版+解析

热点题型•解答题攻略

专题03三角函数与解三角形（十一大题型）

♦>----------题型归纳•定方向-----------*>

题型01求值域、最值...........................................................................2

题型02三角函数中解不等式.....................................................................2

题型03零点问题...............................................................................3

题型04实数解、方程根等问题..................................................................4

题型05导数与三角形函数.......................................................................4

题型06解三角形，周长、面积问题..............................................................5

题型07最值问题...............................................................................5

题型08取值范围问题...........................................................................6

题型09解三角形与数列.........................................................................6

题型10平面向量、三角函数、解三角形综合......................................................7

题型11三角函数的实际应用.....................................................................8

o-----------题型探析•明规律-----------*>

【解题规律•提分快招】

1、已知三角函数解析式求单调区间：一

求形如y=Asin®x+cp屐y=Acos®x+cpX其中（o>0）的单调区间时，要视“（ox+（p”为一个整体，通过解不等

式求解.但如果3<0,可借助诱导公式将①化为正数，防止把单调性弄错.

2、奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为丫=人点110»或丫=人12110»的形式，而偶函数一般可

化为y=Acostax的形式.

3、周期的计算方法：利用函数y=Asin（（ox+<p）,y=Acos（sx+<p）（co>0）的周期为，函数y=Atan（cox+（pXs>。）

的周期为求解.

4、确定y=Asin（5+O）+6（A>0,。>0）的步骤和方法

M—mrn

（1）求A,b.确定函数的最大值M和最小值处则4=一二，b=—^.

⑵求。.确定函数的最小正周期T,则。=笔

（3）求（p,常用方法如下：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把

图象的最高点或最低点代入.

5、解三角形问题的技巧

（1）解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或

边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

（2）三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；己知两边和一边的对角，

该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

题型01求值域、最值

【典例1-1].(24-25高三上•上海宝山•阶段练习)已知/(x)=2cos2x+&sin2x,

⑴求函数y=的单调递减区间；

⑵若无e[0,"，求函数y=/(%)的值域.

【变式1-1].(23-24高三上•上海静安・期末)记/(%)=S]112%-(20$2了+2>/^5111%<：0$工+彳(X€1<),其中X为

实常数.

⑴求函数y=/(x)的最小正周期；

⑵若函数y=/(x)的图像经过点求该函数在区间0,|兀上的最大值和最小值.

【变式1-2】.(2024・上海长宁•二模)某同学用“五点法”画函数〃x)=sin®尤+协(。>0)在某一个周期内的

图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

713兀

a)x+(p0712K

2~2

715兀2兀1171

X

A~612T~n

sin(s:+e)01A-i0

(1)请在答题卷上将上表A处的数据补充完整，并直接写出函数y=f(x)的解析式；

⑵设0=1，9=0,8(*=r(无)+〃彳)/\-.[：€0,1^,求函数y=g(x)的值域；

【变式1-3].(24-25高三上•上海•阶段练习)已知函数/(x)=2":os2x+2>/^sirLrcosx.

⑴将化成/(w)=Acos3x+(p)+5(A>0,(o>0,|cp|〈兀)的形式，并写出〃x)的最小正周期及对称轴方

程；

⑵若小)在a,a+：上的值域为[叫，求的取值范围.

题型02三角函数中解不等式

【典例2-11(24-25高三上•上海奉贤・期中)已知函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,并且当x>0时,

X71

/(x)=cos鼻sin―+―^3cos2—+y/3.

232

(1)求函数y=/(%)的表达式;

⑵求关于x的不等式“log?X+1)+，尤-曰＜“0)的解集.

7C

【变式2-1】.(23-24高三上•上海嘉定•期中)已知函数〃x)=sin2x+2cos2x+l,xe0,-.

⑴求函数y=/(x)的严格减区间；

⑵若不等式7妙(力+2〃亚/'(X)恒成立，求实数机的取值范围.

题型03零点问题

【典例3・1】.(24-25高三上•上海闵行•期中)已知函数/(九)=gsin25+2cos2s:—l(其中常数刃＞0).

⑴若函数/(%)的最小正周期是不求外的值及函数4%)的单调递增区间；

■7T

(2)若。=1,xe0,-,求函数的值域及零点.

【典例3-2］.(2024•上海•模拟预测)已知函数/(X)=2COS2X+COS(2X_&_1.

⑴求函数的在［。，兀］上单调递减区间；

⑵若函数/(x)在区间［。,加］上有且只有两个零点，求m的取值范围.

【变式3-1］.(2024•上海徐汇・一模)已知/(x)=asin0x+Z?cos0x(0＞O),若定义在R上的函数y=/(x)

的最小正周期为兀，且对任意的xeR,都有=

⑴求实数的值；

⑵设占,％2e(0,兀)，当无产马时，/(%)="Z)=-2,求玉+尤2的值.

【变式3-2］.(24-25高三上•上海•期中)已知/'(＞)=sins+cosox,。＞0,

7T

(1)若。=2,求函数y=/(x),xe0.-的值域；

⑵己知。＞0,且函数y=/(x)的最小正周期为无，若函数y=-£|在［叫上恰有3个零点，求实数。

的取值范围.

【变式3-3］.(2024•上海金山・二模)已知函数y=/(x),记/。)=5皿0匹+0),(9＞0,。＜。(兀，xeR.

⑴若函数y=/(x)的最小正周期为兀，当〃刍=1时，求。和。的值；

6

TT

(2)若刃=1,。=:，函数y=/2(%)_2/(x)—〃有零点，求实数〃的取值范围.

【变式3-4】.(24-25高三上•上海•开学考试)已知函数y=〃x)的表达式为/(x)=sin(s+2),。＞0

⑴设0=1,求函数＞=〃尤)，尤目0,司的单调增区间；

⑵设实数。＞兀，“X)的最小正周期为兀，若在无目私句上恰有3个零点，求。的取值范围.

题型04实数解、方程根等问题

【典例4-1】•(24-25高三上•上海•期中)已知函数y=/(x)的表达式为/'(x)=2cos2尤+cos(2x-j-1.

⑴求函数y=/(x)的单调增区间；

⑵求方程=咚在xe[0,兀]上的解.

【变式4-1】.(2023•上海宝山•二模)已知函数/(x)=sinxcosx-gcos2x+与.

(1)求函数y=/(x)的最小正周期和单调区间；

TT

(2)若关于x的方程/")-m=0在xe0,-上有两个不同的实数解，求实数〃?的取值范围.

【变式4-2].(23-24高三下•上海浦东新•期中)已知函数y=F(x),其中/(x)=sinx.

⑴求在xe[0,句上的解；

⑵己知85)=6/5)/、+?-/(力/"+兀)，若关于x的方程g(x)一加=；在xe0卷时有解，求实数相

的取值范围.

【变式4-3].(24-25高三上•上海•阶段练习)已知函数〃9=瓜山(5+0+2$狂(当£|_1(0＜。＜兀)为

奇函数，且/(X)图像的相邻两条对称轴间的距离为

⑴求〃尤)的解析式与单调递减区间；

⑵已知〃无)在xe时，求方程2产(力+囱("-3=0的所有根的和.

题型05导数与三角形函数

3兀

【典例5・1】.(2024・上海嘉定•一模)已知/(X)=2COS(GX+—),其中。＞0.

4

TTTT

(1)若刃=2,求函数y=-7，7]的值域；

44

⑵若〃：)=。，且函数y=/(元)在(：,令内有极小值，但无极大值，求。的值.

【变式5-1].(24-25高三上•上海松江•期中)已知函数/(X)=2COS2X+COS(2X-]J-L

⑴求函数y=y(x)在[0,可上的单调减区间；

（2）若函数y=在区间[0,向上有且只有两个极大值点，求实数机的取值范围.

题型06解三角形，周长、面积问题

【典例6-1].（24-25高三上•上海•阶段练习）在VABC中，角A,民C的对边分别为瓦c.已知.=指，6=2c,

“1

cosA=——.

4

⑴求C的值；

⑵求sin（2A-B）的值.

【变式6-11.（2023•上海奉贤•一模）在VA2C中，设角A、B、C所对边的边长分别为。、b、c,已知

A/3C=A/3Z?COSA+asinB.

⑴求角3的大小；

（2）当〃=2力，6=26时，求边长。和VABC的面积S.

【变式6-2】.（2023•上海松江•一模）在三角形A3C中，内角A&C所对边分别为4氏c,已知

asinB=bcos（A-0.

⑴求角A的大小；

（2）若c=2b,三角形ABC的面积为名巨，求三角形ABC的周长.

3

题型07最值问题

【典例7-11.（2024・上海•三模）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为b,c,且耳=2csinA.

⑴求sinC的值；

⑵若c=3,求ABC面积S的最大值.

【变式7-1].（2024.上海嘉定.二模）在VABC中，角A、B、C的对边分别为。、6、c,cos2B-sin2B=-1.

⑴求角B,并计算sin,+j的值；

（2）若6=右，且VABC是锐角三角形，求a+2c的最大值.

【变式7-21.（2023•上海三模）已知在VA2C中，角AB,C所对的边分别为。,瓦。力=1,且满足

2acosB=cosC+ccosB.

⑴若a=Ml,求VABC的面积S；

13

（2）求a+2c的最大值，并求其取得最大值时cosC的值.

【变式7-3].（24-25高三上•上海•阶段练习）已知。，b,c分别为VA2C三个内角A,B,C的对边，且

2Z?=c+2acosC.

⑴求A；

(2)若°=6，且VABC是锐角三角形，求"(6+l)c的最大值.

题型08取值范围问题

【典例8-1].(24-25高三上•上海•阶段练习)在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,已

知a=6tanA且3为钝角，

⑴求3-A；

(2)求sinA-cosB+sinC的取值范围是.

【变式8-1].(24-25高三上•上海・期中)设VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA且8为

钝角.

JT

(1)若A=Ipc=2,求VABC的面积；

⑵求sinA+sinC的取值范围.

【变式8-2].(23-24高三上•上海嘉定•期中)在VABC中，角4、8、C所对的边分别为。、b、c,且满

足asinCcosB+bsinAcosC--a.

2

⑴求角A；

(2)若VABC为锐角三角形，求sinBsinC-石sin'B+Y^的取值范围.

4

题型09三角函数或解三角形与数列

【典例9-1].(20-21高三上•上海虹口•期中)在ASC中，角A、8、C的对边分别为a、6、c,已知sinB='，

且B4BC=12.

(1)求VABC的面积；

(2)若°、6、c成等差数列，求b的值.

【典例9-2].(23-24高三上•上海嘉定•期中)已知函数/(x)=Z^sinxcosx-Zsin'x.

(1)求/'(尤)的最大值及取得最大值时x的值；

(2)在VA5C中，内角A,民C所对应的边为a,b,c,若/(A)=0,4凡。成等差数列，S.AB-AC=2,求。的

值.

【变式9-1].(23-24高三下.上海松江.阶段练习)设VABC的内角A、B、C所对边分别为。、b、c,若

1+cosB_2-cosA

sinBsinA

(1)求证：a、b、c成等差数列；

(2)若久b、c(avbvc)均为整数，且存在唯一的钝角VABC满足条件，求角。的大小.

【变式9.2】•(2019•上海松江•一模)已知函数/(元)=2百sinxcosx—ZsiYx.

⑴求r(x)的最大值;

(2)在VABC中，内角A、B、C所对的边分别为。、6、。，若〃A)=0,6、a、c成等差数列，且A3.AC=2，

求边。的长.

【变式9-31.(2024.陕西宝鸡•三模)已知数列｛%｝是公差不为0的等差数列，4=5,且%%，%成等比数

列.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

JTZ7

⑵设，=ancos^-,求数列｛0｝的前2024项和.

题型10平面向量、三角函数、解三角形综合

【典例10-1].(24-25高三上•上海•期中)已知函数/(x)=sin，-cos2x-瓜in(2x-j.

⑴求〃尤)的最小正周期和严格增区间；

(2)若A是三角形A3C的内角，BC=2J[T)=-乎，求三角形A3C的外接圆半径.

【典例10-2].(24-25高三上•上海•期中)设向量相=(cos。,6),〃=(2,sin2x),f^x)=m-n.

(1)求函数y=/(x)的最小正周期及单调增区间；

(2)在VABC中，角A、B、C的对边分别为。、6、c.若〃A)=2,a=2,且8+c=3,求VABC的面积.

【变式10-1].(24-25高三上•上海•阶段练习)在VABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c.已知

2ccosA=2b—a.

⑴求角C的大小；

⑵设M为A3边的中点，若,="，a-b=\,求的大小.

【变式10-2】•(23-24高三下•上海青浦•阶段练习)已知函数/(x)=sinxcosx-sin2x+g.

⑴求了(x)的单调递增区间；

-71

⑵在VABC中，a,b,c为角A,B,C的对边，且满足bcos2A=6cosA-asin3,M0<A<-,求角A的

值.

【变式10-31.(2024.上海浦东新.三模)已知/(无)=2sin(&r+°),其中O>0,H<|.

(1)若。=：,函数y=/(x)的最小正周期T为4兀，求函数y=/(久)的单调减区间；

(2)设函数y=f(x)的部分图象如图所示，其中Afi.AC=12,。(0,-石)，求函数的最小正周期T,并求y=

/(久)的解析式.

【变式10-41.(2024•上海松江•二模)^/(x)=sin2yx+73cos-^xsinyx(<y>0),函数y=/(x)图象的两

条相邻对称轴之间的距离为兀.

⑴求函数y=/(x)的解析式；

3

(2)在VABC中，设角A、8及C所对边的边长分别为。、b及c,若〃=百，b=6,/(A)=-,求角C.

【变式10.5】.(24-25高三上•上海虹口•阶段练习)已知/(%)=百51!151：05刃力-852刃工+；,①>0.

7T

⑴若函数y=f(x)在区间上是严格增函数，求实数。的取值范围；

⑵设VABC的三边分别是〃S,c,若o=c=l,f(C)=--,求a+25的取值范围.

题型U三角函数的实际应用

【典例11-1].(23-24高三上•上海浦东新•阶段练习)某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花园.如

图所示，。为圆心，半径为1千米，点A、B、尸都在半圆弧上，设ZNOP=/POA=e,/AOB=2。,其

中0<。<二.

(1)若在花园内铺设一条参观的线路，由线段附、AB.3M三部分组成，求当6取何值时，参观的线路最

长；

⑵若在花园内的扇形ONP和四边形OMB4内种满杜鹃花，求当。取何值时，杜鹃花的种植总面积最大.

【变式11-1].(23-24高三上•上海浦东新•期末)某街道规划建一座口袋公园.如图所示，公园由扇形AOC

区域和三角形C8区域组成.其中A、O、。三点共线，扇形半径。4为30米.规划口袋公园建成后，扇形

AOC区域将作为花草展示区，三角形COD区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道.

7T

(1)若NAOC=§,OD=2OA,求休闲步道总长(精确到米);

(2)若Nor>c=C，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣.请你根据民意调查

情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形COD的形状.

【变式11-21•(24-25高三上•上海•阶段练习)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生

活或配合其他民俗活动的民间艺术.在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是

各种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众

的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣.现有一张矩形卡片A2CD,对角线长为f•为

常数)，从△AB。中裁出一个内接正方形纸片使得点E,H分别A3,AD上，设

正方形纸片EFGH的面积为S2.

(2)当a变化时，求去的最大值及对应的a值.

0---------------题型通关•冲高考-----------♦>

一、解答题

1.(2021•上海浦东新•模拟预测)已知函数/(x)=asin2X+疯zsinxcosx-gQ+bmiMvO),

■jr

(1)若当xe0,-时，函数f(x)的值域为［-5』，求实数。力的值；

⑵在(1)条件下，求函数/(x)图像的对称中心和单调区间.

2.(2024・上海宝山•二模)在二ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知

sin2A+sin2C=sin2B+sinAsinC.

⑴求角B的大小；

⑵若ABC的面积为百，求a+c的最小值，并判断此时.ASC的形状.

3.(2023•上海普陀•三模)设函数"x)=1sin20x+cos2s，其中0＜。＜2.

⑴若〃无)的最小正周期为无，求的单调增区间；

⑵若函数图象在］。，鼻上存在对称轴，求0的取值范围.

4.(2023•上海闵行•一模)在VA2C中，角A、B、C所对边的边长分别为。、b、c,且a—2ccosB=c.

(1)若cosB=；,c=3,求b的值；

(2)若VABC为锐角三角形，求sinC的取值范围.

热点题型•解答题攻略

专题03三角函数与解三角形(十一大题型)

♦>----------题型归纳•定方向-----------<>

题型01求值域、最值...........................................................................2

题型02三角函数中解不等式.....................................................................5

题型03零点问题...............................................................................8

题型04实数解、方程根等问题..................................................................13

题型05导数与三角形函数......................................................................18

题型06解三角形，周长、面积问题.............................................................20

题型07最值问题..............................................................................22

题型08取值范围问题..........................................................................28

题型09解三角形与数列........................................................................30

题型10平面向量、三角函数、解三角形综合.....................................................33

题型11三角函数的实际应用....................................................................40

•-----------题型探析・明规律-----------♦>

【解题规律•提分快招】

1、已知三角函数解析式求单调区间:

求形如丫=人$皿《«+「)或y=Acos®x+(pX其中《>>0)的单调区间时，要视“cox+(p”为一个整体，通过解不等

式求解.但如果SO,可借助诱导公式将8化为正数，防止把单调性弄错.

2、奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为丫=人点11(OX的形式，而偶函数一般可

化为y=Acos(ox的形式.

3、周期的计算方法：利用函数y=Asin®x+(p),y=Acos(a>x+(p)®>0)的周期为，函数y=Atan(3x+cp)®>0)

的周期为求解.

4、确定y=Asin(ox+9)+6(A>0,。>0)的步骤和方法

]\4—min

(1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值处则4==」，b=~^.

⑵求。.确定函数的最小正周期T,则。=竿

(3)求V,常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把

图象的最高点或最低点代入.

5、解三角形问题的技巧

(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或

边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；己知两边和一边的对角,

该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

题型01求值域、最值

【典例1-1].(24-25高三上•上海宝山•阶段练习)已知/(x)=2cos"+石sin2x,

⑴求函数y=/(x)的单调递减区间；

⑵若xe[0,勺，求函数尸f(x)的值域.

TTQjr

【答案】(l)[2+M,；+E],%eZ

63

(2)[0,3]

【分析】(1)利用降幕公式和辅助角公式化简函数y=/(%)的解析式，根据正弦函数的图象性质即可求得其

单调递减区间；

(2)先由xe[0,勺求得整体角(2》+当€邑当，结合正弦函数的图象即可求其值域.

2666

【解析】(1)/(x)=2cos2x+5/3sin2x=l+cos2x+A^sin2x=2sin(2x+y)+l,

6

jrTT712冗

由一+2kii<2x+—<----F2kjt,kGZ,可得一+左兀——+kn.kGZ,

26263

TT27r

即函数y=/(x)的单调递减区间为匕+E,?+E]《eZ.

63

(2)当(2x+—)e[—,-—],则—<Vsin(2x+f1,

266626

故函数y=f(x)的值域为。3].

【变式1-1】•(23-24高三上•上海静安・期末)记/(x)=sin2x-cos2x+2后sinxcosx+/l(xeR),其中九为

实常数.

⑴求函数y="X)的最小正周期；

⑵若函数y=/(x)的图像经过点求该函数在区间。,|兀上的最大值和最小值.

【答案】⑴兀

⑵/(x)1nhi=-2,/(x)max=1

【分析】(1)利用二倍角公式、辅助角公式化简解析式即可得出答案；

(2)求出力，再整体换元2x-J=f，找出/的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.

O

【解析】(1)"x)=-cos2x+6sin2x+4=2sin12x-^+4.

，函数y=/(x)的最小正周期为兀.

(2)/13=1+4=0,

二.％=—1,则/(x)=2sin12x——1.

令2x-?=f,因为xe0,—n,贝!Jfe~

63Jl_66_

当2X-工=一二或叁，即x=0或a时，f(x).=-2.

6663」八，1nm

当2x4=—即》=々时，/U)max=l.

623

【变式1-2].(2024•上海长宁.二模)某同学用“五点法”画函数/(x)=sin(0x+0)(0>O)在某一个周期内的

图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

713兀

CDX+(p0712兀

2~2

715712兀1171

X

A~6

nT~12

sin(5+0)01A-i0

(1)请在答题卷上将上表A处的数据补充完整，并直接写出函数y=/(尤)的解析式；

⑵设0=Lo=O,g(x)=/2(x)+〃x)/[-x卜eO,D求函数y=g(x)的值域;

【答案】⑴补充表格见解析，/(x)=sinf2x+^

⑵。，勺

兀71

o)'—+(p=—

62

【分析】(1)由表得，解方程组即可得0,。，进一步可据此完成表格;

2兀3兀

3----+0=—

32

(2)由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简g(x)的表达式，进一步通过整体换元法即可

求解.

7171

CD'—+(P=—

62JT

【解析】(1)由题意解得刃=2#=>

2兀3兀6

3--------F(D二——

32

所以函数y=的解析式为"x)=sin(2x+£

令2x+B=。时，解得尤=-二，当式=/寸，2x+＞兀,sin2x+£71=0,

6126

将表中A处的数据补充完整如下表:

713兀

CDX+(p

071~22兀

2

71715兀2兀1171

X

12~6nT~12

sin(5+0)010-10

(2)若口=1,0=。，

则g⑴=sin2x+sinxsing-x)=sin?x+sinxcosx

l-cos2x1.72.(Tlyifr7l~[]

222I12」J

因为xe0,1-,所以2x-：e,

进而sin(2x-：Je，

所以函数y=g(x)的值域为o,也;1.

【变式1-3].(24-25高三上•上海•阶段练习)已知函数〃x)=20cos2x+2V^siiu:cosx.

⑴将/(x)化成/(x)=Acos(8x+(p)+B(A>0,3>0,同<£)的形式，并写出的最小正周期及对称轴方程;

⑵若〃无)在a,a+：上的值域为[回，求的取值范围.

【答案】(1)/(力=23(2》-；)+痣*=兀,对称轴为直线》=方+今收€2

(2)[2-72,272]

【分析】(1)根据题意，由恒等变换公式代入计算，化简，再由余弦型函数的性质，即可得到结果；

(2)根据题意，分/■(X)在a,a+；上单调以及/'(x)在a,a+：上不单调讨论，然后结合条件列出不等式，

代入计算，即可得到结果.

【解析】(1)=2后x^^^^+0sin2x=>/5cos2x+A/5sin2x+夜

=2cos（2x-：1+a,由题意得〃x）的最小正周期7=:=九

由〃x）图像可知，对称轴为直线尤=J+"/eZ.

o2

71k7l

a>——F——,

（2）若〃x）在a,a+：上单调，则<82K7E7Z,

71,兀71kjl

a-\——<——I------1-------,

%+冬口哼+竽~,

贝[]/>_〃=/(a)_/(a+；2cosl2a-^j-2cosf2a+：

|A/2COS2a+后sin2a-&cos2a+A/2sin2a|=|l'Jlsin2a|

,,7Ukn/j3兀kn,“

由一十——<a<一+——,keZ得;+左冗《2a<m+左九,左6Z,则bin2a|e

8282

所以〃-a=12亚sin2ale［2,20〕.

若〃无）在［a,a+：上不单调，

则/（尤）在［a，a+：上的图像上必定有一个最高点或最低点，

且/（尤）在［a,a+：上的图像无论经过任何一个最高点或任何一个最低点,

6-。的取值范围均相同.

假设“X）在a,a+：上的图像的最高点为4偿2+q，则匕=2+0，

当a+a+5=2xj,即a=0时，a=f（0］=272,止匕时取得最小值，

4o

且最小值是2-夜.易得：卜及，则〃—"2,所以万-ae［2-a,2）.

综上，b-a的取值范围为［2-收,2及］.

题型02三角函数中解不等式

【典例2-1］.（24-25高三上•上海奉贤•期中）已知函数y=/（乃是定义在（-1,1）上的奇函数,并且当x>0时,

2

f（x）=cos|-sin^|+-1^->/3cos1+A/3.

（1）求函数y=/（%）的表达式；

（2）求关于x的不等式“log?x+l）+-</（0）的解集.

【分析】(1)当x>0时，化简/(无)，再根据/(尤)为奇函数求解当-l<x<0时，函数/(x)的解析式;

(2)判断函数/'(x)在(-1,1)上的单调性，再根据奇函数的性质解不等式即可.

【解析】(1)当0<%<1时，函数/(x)=cos'('sin三+，^cos2)-J^cos22+6

222222

1.xxV32%/r1.V31+cosx/T

=-sin-cos--------cos—卜73=-sinx--------------------1-\/3

22222422

1.V3341兀、

——sinx-------cosxH-------——sin(x—)T-------•

444234

当x=0时，/(%)=。；

当一lv尤<0时，一%>0,

日口“、1.(兀、3G1.(兀、3百

E|J/=—sinl~x~^ysinlx+^\+~^~；

因为/(-x)=-/(x)，

所以/(尤)=gsin［尤+gJ—.

因此〃x)=0，尤=0

,_...//A1\rtI兀兀1兀兀

(2x)当］£(0,1)时，——<%——<1——<—,

3336

因此有y=/(x)在(0,1)上严格单调递增;

而当x=o吟小.+乎邛

>0,

因此有y=/(力在(-1,1)上严格单调递增；

原不等式可化为：/(log2x+l)</Q-^

而y=〃x)是定义在(-M)上的严格增函数,

-l<log2x+l<l

1I1

所以-I<—x<I

2

11I

log2x+l<--x

因此不等式的解集为

【变式2-1].(23-24高三上•上海嘉定•期中)已知函数"x)=sin2x+2cos2x+l,xe0,|

⑴求函数y=的严格减区间；

(2)若不等式时(x)+2加之/(x)恒成立，求实数机的取值范围.

【答案】⑴

oZ

【分析】(1)由三角恒等变换化简得出〃x)=&sin[2x+：]+2,由04x4、可求出2x+：的取值范围，

再由正弦型函数的单调性可求出函数f(x)的减区间；

(2)求出/(x)+2的取值范围，由参变量分离法可得出加一〃0+2,求出函数5互下

的最大值，即可得出实数加的取值范围.

【解析】(1)解：因为/(x)=sin2x+2c°s2%+1=sin2x+c°s2x+2=0sin〔2x+；1+2,

I--八_日/71__兀_57r1兀，c兀,57r_r/口兀,一兀

因为。0%工7，贝」:02%+:工—，由7K2x十二<——<x<—,

244424482

,、兀兀

所以，函数y=〃x)的严格减区间为.

O2

⑵解：由⑴可知,则-乎

<sin]2x+j<1,

所以，3<V2sin2x+^+4<4+V2,即34/(x)+244+0,

14-V211

所以‘—1厂"冗

由研〃x)+2]'〃x)可得"2/需=1一肃工p

g、i23+a3+0

所以‘一互声V一厂'所以'm^-r

、

因此，实数机的取值范围是,+8.

7

题型03零点问题

【典例3-1].（24-25高三上•上海闵行•期中）已知函数y（x）=囱sin20x+2cos2ox—l（其中常数。>0）.

⑴若函数的最小正周期是自求。的值及函数“X）的单调递增区间;

JT

（2）若。=1,xe0,-,求函数的值域及零点.

kit7iku7i

【答案】（）。=（林Z）；

12,5―Z'E12

⑵[T，2]；|f.

【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，结合三角函数的性质计算即可;

（2）利用（1）化简得函数解析式，利用整体思想及三角函数的性质求值域与零点即可.

【解析】（1）由f（x）=A/3sin26?x+2cos2^x-1=A/3sin2^x+cos26t>x=2sinIcox+—,

若函数的最小正周期是9则m=g（0>o），即0=2,所以/(x)=2sin卜x+看

22co2

*_,7T.7T_7LAF、/t=tATT7LklL7T

令2E——<4x+—<2fTar+—,解之得-----<x<-----1----,

26226212

knJTKTTIT

所以函数/（X）的单调递增区间为y--，y+-优eZ）；

(2)由⑴知：/(x)=2sin|2a>x+^,若0=1,则〃尤)=2$何卜工+?

兀71717兀

贝0,—时，有2%+工£,则sin2x+^le--1

o69~62''

故/⑺1,2],函数值域为[-1,2],

而在上，只有sin7i=0,BP2x+—=7i^>x=—,

66612

即函数的零点为五.

【典例3-2].（2024.上海.模拟预测）已知函数〃x）=2cos2x+cos（2x-m）-1.

⑴求函数的在[。,兀]上单调递减区间;

⑵若函数/(X)在区间［0,河上有且只有两个零点，求m的取值范围.

■j,■7T77T

【答案】⑴r%，蜜

⑵丹，3).

o3

【分析】(1)利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再求出相位的范围，并借助正弦函数的性质

求出递减区间.

(2)由x的取值范围求出2x+1的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.

【解析】(1)依题意，/(x)=2cos2x+cos(2x--)-1=cos2x+cos2xcos—+sin2xsin—

333

=sin2x+—cos2x=百sin(2x+g),

223

当xe［O,句时,2x+装［|,g,由建2》+2今，得—些xw普,

L」3332321212

IT77r

所以函数7'(X)的在［。㈤上的单调递减区间为喧苴